Разлагане на многочлен на множители чрез групиране 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Разлагане на многочлени

Разлагане на многочлени
чрез метода на групиране

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 7 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Метод на групиране при разлагане на многочлени на множители — урок за 7 клас

При прилагане на метода на групиране, многочленът, който трябва да разложим, се представя като сбор от няколко други многочлена, като от всеки от тях ще се стремим да изнесем общ множител. Така, ако след изнасянето на общите множители във всяка от скобите остане един и същи многочлен, изнасяме и него извън скоби. Казаното ще илюстрираме с няколко примера.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Пресметнете по рационален начин стойността на израза \(21\cdot56+21\cdot44+79\cdot56+79\cdot44\).

▼

Решение Забелязваме, че от първите две събираеми можем да изкараме \(21\) пред скоби, а от последните две събираеми \(79\), следователно \[21\cdot56+21\cdot44+79\cdot56+79\cdot44=21(56+44)+79(56+44).\] Сега лесно се вижда, че отново можем да изнесем пред скоби \((56+44)\), така получаваме \[(56+44)(21+79)=100\cdot100=10\,000.\]

2

Представете като произведение от два многочлена израза \(4b(a-3)+3c(a-3)\).

▼

Решение В този израз двучлените, които са в скобите, са едни и същи и можем да ги изнесем като общ множител, т.е. \[4b(a-3)+3c(a-3)=(a-3)(4b+3c).\]

3

Разложете на множители многочлена \(ma+mb+5a+5b\).

▼

Решение От първите две събираеми можем да изнесем \(m\) като общ множител, а от последните две — \(5\), получаваме \[m(a+b)+5(a+b).\] Сега изнасяме \((a+b)\), от където: \[m(a+b)+5(a+b)=(a+b)(m+5).\] (Задачата може да се реши и по друг начин — групирайки \(ma\) с \(5a\) и \(mb\) с \(5b\), получаваме същия резултат.)

4

Разложете на множители многочлена \(amx+amy-bmx-bmy\).

▼

Решение Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме общите множители — за първите две \(am\) и за последните две \(bm\): \[amx+amy-bmx-bmy=am(x+y)-bm(x+y).\] Изнасяме \((x+y)\): \[am(x+y)-bm(x+y)=(x+y)(am-bm).\] Забелязваме, че във втората скоба можем да изнесем още \(m\), така че окончателно: \[(x+y)(am-bm)=m(x+y)(a-b).\]

5

Разложете на множители многочлена \(y^2+(a+b)y+ab\).

▼

Решение Първо разкриваме скобите: \[y^2+(a+b)y+ab = y^2+ay+by+ab.\] Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме съответно \(y\) и \(b\): \[y^2+ay+by+ab = y(y+a)+b(y+a)=(y+a)(y+b).\]

6

Докажете, че ако \(x\) и \(y\) са числа с еднакви знаци, то изразът \(x^3y+xy^3+3x^2+3y^2\) приема само неотрицателни стойности.

▼

Решение Групираме първите две и последните две събираеми, като изнасяме общите множители — за първите две \(xy\), а за последните две \(3\): \[x^3y+xy^3+3x^2+3y^2=xy(x^2+y^2)+3(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(xy+3).\] Тъй като \(x^2+y^2 \geq 0\) за всяко \(x,y\), и \(xy \geq 0\) когато \(x\) и \(y\) имат еднакви знаци, изразът е неотрицателен. Той е равен на 0 само когато \(x = y = 0\). ■

7

Разложете на множители многочлена \(x^2+5mx+4m^2\).

▼

Решение Записваме многочлена като: \[x^2+5mx+4m^2 = x^2+mx+4mx+4m^2.\] Групираме първите две събираеми (изнасяме \(x\)) и последните две (изнасяме \(4m\)): \[x(x+m)+4m(x+m)=(x+m)(x+4m).\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Разложете на множители многочлена:
а) \(a-b+ax-bx\);
б) \(a^2+ab+ma+mb\);
в) \(3a^2x+6ax-2ay-4y\);
г) \(5xy^2z+5xyz^2+7y+7z\);
д) \(7ax^2+abx+7x+b\).

Задача 2 Разложете на множители многочлена:
а) \(7(x-z)+p(x-z)\);
б) \(2x(a+3b)-3y(a+3b)\);
в) \((m-3)\cdot5+(m-3)\cdot3n\);
г) \((k+p)-2x(k+p)\);
д) \(3x(5y-7z)+7t(5y-7z)\).

Задача 3 Разложете на множители многочлена:
а) \(2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x)\);
б) \(5(a+b)^2-c(a+b)\);
в) \(2(p-q)^3-3m(p-q)\);
г) \(x+y+3(x+y)\);
д) \(3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3\);
е) \(2a(2x-5)+b(5-2x)\).

Задача 4 Пресметнете стойността на израза \(x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4\) за \(x=1\) и \(y=2\).

Задача 5 Разложете на множители многочлена:
а) \(2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2}\);
б) \((a+b+c)^2-na-nb-nc\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Разлагане чрез метода на групиране

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Рационалният начин за пресмятане на \(21\cdot56+21\cdot44+79\cdot56+79\cdot44\) дава:

\(9\,900\) \(10\,000\) \(10\,100\) \(9\,800\)

2Разлагането на \(4b(a-3)+3c(a-3)\) на множители е:

\((a+3)(4b+3c)\) \((a-3)(4b-3c)\) \((a-3)(4b+3c)\) \((4b+3c)(a+3)\)

3Разлагането на \(ma+mb+5a+5b\) на множители е:

\((a-b)(m+5)\) \((a+b)(m-5)\) \((a+b)(m+5)\) \(m(a+b)+5\)

4Разлагането на \(amx+amy-bmx-bmy\) на множители е:

\(m(x+y)(a+b)\) \(m(x-y)(a-b)\) \(m(x+y)(a-b)\) \((x+y)(am-b)\)

5Разлагането на \(y^2+(a+b)y+ab\) на множители е:

\((y-a)(y-b)\) \((y+a)(y+b)\) \((y+a)(y-b)\) \((y-a)(y+b)\)

6Разлагането на \(x^2+5mx+4m^2\) на множители е:

\((x+2m)(x+2m)\) \((x+m)(x+4m)\) \((x-m)(x-4m)\) \((x+4m)(x-m)\)

7Разлагането на \(x^3y+xy^3+3x^2+3y^2\) на множители е:

\((x^2+y^2)(xy-3)\) \((x^2-y^2)(xy+3)\) \((x^2+y^2)(xy+3)\) \(xy(x^2+y^2)+3\)

8Разлагането на \(a-b+ax-bx\) на множители е:

\((a+b)(1+x)\) \((a-b)(1-x)\) \((a-b)(1+x)\) \(a(1+x)-b\)

9Разлагането на \(a^2+ab+ma+mb\) на множители е:

\((a+b)(a-m)\) \((a+b)(a+m)\) \((a-b)(a+m)\) \(a(a+b)+m\)

10Разлагането на \(7ax^2+abx+7x+b\) на множители е:

\((7x-b)(ax+1)\) \((7x+b)(ax-1)\) \((7x+b)(ax+1)\) \(x(7ax+ab)+7x+b\)

11Разлагането на \(5xy^2z+5xyz^2+7y+7z\) на множители е:

\((y+z)(5xyz-7)\) \((y-z)(5xyz+7)\) \((y+z)(5xyz+7)\) \(5xyz(y+z)+7\)

12Разлагането на \(3a^2x+6ax-2ay-4y\) на множители е:

\((a+2)(3ax+2y)\) \((a-2)(3ax-2y)\) \((a+2)(3ax-2y)\) \(3ax(a+2)-2y\)

13Разлагането на \((k+p)-2x(k+p)\) на множители е:

\((k+p)(1+2x)\) \((k-p)(1-2x)\) \((k+p)(1-2x)\) \((k+p)-2x\)

14Разлагането на \(2x(a+3b)-3y(a+3b)\) на множители е:

\((a+3b)(2x+3y)\) \((a-3b)(2x-3y)\) \((a+3b)(2x-3y)\) \(2x(a+3b)-3y\)

15Стойността на \(x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4\) за \(x=1\) и \(y=2\) е:

\(-4\) \(-2\) \(2\) \(4\)

---

Видео уроци

Видео урок — Разлагане чрез метода на групиране

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆