Разлагане на многочлен на множители чрез общ множител – 7. клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Разлагане на многочлени

Разлагане на многочлен на множители
Изнасяне на общ множител

Пълен урок за 7. клас: теория и стратегия, 25 подробно решени задачи (№21–25 с повишена трудност), 30 задачи за самостоятелна работа, тест с 15 въпроса и видеоурок.

7. клас25 решени задачи5 с повишена трудност30 самостоятелни15 въпроса тестД-р Атанас Илчев

В този урок

Теория25 решени задачиПет трудни задачи30 самостоятелниОнлайн тестВидеоурокСвързани материали

Теория: изнасяне на общ множител пред скоби

Разлагането на многочлен на множители е преобразуване, при което един сбор или разлика се записва като произведение. В този урок използваме най-прекия метод — изнасяне на общ множител пред скоби. Методът е обратното действие на разпределителното свойство на умножението, изучавано още в 5. клас.

\[ ab+ac=a(b+c),\qquad ab-ac=a(b-c). \]

Как намираме общия множител? При числовите коефициенти търсим най-големия общ делител. При буквите избираме най-ниската степен, която участва във всеки член. Ако във всеки член се повтаря цял многочлен — например \((x-2)\) — можем да изнесем целия този многочлен.

Стъпка	Какво правим?
1. Числа	Намираме най-големия общ числов множител.
2. Букви	Избираме буквите, които участват във всички членове, с най-ниската им степен.
3. Повтарящи се скоби	Проверяваме дали цял двучлен или многочлен е общ множител.
4. Знаци	Помним, че \(a-b=-(b-a)\). Понякога първо трябва да сменим знака на една скоба.
5. Проверка	Умножаваме получения множител по скобите и трябва да възстановим началния многочлен.

Важна идея. Целта обикновено е да изнесем най-големия общ множител, за да получим възможно най-просто разлагане. При буквените степени полезен преговор е урокът за степенуване с естествен показател, а при отрицателни коефициенти — правилата за знаците при рационални числа.

Чести грешки:

• изнасяне само на част от общия множител, когато може да се изнесе по-голям;

• грешен знак при \((a-b)\) и \((b-a)\);

• пропускане на единица: \(xy+3xy^2=xy(1+3y)\), а не \(xy(3y)\);

• забравяне, че при изнасяне на \(-1\) знаците на всички членове в скобите се сменят.

Къде продължаваме? След този метод идват разлагането чрез формулите за съкратено умножение, разлагането чрез групиране и комбинираното използване на няколко метода.

---

25 подробно решени задачи

Задачи №1–20 изграждат техниката постепенно — от числов и буквен общ множител до повтарящи се и противоположни многочлени. №21–25 са с повишена трудност.

1Рационално пресмятанеПресметнете рационално \(14\cdot85+14\cdot15\).▼

РешениеПървият вариант за решаването на тази задача е да пресметнем първо произведението \(14\cdot85\) и произведението \(14\cdot15\) и след това получените числа да ги съберем. Начинът не е грешен, разбира се, но не отговаря на понятието „рационален". Нека вместо това разгледаме равенството \[a \cdot b+a \cdot c=a(b+c),\] където \(a=14\), \(b=85\) и \(c=15\). Заместваме и получаваме: \[14\cdot85+14\cdot15=14(85+15)=14 \cdot 100=1400.\]

Връзка с предишен материал: тук използваме разпределителното свойство на умножението.

2Общ числов множителРазложете на множители многочлена \(5t+5m\).▼

РешениеЗабелязваме, че и в двете събираеми има общ множител \(5\). Следователно: \[5t+5m=5(t+m).\]

3Общ числов множителРазложете на множители многочлена \(3x-3y^4\).▼

РешениеОбщият множител е \(3\), така че след като го изнесем пред скоби получаваме: \[3x-3y^4=3(x-y^4).\]

4Най-голям общ едночленРазложете на множители многочлена \(20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3\).▼

РешениеЗабелязваме, че коефициентите на всички едночлени могат да се разделят на \(5\). Изнасяме \(5\) и също най-ниските степени на \(x\) и \(y\) — в случая \(x^2y^3\): \[20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3=5x^2y^3(4+5xy+6x^2).\]

Припомняне: при буквения общ множител избираме най-ниската степен на всяка буква; вижте и правилата за степенуване.

5Общ многочленРазложете на множители многочлена \(2(2y-5)-3y(2y-5)\).▼

РешениеВиждаме, че и двата члена съдържат множителя \((2y-5)\). Изнасяме го пред скоби: \[2(2y-5)-3y(2y-5)=(2y-5)(2-3y).\]

6Общ многочленРазложете на множители многочлена \(x(x+2y)+y(x+2y)\).▼

РешениеОбщият множител е \((x+2y)\), затова: \[x(x+2y)+y(x+2y)=(x+2y)(x+y).\]

7Общ едночленРазложете на множители многочлена \(xy+3xy^2\).▼

РешениеЗаписваме израза като \(1 \cdot x \cdot y + 3x \cdot y \cdot y\). Общият множител е \(xy\), така че: \[xy+3xy^2=xy(1+3y).\] (Забележка: В литературата вместо \(1 \cdot xy\) се записва само \(xy\).)

8Противоположни двучлениРазложете на множители многочлена \(4m(5-n)-3t(n-5)\).▼

РешениеВиждаме, че множителите \((5-n)\) и \((n-5)\) са подобни, но не еднакви. Тъй като \((n-5)=-(5-n)\), можем да пренаредим, като изнесем знак минус. След това: \[4m(5-n)-3t(n-5)=4m(5-n)-3t[-(5-n)]=4m(5-n)+3t(5-n)=(5-n)(4m+3t).\]

9Общ многочлен и опростяванеРазложете на множители многочлена \(3x(x-y)-5(x-y)^2\).▼

РешениеОбщият множител е \((x-y)\). Изнасяме го пред скоби: \[3x(x-y)-5(x-y)^2=(x-y)[3x-5(x-y)]=(x-y)(3x-5x+5y)=(x-y)(-2x+5y).\]

10Разлагане и числена стойностПресметнете стойността на израза \(12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)\) при \(m=10\) и \(n=7\).▼

РешениеОбщият множител е \((4m-3)\). Забелязваме, че \((3-4m)=-(4m-3)\). Следователно даденият израз можем да запишем във вида: \[12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)=12m(4m-3)-3n(4m-3)+1\cdot(4m-3)=(4m-3)(12m-3n+1).\] Замествайки \(m=10\) и \(n=7\) получаваме: \[(4\cdot10-3)(12\cdot10-3\cdot7+1)=(40-3)(120-21+1)=37\cdot100=3700.\]

11Най-голям общ едночленРазложете на множители многочлена \(-12a^4b^2+18a^3b^5\).▼

Решение

Търсим най-големия общ множител на двата едночлена.

Числата \(12\) и \(18\) имат най-голям общ делител \(6\). Най-ниската степен на \(a\) е \(a^3\), а на \(b\) — \(b^2\). Следователно изнасяме \(6a^3b^2\):

\[ -12a^4b^2+18a^3b^5 =6a^3b^2(-2a+3b^3). \]

Проверка чрез умножение:

\[ 6a^3b^2(-2a)=-12a^4b^2,\qquad 6a^3b^2(3b^3)=18a^3b^5. \]

Следователно разлагането е \(\boxed{6a^3b^2(-2a+3b^3)}\).

12Повтарящ се многочленРазложете на множители израза \(7x^2(x-3)+14x(x-3)^2\).▼

Решение

И в двата члена има общ множител \(7x(x-3)\). Изнасяме го:

\[ 7x^2(x-3)+14x(x-3)^2 =7x(x-3)\bigl[x+2(x-3)\bigr]. \]

Опростяваме израза в скобите:

\[ x+2(x-3)=x+2x-6=3x-6=3(x-2). \]

Следователно:

\[ 7x^2(x-3)+14x(x-3)^2 =\boxed{21x(x-3)(x-2)}. \]

Тук след първото изнасяне се появи нов общ числов множител \(3\), затова довършихме разлагането.

13Степен на общ многочленРазложете на множители \((a+b)^3-4(a+b)^2\).▼

Решение

Двата члена съдържат общия множител \((a+b)^2\), защото

\[ (a+b)^3=(a+b)^2(a+b). \]

Изнасяме \((a+b)^2\) пред скоби:

\[ (a+b)^3-4(a+b)^2 =(a+b)^2\bigl[(a+b)-4\bigr]. \]

Затова:

\[ \boxed{(a+b)^2(a+b-4)}. \]

14Противоположни двучлениРазложете на множители \(5p(q-r)-2s(r-q)\).▼

Решение

На пръв поглед двучлените \((q-r)\) и \((r-q)\) са различни. Но те са противоположни:

\[ r-q=-(q-r). \]

Следователно:

\[ 5p(q-r)-2s(r-q) =5p(q-r)+2s(q-r). \]

Сега \((q-r)\) е общ множител:

\[ \boxed{(q-r)(5p+2s)}. \]

15Два общи множителяРазложете на множители \(m^2(n+1)-m(n+1)+3m(n+1)\).▼

Решение

И трите члена съдържат \(m(n+1)\). Изнасяме този общ множител:

\[ m^2(n+1)-m(n+1)+3m(n+1) =m(n+1)(m-1+3). \]

Опростяваме скобите:

\[ m-1+3=m+2. \]

Получаваме:

\[ \boxed{m(n+1)(m+2)}. \]

16Уравнение чрез разлаганеРешете уравнението \(6x(x-4)-3(x-4)=0\).▼

Решение

И двата члена съдържат общия множител \(3(x-4)\):

\[ 6x(x-4)-3(x-4)=3(x-4)(2x-1). \]

Следователно уравнението е:

\[ 3(x-4)(2x-1)=0. \]

Произведение е равно на нула, когато поне един от множителите е нула:

\[ x-4=0\quad\text{или}\quad 2x-1=0. \]

Затова:

\[ \boxed{x=4\quad\text{или}\quad x=\frac12}. \]

17Общ едночленРазложете на множители \(3a^2b-6ab^2+9ab\).▼

Решение

Общият множител на трите члена е \(3ab\). Изнасяме го:

\[ 3a^2b-6ab^2+9ab =3ab(a-2b+3). \]

Следователно:

\[ \boxed{3ab(a-2b+3)}. \]

18Буквен степенен показателНека \(n\) е естествено число. Разложете на множители \(a^{n+2}+3a^{n+1}-4a^n\).▼

Решение

Във всички членове участва степента \(a^n\). Използваме правилото \(a^{n+k}=a^n\cdot a^k\), което е част от степенуването с естествен показател.

\[ a^{n+2}=a^n\cdot a^2,\qquad a^{n+1}=a^n\cdot a. \]

Следователно:

\[ a^{n+2}+3a^{n+1}-4a^n =a^n(a^2+3a-4). \]

Ако задачата изисква само изнасяне на общ множител, тук можем да спрем:

\[ \boxed{a^n(a^2+3a-4)}. \]

По-късно, при комбинирано разлагане, квадратният тричлен може да се разложи допълнително.

19Противоположни многочлениРазложете на множители \(4x(2x-y)-3y(y-2x)+5(2x-y)\).▼

Решение

Преобразуваме втория двучлен:

\[ y-2x=-(2x-y). \]

Тогава:

\[ -3y(y-2x)=+3y(2x-y). \]

Получаваме:

\[ 4x(2x-y)+3y(2x-y)+5(2x-y). \]

Изнасяме общия множител \((2x-y)\):

\[ \boxed{(2x-y)(4x+3y+5)}. \]

20Рационално пресмятанеПресметнете рационално \(37^3+37^2\cdot63\), като използвате изнасяне на общ множител.▼

Решение

Не е необходимо да пресмятаме \(37^3\) поотделно. Изнасяме общия множител \(37^2\):

\[ 37^3+37^2\cdot63 =37^2(37+63) =37^2\cdot100. \]

Понеже \(37^2=1369\), получаваме:

\[ 1369\cdot100=\boxed{136\,900}. \]

Задачи с повишена трудност

Тук изнасянето на общ множител се комбинира с параметри, степени, делимост и търсене на всички решения.

21Параметър в уравнениеРешете уравнението \((a-2)(x+3)+2(a-2)(x-1)=0\) в зависимост от параметъра \(a\).Повишена трудност▼

Решение

И двата члена имат общ множител \((a-2)\). Изнасяме го:

\[ (a-2)\bigl[(x+3)+2(x-1)\bigr]=0. \]

Опростяваме втория множител:

\[ (x+3)+2(x-1)=x+3+2x-2=3x+1. \]

Следователно:

\[ (a-2)(3x+1)=0. \]

Случай 1: \(a=2\). Тогава първият множител е нула и равенството е вярно за всяко реално \(x\). Следователно има безброй решения.

Случай 2: \(a\ne2\). Тогава \(a-2\ne0\), затова трябва:

\[ 3x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac13. \]

Отговор: \(\boxed{a=2:\ x\in\mathbb R;\qquad a\ne2:\ x=-\frac13}\).

22Степенно уравнениеНамерете естественото число \(n\), ако \(3^{n+2}-3^n=648\).Повишена трудност▼

Решение

Изнасяме общия множител \(3^n\):

\[ 3^{n+2}-3^n=3^n(3^2-1)=3^n(9-1)=8\cdot3^n. \]

Уравнението става:

\[ 8\cdot3^n=648. \]

Делим на \(8\):

\[ 3^n=81=3^4. \]

Следователно:

\[ \boxed{n=4}. \]

23ДелимостДокажете, че за всяко цяло число \(n\) числото \(5n^3-5n\) се дели на \(30\).Повишена трудност▼

Решение

Първо изнасяме общ множител \(5n\):

\[ 5n^3-5n=5n(n^2-1). \]

Използваме разлика на квадрати:

\[ n^2-1=(n-1)(n+1). \]

Така:

\[ 5n^3-5n=5(n-1)n(n+1). \]

Числата \(n-1,n,n+1\) са три последователни цели числа. Сред тях едното е кратно на \(3\), а поне едното е четно. Следователно произведението \((n-1)n(n+1)\) се дели на \(6\).

Умножено по \(5\), цялото число се дели на \(5\cdot6=30\). Значи:

\[ \boxed{30\mid(5n^3-5n)}. \]

24Естествени решенияНамерете всички двойки естествени числа \((x,y)\), за които \(12x^2-18xy=0\).Повишена трудност▼

Решение

Изнасяме най-големия общ множител \(6x\):

\[ 12x^2-18xy=6x(2x-3y). \]

Тъй като в този проект естествените числа са положителни, \(x\ne0\). Следователно от

\[ 6x(2x-3y)=0 \]

получаваме:

\[ 2x-3y=0\quad\Longrightarrow\quad 2x=3y. \]

Понеже \(2\) и \(3\) са взаимно прости, \(x\) трябва да е кратно на \(3\), а \(y\) — на \(2\). Нека \(k\in\mathbb N\). Тогава:

\[ x=3k,\qquad y=2k. \]

Всички решения са:

\[ \boxed{(x,y)=(3k,2k),\quad k\in\mathbb N}. \]

25Параметър и нули на многочленНамерете параметъра \(m\), така че тъждествено за всяко \(x\) да е изпълнено \(6x^3+9x^2+mx=3x(x+1)(2x+1)\). След това намерете нулите на получения многочлен.Повишена трудност▼

Решение

Разгъваме дясната страна само дотолкова, доколкото е необходимо:

\[ (x+1)(2x+1)=2x^2+3x+1. \]

Умножаваме по \(3x\):

\[ 3x(x+1)(2x+1)=6x^3+9x^2+3x. \]

Сравняваме с:

\[ 6x^3+9x^2+mx. \]

За да са тъждествено равни, коефициентите пред \(x\) трябва да съвпадат:

\[ m=3. \]

При \(m=3\) многочленът вече е разложен:

\[ 3x(x+1)(2x+1). \]

Нулите се получават от отделните множители:

\[ x=0,\qquad x=-1,\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12. \]

Следователно:

\[ \boxed{m=3;\quad x\in\left\{0,-1,-\frac12\right\}}. \]

---

30 задачи за самостоятелна работа

Опитайте първо самостоятелно. Отговорът и кратката насока са скрити под всяка задача.

Задача 1Разложете на множители многочлена:
а) \(3mb+m\);
б) \(\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{3}x\);
в) \(15x^2y+30xy^3\);
г) \(36a^2b^2-27b^3\);
д) \(5t^7+t^{11}\).

Отговор и насока

а) \(m(3b+1)\)
б) \(\dfrac{5}{3}(1-x)\)
в) \(15xy(x+2y^2)\)
г) \(9b^2(4a^2-3b)\)
д) \(t^7(5+t^4)\)

Задача 2Разложете на множители многочлена:
а) \(7(x-z)+p(x-z)\);
б) \(2x(a+3b)-3y(a+3b)\);
в) \((m-3)\cdot5+(m-3)\cdot3n\);
г) \((k+p)-2x(k+p)\);
д) \(3x(5y-7z)+7t(5y-7z)\).

Отговор и насока

а) \((x-z)(7+p)\)
б) \((a+3b)(2x-3y)\)
в) \((m-3)(5+3n)\)
г) \((k+p)(1-2x)\)
д) \((5y-7z)(3x+7t)\)

Задача 3Разложете на множители многочлена:
а) \(2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x)\);
б) \(5(a+b)^2-c(a+b)\);
в) \(2(p-q)^3-3m(p-q)\);
г) \(x+y+3(x+y)\);
д) \(3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3\);
е) \(2a(2x-5)+b(5-2x)\).

Отговор и насока

а) Забел.: \(4q(y-x)=-4q(x-y)\), затова \((x-y)(2+3z-4q)\)
б) \((a+b)\bigl(5(a+b)-c\bigr)\)
в) \((p-q)\bigl(2(p-q)^2-3m\bigr)\)
г) \(4(x+y)\)
д) Забел.: \((q-p)^3=-(p-q)^3\), затова \((p-q)\bigl(3+7x(p-q)-4y(p-q)^2\bigr)\)
е) Забел.: \(b(5-2x)=-b(2x-5)\), затова \((2x-5)(2a-b)\)

Задача 4Пресметнете стойността на израза \(x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4\) за \(x=1\) и \(y=2\).

Отговор и насока

Изнасяме общия множител: \(x^3y^2(x^3+y-x^2y^2)\).
При \(x=1\), \(y=2\): \(1\cdot4\cdot(1+2-4)=4\cdot(-1)=\mathbf{-4}\).

Задача 5Разложете на множители многочлена:
а) \(2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2}\);
б) \((a+b+c)^2-na-nb-nc\).

Отговор и насока

а) \(a^m(2+3a+4a^2)\)
б) \(na+nb+nc=n(a+b+c)\), затова: \((a+b+c)^2-n(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c-n)\)

Задача 6Разложете на множители \(18a^2b-24ab^2\).

Отговор и насока

\(\boxed{6ab(3a-4b)}\).

Задача 7Разложете на множители \(-14x^3y^2+21x^2y^3\).

Отговор и насока

\(\boxed{7x^2y^2(-2x+3y)}\).

Задача 8Разложете на множители \(9m^4n^2+12m^3n^3-3m^2n^4\).

Отговор и насока

\(\boxed{3m^2n^2(3m^2+4mn-n^2)}\).

Задача 9Разложете на множители \(4a(a-b)+7b(a-b)\).

Отговор и насока

\(\boxed{(a-b)(4a+7b)}\).

Задача 10Разложете на множители \(5x(2x+3)-2(2x+3)\).

Отговор и насока

\(\boxed{(2x+3)(5x-2)}\).

Задача 11Разложете на множители \(3p(q-r)+4s(r-q)\).

Отговор и насока

Понеже \(r-q=-(q-r)\), получаваме \(\boxed{(q-r)(3p-4s)}\).

Задача 12Разложете на множители \(2x(x-y)^2+5y(x-y)^2\).

Отговор и насока

\(\boxed{(x-y)^2(2x+5y)}\).

Задача 13Разложете на множители \(a^2(a+1)-a(a+1)+4a(a+1)\).

Отговор и насока

\(\boxed{a(a+1)(a+3)}\).

Задача 14Разложете на множители \(7u(v+2)-14(v+2)\).

Отговор и насока

\(\boxed{7(v+2)(u-2)}\).

Задача 15Разложете на множители \(12x^5y^3-18x^3y^4+6x^4y^3\).

Отговор и насока

\(\boxed{6x^3y^3(2x^2+x-3y)}\).

Задача 16Нека \(n\) е естествено число. Разложете \(a^{n+3}-2a^{n+2}+a^{n+1}\) на множители.

Отговор и насока

\(a^{n+1}(a^2-2a+1)=\boxed{a^{n+1}(a-1)^2}\).

Задача 17Нека \(n\) е естествено число. Разложете на множители \(5^n+4\cdot5^{n-1}\).

Отговор и насока

\(\boxed{9\cdot5^{\,n-1}}\), защото \(5^n=5\cdot5^{n-1}\).

Задача 18Решете уравнението \(7(x-2)+3x(x-2)=0\).

Отговор и насока

\((x-2)(3x+7)=0\), следователно \(\boxed{x=2\text{ или }x=-\frac73}\).

Задача 19Решете уравнението \(4x(x+1)-12(x+1)=0\).

Отговор и насока

\(4(x+1)(x-3)=0\), следователно \(\boxed{x=-1\text{ или }x=3}\).

Задача 20Решете в зависимост от параметъра \(m\) уравнението \(2x(m+1)-3(m+1)=0\).

Отговор и насока

\((m+1)(2x-3)=0\). Ако \(m=-1\), всяко реално \(x\) е решение; ако \(m\ne-1\), \(\boxed{x=\frac32}\).

Задача 21Пресметнете рационално \(48\cdot37+48\cdot63\).

Отговор и насока

\(48(37+63)=48\cdot100=\boxed{4800}\).

Задача 22Пресметнете рационално \(101^2\cdot99+101\cdot99^2\).

Отговор и насока

\(101\cdot99(101+99)=9999\cdot200=\boxed{1\,999\,800}\).

Задача 23Докажете, че \(8n^2+8n\) се дели на \(16\) за всяко цяло число \(n\).

Отговор и насока

\(8n^2+8n=8n(n+1)\). От две последователни числа едното е четно, следователно \(n(n+1)\) се дели на \(2\), а целият израз — на \(\boxed{16}\).

Задача 24Докажете, че \(6n^3-6n\) се дели на \(36\) за всяко цяло число \(n\).

Отговор и насока

\(6n^3-6n=6n(n-1)(n+1)\). Произведението на три последователни цели числа се дели на \(6\), затова целият израз се дели на \(\boxed{36}\).

Задача 25 За надгражданеНамерете естественото число \(n\), ако \(2^{n+2}+2^{n+1}=96\).

Отговор и насока

\(2^{n+1}(2+1)=96\Rightarrow 2^{n+1}=32=2^5\Rightarrow \boxed{n=4}\).

Задача 26 За надгражданеНамерете естественото число \(n\), ако \(5^{n+1}-5^n=500\).

Отговор и насока

\(5^n(5-1)=500\Rightarrow 5^n=125=5^3\Rightarrow \boxed{n=3}\).

Задача 27 За надгражданеРазложете на множители \(x^2(x-1)-3x(x-1)+2(x-1)\).

Отговор и насока

\(\boxed{(x-1)(x^2-3x+2)}\).

Задача 28 За надгражданеРазложете на множители \(4a(b-c)-5d(c-b)+2(b-c)\).

Отговор и насока

\(\boxed{(b-c)(4a+5d+2)}\).

Задача 29 За надгражданеНамерете \(m\), ако \(6x^3+9x^2+mx=3x(x+1)(2x+1)\) е тъждество.

Отговор и насока

Дясната страна е \(6x^3+9x^2+3x\), следователно \(\boxed{m=3}\).

Задача 30 За надгражданеНамерете всички двойки естествени числа \((x,y)\), за които \(12x^2-18xy=0\).

Отговор и насока

\(6x(2x-3y)=0\). Понеже \(x\in\mathbb N\), \(x\ne0\), следователно \(2x=3y\). Всички решения са \(\boxed{(x,y)=(3k,2k),\ k\in\mathbb N}\).

---

🛍️

Партньорска препоръка

Открий нещо интересно в Ozone.bg

Книги, техника, игри, подаръци, учебни материали и още много предложения за цялото семейство.

Разгледай Ozone.bg →

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки. Това е учебна самооценка, а не стандартизирано оценяване.

Тест: Изнасяне на общ множител

Изберете по един отговор на всеки въпрос и натиснете „Край на теста“.

1Разлагането на \(5t+5m\) на множители е:

\(5(t-m)\) \(5(t+m)\) \(t(5+m)\) \(m(5t+1)\)

2Разлагането на \(3x-3y^4\) на множители е:

\(3(x+y^4)\) \(x(3-y^4)\) \(3(x-y^4)\) \(3y(x-y^3)\)

3Разлагането на \(20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3\) на множители е:

\(5x^2y^3(4+5xy+6x^2)\) \(5xy^3(4x+5x^2y+5x^3)\) \(5x^2y(4y^2+5xy^3+5x^2y^2)\) \(10x^2y^3(2+2{,}5xy+2x^2)\)

4Разлагането на \(2(2y-5)-3y(2y-5)\) на множители е:

\((2y-5)(2+3y)\) \((2y+5)(2-3y)\) \((2y-5)(2-3y)\) \((2y-5)(3y-2)\)

5Разлагането на \(x(x+2y)+y(x+2y)\) на множители е:

\((x+y)(x+2y)\) \((x+y)(x-2y)\) \((x-y)(x+2y)\) \(x(x+2y+y)\)

6Разлагането на \(xy+3xy^2\) на множители е:

\(x(y+3y^3)\) \(xy(1+3y)\) \(y(x+3x^2y)\) \(3xy(1+y)\)

7Разлагането на \(4m(5-n)-3t(n-5)\) на множители е:

\((5-n)(4m-3t)\) \((n-5)(4m+3t)\) \((5+n)(4m+3t)\) \((5-n)(4m+3t)\)

8Разлагането на \(3x(x-y)-5(x-y)^2\) на множители е:

\((x-y)(3x+5y)\) \((x-y)(8x-5y)\) \((x-y)(-2x+5y)\) \((x+y)(-2x+5y)\)

9Стойността на \(12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)\) при \(m=10\) и \(n=7\) е:

\(3600\) \(3700\) \(3800\) \(3900\)

10Рационалният начин за пресмятане на \(14\cdot85+14\cdot15\) дава:

\(1390\) \(1400\) \(1410\) \(1500\)

11Разлагането на \(7(x-z)+p(x-z)\) на множители е:

\((x+z)(7+p)\) \((x-z)(7-p)\) \((x-z)(7+p)\) \(7p(x-z)\)

12Разлагането на \(5(a+b)^2-c(a+b)\) на множители е:

\((a+b)(5a+5b+c)\) \((a+b)(5a+5b-c)\) \((a-b)(5a+5b-c)\) \((a+b)^2(5-c)\)

13Разлагането на \(2a(2x-5)+b(5-2x)\) на множители е:

\((2x+5)(2a-b)\) \((2x-5)(2a+b)\) \((2x-5)(2a-b)\) \((5-2x)(2a-b)\)

14Разлагането на \(36a^2b^2-27b^3\) на множители е:

\(9b^2(4a^2+3b)\) \(9b^2(4a^2-3b)\) \(9b(4a^2-3b^2)\) \(27b^2(4a^2-b)\)

15Разлагането на \(2(p-q)^3-3m(p-q)\) на множители е:

\((p-q)(2(p-q)^2+3m)\) \((p+q)(2(p-q)^2-3m)\) \((p-q)(2(p-q)^2-3m)\) \((p-q)^2(2p-2q-3m)\)

---

Видео урок

Видео урок — Разлагане на множители чрез общ множител

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Свързани уроци и безплатни упражнения

След като усвоите общия множител, преминете към останалите основни методи за разлагане на многочлени.

7

Разлагане чрез формулите за съкратено умножениеОбратно прилагане на изучените формули — от многочлен към произведение.Преглед на урока →

8

Разлагане чрез групиранеТърсене на общ множител след подходящо групиране на членовете.Преглед на урока →

9

Комбинирано разлагане на многочлениИзбор и последователно прилагане на няколко метода в една задача.Преглед на урока →

Безплатен материал за 7. клас

За систематична практика използвайте сборника „Разлагане на многочлени на множители“. За преговор на целите изрази и формулите е полезен и сборникът „Цели изрази и формули за съкратено умножение“.

Използвана литература

При допълването тема 15 „Разлагане на многочлени на множители. Разлагане чрез изнасяне на общ множител“ от предоставения сборник на „Коала Прес“ служи като ориентир за типовете задачи и за по-високото ниво на трудност. Новите задачи и решения са съставени за този урок и не са дословен препис.

1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆