Разлагане на многочлен чрез изнасяне на общ множител 7 клас
Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим, като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат, както едночлени, така и други многочлени. Например добре известно е, че \(a(b+c)=a \cdot b+a \cdot c\). Ако запишем това равенство в обратен ред, т.е. \(a \cdot b+a \cdot c=a(b+c)\), виждаме, че сбора от едночлените \(ab\) и \(bc\) вече сме представили като произведение. Да разгледаме някои задачи.
1 Задача Пресметнете рационално \(14.85+14.15\).
Решение: Първият варянт за решаването на тази задача е да пресметнем първо произведението \(14.85\) и произведението \(14.15\) и след това получените числа да ги съберем. Начинът не е грешен, разбира се, но не отговаря на понятието „рационален“. Нека вместо това разгледаме равенството \(a \cdot b+a \cdot c=a(b+c)\), където \(a=14\), \(b=85\) и \(c=15\). Заместваме и получаваме: \[ 14.85+14.15=14(85+15)=14 \cdot 100=1400. \]
2 Задача Да се разложи на множители многочлена \(5t+5m\).
Решение: Забелязваме, че и в двете събираеми има общ множител \(5\). Следователно: \[ 5t+5m=5(t+m). \]
3 Задача Да се разложи на множители многочлена \(3x-3y^4\).
Решение: Общият множител е \(3\), така че след като го изнесем пред скоби получаваме: \[ 3x-3y^4=3(x-y^4). \]
4 Задача Да се разложи на множители многочлена \[ 20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3. \]
Решение: Забелязваме, че коефициентите на всички едночлени могат да се разделят на \(5\). Изнасяме \(5\) и също най-ниските степени на \(x\) и \(y\) – в случая \(x^2y^3\): \[ 20x^2y^3+25x^3y^4+30x^4y^3=5x^2y^3(4+5xy+6x^2). \]
5 Задача Да се разложи на множители многочлена \(2(2y-5)-3y(2y-5)\).
Решение: Виждаме, че и двата члена съдържат множителя \((2y-5)\). Изнасяме го пред скоби: \[ 2(2y-5)-3y(2y-5)=(2y-5)(2-3y). \]
6 Задача Да се разложи на множители многочлена \(x(x+2y)+y(x+2y)\).
Решение: Общият множител е \(x+2y\), затова: \[ x(x+2y)+y(x+2y)=(x+2y)(x+y). \]
7 Задача Да се разложи на множители многочлена \(xy+3xy^2\).
Решение: Записваме израза като \(1 \cdot x \cdot y + 3x \cdot y \cdot y\). Общият множител е \(xy\), така че: \[ xy+3xy^2=xy(1+3y). \] (Забележка: В литературата вместо \(1 \cdot xy\) се записва само \(xy\).)
8 Задача Да се разложи на множители многочлена \(4m(5-n)-3t(n-5)\).
Решение: Виждаме, че множителите \((5-n)\) и \((n-5)\) са подобни, но не еднакви. Тъй като \((n-5)=-(5-n)\), можем да пренаредим, като изнесем знак минус. След това: \[ 4m(5-n)-3t(n-5)=4m(5-n)-3t[-(5-n)]=4m(5-n)+3t(5-n)=(5-n)(4m+3t). \]
9 Задача Да се разложи на множители многочлена \(3x(x-y)-5(x-y)^2\).
Решение: Общият множител е \((x-y)\). Изнасяме го пред скоби: \[ 3x(x-y)-5(x-y)^2=(x-y)[3x-5(x-y)]=(x-y)(3x-5x+5y)=(x-y)(-2x+5y). \]
10 Задача Пресметнете стойността на израза \(12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)\) при \(m=10\) и \(n=7\).
Решение: Общият множител е \((4m-3)\). Забелязваме, че \((3-4m)=-(4m-3)\). Следователно даденият израз можем да запишем във вида: \[ 12m(4m-3)-3n(4m-3)-(3-4m)=12m(4m-3)-3n(4m-3)+1\cdot(4m-3)=(4m-3)(12m-3n+1). \] Замествайки \(m=10\) и \(n=7\) получаваме: \[ (4\cdot10-3)(12\cdot10-3\cdot7+1)=(40-3)(120-21+1)=37\cdot100=3700. \]
Задачи за самостоятелна работа
1. Да се разложи на множители многочлена:
а) \(3mb+m\);
б) \(\frac{5}{3}-\frac{5}{3}x\);
в) \(15x^2y+30xy^3\);
г) \(36a^2b^2-27b^3\);
д) \(5t^7+t^{11}\).
2. Да се разложи на множители многочлена:
а) \(7(x-z)+p(x-z)\);
б) \(2x(a+3b)-3y(a+3b)\);
в) \((m-3)5+(m-3)3n\);
г) \((k+p)-2x(k+p)\);
д) \(3x(5y-7z)+7t(5y-7z)\).
3. Да се разложи на множители многочлена:
а) \(2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x)\);
б) \(5(a+b)^2-c(a+b)\);
в) \(2(p-q)^3-3m(p-q)\);
г) \(x+y+3(x+y)\);
д) \(3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3\);
е) \(2a(2x-5)+b(5-2x)\).
4. Пресметнете стойността на израза \(x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4\), за \(x=1\) и \(y=2\).
5. Да се разложи на множители многочлена:
а) \(2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2}\);
б) \((a+b+c)^2-na-nb-nc\).
Видео уроци
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар