Цели изрази – едночлени и многочлени, 7. клас: 25 задачи и тест

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Цели изрази

Цели изрази
Едночлени и многочлени

Определения, нормален вид, степен и действия — 25 подробно решени задачи (№21–25 с повишена трудност), 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

7. клас25 решени задачи5 с повишена трудност30 за самостоятелна работаТест: 15 въпроса

В този урок

Теория25 решени задачиЗадачи 21–2530 за самостоятелна работаТестВидеоуроциСвързани уроци

Теория: едночлени и многочлени

Цял рационален израз е рационален израз, в който променливите не участват в знаменател. В училищните задачи от тази тема той се изгражда чрез събиране, изваждане, умножение и степени с неотрицателни цели показатели. Ще работим с едночлени и многочлени и ще ги преобразуваме до нормален вид.

Едночлен. Едночлен е произведение на число и степени на променливи с неотрицателни цели степенни показатели. Числата и отделните променливи също са едночлени. Нулата е нулев едночлен; в този урок не определяме степен на нулевия едночлен.

Нормален вид на едночлен. Числовите множители се умножават в един коефициент, а произведенията от еднакви променливи се записват като степени. Например: \[ 3x\cdot x\cdot y\cdot4\cdot y\cdot z=12x^2y^2z. \] Правилата за степените са пряко продължение на уроците от 6. клас за степенуване с естествен показател и степенуване на произведение, частно и степен.

Коефициент и степен на едночлен. В нормалния вид на едночлен числовият множител е неговият числов коефициент. Степента на ненулев едночлен е сборът от степенните показатели на всички променливи в него. Ненулева константа е едночлен от степен \(0\).

Когато има параметър. Ако разглеждаме многочлен по променливата \(x\), а \(a\) е параметър, коефициентите пред степените на \(x\) могат да съдържат \(a\). Например в \(P(x)=ax^2+(a-1)x+3\) коефициентът пред \(x^2\) е \(a\). При конкретна стойност на параметъра водещ коефициент може да стане нула и тогава степента на многочлена може да се понижи.

Подобни едночлени. Два едночлена са подобни, ако имат една и съща буквена част в нормален вид. При привеждане на подобни едночлени събираме или изваждаме само коефициентите им. Неподобните членове не могат да се слеят в един едночлен.

Действия с коефициентите. При събиране и изваждане на подобни членове използваме правилата за събиране и изваждане на рационални числа, а при умножение и деление — правилата за умножение и деление на рационални числа.

Многочлен. Многочлен е сбор от едночлени. Той е в нормален вид, когато всеки едночлен е в нормален вид и няма подобни членове, които още могат да се приведат. При многочлен по една променлива \(x\), записан като \(a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\), числата или параметричните изрази \(a_n,\ldots,a_0\) са неговите коефициенти.

Степен на многочлен. Степента на ненулев многочлен в нормален вид е най-голямата степен сред неговите едночлени. За нулевия многочлен степен не определяме в рамките на този урок.

Действия с многочлени.

• при събиране и изваждане привеждаме подобните членове;
• при умножение на едночлен по многочлен използваме разпределителното свойство;
• при умножение на два многочлена умножаваме всеки член от първия по всеки член от втория и след това привеждаме подобните членове.

Разпределителното свойство е познато още от 5. клас — при нужда преговорете свойствата на умножението.

Полезно наблюдение. Ако \(P(x)\) е многочлен на една променлива, сборът на коефициентите му е \(P(1)\). Това позволява в някои задачи да избегнем дълго разкриване на скоби.

Чести грешки:

• да се събират неподобни едночлени;

• при умножение да се умножи само първият член в скобите;

• да се забрави смяната на всички знаци при изваждане на многочлен;

• да се обърка степента на едночлен със степенния показател само на една променлива;

• при параметър да не се уточни спрямо коя променлива се разглежда степента.

Преговор от 5.–6. клас: най-полезните основи за този урок са степенуването, умножението и делението на рационални числа и алгебричният сбор на рационални числа.

---

25 подробно решени и обяснени задачи

№1–9 са запазени от първоначалната публикация и са проверени и редактирани. №10–20 развиват системно основните действия. №21–25 са с повишена трудност.

Основни понятия и действия — задачи 1–20

1Нормален вид на многочленНамерете нормалния вид на многочлена \((y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3\).▼

Решение

Разкриваме скобите:

\[ (y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3 =x^3y^3+3y^4+3x^4+9xy-x^3y^3. \]

Привеждаме подобните едночлени:

\[ 3x^4+3y^4+9xy. \]

Отговор: \(\boxed{3x^4+3y^4+9xy}\).

2Тъждествено опростяванеПресметнете стойността на израза \(4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x)\) при \(x=1{,}01\).▼

Решение

Преди да заместим \(x=1{,}01\), опростяваме:

\[ 4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x) =12x^3+32x^2-12x^3-32x^2=0. \]

Изразът е тъждествено равен на \(0\), следователно стойността му е \(0\) при всяко допустимо \(x\).

Отговор: \(\boxed{0}\).

3Нормален вид с параметърПриведете многочлена \(A=4x-4a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a\) в нормален вид (а е параметър).▼

Решение

Тъй като \(a\) е параметър, подреждаме многочлена по степените на променливата \(x\):

\[ A=-x^3+3ax^2+(4-3a^2)x+(a^3-4a). \]

Отговор: \(\boxed{-x^3+3ax^2+(4-3a^2)x+a^3-4a}\).

4Параметър и липсващ членДаден е многочленът \(A=3x^3-ax^2+ax+5x-2a+1\).
а) Приведете в нормален вид.
б) За коя стойност на \(a\) многочленът няма член от първа степен?▼

Решение

а) Събираме членовете от първа степен:

\[ A=3x^3-ax^2+(a+5)x+(-2a+1). \]

б) За да няма член от първа степен, коефициентът пред \(x\) трябва да е нула:

\[ a+5=0\quad\Longrightarrow\quad a=-5. \]

Отговор: \(\boxed{a=-5}\).

5Събиране на многочлениНамерете сбора на многочлените \(u=6xy^2+5x+7y-3\) и \(v=5xy^2-3x-5y+3\).▼

Решение

Събираме съответните подобни едночлени:

\[ u+v=(6+5)xy^2+(5-3)x+(7-5)y+(-3+3), \] \[ u+v=11xy^2+2x+2y. \]

Отговор: \(\boxed{11xy^2+2x+2y}\).

6Нормален вид и числена стойностДаден е изразът \(A=(x-y)(x^3+xy-y)-(x^2-1)(x-y^2+2)+x(y+y^2)\).
а) Приведете в нормален вид.
б) Намерете стойността при \(x=\dfrac{(-2)^3\cdot(-27)^6}{9^9\cdot8}\) и \(\dfrac{3}{4}:\dfrac{9}{8}=y:\dfrac{1}{2}\).▼

Решение

а) Разкриваме последователно скобите:

\[ (x-y)(x^3+xy-y) =x^4+x^2y-xy-x^3y-xy^2+y^2, \] \[ -(x^2-1)(x-y^2+2) =-x^3+x^2y^2-2x^2+x-y^2+2. \]

Добавяме \(x(y+y^2)=xy+xy^2\) и привеждаме подобните членове:

\[ A=x^4-x^3y-x^3+x^2y^2+x^2y-2x^2+x+2. \]

б) Намираме \(x\):

\[ x=\frac{(-2)^3(-27)^6}{9^9\cdot8} =-\frac{2^3\cdot3^{18}}{3^{18}\cdot2^3}=-1. \]

От пропорцията

\[ \frac34:\frac98=y:\frac12 \]

получаваме

\[ \frac23=2y\quad\Longrightarrow\quad y=\frac13. \]

Заместваме \(x=-1\), \(y=\frac13\):

\[ A=\frac{16}{9}. \]

Отговор: \(\boxed{\frac{16}{9}}\).

7Независимост от променливатаДокажете, че стойността на \(A=b(b-2x)+x(x+b)-bx\) при \(b=x+3\) не зависи от \(x\).▼

Решение

Разкриваме скобите:

\[ A=b^2-2bx+x^2+bx-bx=x^2-2bx+b^2=(x-b)^2. \]

При \(b=x+3\):

\[ A=(x-(x+3))^2=(-3)^2=9. \]

Получената стойност не съдържа \(x\).

Отговор: \(\boxed{A=9}\) за всяко \(x\).

8Сбор на коефициентитеДадени са \(M=(x-a)^2-ax(x+1)\) и \(N=a(x^2+a)\). За коя стойност на \(a\) сборът от коефициентите на \(M-N\) е \(-9\)?▼

Решение

Образуваме разликата:

\[ M-N=(x-a)^2-ax(x+1)-a(x^2+a). \]

Разкриваме скобите и привеждаме подобните членове:

\[ M-N=(1-2a)x^2-3ax. \]

Сборът на коефициентите на многочлен в \(x\) се получава и като поставим \(x=1\). Тук той е

\[ (1-2a)-3a=1-5a. \]

По условие:

\[ 1-5a=-9\quad\Longrightarrow\quad a=2. \]

Отговор: \(\boxed{a=2}\).

9Параметър и коефициентЗа коя стойност на параметъра \(b\) многочленът \((x^2-3bx+b)(x^2-2x+3)\) не съдържа член с \(x^2\)?▼

Решение

Разкриваме произведението:

\[ (x^2-3bx+b)(x^2-2x+3) =x^4+(-2-3b)x^3+(3+7b)x^2-11bx+3b. \]

За да няма член с \(x^2\), неговият коефициент трябва да е нула:

\[ 3+7b=0\quad\Longrightarrow\quad b=-\frac37. \]

Отговор: \(\boxed{b=-\frac37}\).

10Нормален вид на едночленПриведете в нормален вид едночлена \(\left(-\dfrac34a^2b\right)\cdot(8ab^3c^2)\). Посочете коефициента и степента му, ако всички букви са променливи.▼

Решение

Умножаваме числовите множители и събираме степенните показатели при еднакви основи:

\[ -\frac34\cdot8=-6,\qquad a^2\cdot a=a^3,\qquad b\cdot b^3=b^4. \]

Следователно

\[ \left(-\frac34a^2b\right)(8ab^3c^2)=-6a^3b^4c^2. \]

Коефициентът е \(-6\), а степента е \(3+4+2=9\).

Отговор: \(\boxed{-6a^3b^4c^2}\), коефициент \(\boxed{-6}\), степен \(\boxed{9}\).

11Привеждане на подобни едночлениОпростете \(7x^3y-5xy^3+2x^3y+4xy^3\).▼

Решение

Групираме подобните едночлени:

\[ (7x^3y+2x^3y)+(-5xy^3+4xy^3). \]

Получаваме

\[ 9x^3y-xy^3. \]

Отговор: \(\boxed{9x^3y-xy^3}\).

12Събиране на многочлениДадени са \(A=4x^3-2x^2+5x-7\) и \(B=-x^3+3x^2-4x+2\). Намерете \(A+B\).▼

Решение

Събираме членовете с еднакви степени на \(x\):

\[ A+B=(4-1)x^3+(-2+3)x^2+(5-4)x+(-7+2). \]

Следователно

\[ A+B=3x^3+x^2+x-5. \]

Отговор: \(\boxed{3x^3+x^2+x-5}\).

13Изваждане на многочлениДадени са \(P=5x^4-x^2+3x-8\) и \(Q=2x^4+4x^2-x+5\). Намерете \(P-Q\).▼

Решение

Поставяме скоби около втория многочлен и сменяме знаците на всичките му членове:

\[ P-Q=5x^4-x^2+3x-8-(2x^4+4x^2-x+5). \]

Така

\[ P-Q=3x^4-5x^2+4x-13. \]

Отговор: \(\boxed{3x^4-5x^2+4x-13}\).

14Умножение на многочлен с едночленИзвършете умножението \(-2x^2y(3xy^2-4x^2+5y)\).▼

Решение

Умножаваме едночлена по всеки член на многочлена:

\[ -2x^2y\cdot3xy^2=-6x^3y^3, \] \[ -2x^2y\cdot(-4x^2)=8x^4y, \] \[ -2x^2y\cdot5y=-10x^2y^2. \]

Следователно

\[ 8x^4y-6x^3y^3-10x^2y^2. \]

Отговор: \(\boxed{8x^4y-6x^3y^3-10x^2y^2}\).

15Умножение на два многочленаПриведете в нормален вид \((2x-3)(x^2+x-4)\).▼

Решение

Умножаваме всеки член от първата скоба по всеки член от втората:

\[ (2x-3)(x^2+x-4) =2x^3+2x^2-8x-3x^2-3x+12. \]

Привеждаме подобните членове:

\[ 2x^3-x^2-11x+12. \]

Отговор: \(\boxed{2x^3-x^2-11x+12}\).

16Тъждествено опростяванеДокажете, че стойността на \((x+2)(x^2-2x+3)-x(x^2-1)\) не зависи от \(x\).▼

Решение

Разкриваме първото произведение:

\[ (x+2)(x^2-2x+3)=x^3-x+6. \]

Второто произведение е

\[ x(x^2-1)=x^3-x. \]

Следователно

\[ (x^3-x+6)-(x^3-x)=6. \]

Отговор: изразът е тъждествено равен на \(\boxed{6}\).

17Сбор на коефициентитеБез да разкривате изцяло скобите, намерете сбора на коефициентите на \(P(x)=(2x-1)(x^2+3x-4)+5x^2-2\).▼

Решение

За многочлен \(P(x)\) сборът на коефициентите е \(P(1)\).

\[ P(1)=(2-1)(1+3-4)+5-2. \]

Първата скоба е \(0\), затова

\[ P(1)=3. \]

Отговор: \(\boxed{3}\).

18Параметър и липсващ членПриведете в нормален вид \(P(x)=(x^2+ax+2)(x-3)+2x^2\). За коя стойност на параметъра \(a\) няма член с \(x^2\)?▼

Решение

Разкриваме скобите:

\[ P=x^3-3x^2+ax^2-3ax+2x-6+2x^2. \]

Привеждаме подобните членове:

\[ P=x^3+(a-1)x^2+(2-3a)x-6. \]

Членът с \(x^2\) липсва, когато

\[ a-1=0. \]

Отговор: \(\boxed{a=1}\).

19Сбор на коефициентите и степенЗа коя стойност на параметъра \(a\) сборът на коефициентите на \(P(x)=(a+2)x^3+(3a-1)x^2+(a-4)x+7\) е \(-6\)? Каква е степента на получения многочлен?▼

Решение

Сборът на коефициентите е \(P(1)\):

\[ P(1)=(a+2)+(3a-1)+(a-4)+7=5a+4. \]

По условие

\[ 5a+4=-6\quad\Longrightarrow\quad a=-2. \]

При \(a=-2\) коефициентът пред \(x^3\) става \(0\), а коефициентът пред \(x^2\) е

\[ 3(-2)-1=-7\ne0. \]

Следователно многочленът е от втора степен.

Отговор: \(\boxed{a=-2}\), степен \(\boxed{2}\).

20Деление на едночлениОпростете \(\dfrac{(-3x^2y)^2\cdot2xy^3}{6x^2y^2}\), като посочите необходимите ограничения.▼

Решение

За да е определено делението, трябва \(x\ne0\) и \(y\ne0\).

Степенуваме и умножаваме в числителя:

\[ (-3x^2y)^2\cdot2xy^3 =9x^4y^2\cdot2xy^3 =18x^5y^5. \]

Делим:

\[ \frac{18x^5y^5}{6x^2y^2}=3x^3y^3. \]

Отговор: \(\boxed{3x^3y^3}\), при \(x\ne0,\ y\ne0\).

Задачи с повишена трудност — №21–25

21Степен на многочлен с параметърОпределете степента на \(P_m(x)=(m-1)(m+2)x^4+(m-1)x^3+(m+2)x^2+1\) в зависимост от реалния параметър \(m\).Повишена трудност▼

Решение

Степента се определя от първия ненулев коефициент, започвайки от най-високата степен.

1) Ако \(m\ne1\) и \(m\ne-2\): коефициентът пред \(x^4\), \((m-1)(m+2)\), е ненулев. Следователно степента е \(4\).

2) Ако \(m=-2\): членът с \(x^4\) отпада, но коефициентът пред \(x^3\) е

\[ m-1=-3\ne0, \]

затова степента е \(3\).

3) Ако \(m=1\): членовете с \(x^4\) и \(x^3\) отпадат, а коефициентът пред \(x^2\) е

\[ m+2=3\ne0. \]

Затова степента е \(2\).

Отговор: \(\deg P=4\) при \(m\ne1,-2\); \(\deg P=3\) при \(m=-2\); \(\deg P=2\) при \(m=1\).

22Тъждествено равенство и параметриНамерете \(a\) и \(b\), ако \((x+a)(2x^2+bx-3)\equiv2x^3+5x^2-x-6\).Повишена трудност▼

Решение

Разкриваме лявата страна:

\[ (x+a)(2x^2+bx-3) =2x^3+(b+2a)x^2+(ab-3)x-3a. \]

При тъждествено равни многочлени съответните коефициенти са равни.

От свободните членове:

\[ -3a=-6\quad\Longrightarrow\quad a=2. \]

От коефициентите пред \(x^2\):

\[ b+2a=5\quad\Longrightarrow\quad b+4=5\quad\Longrightarrow\quad b=1. \]

Проверка за члена с \(x\): \(ab-3=2\cdot1-3=-1\), както е вдясно.

Отговор: \(\boxed{a=2,\ b=1}\).

23Параметри и липсващи членовеЗа кои стойности на \(a\) и \(b\) многочленът \(P(x)=(a+1)x^3+(b-2)x^2+(a-b)x+5\) няма членове с \(x^2\) и \(x\)?Повишена трудност▼

Решение

За да липсва членът с \(x^2\), трябва

\[ b-2=0\quad\Longrightarrow\quad b=2. \]

За да липсва членът с \(x\), трябва

\[ a-b=0. \]

При \(b=2\) получаваме \(a=2\). Тогава

\[ P(x)=3x^3+5. \]

Отговор: \(\boxed{a=2,\ b=2}\).

24Сборове на четни и нечетни коефициентиНека \(P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\), като \(P(1)=7\) и \(P(-1)=3\). Намерете \(a+c+e\) и \(b+d\).Повишена трудност▼

Решение

Обозначаваме

\[ E=a+c+e,\qquad O=b+d. \]

Тогава

\[ P(1)=E+O=7, \] \[ P(-1)=E-O=3. \]

Събираме равенствата:

\[ 2E=10\quad\Longrightarrow\quad E=5. \]

Следователно

\[ O=7-5=2. \]

Отговор: \(\boxed{a+c+e=5}\), \(\boxed{b+d=2}\).

25Тъждество с три параметъраНамерете \(a\), \(b\) и \(c\), ако \((ax+b)(x+2)+cx-6\equiv3x^2+5x-6\).Повишена трудност▼

Решение

Разкриваме лявата страна:

\[ (ax+b)(x+2)+cx-6 =ax^2+(2a+b+c)x+2b-6. \]

Сравняваме коефициентите.

Пред \(x^2\):

\[ a=3. \]

Свободен член:

\[ 2b-6=-6\quad\Longrightarrow\quad b=0. \]

Пред \(x\):

\[ 2a+b+c=5. \]

Заместваме \(a=3\), \(b=0\):

\[ 6+c=5\quad\Longrightarrow\quad c=-1. \]

Отговор: \(\boxed{a=3,\ b=0,\ c=-1}\).

---

30 задачи за самостоятелна работа

№1–21 са запазени от оригиналния урок с необходимите корекции и уточнения. №22–25 са нови упражнения, а №26–30 са за надграждане.

Запазени задачи — №1–21

Задача 1Умножете едночлените: а) \(A=-4x^2y^3\) и \(B=-3x^4y^2\); б) \(A=\frac{3}{4}ab^2c\) и \(B=\frac{4}{3}a^2bc^3\); в) \(A=-\frac{1}{27}mn^2p^7\), \(B=\frac{3}{2}m^5k^2p\) и \(C=-\frac{1}{4}k^4p\).

Отговор и насока

а) \(12x^6y^5\)   б) \(a^3b^3c^4\)   в) \(\dfrac{1}{72}m^6n^2k^6p^9\)

Задача 2Намерете нормалния вид, коефициента и степента на всеки едночлен, като приемете всички букви за променливи: а) \((1{,}5x^2y^3z^4)(4xyz^5)\); б) \(\left(\dfrac78m^2k^3p^4\right)\left(\dfrac14mkp^3\right)\); в) \((1{,}5ax^2y^3z^6)(-2{,}5a^2xy^2z^3)\); г) \(\left(-\dfrac12ak^4p^3m^2\right)\left(-\dfrac13a^2bkp^2m^3\right)\).

Отговор и насока

а) \(6x^3y^4z^9\): коефициент \(6\), степен \(16\).
б) \(\dfrac7{32}m^3k^4p^7\): коефициент \(\dfrac7{32}\), степен \(14\).
в) \(-3{,}75a^3x^3y^5z^9\): коефициент \(-3{,}75\), степен \(20\).
г) \(\dfrac16a^3bk^5p^5m^5\): коефициент \(\dfrac16\), степен \(19\).

Задача 3Степенуване: а) \((2x^2y^3z^4)^3\); б) \(\left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8\); в) \((-bx^4y^5z^2)^{11}\); г) \((-2n^2m^3p^5)^{2n}\), \(n\in\mathbb{N}\).

Отговор и насока

а) \(8x^6y^9z^{12}\)
б) \(\dfrac{256}{6561}a^8b^{32}c^{40}\)
в) \(-b^{11}x^{44}y^{55}z^{22}\) (нечетна степен → отрицателен знак)
г) \(4^n n^{4n}m^{6n}p^{10n}\) (четна степен \(2n\) → знакът е положителен)

Задача 4Ако \(u=3abm^2x^3\), \(v=-2a^2mxy\) и \(w=a^3mxy\), намерете \(\dfrac{u\cdot v}{w}\), като приемете \(a\ne0,\ m\ne0,\ x\ne0,\ y\ne0\).

Отговор и насока

\(\boxed{-6bm^2x^3}\).

Задача 5Ако \(A=(x^2-xy+2y^2)\) и \(B=(2x-y)\), намерете \(A\cdot B\).

Отговор и насока

\(2x^3-3x^2y+5xy^2-2y^3\)

Задача 6Докажете тъждеството \((a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)-(a-d)(c-b)=0\).

Отговор и насока

Разкриваме: \((ac+ad+bc+bd)-(ab+ad+bc+cd)-(ac-ab-cd+bd)=0\). \(\blacksquare\)

Задача 7Намерете числената стойност на \(U=(2mn)^3+3mn^2\cdot2mn-5mn(mn)^2+2mn^2(-3mn)\) за \(m=-\tfrac{1}{2},\ n=\tfrac{1}{3}\).

Отговор и насока

\(U=8m^3n^3+6m^2n^3-5m^3n^3-6m^2n^3=3m^3n^3\).
При \(m=-\tfrac{1}{2},\ n=\tfrac{1}{3}\): \(3\cdot\!\left(-\tfrac{1}{8}\right)\cdot\tfrac{1}{27}=-\dfrac{1}{72}\).

Задача 8Намерете стойността на \(b(b-1)-b^2+2b\) при \(b=-1\).

Отговор и насока

\(b^2-b-b^2+2b=b\). При \(b=-1\): \(\mathbf{-1}\).

Задача 9Намерете стойността на \(2(3x-2)-x(7-x)\) при \(x=-2^2\) (степенуването се извършва преди знака минус).

Отговор и насока

Изразът се опростява до \(x^2-x-4\). Понеже \(x=-2^2=-4\), получаваме \(16+4-4=\boxed{16}\).

Задача 10Запишете с нормален многочлен израза \((2y-1)(1-y)-(2-y^3)\).

Отговор и насока

\(y^3-2y^2+3y-3\)

Задача 11Намерете стойността на \(A=6(x+5)-2(x-3)(4x-5)+5x(7x-8)-(-6x)^2\) за \(x=\dfrac{27^{669}}{(-3)^{2008}}\).

Отговор и насока

\(A=-9x^2\). Тъй като \(27^{669}=3^{2007}\) и \((-3)^{2008}=3^{2008}\), имаме \(x=\tfrac{1}{3}\).
\(A=-9\cdot\tfrac{1}{9}=\mathbf{-1}\).

Задача 12Нормален вид: а) \(3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c)\); б) \(8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3)\); в) \((4x^2+2xy+y^2)(2x-y)\).

Отговор и насока

а) \(c-b\)   б) \(x^2-8x\)   в) \(8x^3-y^3\)

Задача 13Представете \((2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1)\) с нормален многочлен. За коя стойност на \(a\) коефициентът от четвърта степен и свободният член са равни?

Отговор и насока

\(2x^5+(a-10)x^4+(6-5a)x^3+3ax^2-2x-a\)
Коеф. при \(x^4\): \(a-10\), свободен: \(-a\). От \(a-10=-a\Rightarrow a=5\).

Задача 14Намерете \(m\) така, че \(A=mx^2+3mx^2-2x^3+3x^2-5mx+3m-4\) да има коефициент пред \(x^2\) равен на 9.

Отговор и насока

\(A=-2x^3+(4m+3)x^2-5mx+3m-4\). От \(4m+3=9\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\).

Задача 15Нормален вид: а) \((y-3)(y-1)-(y+1)(y+3)\); б) \(3x-2y(x+1)+x(2y-3)\); в) \(3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3\).

Отговор и насока

а) \(-8y\)   б) \(-2y\)   в) \(-2m^4+4m^3+3m^2-7m-3\)

Задача 16\(A=b(y^2-2)-(b+3y)(2y-1)\), \(b\) е параметър. Нормален вид и намерете \(b\) при: а) многочленът е от 1-ва степен; б) равни коефициенти пред \(y^2\) и \(y\); в) при \(y=1\) стойността е 0.

Отговор и насока

\(A=(b-6)y^2+(-2b+3)y-b\)
а) \(b-6=0\Rightarrow b=6\)   б) \(b-6=-2b+3\Rightarrow b=3\)   в) \(-2b-3=0\Rightarrow b=-\dfrac{3}{2}\)

Задача 17Опростете \(M=2(3a-4b)-5[(2a+b)-(a-2b)]-[3(a-b)-6(2a-b)]\) и намерете стойността при \(a=0{,}1\) и \(b=\dfrac{1}{13}\).

Отговор и насока

\(M=10a-26b\). При \(a=0{,}1,\ b=\tfrac{1}{13}\): \(1-2=\mathbf{-1}\).

Задача 18Опростете \(P=(a^2+2a-1)(a^3-3a^2+a-1)-a(a^4-a^3-6a^2+4a)\) и посочете поне две стойности на \(a\), за които \(P>0\).

Отговор и насока

\(P=1-3a\). \(P>0\) при \(a<\tfrac{1}{3}\). Например \(a=0\): \(P=1>0\) ✓;  \(a=-1\): \(P=4>0\) ✓.

Задача 19Намерете стойността на \(K=(2-a-a^2)(a^2+3b)+(a^2+b)(a^2-3)+ab(3+2a)\) при \(a=-3\) и \(b=\dfrac{1}{3}\).

Отговор и насока

\(K=-a^3-a^2+3b\). При \(a=-3,\ b=\tfrac{1}{3}\): \(27-9+1=\mathbf{19}\).

Задача 20Проверете верността на: а) \(x(x-3a)+a(a+x)=9\) за \(x=a+3\); б) \(x(x-8a)+a(5x+3)=2\) за \(x=3a-1\).

Отговор и насока

а) Изразът \(=(x-a)^2\). При \(x=a+3\): \((a+3-a)^2=9\). ✓ Вярно.
б) Изразът \(=x^2-3ax+3a\). При \(x=3a-1\): \((3a-1)^2-3a(3a-1)+3a=9a^2-6a+1-9a^2+3a+3a=1\neq2\). ✗ Не е вярно.

Задача 21Намерете нормалния многочлен, тъждествен на \((a^2-3ab-b^2)(5a^2+ab-3b^2)-(a^2-3ab+3b^2)(5a^2+ab+b^2)\).

Отговор и насока

\(\boxed{-24a^2b^2+8ab^3}\).

Допълнителна практика — №22–25

Задача 22Приведете в нормален вид \(\left(-\dfrac25x^3y\right)(15x^2y^4)\) и посочете степента на получения едночлен.

Отговор и насока

\(-6x^5y^5\), степен \(10\).

Задача 23Опростете \(4x^2y-3xy^2-7x^2y+5xy^2+2x^2y\).

Отговор и насока

\(\boxed{-x^2y+2xy^2}\).

Задача 24Приведете в нормален вид \((3x-2)(x^2+2x-5)\).

Отговор и насока

\(\boxed{3x^3+4x^2-19x+10}\).

Задача 25За коя стойност на \(a\) многочленът \(P(x)=2x^3+(a-4)x^2+(3a+1)x-5\) няма член с \(x^2\)?

Отговор и насока

\(a-4=0\Rightarrow\boxed{a=4}\).

За надграждане — №26–30

Задача 26 За надгражданеЗа коя стойност на \(m\) многочленът \(P_m(x)=(m-2)x^3+(m^2-4)x^2+(m+2)x+1\) е от първа степен?

Отговор и насока

За първа степен трябва коефициентите пред \(x^3\) и \(x^2\) да са нула, а този пред \(x\) да е ненулев. Това става при \(\boxed{m=2}\), когато \(P_2(x)=4x+1\).

Задача 27 За надгражданеНамерете \(a\) и \(b\), ако \((x+a)(x^2+2x+b)\equiv x^3+5x^2+8x+6\).

Отговор и насока

Разкриваме: \(x^3+(a+2)x^2+(b+2a)x+ab\). От \(a+2=5\) получаваме \(a=3\), а от \(b+6=8\) — \(b=2\). Проверка: \(ab=6\). \(\boxed{a=3,\ b=2}\).

Задача 28 За надгражданеНека \(Q(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\), \(Q(1)=10\), \(Q(-1)=2\). Намерете \(a+c+e\) и \(b+d\).

Отговор и насока

Ако \(E=a+c+e\), \(O=b+d\), то \(E+O=10\), \(E-O=2\). Следователно \(\boxed{E=6}\), \(\boxed{O=4}\).

Задача 29 За надгражданеНамерете \(a\) и \(b\), така че \(P(x)=(a-3)x^2+(2a+b)x+(b+6)\) да е тъждествено нулев многочлен.

Отговор и насока

Трите коефициента трябва да са нула. От \(a-3=0\) получаваме \(a=3\), а от \(2a+b=0\) — \(b=-6\). Тогава и \(b+6=0\). \(\boxed{a=3,\ b=-6}\).

Задача 30 За надгражданеДаден е \(P(x)=2x^3-3x^2+ax+b\). Ако \(P(0)=2\) и \(P(1)=5\), намерете \(a\) и \(b\).

Отговор и насока

От \(P(0)=b=2\). После \(P(1)=2-3+a+2=5\), откъдето \(\boxed{a=4,\ b=2}\).

🛍️

Партньорска препоръка

Открий нещо интересно в Ozone.bg

Книги, техника, игри, подаръци, учебни материали и още много предложения за цялото семейство.

Разгледай Ozone.bg →

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки. Това е учебна самооценка, а не стандартизирано оценяване.

Скала за учебна самооценка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; под 15 т. → 2.

Тест: едночлени и многочлени

Отговорете на всички въпроси и натиснете „Край на теста“.

1Кой от едночлените е в нормален вид?

\(3a^2ab\)\(ab\cdot3a^2\)\(3a^3b\)\(a^2\cdot3ab\)

2Кой от следните едночлени има степен 5?

\(2x^2y\)\(x^3yz\)\(3x^2z^2\)\(x^4+y\)

3Коефициентът на \(-4a^2b\cdot3ab^2\) е:

\(-12\)\(-7ab\)\(-12a^3b^3\)\(4a^3b^3\)

4Приведете: \(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{1}{8}x^2\)

\(\dfrac{3}{8}x^2\)\(\dfrac{1}{2}x^2\)\(x^2\)\(\dfrac{5}{8}x^2\)

5Резултатът от \(\dfrac{2}{3}x^3\cdot\!\left(-\dfrac{3}{4}x^2\right)\) е:

\(\dfrac{2}{3}x^5\)\(-\dfrac{3}{4}x^5\)\(-\dfrac{1}{2}x^5\)\(-\dfrac{6}{12}x^6\)

6Стойността на \(2x^2y\) при \(x=3\), \(y=0{,}5\) е:

\(9\)\(27\)\(12\)\(3\)

7Произведението \((a+b)(a-b)\) е:

\(a^2+b^2\)\(a^2-b^2\)\(a^2-2ab+b^2\)\((a+b)^2\)

8Нормалният вид на \((x^2+3x)+(2x^2-x)\) е:

\(x^2+4x\)\(2x^2+x\)\(x^2+2x\)\(3x^2+2x\)

9Степента на многочлена \(x(x+1)(x-2)\) е:

първавторатретаняма такава

10Стойността на \(x^2-4x+4\) при \(x=-1\) е:

\(9\)\(1\)\(7\)\(5\)

11Нормалният вид на \(3a(2a+4b)-2a(3a-b)\) е:

\(10ab\)\(14ab\)\(6a^2+12ab-6a^2-2ab\)\(14a^2b\)

12Нормалният вид на \((a^2-b^2)(a+b)\) е:

\(a^3+b^3\)\(a^2+b^2\)\(a^2-b^2+ab\)\(a^3+a^2b-ab^2-b^3\)

13Степенуването \((x-1)^2\) дава:

\(x^2+1\)\(x^2-1\)\(x^2-2x+1\)\(x^2-2x-1\)

14Ако \(x=4\), \(y=-1\), то \(x^2+2xy+y^2\) е:

\(9\)\(25\)\(1\)\(-9\)

15Ако \(M=(x-y)^2\), при \(x=5\), \(y=3\), то \(M\) е:

\(0\)\(4\)\(2\)\(8\)

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Цели изрази

Видео урок 2 — Задачи

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Свързани уроци и материали

Целите изрази са мостът между действията с числа от 5.–6. клас и алгебричните формули и разлаганията в 7. клас.

1Квадрат на сбор и разлика — 7. класСледващата естествена стъпка — формули за съкратено умножение.Преглед на урока → 6Изнасяне на общ множител — 7. класОбратно използване на разпределителното свойство при разлагане на многочлен на множители.Преглед на урока → 8Степенуване с естествен показател — 6. класОснова за степените на променливите в едночлените.Преглед на урока → 9Степенуване на произведение и степен — 6. класПравилата, които използваме при умножение и степенуване на едночлени.Преглед на урока → 4Умножение и деление на рационални числа — 6. класПравила за знаците и коефициентите при действия с едночлени.Преглед на урока → 2Събиране и изваждане на рационални числа — 6. класАлгебричен сбор и правилна работа със знаците при привеждане на подобни членове.Преглед на урока →

Безплатен материал

За допълнителна практика използвайте и безплатния сборник „Цели изрази и формули за съкратено умножение“. За по-ранен преговор вижте свойствата на умножението от 5. клас.

Използвана литература

Запазена е литературата от първоначалната публикация. Новите задачи и решения са самостоятелно съставени за настоящата редакция.

1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆