Цели изрази 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Цели изрази

Цели изрази
Едночлени и многочлени

Пълен урок с определения, примери, разработени задачи и интерактивен тест

7 клас 9 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Цели рационални изрази — едночлени, нормален вид, подобни, многочлени, действия — урок за 7 клас

Ще дадем определения на основните понятия, като ги поясним с конкретни примери.

Определения

Определение 1: Рационален израз, който няма променливи в знаменател, се нарича цял рационален израз.

Определение 2: Едночлен ще наричаме цял рационален израз, който е произведение от букви и цифри. Едночлени са и всяко число, променлива или параметър.

Определение 3: Казваме, че един едночлен е в нормален вид, когато е записан само с един числов множител (коефициент) на първо място, а всяко произведение от еднакви букви е записано като степен.

Пример: Едночленът \(3x\cdot x\cdot y\cdot4\cdot y\cdot z\) не е в нормален вид. Нормалният му вид: \[3x\cdot x\cdot y\cdot4\cdot y\cdot z = 3\cdot4\cdot x^2\cdot y^2\cdot z = 12x^2y^2z.\] Изразът \(12x^2y^2z\) е в нормален вид — един числов множител \(12\) и степени.

Ако в едночлена имаме буквени множители, означаващи параметри, те са част от коефициента на едночлена.

Определение 4: Степен на едночлен се нарича сборът от степенните показатели на променливите в него.

Пример: Степента на \(21x^3y^2zt\) е \(3+2+1+1=7\).

Определение 5: Едночлени, които имат един и същи нормален вид или се различават само по коефициентите си, се наричат подобни.

Пример: \(3x^2y^3\) и \(3x^2y^2\) не са подобни (\(x^2y^3 \neq x^2y^2\)). Но \(3x^2y^3\) и \(-10x^2y^3\) са подобни — различават се само по коефициента.

Едночлени можем да събираме и изваждаме само ако са подобни — действията се извършват с коефициентите, а буквите се дописват към резултата.

Пример: \(5x^2y+2x^2y=(5+2)x^2y=7x^2y\);  \(5x^2y-2x^2y=3x^2y\).

Умножение на едночлени: \((10x^3y^2z^4)\cdot(-3x^2y^5z^2)=-30x^5y^7z^6\).

Деление на едночлени: \(\dfrac{24x^4y^3z}{6x^2y^2}=4x^2yz\) (при \(x\neq0\), \(y\neq0\)).

Степенуване на едночлен: \((2x^2y^3)^4=2^4\cdot(x^2)^4\cdot(y^3)^4=16x^8y^{12}\).

Определение 6: Цял рационален израз, който е сбор от едночлени, се нарича многочлен.

Примери: \(3x^2-5x+6\), \(xy+3\), \(xyz+x^2y^3z+11xy-4\).

Определение 7: Казваме, че многочленът е в нормален вид, когато е представен като сбор от неподобни едночлени, всеки от които е в нормален вид.

Определение 8: Коефициенти на многочлена са коефициентите на участващите в него едночлени.

Определение 9: Най-високата от степените на едночлените в нормалния вид на многочлена се нарича степен на многочлена.

Пример: Степента на \(x^4+3x^3-x^2+x-1\) е \(4\).

Събиране и изваждане на многочлени: При \(A=3y^3+2y-3\) и \(B=y^3-y-1\): \[A+B=4y^3+y-4;\quad A-B=2y^3+3y-2.\] Умножение на многочлен с едночлен: \[3x^3\cdot(x^2-4x+2)=3x^5-12x^4+6x^2.\] Умножение на многочлен с многочлен: \[(x+3)(x^2-4x+2)=x^3-x^2-10x+6.\]

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете нормалния вид на многочлена \((y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3\).

▼

Решение Разкриваме скобите и извършваме действията с подобните едночлени: \[(y^3+3x)(x^3+3y)-x^3y^3 = x^3y^3 + 3y^4 + 3x^4 + 9xy - x^3y^3 = 3x^4 + 3y^4 + 9xy.\]

2

Пресметнете стойността на израза \(4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x)\) при \(x=1{,}01\).

▼

Решение Опростяваме буквено и след това заместваме: \[4x^2(3x+8)-2x(6x^2+16x) = 12x^3 + 32x^2 - 12x^3 - 32x^2 = 0.\] Стойността на израза е \(0\) за всяко \(x\) — изразът не зависи от стойностите на \(x\).

3

Приведете многочлена \(A=4x-4a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a\) в нормален вид (а е параметър).

▼

Решение Подреждаме едночлените по степените на \(x\): \[A=-x^3+3ax^2+(4-3a^2)x+(a^3-4a).\]

4

Даден е многочленът \(A=3x^3-ax^2+ax+5x-2a+1\).
а) Приведете в нормален вид.
б) За коя стойност на \(a\) многочленът няма член от първа степен?

▼

Решение а) \(A = 3x^3 - ax^2 + (a+5)x + (-2a+1)\).

б) За да няма член от първа степен, коефициентът пред \(x\) трябва да е 0: \[a+5=0 \;\Rightarrow\; a=-5.\]

5

Намерете сбора на многочлените \(u=6xy^2+5x+7y-3\) и \(v=5xy^2-3x-5y+3\).

▼

Решение \[u+v=6xy^2+5x+7y-3+5xy^2-3x-5y+3=11xy^2+2x+2y.\]

6

Даден е изразът \(A=(x-y)(x^3+xy-y)-(x^2-1)(x-y^2+2)+x(y+y^2)\).
а) Приведете в нормален вид.
б) Намерете стойността при \(x=\dfrac{(-2)^3\cdot(-27)^6}{9^9\cdot8}\) и \(\dfrac{3}{4}:\dfrac{9}{8}=y:\dfrac{1}{2}\).

▼

Решение а) Разкриваме скобите: \[A=x^3+x^2y-xy-x^2y-xy^2+y^2-(x^3-x^2y^2+2x^2-x+y^2-2)+xy+xy^2.\] След съкращения: \[A=x^2y^2-2x^2+x+2.\]
б) Намираме \(x\): \[x=\frac{(-2)^3\cdot(-27)^6}{9^9\cdot8}=-\frac{2^3\cdot(3^3)^6}{(3^2)^9\cdot2^3}=-\frac{3^{18}}{3^{18}}=-1.\] Намираме \(y\) от пропорцията: \[\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}=2y \;\Rightarrow\; 2y=\frac{2}{3} \;\Rightarrow\; y=\frac{1}{3}.\] Пресмятаме \(A\): \[A=(-1)^2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2-2\cdot(-1)^2+(-1)+2=\frac{1}{9}-2-1+2=-\frac{8}{9}.\]

7

Докажете, че стойността на \(A=b(b-2x)+x(x+b)-bx\) при \(b=x+3\) не зависи от \(x\).

▼

Решение Разкриваме скобите: \[A=b^2-2bx+x^2+bx-bx=x^2-2bx+b^2=(x-b)^2.\] Заместваме \(b=x+3\): \[A=(x-(x+3))^2=(-3)^2=9.\] Следователно \(A=9\) за всяко \(x\). ■

8

Дадени са \(M=(x-a)^2-ax(x+1)\) и \(N=a(x^2+a)\). За коя стойност на \(a\) сборът от коефициентите на \(M-N\) е \(-9\)?

▼

Решение Образуваме \(M-N\): \[M-N=(x-a)^2-ax(x+1)-a(x^2+a).\] След разписване и опростяване: \[M-N=(1-2a)x^2-3ax.\] Сборът от коефициентите е \((1-2a)+(-3a)=-9\): \[1-5a=-9 \;\Rightarrow\; a=2.\]

9

За коя стойност на параметъра \(b\) многочленът \((x^2-3bx+b)(x^2-2x+3)\) не съдържа член с \(x^2\)?

▼

Решение Разкриваме скобите: \[A=x^4+(-2-3b)x^3+(3+7b)x^2+(-11b)x+3b.\] За да няма член с \(x^2\), коефициентът трябва да е 0: \[3+7b=0 \;\Rightarrow\; b=-\frac{3}{7}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Умножете едночлените: а) \(A=-4x^2y^3\) и \(B=-3x^4y^2\); б) \(A=\frac{3}{4}ab^2c\) и \(B=\frac{4}{3}a^2bc^3\); в) \(A=-\frac{1}{27}mn^2p^7\), \(B=\frac{3}{2}m^5k^2p\) и \(C=-\frac{1}{4}k^4p\).

▼ Отговор

а) \(12x^6y^5\)   б) \(a^3b^3c^4\)   в) \(\dfrac{1}{72}m^6n^2k^6p^9\)

Задача 2 Намерете степента и коефициента: а) \((1{,}5x^2y^3z^4)(4xyz^5)\); б) \(\left(\frac{7}{8}m^2k^3p^4\right)\left(\frac{1}{4}mkp^3\right)\); в) \((1{,}5ax^2y^3z^6)(-2{,}5a^2xy^2z^3)\); г) \(\left(-\frac{1}{2}ak^4p^3m^2\right)\left(-\frac{1}{3}a^2bkp^2m^3\right)\).

▼ Отговор

а) \(6x^3y^4z^9\), степен 16   б) \(\dfrac{7}{32}m^3k^4p^7\), степен 14
в) \(-3{,}75\,a^3x^3y^5z^9\), степен 20   г) \(\dfrac{1}{6}a^3bk^5p^5m^5\), степен 19

Задача 3 Степенуване: а) \((2x^2y^3z^4)^3\); б) \(\left(\frac{2}{3}ab^4c^5\right)^8\); в) \((-bx^4y^5z^2)^{11}\); г) \((-2n^2m^3p^5)^{2n}\), \(n\in\mathbb{N}\).

▼ Отговор

а) \(8x^6y^9z^{12}\)
б) \(\dfrac{256}{6561}a^8b^{32}c^{40}\)
в) \(-b^{11}x^{44}y^{55}z^{22}\) (нечетна степен → отрицателен знак)
г) \(4^n n^{4n}m^{6n}p^{10n}\) (четна степен \(2n\) → знакът е положителен)

Задача 4 Ако \(u=3abm^2x^3\), \(v=-2a^2mxy\) и \(w=a^3mxy\), намерете \(\dfrac{u\cdot v}{w}\).

▼ Отговор

\(-6bm^2x^3\)

Задача 5 Ако \(A=(x^2-xy+2y^2)\) и \(B=(2x-y)\), намерете \(A\cdot B\).

▼ Отговор

\(2x^3-3x^2y+5xy^2-2y^3\)

Задача 6 Докажете тъждеството \((a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)-(a-d)(c-b)=0\).

▼ Отговор

Разкриваме: \((ac+ad+bc+bd)-(ab+ad+bc+cd)-(ac-ab-cd+bd)=0\). \(\blacksquare\)

Задача 7 Намерете числената стойност на \(U=(2mn)^3+3mn^2\cdot2mn-5mn(mn)^2+2mn^2(-3mn)\) за \(m=-\tfrac{1}{2},\ n=\tfrac{1}{3}\).

▼ Отговор

\(U=8m^3n^3+6m^2n^3-5m^3n^3-6m^2n^3=3m^3n^3\).
При \(m=-\tfrac{1}{2},\ n=\tfrac{1}{3}\): \(3\cdot\!\left(-\tfrac{1}{8}\right)\cdot\tfrac{1}{27}=-\dfrac{1}{72}\).

Задача 8 Намерете стойността на \(b(b-1)-b^2+2b\) при \(b=-1\).

▼ Отговор

\(b^2-b-b^2+2b=b\). При \(b=-1\): \(\mathbf{-1}\).

Задача 9 Намерете стойността на \(2(3x-2)-x(7-x)\) при \(x=-2^2\).

▼ Отговор

\(x^2-x-4\). Тъй като \(x=-2^2=-4\): \(16+4-4=\mathbf{16}\).

Задача 10 Запишете с нормален многочлен израза \((2y-1)(1-y)-(2-y^3)\).

▼ Отговор

\(y^3-2y^2+3y-3\)

Задача 11 Намерете стойността на \(A=6(x+5)-2(x-3)(4x-5)+5x(7x-8)-(-6x)^2\) за \(x=\dfrac{27^{669}}{(-3)^{2008}}\).

▼ Отговор

\(A=-9x^2\). Тъй като \(27^{669}=3^{2007}\) и \((-3)^{2008}=3^{2008}\), имаме \(x=\tfrac{1}{3}\).
\(A=-9\cdot\tfrac{1}{9}=\mathbf{-1}\).

Задача 12 Нормален вид: а) \(3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c)\); б) \(8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3)\); в) \((4x^2+2xy+y^2)(2x-y)\).

▼ Отговор

а) \(c-b\)   б) \(x^2-8x\)   в) \(8x^3-y^3\)

Задача 13 Представете \((2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1)\) с нормален многочлен. За коя стойност на \(a\) коефициентът от четвърта степен и свободният член са равни?

▼ Отговор

\(2x^5+(a-10)x^4+(6-5a)x^3+3ax^2-2x-a\)
Коеф. при \(x^4\): \(a-10\), свободен: \(-a\). От \(a-10=-a\Rightarrow a=5\).

Задача 14 Намерете \(m\) така, че \(A=mx^2+3mx^2-2x^3+3x^2-5mx+3m-4\) да има коефициент пред \(x^2\) равен на 9.

▼ Отговор

\(A=-2x^3+(4m+3)x^2-5mx+3m-4\). От \(4m+3=9\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\).

Задача 15 Нормален вид: а) \((y-3)(y-1)-(y+1)(y+3)\); б) \(3x-2y(x+1)+x(2y-3)\); в) \(3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3\).

▼ Отговор

а) \(-8y\)   б) \(-2y\)   в) \(-2m^4+4m^3+3m^2-7m-3\)

Задача 16 \(A=b(y^2-2)-(b+3y)(2y-1)\), \(b\) е параметър. Нормален вид и намерете \(b\) при: а) многочленът е от 1-ва степен; б) равни коефициенти пред \(y^2\) и \(y\); в) при \(y=1\) стойността е 0.

▼ Отговор

\(A=(b-6)y^2+(-2b+3)y-b\)
а) \(b-6=0\Rightarrow b=6\)   б) \(b-6=-2b+3\Rightarrow b=3\)   в) \(-2b-3=0\Rightarrow b=-\dfrac{3}{2}\)

Задача 17 Опростете \(M=2(3a-4b)-5[(2a+b)-(a-2b)]-[3(a-b)-6(2a-b)]\) и намерете стойността при \(a=0{,}1\) и \(b=\dfrac{1}{13}\).

▼ Отговор

\(M=10a-26b\). При \(a=0{,}1,\ b=\tfrac{1}{13}\): \(1-2=\mathbf{-1}\).

Задача 18 Опростете \(P=(a^2+2a-1)(a^3-3a^2+a-1)-a(a^4-a^3-6a^2+4a)\) и посочете поне две стойности на \(a\), за които \(P>0\).

▼ Отговор

\(P=1-3a\). \(P>0\) при \(a<\tfrac{1}{3}\). Например \(a=0\): \(P=1>0\) ✓;  \(a=-1\): \(P=4>0\) ✓.

Задача 19 Намерете стойността на \(K=(2-a-a^2)(a^2+3b)+(a^2+b)(a^2-3)+ab(3+2a)\) при \(a=-3\) и \(b=\dfrac{1}{3}\).

▼ Отговор

\(K=-a^3-a^2+3b\). При \(a=-3,\ b=\tfrac{1}{3}\): \(27-9+1=\mathbf{19}\).

Задача 20 Проверете верността на: а) \(x(x-3a)+a(a+x)=9\) за \(x=a+3\); б) \(x(x-8a)+a(5x+3)=2\) за \(x=3a-1\).

▼ Отговор

а) Изразът \(=(x-a)^2\). При \(x=a+3\): \((a+3-a)^2=9\). ✓ Вярно.
б) Изразът \(=x^2-3ax+3a\). При \(x=3a-1\): \((3a-1)^2-3a(3a-1)+3a=9a^2-6a+1-9a^2+3a+3a=1\neq2\). ✗ Не е вярно.

Задача 21 Намерете нормалния многочлен, тъждествен на \((a^2-3ab-b^2)(5a^2+ab-3b^2)-(a^2-3ab+3b^2)(5a^2+ab+b^2)\).

▼ Отговор

\(-24a^2b^2+8ab^3=-8ab^2(3a-b)\)

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Многочлени и едночлени

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Кой от едночлените е в нормален вид?

\(3a^2ab\) \(ab\cdot3a^2\) \(3a^3b\) \(a^2\cdot3ab\)

2Кой от следните едночлени има степен 5?

\(2x^2y\) \(x^3yz\) \(3x^2z^2\) \(x^4+y\)

3Коефициентът на \(-4a^2b\cdot3ab^2\) е:

\(-12\) \(-7ab\) \(-12a^3b^3\) \(4a^3b^3\)

4Приведете: \(\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{3}{8}x^2-\dfrac{1}{8}x^2\)

\(\dfrac{3}{8}x^2\) \(\dfrac{1}{2}x^2\) \(x^2\) \(\dfrac{5}{8}x^2\)

5Резултатът от \(\dfrac{2}{3}x^3\cdot\!\left(-\dfrac{3}{4}x^2\right)\) е:

\(\dfrac{2}{3}x^5\) \(-\dfrac{3}{4}x^5\) \(-\dfrac{1}{2}x^5\) \(-\dfrac{6}{12}x^6\)

6Стойността на \(2x^2y\) при \(x=3\), \(y=0{,}5\) е:

\(9\) \(27\) \(12\) \(3\)

7Произведението \((a+b)(a-b)\) е:

\(a^2+b^2\) \(a^2-b^2\) \(a^2-2ab+b^2\) \((a+b)^2\)

8Нормалният вид на \((x^2+3x)+(2x^2-x)\) е:

\(x^2+4x\) \(2x^2+x\) \(x^2+2x\) \(3x^2+2x\)

9Степента на многочлена \(x(x+1)(x-2)\) е:

първа втора трета няма такава

10Стойността на \(x^2-4x+4\) при \(x=-1\) е:

\(9\) \(1\) \(7\) \(5\)

11Нормалният вид на \(3a(2a+4b)-2a(3a-b)\) е:

\(10ab\) \(14ab\) \(6a^2+12ab-6a^2-2ab\) \(14a^2b\)

12Стойността на \((a^2-b^2)(a+b)\) е:

\(a^3+b^3\) \(a^2+b^2\) \(a^2-b^2+ab\) \(a^3+a^2b-ab^2-b^3\)

13Степенуването \((x-1)^2\) дава:

\(x^2+1\) \(x^2-1\) \(x^2-2x+1\) \(x^2-2x-1\)

14Ако \(x=4\), \(y=-1\), то \(x^2+2xy+y^2\) е:

\(9\) \(25\) \(1\) \(-9\)

15Ако \(M=(x-y)^2\), при \(x=5\), \(y=3\), то \(M\) е:

\(0\) \(4\) \(2\) \(8\)

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Цели изрази

Видео урок 2 — Задачи

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆