Основни геометрични фигури 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Основни геометрични фигури

Основни геометрични фигури
Отсечка, ъгъл, ъглополовяща

Пълен урок с определения, разработени задачи и интерактивен тест

7 клас 6 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Основни геометрични фигури — точка, права, равнина, отсечка, ъгъл — урок за 7 клас

Основните геометрични фигури в геометрията са точката, правата и равнината. В този урок ще дадем определения на ключовите понятия, илюстрирани с чертежи и разработени задачи.

Определения

Определение 1: Ос ще наричаме права с избрана положителна посока върху нея.

Определение 2: Ако вземем една права и изберем точка \(O\) от нея, тя ще разделя правата на две части, всяка от които ще наричаме лъч с начало точка \(O\). Тези два лъча се наричат противоположни лъчи.

Определение 3: Всяка права \(p\) от дадена равнина я разделя на две части, като всяка от тях се нарича полуравнина с контур правата \(p\).

Определение 4: Част от права, ограничена с две точки, се нарича отсечка. Тези точки се наричат краища на отсечката, а точките между тях — вътрешни точки.

Определение 5: Дължина на отсечката е положителното число, получено при измерването й с избрана мерна единица. Дължината на отсечка \(AB\) бележим с \(|AB|\) или само \(AB\).

Определение 6: Разстоянието между две точки се определя от дължината на отсечката, определена от тях.

Определение 7: Две отсечки се наричат равни, ако са равни дължините им, измерени с една и съща мерна единица.

Аксиома 1: Ако две равни отсечки се нанесат върху лъч, краищата им съвпадат.

Определение 8: Казваме, че отсечката \(a\) е по-голяма (по-малка) от отсечката \(b\), ако дължината на \(a\) е по-голяма (по-малка) от дължината на \(b\).

Определение 9: Ако точката \(M\) е между точките \(A\) и \(B\) и \(AM=BM\), то \(M\) се нарича среда на отсечката \(AB\).

Определение 10: Нека са дадени отсечките \(a\) и \(b\). Ако върху лъч с начало \(O\) са нанесени точки \(A\) и \(B\) така, че \(A\) е между \(O\) и \(B\), \(OA=a\) и \(AB=b\), казваме, че отсечката \(OB=c\) е сбор на \(a\) и \(b\). Дължината на сбора е равна на сбора от дължините.

Определение 11: Разлика на две отсечки \(a\) и \(b\) (\(a>b\)) се нарича такава отсечка \(c\), чийто сбор с \(b\) е равен на \(a\). Записваме \(c=a-b\).

Определение 12: Геометрична фигура, която се състои от два лъча с общо начало, се нарича ъгъл. Лъчите се наричат рамене на ъгъла, а общото им начало — връх на ъгъла.

Определение 13: Ъгъл, раменете на който са противоположни лъчи, се нарича изправен ъгъл. Ъглите означаваме с малки букви от гръцката азбука: \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) и т.н.

Ъгъл \(\sphericalangle BAC\) с рамене \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) и връх \(A\).

Ъгъл означаваме и като \(\sphericalangle BAC\) или \(\sphericalangle CAB\), а за удобство — и с числа: \(\sphericalangle 1\), \(\sphericalangle 2\) и т.н.

Определение 14: Мярка на ъгъл е положителното число, получено при измерването му с избрана мерна единица (градус или радиан).

Определение 15: Мерни единици за ъгъл:
1) един градус: \(1°\) е \(\frac{1}{180}\) от изправения ъгъл;
2) една минута: \(1'\) е \(\frac{1}{60}\) от \(1°\);
3) една секунда: \(1''\) е \(\frac{1}{60}\) от \(1'\), т.е. \(\frac{1}{3600}\) от \(1°\).
Два ъгъла са равни, ако имат равни мерки при измерване с една и съща единица.

Определение 16: От два ъгъла по-голям (по-малък) се нарича този с по-голяма (по-малка) мярка при измерване с една и съща единица.

Определение 17: Ъглополовяща на даден ъгъл е лъчът с начало върха на ъгъла, който го разделя на два равни ъгъла. Ако ъглополовящата лежи върху права, тогава правата също се нарича ъглополовяща на ъгъла.

Отсечката \(AD\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle BAC\), защото \(\sphericalangle BAD=\sphericalangle CAD=\alpha\). Тъй като \(AD\) лежи на правата \(h\), можем да кажем и, че \(h\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle BAC\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Ако \(\alpha=27°45'\) и \(\beta=33°28'\), намерете \(\alpha+\beta\).

▼

Решение Събираме отделно градусите и отделно минутите: \[\alpha+\beta=27°45'+33°28'=60°73'.\] Тъй като \(73'=60'+13'=1°+13'\), окончателният отговор е: \[\alpha+\beta=61°13'.\]

2

Ако \(\alpha=105°25'\) и \(\beta=35°45'\), намерете \(\alpha-\beta\).

▼

Решение Тъй като минутите в \(\alpha\) са по-малко от тези в \(\beta\), „вземаме" от \(\alpha\) един градус и го превръщаме в минути: \[\alpha=105°25'=104°65'.\] Сега изваждаме: \[\alpha-\beta=104°65'-35°45'=69°20'.\]

3

Лъчът \(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\sphericalangle AOB\), като \(\sphericalangle AOC=35°\) и \(\sphericalangle COB=80°\). На колко градуса е равен \(\sphericalangle AOB\)?

▼

Решение От чертежа виждаме, че: \[\sphericalangle AOB=\sphericalangle AOC+\sphericalangle COB=35°+80°=115°.\]

4

Ъгъл с градусна мярка \(120°\) е разделен от свой вътрешен лъч на два ъгъла, градусните мерки на които се отнасят като \(2:3\). Намерете мерките на двата ъгъла.

▼

Решение Нека \(\sphericalangle AOC=2x\) и \(\sphericalangle BOC=3x\). Тогава: \[2x+3x=120° \;\Rightarrow\; 5x=120° \;\Rightarrow\; x=24°.\] Следователно \(\sphericalangle AOC=48°\) и \(\sphericalangle BOC=72°\).

5

Лъчът \(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\sphericalangle AOB=135°\), а \(\sphericalangle COB=70°\). На колко градуса е равен \(\sphericalangle AOC\)?

▼

Решение Тъй като \(\sphericalangle AOB=\sphericalangle AOC+\sphericalangle COB\), можем да запишем: \[135°=\sphericalangle AOC+70° \;\Rightarrow\; \sphericalangle AOC=135°-70°=65°.\]

6

Лъчите \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\) са вътрешни за \(\sphericalangle AOD\), като \(\overrightarrow{OB}\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle AOC\). Ако \(\sphericalangle AOB=\frac{5}{9}\sphericalangle BOD\) и \(\sphericalangle AOD=140°\), намерете \(\sphericalangle BOC\).

▼

Решение Нека \(\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\alpha\) (тъй като \(\overrightarrow{OB}\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle AOC\)) и \(\sphericalangle COD=\beta\). Следователно \(2\alpha+\beta=140°\).

От условието \(\sphericalangle AOB=\frac{5}{9}\sphericalangle BOD\) следва \(\alpha=\frac{5}{9}(\alpha+\beta)\), откъдето: \[9\alpha=5\alpha+5\beta \;\Rightarrow\; 4\alpha=5\beta \;\Rightarrow\; \beta=\frac{4}{5}\alpha.\] Заместваме в \(2\alpha+\beta=140°\): \[2\alpha+\frac{4}{5}\alpha=140° \;\Rightarrow\; \frac{14\alpha}{5}=140° \;\Rightarrow\; \alpha=50°.\] Следователно \(\sphericalangle BOC=50°\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 Ако \(\alpha=120°43'\) и \(\beta=31°52'\), намерете \(\alpha+\beta\).

▼ Отговор

\(43'+52'=95'=1°35'\)
\(\alpha+\beta=151°35'+1°=\mathbf{152°35'}\)

Задача 2 Ако \(\alpha=56°17'\) и \(\beta=18°44'\), намерете \(\alpha-\beta\).

▼ Отговор

Тъй като \(17'\lt44'\), заемаме \(1°=60'\): \(56°17'=55°77'\).
\(77'-44'=33'\), \(55°-18°=37°\).
\(\alpha-\beta=\mathbf{37°33'}\)

Задача 3 Лъчът \(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\sphericalangle AOB=68°\). Намерете градусните мерки на \(\sphericalangle AOC\) и \(\sphericalangle BOC\), ако \(\sphericalangle AOC\) е с \(40°\) по-малък от \(\sphericalangle BOC\).

▼ Отговор

\(\sphericalangle AOC+\sphericalangle BOC=68°\) и \(\sphericalangle BOC-\sphericalangle AOC=40°\).
Събираме: \(2\cdot\sphericalangle BOC=108°\Rightarrow\sphericalangle BOC=54°\), \(\sphericalangle AOC=14°\).

Задача 4 Ъгъл с градусна мярка \(150°\) е разделен от свой вътрешен лъч на два ъгъла, мерките на които се отнасят като \(6:9\). На колко градуса е равен всеки от ъглите?

▼ Отговор

Сумата на частите \(6+9=15\). Единица \(=150°\div15=10°\).
По-малкият ъгъл: \(6\cdot10°=\mathbf{60°}\), по-голямият: \(9\cdot10°=\mathbf{90°}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Основни геометрични фигури

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1\(\alpha=27°45'\) и \(\beta=33°28'\). Намерете \(\alpha+\beta\).

\(60°73'\) \(61°13'\) \(60°13'\) \(61°73'\)

2\(\alpha=105°25'\) и \(\beta=35°45'\). Намерете \(\alpha-\beta\).

\(70°40'\) \(69°40'\) \(69°20'\) \(70°20'\)

3\(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\sphericalangle AOB\), \(\sphericalangle AOC=35°\), \(\sphericalangle COB=80°\). Намерете \(\sphericalangle AOB\).

\(68°\) \(115°\) \(45°\) \(105°\)

4Ъгъл \(120°\) е разделен в отношение \(2:3\). По-малкият ъгъл е:

\(40°\) \(48°\) \(60°\) \(50°\)

5\(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\sphericalangle AOB=135°\), \(\sphericalangle COB=70°\). Намерете \(\sphericalangle AOC\).

\(60°\) \(55°\) \(65°\) \(75°\)

6\(\overrightarrow{OB}\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle AOC\), \(\sphericalangle AOB=\frac{5}{9}\sphericalangle BOD\), \(\sphericalangle AOD=140°\). Намерете \(\sphericalangle BOC\).

\(40°\) \(50°\) \(60°\) \(70°\)

7Един градус е равен на:

\(\frac{1}{360}\) от изправения ъгъл \(\frac{1}{180}\) от изправения ъгъл \(\frac{1}{90}\) от изправения ъгъл \(\frac{1}{60}\) от изправения ъгъл

8Колко минути се съдържат в \(1°\)?

\(30'\) \(60'\) \(90'\) \(100'\)

9Точката \(M\) се нарича среда на отсечката \(AB\), когато:

\(M\) лежи на \(AB\) \(M\) е между \(A\) и \(B\) и \(AM=BM\) \(AM+BM=AB\) \(M\) е по-близо до \(A\) отколкото до \(B\)

10Ъглополовящата на ъгъл го разделя на:

два допълнителни ъгъла два равни ъгъла два прави ъгъла два произволни ъгъла

11\(\alpha=120°43'\) и \(\beta=31°52'\). Намерете \(\alpha+\beta\).

\(151°95'\) \(152°35'\) \(153°35'\) \(152°25'\)

12\(\alpha=56°17'\) и \(\beta=18°44'\). Намерете \(\alpha-\beta\).

\(38°27'\) \(37°27'\) \(37°33'\) \(38°33'\)

13\(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\sphericalangle AOB=68°\). \(\sphericalangle AOC\) е с \(40°\) по-малък от \(\sphericalangle BOC\). Намерете \(\sphericalangle AOC\).

\(14°\) \(24°\) \(28°\) \(34°\)

14Ъгъл \(150°\) е разделен в отношение \(6:9\). По-малкият ъгъл е:

\(50°\) \(60°\) \(75°\) \(80°\)

15Изправеният ъгъл има мярка:

\(90°\) \(360°\) \(180°\) \(270°\)

---

Видео уроци

Видео урок — Основни геометрични фигури

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆