Разлагане на многочлен чрез изнасяне на общ множител 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Разлагане на многочлени

Разлагане на многочлен
като произведение от множители

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 10 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Разлагане на многочлен като произведение чрез изнасяне на общ множител пред скоби — урок за 7 клас

Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат както едночлени, така и други многочлени. Например добре известно е, че \(a(b+c)=a \cdot b+a \cdot c\). Ако запишем това равенство в обратен ред, т.е. \(a \cdot b+a \cdot c=a(b+c)\), виждаме, че сбора от едночлените \(ab\) и \(ac\) вече сме представили като произведение.

\[a \cdot b + a \cdot c = a(b+c)\]

Нека разгледаме задачи, в които прилагаме метода на изнасяне на общ множител пред скоби.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Пресметнете рационално \(14\cdot85+14\cdot15\).

▼

Решение Първият вариант за решаването на тази задача е да пресметнем първо произведението \(14\cdot85\) и произведението \(14\cdot15\) и след това получените числа да ги съберем. Начинът не е грешен, разбира се, но не отговаря на понятието „рационален". Нека вместо това разгледаме равенството \[a \cdot b+a \cdot c=a(b+c),\] където \(a=14\), \(b=85\) и \(c=15\). Заместваме и получаваме: \[14\cdot85+14\cdot15=14(85+15)=14 \cdot 100=1400.\]

2

Разложете на множители многочлена \(5t+5m\).

▼

Решение Забелязваме, че и в двете събираеми има общ множител \(5\). Следователно: \[5t+5m=5(t+m).\]

3

Разложете на множители многочлена \(3x-3y^4\).

▼

Решение Общият множител е \(3\), така че след като го изнесем пред скоби получаваме: \[3x-3y^4=3(x-y^4).\]

4

Разложете на множители многочлена \(20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3\).

▼

Решение Забелязваме, че коефициентите на всички едночлени могат да се разделят на \(5\). Изнасяме \(5\) и също най-ниските степени на \(x\) и \(y\) — в случая \(x^2y^3\): \[20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3=5x^2y^3(4+5xy+6x^2).\]

5

Разложете на множители многочлена \(2(2y-5)-3y(2y-5)\).

▼

Решение Виждаме, че и двата члена съдържат множителя \((2y-5)\). Изнасяме го пред скоби: \[2(2y-5)-3y(2y-5)=(2y-5)(2-3y).\]

6

Разложете на множители многочлена \(x(x+2y)+y(x+2y)\).

▼

Решение Общият множител е \((x+2y)\), затова: \[x(x+2y)+y(x+2y)=(x+2y)(x+y).\]

7

Разложете на множители многочлена \(xy+3xy^2\).

▼

Решение Записваме израза като \(1 \cdot x \cdot y + 3x \cdot y \cdot y\). Общият множител е \(xy\), така че: \[xy+3xy^2=xy(1+3y).\] (Забележка: В литературата вместо \(1 \cdot xy\) се записва само \(xy\).)

8

Разложете на множители многочлена \(4m(5-n)-3t(n-5)\).

▼

Решение Виждаме, че множителите \((5-n)\) и \((n-5)\) са подобни, но не еднакви. Тъй като \((n-5)=-(5-n)\), можем да пренаредим, като изнесем знак минус. След това: \[4m(5-n)-3t(n-5)=4m(5-n)-3t[-(5-n)]=4m(5-n)+3t(5-n)=(5-n)(4m+3t).\]

9

Разложете на множители многочлена \(3x(x-y)-5(x-y)^2\).

▼

Решение Общият множител е \((x-y)\). Изнасяме го пред скоби: \[3x(x-y)-5(x-y)^2=(x-y)[3x-5(x-y)]=(x-y)(3x-5x+5y)=(x-y)(-2x+5y).\]

10

Пресметнете стойността на израза \(12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)\) при \(m=10\) и \(n=7\).

▼

Решение Общият множител е \((4m-3)\). Забелязваме, че \((3-4m)=-(4m-3)\). Следователно даденият израз можем да запишем във вида: \[12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)=12m(4m-3)-3n(4m-3)+1\cdot(4m-3)=(4m-3)(12m-3n+1).\] Замествайки \(m=10\) и \(n=7\) получаваме: \[(4\cdot10-3)(12\cdot10-3\cdot7+1)=(40-3)(120-21+1)=37\cdot100=3700.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Разложете на множители многочлена:
а) \(3mb+m\);
б) \(\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{3}x\);
в) \(15x^2y+30xy^3\);
г) \(36a^2b^2-27b^3\);
д) \(5t^7+t^{11}\).

▼ Отговор

а) \(m(3b+1)\)
б) \(\dfrac{5}{3}(1-x)\)
в) \(15xy(x+2y^2)\)
г) \(9b^2(4a^2-3b)\)
д) \(t^7(5+t^4)\)

Задача 2 Разложете на множители многочлена:
а) \(7(x-z)+p(x-z)\);
б) \(2x(a+3b)-3y(a+3b)\);
в) \((m-3)\cdot5+(m-3)\cdot3n\);
г) \((k+p)-2x(k+p)\);
д) \(3x(5y-7z)+7t(5y-7z)\).

▼ Отговор

а) \((x-z)(7+p)\)
б) \((a+3b)(2x-3y)\)
в) \((m-3)(5+3n)\)
г) \((k+p)(1-2x)\)
д) \((5y-7z)(3x+7t)\)

Задача 3 Разложете на множители многочлена:
а) \(2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x)\);
б) \(5(a+b)^2-c(a+b)\);
в) \(2(p-q)^3-3m(p-q)\);
г) \(x+y+3(x+y)\);
д) \(3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3\);
е) \(2a(2x-5)+b(5-2x)\).

▼ Отговор

а) Забел.: \(4q(y-x)=-4q(x-y)\), затова \((x-y)(2+3z-4q)\)
б) \((a+b)\bigl(5(a+b)-c\bigr)\)
в) \((p-q)\bigl(2(p-q)^2-3m\bigr)\)
г) \(4(x+y)\)
д) Забел.: \((q-p)^3=-(p-q)^3\), затова \((p-q)\bigl(3+7x(p-q)-4y(p-q)^2\bigr)\)
е) Забел.: \(b(5-2x)=-b(2x-5)\), затова \((2x-5)(2a-b)\)

Задача 4 Пресметнете стойността на израза \(x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4\) за \(x=1\) и \(y=2\).

▼ Отговор

Изнасяме общия множител: \(x^3y^2(x^3+y-x^2y^2)\).
При \(x=1\), \(y=2\): \(1\cdot4\cdot(1+2-4)=4\cdot(-1)=\mathbf{-4}\).

Задача 5 Разложете на множители многочлена:
а) \(2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2}\);
б) \((a+b+c)^2-na-nb-nc\).

▼ Отговор

а) \(a^m(2+3a+4a^2)\)
б) \(na+nb+nc=n(a+b+c)\), затова: \((a+b+c)^2-n(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c-n)\)

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Разлагане на многочлен като произведение

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Разлагането на \(5t+5m\) на множители е:

\(5(t-m)\) \(5(t+m)\) \(t(5+m)\) \(m(5t+1)\)

2Разлагането на \(3x-3y^4\) на множители е:

\(3(x+y^4)\) \(x(3-y^4)\) \(3(x-y^4)\) \(3y(x-y^3)\)

3Разлагането на \(20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3\) на множители е:

\(5x^2y^3(4+5xy+6x^2)\) \(5xy^3(4x+5x^2y+6x^3)\) \(5x^2y(4y^2+5xy^3+6x^2y^2)\) \(10x^2y^3(2+2{,}5xy+3x^2)\)

4Разлагането на \(2(2y-5)-3y(2y-5)\) на множители е:

\((2y-5)(2+3y)\) \((2y+5)(2-3y)\) \((2y-5)(2-3y)\) \((2y-5)(3y-2)\)

5Разлагането на \(x(x+2y)+y(x+2y)\) на множители е:

\((x+y)(x+2y)\) \((x+y)(x-2y)\) \((x-y)(x+2y)\) \(x(x+2y+y)\)

6Разлагането на \(xy+3xy^2\) на множители е:

\(x(y+3y^2)\) \(xy(1+3y)\) \(y(x+3xy)\) \(3xy(1+y)\)

7Разлагането на \(4m(5-n)-3t(n-5)\) на множители е:

\((5-n)(4m-3t)\) \((n-5)(4m+3t)\) \((5+n)(4m+3t)\) \((5-n)(4m+3t)\)

8Разлагането на \(3x(x-y)-5(x-y)^2\) на множители е:

\((x-y)(3x+5y)\) \((x-y)(8x-5y)\) \((x-y)(-2x+5y)\) \((x+y)(-2x+5y)\)

9Стойността на \(12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)\) при \(m=10\) и \(n=7\) е:

\(3600\) \(3700\) \(3800\) \(3900\)

10Рационалният начин за пресмятане на \(14\cdot85+14\cdot15\) дава:

\(1390\) \(1400\) \(1410\) \(1500\)

11Разлагането на \(7(x-z)+p(x-z)\) на множители е:

\((x+z)(7+p)\) \((x-z)(7-p)\) \((x-z)(7+p)\) \(7p(x-z)\)

12Разлагането на \(5(a+b)^2-c(a+b)\) на множители е:

\((a+b)(5a+5b+c)\) \((a+b)(5a+5b-c)\) \((a-b)(5a+5b-c)\) \((a+b)^2(5-c)\)

13Разлагането на \(2a(2x-5)+b(5-2x)\) на множители е:

\((2x+5)(2a-b)\) \((2x-5)(2a+b)\) \((2x-5)(2a-b)\) \((5-2x)(2a-b)\)

14Разлагането на \(36a^2b^2-27b^3\) на множители е:

\(9b^2(4a^2+3b)\) \(9b^2(4a^2-3b)\) \(9b(4a^2b-3b^2)\) \(27b^2(4a^2-b)\)

15Разлагането на \(2(p-q)^3-3m(p-q)\) на множители е:

\((p-q)(2(p-q)^2+3m)\) \((p+q)(2(p-q)^2-3m)\) \((p-q)(2(p-q)^2-3m)\) \((p-q)^2(2p-2q-3m)\)

---

Видео уроци

Видео урок — Разлагане на множители чрез общ множител

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆