Разлагане на многочлен на множители чрез групиране 7 клас
1 Задача Да се пресметне по рационален начин стойността на израза \(21.56+21.44+79.56+79.44\).
Решение: Забелязваме, че от първите две събираеми можем да изкараме \(21\) пред скоби, а от последните две събираеми \(79\), следователно \[ 21.56+21.44+79.56+79.44=21(56+44)+79(56+44). \] Сега лесно се вижда, че отново можем да изнесем пред скоби \((56+44)\), така получаваме \[ (56+44)(21+79)=100\cdot100=10\,000. \]
2 Задача Да се представи като произведение от два многочлена следният израз \(4b(a-3)+3c(a-3)\).
Решение: В този израз двучлените, които са в скобите, са едни и същи и можем да ги изнесем като общ множител, т.е. \[ 4b(a-3)+3c(a-3)=(a-3)(4b+3c). \]
3 Задача Да се разложи на произведение от прости множители многочлена \(ma+mb+5a+5b\).
Решение: От първите две събираеми можем да изнесем \(m\) като общ множител, а от последните две – \(5\), получаваме \[ m(a+b)+5(a+b). \] Сега изнасяме \((a+b)\), от където: \[ m(a+b)+5(a+b)=(a+b)(m+5). \] (Задачата може да се реши и по друг начин – групирайки \(ma\) с \(5a\) и \(mb\) с \(5b\), получаваме същия резултат.)
4 Задача Да се разложи на произведение от прости множители многочлена \(amx+amy-bmx-bmy\).
Решение: Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме общите множители – за първите две \(am\) и за последните две \(bm\): \[ amx+amy-bmx-bmy=am(x+y)-bm(x+y). \] Изнасяме \((x+y)\): \[ am(x+y)-bm(x+y)=(x+y)(am-bm). \] Забелязваме, че във втората скоба можем да изнесем още \(m\), така че окончателно: \[ (x+y)(am-bm)=m(x+y)(a-b). \]
5 Задача Да се разложи на множители многочлена \(y^2+(a+b)y+ab\).
Решение: Първо разкриваме скобите: \[ y^2+(a+b)y+ab = y^2+ay+by+ab. \] Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме съответно \(y\) и \(b\): \[ y^2+ay+by+ab = y(y+a)+b(y+a)=(y+a)(y+b). \]
6 Задача Докажете, че ако \(x\) и \(y\) са числа с еднакви знаци, то изразът \(x^3y+xy^3+3x^2+3y^2\) приема само неотрицателни стойности.
Решение: Групираме първите две и последните две събираеми, като изнасяме общите множители – за първите две \(xy\), а за последните две \(3\): \[ x^3y+xy^3+3x^2+3y^2=xy(x^2+y^2)+3(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(xy+3). \] Тъй като \(x^2+y^2 \ge 0\) за всяко \(x,y\), и \(xy \ge 0\) когато \(x\) и \(y\) имат еднакви знаци, изразът е неотрицателен. Той е равен на 0 само когато \(x = y = 0\).
7 Задача Да се разложи на множители многочлена \(x^2+5mx+4m^2\).
Решение: Записваме многочлена като: \[ x^2+5mx+4m^2 = x^2+mx+4mx+4m^2. \] Групираме първите две събираеми (изнасяме \(x\)) и последните две (изнасяме \(4m\)): \[ x(x+m)+4m(x+m)=(x+m)(x+4m). \]
Задачи за самостоятелна работа
1. Да се разложи на множители многочлена:
- а) \(a-b+ax-bx\);
- б) \(a^2+ab+ma+mb\);
- в) \(3a^2x+6ax-2ay-4y\);
- г) \(5xy^2z+5xyz^2+7y+7z\);
- д) \(7ax^2+abx+7x+b\).
2. Да се разложи на множители многочлена:
- а) \(7(x-z)+p(x-z)\);
- б) \(2x(a+3b)-3y(a+3b)\);
- в) \((m-3)5+(m-3)3n\);
- г) \((k+p)-2x(k+p)\);
- д) \(3x(5y-7z)+7t(5y-7z)\).
3. Да се разложи на множители многочлена:
- а) \(2(x-y)+3z(x-y)+4q(y-x)\);
- б) \(5(a+b)^2-c(a+b)\);
- в) \(2(p-q)^3-3m(p-q)\);
- г) \(x+y+3(x+y)\);
- д) \(3(p-q)+7x(p-q)^2+4y(q-p)^3\);
- е) \(2a(2x-5)+b(5-2x)\).
4. Пресметнете стойността на израза \(x^6y^2+x^3y^3-x^5y^4\), за \(x=1\) и \(y=2\).
5. Да се разложи на множители многочлена:
- а) \(2a^m+3a^{m+1}+4a^{m+2}\);
- б) \((a+b+c)^2-na-nb-nc\).
Видео уроци
За да проверите знанията си върху темата "Едночлен, действия с едночлени" може да направите теста, който ще намерите в следния линк:
https://docs.google.com/forms/d/1z1cNj0UQN2onOU3cWPDA7mmWBTjGSni0dgjGIQxymMg/
13. Сп. Математика +
Коментари
Публикуване на коментар