Разлагане на многочлен на множители чрез комбинирано прилагане на различни методи 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Разлагане на многочлени

Разлагане на многочлени
Комбиниран метод

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 7 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Комбиниран метод за разлагане на многочлени на множители — урок за 7 клас

При комбинирания метод на разлагане се прилагат някои от вече изучените основни методи. Последователността на прилагане е следната:

1. Изнасяме общ множител пред скоби (ако е възможно).
2. Прилагаме някоя от формулите за съкратено умножение (ако е възможно).
3. След като сме приключили с прилагането на горните два метода, многочленът разлагаме чрез групиране.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Разложете на множители многочлена \(18x^2-8\).

▼

Решение Забелязваме, че в дадения многочлен можем да изнесем общ множител 2, следователно получаваме \(2(9x^2-4)\). Сега за израза в скобите можем да приложим формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), следователно: \[2(9x^2-4)=2(3x-2)(3x+2).\] Ясно се вижда последователността, с която разложихме дадения многочлен. Първо изнесохме общ множител пред скоби, а после приложихме една от формулите.

2

Разложете на множители многочлена \(3y^2-12y+12\).

▼

Решение В дадения многочлен можем да изкараме общ множител 3, следователно получаваме \(3(y^2-4y+4)\). Сега за израза в скобите прилагаме формулата \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\), от където: \[3(y^2-4y+4)=3(y-2)^2.\]

3

Разложете на множители многочлена \(4x^2-25y^2+4x+1\).

▼

Решение Прилагайки разместителното свойство, дадения многочлен можем да запишем във вида: \[4x^2+4x+1-25y^2.\] Разпознаваме квадрат на двучлен в първите три члена — прилагаме формулата \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) с \(a=2x\) и \(b=1\): \[(2x+1)^2-25y^2=(2x+1)^2-(5y)^2.\] Сега прилагаме формулата за разлика на квадрати \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) с \(a=2x+1\) и \(b=5y\): \[(2x+1)^2-(5y)^2=(2x+1-5y)(2x+1+5y).\]

4

Разложете на множители многочлена \(m^5-5m^3+4m\).

▼

Решение Записваме дадения многочлен във вида: \[m^5-4m^3-m^3+4m=(m^5-4m^3)-(m^3-4m).\] Сега от първата и втората скоба забелязваме, че можем да изнесем общ множител, съответно \(m^3\) и \(m\), следователно: \[(m^5-4m^3)-(m^3-4m)=m^3(m^2-4)-m(m^2-4).\] Изнасяме пред скоби \((m^2-4)\), така получаваме: \[m^3(m^2-4)-m(m^2-4)=(m^2-4)(m^3-m).\] За израза в първата скоба прилагаме формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), а от израза във втората скоба изнасяме общ множител \(m\) и прилагаме и за него формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Така окончателно: \[m^5-5m^3+4m=m(m-2)(m+2)(m-1)(m+1).\]

5

Разложете на множители многочлена \(x^2+8x+12\).

▼

Решение Записваме дадения многочлен във вида \(x^2+2\cdot x\cdot4+16-4\). Прилагаме формулата \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), където \(a=x\) и \(b=4\), и получаваме \((x+4)^2-4\). Сега за получения израз прилагаме формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), при \(a=(x+4)\) и \(b=2\). Така получаваме окончателно: \[x^2+8x+12=(x+4-2)(x+4+2)=(x+2)(x+6).\]

6

Докажете, че многочленът \(2a^4-a^2b^2-b^4\) се дели на \(2a^2+b^2\). На кои други двучлени се дели дадения многочлен?

▼

Решение Записваме многочлена във вида \(a^4+a^4-a^2b^2-b^4\). Сега групираме по следния начин: \(a^4-b^4+a^4-a^2b^2\). За първото и второто събираемо прилагаме формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), а за последните две събираеми изнасяме \(a^2\) като общ множител пред скоби, следователно: \[a^4-b^4+a^4-a^2b^2=(a^2-b^2)(a^2+b^2)+a^2(a^2-b^2).\] Изнасяме общия множител \((a^2-b^2)\), от където: \[(a^2-b^2)(a^2+b^2+a^2)=(a-b)(a+b)(2a^2+b^2).\] Ясно се вижда, че в полученото произведение имаме множител \((2a^2+b^2)\) и следователно дадения израз се дели на него. Също така изразът се дели и на двучлените \((a-b)\) и \((a+b)\), защото те също са множители в полученото произведение. ■

7

Разложете на множители многочлена \(z^3-5z^2-5z+1\).

▼

Решение Представяме многочлена във вида \(z^3+1-5z^2-5z\). Групираме първите две събираеми, за които прилагаме формулата \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), и вторите две, за които пък можем да изнесем общ множител \(-5z\). Така получаваме: \[z^3+1-5z^2-5z=(z+1)(z^2-z+1)-5z(z+1)=(z+1)(z^2-z+1-5z)=(z+1)(z^2-6z+1).\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Разложете на множители многочлена:
а) \(b^5-a^4-a+1\);
б) \(y^2-10y+25-9x^2\);
в) \(x^2-6x+9+2ax-6a\);
г) \(b^3-3b^2+4\);
д) \(a^3+a^2-4a-4\).

Задача 2 Разложете на множители многочлена:
а) \((1+2ab)^2-(a+b)^2\);
б) \(5x^{n-1}+5x^n\).

Задача 3 Докажете, че многочленът \(A=-x^3+3x+2\) се дели на многочлена \(B=x+1\) и намерете частното \(\dfrac{A}{B}\). Намерете стойността на \(\dfrac{A}{B}\) за \(x=-2\).

Задача 4 Докажете, че многочленът \(c^2+3c-4\) се дели на двучлена \(c-1\). На кой друг двучлен се дели дадения многочлен? Намерете числената стойност на многочлена, като \(c\) се замени със стойността на израза \(C=-\!\left(-\dfrac{2}{3}\cdot1\dfrac{1}{2}\right)^{-7}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Комбиниран метод за разлагане на многочлени

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Разлагането на \(18x^2-8\) на множители е:

\(2(3x-2)^2\) \(2(9x^2-4)\) \(2(3x-2)(3x+2)\) \((6x-4)(3x+2)\)

2Разлагането на \(3y^2-12y+12\) на множители е:

\(3(y-2)(y+2)\) \(3(y+2)^2\) \(3(y-2)^2\) \((3y-6)^2\)

3Разлагането на \(4x^2-25y^2+4x+1\) на множители е:

\((2x-1-5y)(2x-1+5y)\) \((2x+1-5y)(2x+1+5y)\) \((2x+5y+1)(2x-5y-1)\) \((2x+1)^2-(5y)^2\)

4Разлагането на \(x^2+8x+12\) на множители е:

\((x+3)(x+4)\) \((x+4)^2-4\) \((x+2)(x+6)\) \((x+1)(x+12)\)

5Разлагането на \(m^5-5m^3+4m\) на множители е:

\(m(m^2-4)(m^2-1)\) \(m(m-2)(m+2)(m-1)(m+1)\) \(m(m-4)(m-1)\) \(m^2(m^3-5m+4)\)

6Разлагането на \(2a^4-a^2b^2-b^4\) на множители е:

\((a-b)(a+b)(2a^2-b^2)\) \((a^2-b^2)(2a^2+b^2)\) \((a-b)(a+b)(2a^2+b^2)\) \((a^2+b^2)(2a^2-b^2)\)

7Разлагането на \(z^3-5z^2-5z+1\) на множители е:

\((z-1)(z^2-6z+1)\) \((z+1)(z^2-6z+1)\) \((z+1)(z^2+6z+1)\) \((z-1)(z^2+6z-1)\)

8Разлагането на \(y^2-10y+25-9x^2\) на множители е:

\((y-5-3x)(y-5+3x)\) \((y+5-3x)(y+5+3x)\) \((y-5)^2-9x^2\) \((y-5-x)(y-5+9x)\)

9Разлагането на \(a^3+a^2-4a-4\) на множители е:

\((a-1)(a-2)(a+2)\) \((a+1)(a+2)(a-2)\) \((a+1)(a^2-4)\) \((a-1)(a^2+4)\)

10Разлагането на \(x^2-6x+9+2ax-6a\) на множители е:

\((x+3)(x+3+2a)\) \((x-3)(x-3-2a)\) \((x-3)(x-3+2a)\) \((x-3)^2+2a(x-3)\)

11Разлагането на \((1+2ab)^2-(a+b)^2\) на множители е:

\((1+2ab-a+b)(1+2ab+a+b)\) \((1+2ab-a-b)(1+2ab+a+b)\) \((1-2ab-a-b)(1+2ab+a+b)\) \((2ab-a-b)(2ab+a+b+2)\)

12Разлагането на \(5x^{n-1}+5x^n\) на множители е:

\(5x^n(1+x)\) \(5x^{n-1}(1+x)\) \(5x^{n+1}(1+x)\) \(x^{n-1}(5+5x)\)

13Разлагането на \(b^3-3b^2+4\) на множители е:

\((b-1)(b-2)^2\) \((b+1)(b+2)^2\) \((b+1)(b-2)^2\) \((b-1)(b+2)^2\)

14Стойността на \(3y^2-12y+12\) при \(y=4\) е:

\(6\) \(12\) \(18\) \(24\)

15Стойността на \(18x^2-8\) при \(x=1\) е:

\(8\) \(10\) \(12\) \(14\)

---

Видео уроци

Видео урок — Комбиниран метод за разлагане на многочлени

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆