Основни геометрични фигури – 7. клас: отсечка, ъгъл, 25 задачи и тест

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 7 клас › Геометрия › Основни геометрични фигури

Основни геометрични фигури
Отсечка, ъгъл и ъглополовяща

Теория, прецизни векторни чертежи и 25 подробно решени задачи (№21–25 с повишена трудност), 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
7. класГеометрия25 решени задачи5 с повишена трудност30 за самостоятелна работаТест: 15 въпроса

Теория: основни геометрични фигури

Точката, правата и равнината са основни понятия в елементарната геометрия. От тях изграждаме лъч, отсечка, ъгъл и други фигури. Ако е необходим по-ранен преговор, използвайте урока за основни геометрични фигури от 5. клас.

Ос, лъч и полуравнина.
  • Ос е права, на която е избрана положителна посока.
  • Точка \(O\) от права я разделя на два противоположни лъча с общо начало \(O\).
  • Права \(p\) в дадена равнина я разделя на две полуравнини; \(p\) е тяхната обща гранична права.
Отсечка и разстояние. Отсечката \(AB\) е частта от правата с краища \(A\) и \(B\), включително всички точки между тях. Дължината на отсечката \(AB\) е разстоянието между точките \(A\) и \(B\). Ако \(M\) е между \(A\) и \(B\), тогава \[ AB=AM+MB. \] Ако \(AM=MB\), точката \(M\) е среда на отсечката \(AB\).
AMBТочка M е среда на отсечката AB.
Нанасяне на отсечка върху лъч. На даден лъч с начало \(O\) дадена отсечка може да се нанесе по единствен начин: съществува точно една точка \(A\) от лъча, за която отсечката \(OA\) е равна на дадената отсечка. Това свойство използваме при сравняване и построяване на отсечки.
Ъгъл. Два лъча с общо начало образуват ъгъл. Общото начало е връх, а лъчите са рамена. При означение \(\angle AOB\) средната буква \(O\) винаги е върхът.
BAO∠AOBЪгъл AOB с връх O и рамене OA и OB.
Видове ъгли. Остър: \(0^\circ<\alpha<90^\circ\); прав: \(\alpha=90^\circ\); тъп: \(90^\circ<\alpha<180^\circ\); изправен: \(\alpha=180^\circ\).
BAO180°Изправен ъгъл AOB.
Градусна мярка. В този урок работим с градуси, минути и секунди: \[ 1^\circ=60',\qquad 1'=60'',\qquad 1^\circ=3600''. \] Един градус е \(\frac{1}{180}\) от изправения ъгъл.
Събиране на части на ъгъл. Ако лъчът \(OC\) е вътрешен за \(\angle AOB\), тогава \[ \angle AOB=\angle AOC+\angle COB. \] Тази зависимост е геометричната основа на голяма част от задачите в урока.
Ъглополовяща. Ъглополовяща на даден ъгъл е лъч с начало във върха, който разделя ъгъла на два равни ъгъла. Например, ако \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB\), то \[ \angle AOC=\angle COB=\frac{1}{2}\,\angle AOB. \] Важно: самата ъглополовяща е лъч, а не отсечка.
BCAOααЛъчът OC е ъглополовяща на ∠AOB; двата получени ъгъла са равни.
Връзка с 6. клас. Средата и дължината на отсечка върху координатна ос се използват и в урока за Декартова координатна система — 6. клас.

Как проверяваме чертежа

Правило за този и следващите геометрични уроци: всеки чертеж се проверява спрямо условието преди решението. Следим: 1) правилния ред на точките и лъчите; 2) коя точка е между кои две; 3) кой лъч е вътрешен за даден ъгъл; 4) къде има равни отсечки или равни ъгли; 5) дали означенията в чертежа съвпадат с условието. Чертежите тук са прерисувани като векторни SVG схеми, така че отношенията и редът на елементите са контролирани. Числените отговори се доказват от условието, а не чрез измерване на картинката.

Чести грешки:

• да се нарече отсечка „ъглополовяща“, вместо лъч;

• при \(\angle AOB\) да се забрави, че \(O\) е върхът;

• при вътрешен лъч да се събират или изваждат грешни ъглови части;

• при изваждане на минути да се „заеме“ \(1^\circ\), но да се добавят не \(60'\), а друга стойност;

• да се вярва на визуалния размер на схематичен чертеж вместо на дадените зависимости.

25 подробно решени задачи с проверен чертеж

№1–6 са запазени от оригиналната публикация, но са математически и графично одитирани. №7–20 развиват основните конструкции. №21–25 са с повишена трудност.

Основни задачи — №1–20

1Събиране на градуси и минутиАко \(\alpha=27^\circ45'\) и \(\beta=33^\circ28'\), намерете \(\alpha+\beta\).
Решение
α=27°45′β=33°28′Дадените ъгли α и β.

Събираме поотделно градусите и минутите:

\[ 27^\circ45'+33^\circ28'=60^\circ73'. \]

Понеже \(73'=60'+13'=1^\circ13'\), получаваме

\[ \boxed{\alpha+\beta=61^\circ13'}. \]
2Изваждане на градуси и минутиАко \(\alpha=105^\circ25'\) и \(\beta=35^\circ45'\), намерете \(\alpha-\beta\).
Решение
α=105°25′β=35°45′Дадените ъгли α и β.

Понеже \(25'<45'\), преобразуваме един градус в \(60'\):

\[ 105^\circ25'=104^\circ85'. \]

Сега изваждаме:

\[ 104^\circ85'-35^\circ45'=69^\circ40'. \]

Проверка: \(35^\circ45'+69^\circ40'=105^\circ25'\).

Отговор: \(\boxed{69^\circ40'}\).

3Сбор на части на ъгълЛъчът \(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\angle AOB\), като \(\angle AOC=35^\circ\) и \(\angle COB=80^\circ\). Намерете \(\angle AOB\).
Решение
BCAO80°35°Лъчът OC лежи между OA и OB; OC е вътрешен за ∠AOB.

Понеже \(OC\) е вътрешен лъч за \(\angle AOB\), той разделя ъгъла на две части:

\[ \angle AOB=\angle AOC+\angle COB. \] \[ \angle AOB=35^\circ+80^\circ=\boxed{115^\circ}. \]
4Разделяне на ъгъл в дадено отношениеЪгъл с мярка \(120^\circ\) е разделен от вътрешен лъч на два ъгъла, чиито мерки се отнасят като \(2:3\). Намерете мерките им.
Решение
BCAO3x2xЧертежът спазва отношението 2:3 и общия ъгъл 120°.

Нека по-малкият ъгъл е \(2x\), а по-големият — \(3x\). Тогава

\[ 2x+3x=120^\circ, \qquad 5x=120^\circ, \qquad x=24^\circ. \]

Следователно:

\[ \boxed{48^\circ\text{ и }72^\circ}. \]
5Разлика на ъглиЛъчът \(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\angle AOB=135^\circ\), а \(\angle COB=70^\circ\). Намерете \(\angle AOC\).
Решение
BCAO70°?OC е вътрешен лъч; общият ъгъл AOB е 135°.

Имаме

\[ \angle AOB=\angle AOC+\angle COB. \]

Затова

\[ \angle AOC=135^\circ-70^\circ=\boxed{65^\circ}. \]
6Ъглополовяща и отношениеЛъчите \(\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OC}\) са вътрешни за \(\angle AOD\), като \(\overrightarrow{OB}\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\). Ако \(\angle AOB=\frac59\angle BOD\) и \(\angle AOD=140^\circ\), намерете \(\angle BOC\).
Решение
DCBAOβααОт лъча OA към OD редът е OA, OB, OC, OD; OB действително дели ∠AOC на две равни части.

Понеже \(OB\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\), нека

\[ \angle AOB=\angle BOC=\alpha. \]

Нека \(\angle COD=\beta\). Тогава

\[ 2\alpha+\beta=140^\circ. \]

Освен това \(\angle BOD=\angle BOC+\angle COD=\alpha+\beta\), затова

\[ \alpha=\frac59(\alpha+\beta). \] \[ 9\alpha=5\alpha+5\beta \quad\Longrightarrow\quad 4\alpha=5\beta \quad\Longrightarrow\quad \beta=\frac45\alpha. \]

Заместваме:

\[ 2\alpha+\frac45\alpha=140^\circ \quad\Longrightarrow\quad \frac{14}{5}\alpha=140^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha=50^\circ. \]

Отговор: \(\boxed{\angle BOC=50^\circ}\).

7Сбор на отсечкиТочката \(M\) е между \(A\) и \(B\). Ако \(AM=7{,}4\) cm и \(MB=5{,}6\) cm, намерете \(AB\).
Решение
AMB7,4 cm5,6 cmM е между A и B.
\[ AB=AM+MB=7{,}4+5{,}6=\boxed{13\text{ cm}}. \]
8Среда на отсечкаТочката \(M\) е среда на отсечката \(AB\), а \(AB=18{,}6\) cm. Намерете \(AM\) и \(MB\).
Решение
AMBM е среда на AB; еднаквите червени щрихи означават равни отсечки.
Понеже \(M\) е среда, \[ AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{18{,}6}{2}=\boxed{9{,}3\text{ cm}}. \]
9Разделяне на отсечка в отношениеТочката \(M\) е между \(A\) и \(B\), \(AM:MB=2:3\) и \(AB=25\) cm. Намерете \(AM\) и \(MB\).
Решение
AMB2x3xОтсечката AB е разделена в отношение 2:3.
Нека \(AM=2x\), \(MB=3x\). Тогава \[ 2x+3x=25,\qquad x=5. \] Следователно \[ \boxed{AM=10\text{ cm},\quad MB=15\text{ cm}}. \]
10ЪглополовящаЛъчът \(\overrightarrow{OC}\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=86^\circ\). Намерете \(\angle AOC\) и \(\angle COB\).
Решение
BCAOααOC е ъглополовяща; двата ъгъла са равни.
Ъглополовящата разделя ъгъла на две равни части: \[ \angle AOC=\angle COB=\frac{86^\circ}{2}=\boxed{43^\circ}. \]
11Три части на един ъгълЛъчите \(OC\) и \(OD\) са вътрешни за \(\angle AOB\) в ред \(OA,OC,OD,OB\). Ако \(\angle AOC=42^\circ\), \(\angle COD=35^\circ\) и \(\angle DOB=28^\circ\), намерете \(\angle AOB\).
Решение
BDCAO28°35°42°От лъча OA към OB редът е OA, OC, OD, OB.
\[ \angle AOB=42^\circ+35^\circ+28^\circ=\boxed{105^\circ}. \]
12Градуси, минути и секундиПресметнете \(42^\circ18'35''+17^\circ56'40''\).
Решение
42°18′35″17°56′40″Двата ъгъла, чиито мерки събираме.
Секундите: \[ 35''+40''=75''=1'15''. \] Минутите: \[ 18'+56'+1'=75'=1^\circ15'. \] Градусите: \[ 42^\circ+17^\circ+1^\circ=60^\circ. \] Следователно \[ \boxed{60^\circ15'15''}. \]
13Изваждане с заеманеПресметнете \(81^\circ12'15''-27^\circ48'50''\).
Решение
81°12′15″27°48′50″Двата ъгъла, чиито мерки изваждаме.
Понеже \(15''<50''\), заемаме \(1'=60''\): \[ 81^\circ12'15''=81^\circ11'75''. \] Понеже \(11'<48'\), заемаме \(1^\circ=60'\): \[ 81^\circ11'75''=80^\circ71'75''. \] Тогава \[ 80^\circ71'75''-27^\circ48'50'' =\boxed{53^\circ23'25''}. \]
14Сума и разлика на два ъгълаВътрешен лъч разделя ъгъл \(98^\circ\) на два ъгъла, като единият е с \(26^\circ\) по-голям от другия. Намерете двата ъгъла.
Решение
BCAOx+26°xДвете части на ъгъла имат сбор 98° и разлика 26°.
Нека по-малкият ъгъл е \(x\), а по-големият — \(x+26^\circ\). Тогава \[ x+(x+26^\circ)=98^\circ, \] \[ 2x=72^\circ,\qquad x=36^\circ. \] Следователно двата ъгъла са \[ \boxed{36^\circ\text{ и }62^\circ}. \]
15Две части на изправен ъгълЛъчите \(OA\) и \(OC\) са противоположни, а \(OB\) е вътрешен лъч на изправения \(\angle AOC\). Ако \(\angle AOB=67^\circ\), намерете \(\angle BOC\).
Решение
CBAO?67°OA и OC са противоположни лъчи, затова ∠AOC е изправен.
Понеже \(\angle AOC=180^\circ\), \[ \angle AOB+\angle BOC=180^\circ. \] Следователно \[ \angle BOC=180^\circ-67^\circ=\boxed{113^\circ}. \]
16Четири лъча с общ връхЛъчите \(OB\) и \(OC\) са вътрешни за \(\angle AOD=150^\circ\) в ред \(OA,OB,OC,OD\). Ако \(\angle AOB=40^\circ\) и \(\angle BOC=35^\circ\), намерете \(\angle COD\).
Решение
DCBAO?35°40°От лъча OA към OD редът е OA, OB, OC, OD.
\[ \angle COD=150^\circ-40^\circ-35^\circ=\boxed{75^\circ}. \]
17Ъгъл между две ъглополовящиЛъчът \(OB\) е вътрешен за \(\angle AOC\), като \(\angle AOB=80^\circ\) и \(\angle BOC=40^\circ\). \(OM\) и \(ON\) са ъглополовящи съответно на \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\). Намерете \(\angle MON\).
Решение
CNBMAO40°80°ON и OM делят съответно 40° и 80° на равни части.
Понеже \(ON\) е ъглополовяща на \(\angle BOC\), \[ \angle NOB=20^\circ. \] Понеже \(OM\) е ъглополовяща на \(\angle AOB\), \[ \angle BOM=40^\circ. \] Затова \[ \angle MON=20^\circ+40^\circ=\boxed{60^\circ}. \]
18Среда и вътрешна точкаТочката \(M\) е среда на \(AB=24\) cm. Точката \(C\) е между \(M\) и \(B\) и \(MC=3\) cm. Намерете \(AC\) и \(CB\).
Решение
AMCBAM=MB=12 cmMC=3 cmM е среда на AB, C е между M и B. Равенството AM=MB е изписано, за да не се обърква с подотсечките MC и CB.
Понеже \(M\) е среда, \[ AM=MB=12\text{ cm}. \] Тогава \[ AC=AM+MC=12+3=\boxed{15\text{ cm}}, \] \[ CB=MB-MC=12-3=\boxed{9\text{ cm}}. \]
19Отсечка върху координатна осНа числова ос точките \(A\) и \(B\) имат координати \(-4\) и \(8\). Намерете \(AB\) и координатата на средата \(M\) на отсечката \(AB\).
Решение
xAMB12 единици−4280Числова ос: A(−4), M(2), B(8); M е среда на AB.
Разстоянието е \[ AB=|8-(-4)|=12. \] Координатата на средата е средноаритметичната: \[ x_M=\frac{-4+8}{2}=2. \]

Отговор: \(\boxed{AB=12,\ x_M=2}\).

20Ъглополовяща и отношение в половин ъгълЛъчът \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=100^\circ\). Лъчът \(OD\) е вътрешен за \(\angle COB\), като \(\angle COD:\angle DOB=2:3\). Намерете \(\angle COD\) и \(\angle DOB\).
Решение
BDCAO3x2x50°OC е ъглополовяща; половината ∠COB е разделена в отношение 2:3.
Понеже \(OC\) е ъглополовяща, \[ \angle COB=50^\circ. \] Нека \(\angle COD=2x\), \(\angle DOB=3x\). Тогава \[ 2x+3x=50^\circ,\qquad x=10^\circ. \] Следователно \[ \boxed{\angle COD=20^\circ,\quad \angle DOB=30^\circ}. \]

Повишена трудност — №21–25

21Ъглополовящи в изправен ъгълЛъчите \(OA\) и \(OC\) са противоположни, а \(OB\) е вътрешен лъч на изправения \(\angle AOC\). \(OM\) и \(ON\) са ъглополовящи съответно на \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\). Докажете, че \(\angle MON=90^\circ\).Повишена трудност
Решение
CNBMAOβαOA и OC са противоположни; OM и ON са ъглополовящи.
Нека \[ \angle AOB=\alpha,\qquad \angle BOC=\beta. \] Понеже \(OA\) и \(OC\) са противоположни, \[ \alpha+\beta=180^\circ. \] Ъглополовящите дават \[ \angle MOB=\frac{\alpha}{2},\qquad \angle BON=\frac{\beta}{2}. \] Следователно \[ \angle MON=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2} =\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{180^\circ}{2} =\boxed{90^\circ}. \]
22Две последователни ъглополовящиЛъчът \(OB\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\), а \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle BOD\). Ако \(\angle AOD=132^\circ\), намерете \(\angle AOB\), \(\angle BOC\) и \(\angle COD\).Повишена трудност
Решение
DCBAOxxxОт двете условия за ъглополовящи трите последователни ъглови части са равни.
От \(OB\) ъглополовяща на \(\angle AOC\): \[ \angle AOB=\angle BOC. \] От \(OC\) ъглополовяща на \(\angle BOD\): \[ \angle BOC=\angle COD. \] Следователно трите ъгъла са равни. Нека всеки е \(x\). Тогава \[ 3x=132^\circ,\qquad x=44^\circ. \]

Отговор: \(\boxed{44^\circ,44^\circ,44^\circ}\).

23Среди на части от отсечкаТочката \(C\) е между \(A\) и \(B\), \(AB=30\) cm и \(AC=18\) cm. \(M\) е среда на \(AC\), а \(N\) е среда на \(CB\). Намерете \(MN\).Повишена трудност
Решение
AMCNBM е среда на AC, а N е среда на CB. Една червена чертичка означава равенство в AC; две — равенство в CB.
Имаме \[ CB=AB-AC=30-18=12\text{ cm}. \] Понеже \(M\) е среда на \(AC\), \[ MC=9\text{ cm}. \] Понеже \(N\) е среда на \(CB\), \[ CN=6\text{ cm}. \] Тъй като редът е \(A-M-C-N-B\), \[ MN=MC+CN=9+6=\boxed{15\text{ cm}}. \]
24Четири ъгъла в изправен ъгълИзправен ъгъл е разделен от три вътрешни лъча на четири последователни части в отношение \(2:3:4:6\). Намерете мерките им.Повишена трудност
Решение
EDCBAO6x4x3x2xЧетирите части запълват изправен ъгъл от 180°.
Сборът на частите е \[ 2+3+4+6=15. \] Следователно една част е \[ x=\frac{180^\circ}{15}=12^\circ. \] Така получаваме \[ \boxed{24^\circ,\ 36^\circ,\ 48^\circ,\ 72^\circ}. \]
25Ъглополовяща и вътрешно отношениеЛъчът \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=150^\circ\). Лъчът \(OE\) е вътрешен за \(\angle AOC\) и \(\angle AOE:\angle EOC=2:3\). Намерете \(\angle AOE\), \(\angle EOC\) и \(\angle EOB\).Повишена трудност
Решение
BCEAO75°3x2xOC е ъглополовяща на 150°; половината AOC е разделена в отношение 2:3.
Понеже \(OC\) е ъглополовяща, \[ \angle AOC=\angle COB=75^\circ. \] Нека \(\angle AOE=2x\), \(\angle EOC=3x\). Тогава \[ 2x+3x=75^\circ,\qquad x=15^\circ. \] Следователно \[ \angle AOE=30^\circ,\qquad \angle EOC=45^\circ. \] Освен това \[ \angle EOB=\angle EOC+\angle COB=45^\circ+75^\circ=120^\circ. \]

Отговор: \(\boxed{30^\circ,\ 45^\circ,\ 120^\circ}\).

30 задачи за самостоятелна работа

№1–4 са запазени от оригиналния урок. Всяка задача има собствен проверен схематичен чертеж. №26–30 са за надграждане.

Основна практика — №1–25

Задача 1Ако \(\alpha=120^\circ43'\) и \(\beta=31^\circ52'\), намерете \(\alpha+\beta\).
α=120°43′β=31°52′Дадените ъгли α и β.
Отговор и насока
\[ 120^\circ43'+31^\circ52'=151^\circ95'= \boxed{152^\circ35'}. \]
Задача 2Ако \(\alpha=56^\circ17'\) и \(\beta=18^\circ44'\), намерете \(\alpha-\beta\).
α=56°17′β=18°44′Дадените ъгли α и β.
Отговор и насока
\[ 56^\circ17'=55^\circ77', \] \[ 55^\circ77'-18^\circ44'=\boxed{37^\circ33'}. \]
Задача 3Лъчът \(OC\) е вътрешен за \(\angle AOB=68^\circ\). Намерете \(\angle AOC\) и \(\angle BOC\), ако \(\angle AOC\) е с \(40^\circ\) по-малък от \(\angle BOC\).
BCAOx+40°xOC е вътрешен за ∠AOB.
Отговор и насока
Нека \(\angle AOC=x\). Тогава \(\angle BOC=x+40^\circ\), затова \[ x+(x+40^\circ)=68^\circ. \] Получаваме \(\boxed{\angle AOC=14^\circ,\ \angle BOC=54^\circ}\).
Задача 4Ъгъл \(150^\circ\) е разделен от вътрешен лъч на два ъгъла в отношение \(6:9\). Намерете мерките им.
BCAO9x6xДвата ъгъла са в отношение 6:9.
Отговор и насока
\[ 6x+9x=150^\circ,\qquad x=10^\circ. \] Следователно \(\boxed{60^\circ\text{ и }90^\circ}\).
Задача 5Точката \(M\) е между \(A\) и \(B\). Ако \(AM=8{,}7\) cm и \(MB=6{,}3\) cm, намерете \(AB\).
AMB8,7 cm6,3 cmM е между A и B.
Отговор и насока
\(\boxed{AB=15\text{ cm}}\).
Задача 6Точката \(M\) е среда на \(AB=27{,}4\) cm. Намерете \(AM\).
AMBM е среда на AB.
Отговор и насока
\(\boxed{AM=13{,}7\text{ cm}}\).
Задача 7Точката \(M\) е между \(A\) и \(B\), \(AB=32\) cm и \(AM=11\) cm. Намерете \(MB\).
AMBAM=11 cmAB=32 cmM е между A и B.
Отговор и насока
\(\boxed{MB=21\text{ cm}}\).
Задача 8Точката \(M\) разделя \(AB=40\) cm в отношение \(AM:MB=3:5\). Намерете \(AM\) и \(MB\).
AMB3x5xAB е разделена в отношение 3:5.
Отговор и насока
\(\boxed{AM=15\text{ cm},\ MB=25\text{ cm}}\).
Задача 9Точката \(M\) е среда на \(AB=20\) cm. Точката \(C\) е между \(A\) и \(M\), а \(AC=4\) cm. Намерете \(CM\).
ACMBAM=MBAC=4 cmM е среда на AB, а C е между A и M; чертежът показва даденото AC=4 cm.
Отговор и насока
\(\boxed{CM=6\text{ cm}}\).
Задача 10На числова ос \(x_A=-7\), \(x_B=5\). Намерете \(AB\) и координатата на средата \(M\).
xAMB−7?50Числова ос: A(−7), B(5); M е средата с неизвестна координата.
Отговор и насока
\(\boxed{AB=12,\ x_M=-1}\).
Задача 11Лъчът \(OC\) е вътрешен за \(\angle AOB\), \(\angle AOC=52^\circ\), \(\angle COB=39^\circ\). Намерете \(\angle AOB\).
BCAO39°52°OC е вътрешен за ∠AOB.
Отговор и насока
\(\boxed{91^\circ}\).
Задача 12\(\angle AOB=146^\circ\), а вътрешният лъч \(OC\) определя \(\angle AOC=67^\circ\). Намерете \(\angle COB\).
BCAO?67°OC е вътрешен за ∠AOB.
Отговор и насока
\(\boxed{79^\circ}\).
Задача 13Лъчите \(OA\) и \(OC\) са противоположни. Ако \(\angle AOB=124^\circ\), намерете \(\angle BOC\).
CBAO?124°AOC е изправен ъгъл.
Отговор и насока
\(\boxed{56^\circ}\).
Задача 14Лъчът \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=114^\circ\). Намерете \(\angle AOC\).
BCAOααOC е ъглополовяща.
Отговор и насока
\(\boxed{57^\circ}\).
Задача 15Ъгъл \(135^\circ\) е разделен в отношение \(4:5\). Намерете двата ъгъла.
BCAO5x4xДвете части са в отношение 4:5.
Отговор и насока
\(\boxed{60^\circ\text{ и }75^\circ}\).
Задача 16Ъгъл \(92^\circ\) е разделен на два ъгъла, които се различават с \(18^\circ\). Намерете ги.
BCAOx+18°xСбор 92°, разлика 18°.
Отговор и насока
\(\boxed{37^\circ\text{ и }55^\circ}\).
Задача 17Пресметнете \(63^\circ47'+18^\circ38'\).
63°47′18°38′Събиране на две ъглови мерки.
Отговор и насока
\(\boxed{82^\circ25'}\).
Задача 18Пресметнете \(93^\circ12'-47^\circ56'\).
93°12′47°56′Изваждане на две ъглови мерки.
Отговор и насока
\(\boxed{45^\circ16'}\).
Задача 19Пресметнете \(24^\circ59'45''+15^\circ03'30''\).
24°59′45″15°03′30″Събиране на градуси, минути и секунди.
Отговор и насока
\(\boxed{40^\circ03'15''}\).
Задача 20Лъчът \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=126^\circ\). Лъчът \(OD\) е вътрешен за \(\angle AOC\) и \(\angle AOD:\angle DOC=1:2\). Намерете \(\angle AOD\).
BCDAO2xxOC е ъглополовяща на ∠AOB; OD е между OA и OC и разделя ∠AOC в отношение 1:2.
Отговор и насока
\(\angle AOC=63^\circ\). От \(x+2x=63^\circ\) следва \(\boxed{\angle AOD=21^\circ}\).
Задача 21Лъчът \(OB\) е вътрешен за \(\angle AOC\), като \(\angle AOB=70^\circ\) и \(\angle BOC=50^\circ\). \(OM\) и \(ON\) са ъглополовящи съответно на \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\). Намерете \(\angle MON\).
CNBMAO50°70°ON и OM са ъглополовящи.
Отговор и насока
\(\boxed{60^\circ}\), защото \(25^\circ+35^\circ=60^\circ\).
Задача 22Изправен ъгъл е разделен от вътрешен лъч в отношение \(2:7\). Намерете двата ъгъла.
BCAO7x2xДвете части запълват 180°.
Отговор и насока
\(\boxed{40^\circ\text{ и }140^\circ}\).
Задача 23Изправен ъгъл е разделен от три вътрешни лъча на четири последователни части в отношение \(1:2:3:4\). Намерете мерките им.
EDCBAO4x3x2xxЧетирите части образуват изправен ъгъл.
Отговор и насока
\(\boxed{18^\circ,\ 36^\circ,\ 54^\circ,\ 72^\circ}\).
Задача 24Точката \(C\) е между \(A\) и \(B\), \(AB=34\) cm, \(AC=20\) cm. \(M\) е среда на \(AC\), а \(N\) е среда на \(CB\). Намерете \(MN\).
AMCNBM и N са среди съответно на AC и CB. Различните щрихи разграничават двете двойки равни отсечки.
Отговор и насока
\(\boxed{MN=17\text{ cm}}\).
Задача 25Лъчът \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=144^\circ\). В \(\angle AOC\) лъчът \(OD\) го разделя в отношение \(\angle AOD:\angle DOC=5:7\). Намерете \(\angle AOD\) и \(\angle DOC\).
BCDAO7x5xOC е ъглополовяща на ∠AOB; OD разделя ∠AOC в отношение 5:7.
Отговор и насока
\(\boxed{\angle AOD=30^\circ,\ \angle DOC=42^\circ}\).

За надграждане — №26–30

Задача 26 За надгражданеЛъчът \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=130^\circ\). Лъчът \(OD\) е вътрешен за \(\angle AOC\) и \(\angle AOD:\angle DOC=3:2\). Намерете двата ъгъла.
BCDAO2x3xOC е ъглополовяща; OD е между OA и OC.
Отговор и насока
\(\boxed{\angle AOD=39^\circ,\ \angle DOC=26^\circ}\).
Задача 27 За надгражданеЛъчите \(OA\) и \(OC\) са противоположни, а \(OB\) е вътрешен лъч на изправения \(\angle AOC\). \(OM\) и \(ON\) са ъглополовящи съответно на \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\). Докажете, че \(OM\perp ON\).
CNBMAOβαOA и OC са противоположни; OM и ON са ъглополовящи на двете части на изправения ъгъл.
Отговор и насока
Нека \(\alpha=\angle AOB\) и \(\beta=\angle BOC\). Понеже \(OA\) и \(OC\) са противоположни, \(\alpha+\beta=180^\circ\). Тогава \(\angle MOB=\frac{\alpha}{2}\) и \(\angle BON=\frac{\beta}{2}\), затова \(\angle MON=\frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ\). Следователно \(\boxed{OM\perp ON}\).
Задача 28 За надгражданеТочката \(C\) е между \(A\) и \(B\), \(AB=42\) cm и \(AC=26\) cm. \(M\) е среда на \(AC\), а \(N\) — среда на \(CB\). Намерете \(MN\).
AMCNBM и N са среди на различните части AC и CB.
Отговор и насока
\(\boxed{MN=21\text{ cm}}\).
Задача 29 За надгражданеЛъчът \(OB\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\), а \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle BOD\). Ако \(\angle AOD=126^\circ\), намерете \(\angle AOB\), \(\angle BOC\) и \(\angle COD\).
DCBAOxxxТрите последователни ъглови части са равни.
Отговор и насока
\(\boxed{42^\circ,\ 42^\circ,\ 42^\circ}\).
Задача 30 За надгражданеЛъчът \(OC\) е ъглополовяща на \(\angle AOB=137^\circ30'\). В \(\angle AOC\) лъчът \(OD\) го разделя в отношение \(\angle AOD:\angle DOC=2:3\). Намерете \(\angle AOD\) и \(\angle DOC\).
BCDAO3x2xOC е ъглополовяща; OD е между OA и OC.
Отговор и насока
\(\angle AOC=68^\circ45'\). Пет части дават по \(13^\circ45'\). Следователно \(\boxed{\angle AOD=27^\circ30',\ \angle DOC=41^\circ15'}\).

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки. Това е учебна самооценка.

Скала: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; под 15 т. → 2.

Тест: Основни геометрични фигури
Отговорете на всички въпроси и натиснете „Край на теста“.
1\(\alpha=27°45'\) и \(\beta=33°28'\). Намерете \(\alpha+\beta\).
2\(\alpha=105°25'\) и \(\beta=35°45'\). Намерете \(\alpha-\beta\).
3\(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\angle AOB\), \(\angle AOC=35°\), \(\angle COB=80°\). Намерете \(\angle AOB\).
4Ъгъл \(120°\) е разделен в отношение \(2:3\). По-малкият ъгъл е:
5\(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\angle AOB=135°\), \(\angle COB=70°\). Намерете \(\angle AOC\).
6\(\overrightarrow{OB}\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\), \(\angle AOB=\frac{5}{9}\angle BOD\), \(\angle AOD=140°\). Намерете \(\angle BOC\).
7Един градус е равен на:
8Колко минути се съдържат в \(1°\)?
9Точката \(M\) се нарича среда на отсечката \(AB\), когато:
10Ъглополовящата на ъгъл го разделя на:
11\(\alpha=120°43'\) и \(\beta=31°52'\). Намерете \(\alpha+\beta\).
12\(\alpha=56°17'\) и \(\beta=18°44'\). Намерете \(\alpha-\beta\).
13\(\overrightarrow{OC}\) е вътрешен за \(\angle AOB=68°\). \(\angle AOC\) е с \(40°\) по-малък от \(\angle BOC\). Намерете \(\angle AOC\).
14Ъгъл \(150°\) е разделен в отношение \(6:9\). По-малкият ъгъл е:
15Изправеният ъгъл има мярка:

Видео урок

Видео урок — Основни геометрични фигури

Допълнителни тестове от оригиналната публикация

Бележка: Двата Google Forms теста по-долу са по алгебра (едночлени и многочлени). Те са запазени без промяна като част от оригиналната публикация, но не са част от текущата геометрична тема.

Тест: Едночлен, действия с едночлени
docs.google.com/forms →
Тест: Многочлени, действия с многочлени
docs.google.com/forms →

Свързани уроци и материали

Основните фигури са езикът, върху който се изгражда цялата планиметрия. Полезно е да се свържат новите понятия с вече изученото в 5.–6. клас и със следващата тема в 7. клас.

44Основни геометрични фигури — 5. класОтсечка, лъч, видове ъгли, перпендикулярни прави и разстояние от точка до права — всяка задача с чертеж.Преглед на урока → 7Декартова координатна система — 6. класКоординати на точки, дължина и среда на отсечка върху координатна система.Преглед на урока → 45Триъгълник. Елементи и видове — 5. класСледваща естествена употреба на отсечки и ъгли в геометрични фигури.Преглед на урока → 16Съседни и противоположни ъгли — 7. класСледващата тема: ъгли при пресичане на прави и основните им свойства.Преглед на урока →

Геометричен преговор

За чертежи и основни фигури започнете с урока от 5. клас; за отсечки по координати използвайте Декартовата координатна система от 6. клас.

Използвана литература

Запазена е литературата от първоначалната публикация. Старите растерни чертежи са заменени с контролирани векторни SVG чертежи; новите задачи и решения са самостоятелно съставени за настоящата редакция.

  1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
  2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
  3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
  4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
  5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
  6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
  7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
  8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
  9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
  10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
  11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
  12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити
  • ›НВО по математика след 7 клас
  • ›НВО по математика след 10 клас
  • ›Кандидатстудентски изпити по математика
  • ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение
  • ›Усвояване на текущия учебен материал
  • ›Подготовка по алгебра и геометрия
✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Коментари

Публикуване на коментар

Популярни публикации от този блог

Безплатен сборник по математика – пълен преговор преди 7. клас

Безплатен сборник по математика – пълен преговор преди 7. клас 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ Математика › Безплатни материали › Подготовка преди 7. клас Безплатен сборник по математика Пълен преговор преди 7. клас Преговор на основните знания и умения от 5. и 6. клас: необходима теория, решени примери, задачи за самостоятелна работа, отговори и финален диагностичен тест. 5. клас 6. клас 7. клас НВО Безплатен сборник Подготвих то...
Прочетете още

50 безплатни работни листа за 1. клас – Събиране и изваждане до 20 без преминаване

Изображение
Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 1. клас • Пакет 4 ◆ 10 теми • 200 задачи • по 5 варианта ◆ Събиране и изваждане до 20 без преминаване • PDF за разпечатване ◆ Безплатни материали по математика ◆ 50 работни листа за 1. клас • Пакет 4 ◆ 10 теми • 200 задачи • по 5 варианта ◆ Събиране и изваждане до 20 без преминаване • PDF за разпечатване ◆ Математика › 1. клас › Безплатни материали › Работни листове • Пакет 4 50 безплатни работни листа за 1. клас Пакет 4: Събиране и изваждане до 20 без преминаване Събиране и изваждане до 20 без преминаване на десетицата, събираемо и сбор, сра...
Прочетете още

Безплатен сборник с 10 входни нива по математика за 7. клас

Изображение
Безплатни материали по математика ◆ 10 входни нива за 7. клас ◆ 5 варианта със задачи със свободен отговор + 5 теста ◆ 150 задачи • отговори • ясна скала за оценяване ◆ Безплатни материали по математика ◆ 10 входни нива за 7. клас ◆ 5 варианта със задачи със свободен отговор + 5 теста ◆ 150 задачи • отговори • ясна скала за оценяване ◆ Математика › 7. клас › Безплатни материали › Входно ниво Безплатен сборник по математика 10 примерни входни нива за 7. клас Преговор и диагностика на знанията от 6. клас: 5 варианта със задачи със свободен отговор и 5 тестови варианта, общо 150 задачи, ясни критерии за оценяване и отговори. ...
Прочетете още