Общи задачи от формулите за съкратено умножение 7 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
Математика › 7 клас › Алгебра › Формули за съкратено умножение
Формули за съкратено умножение
Общи задачи
Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест
Общи задачи с всички формули за съкратено умножение — урок за 7 клас
В този урок прилагаме комбинирано всички формули за съкратено умножение, изучавани в 7 клас. Задачите изискват умение за разпознаване на подходящата формула и гъвкаво боравене с тях. Нека припомним формулите:
- 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
- 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
- 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
- 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)
Разработени задачи
Кликнете върху задача, за да видите решението.
1
Намерете числената стойност на израза \(a^2+b^2\), ако \(a+b=5\) и \(ab=9\).
▼
Решение
Припомняме си формулата
\[(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.\]
Оттук получаваме:
\[a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2-2\cdot9 = 25 - 18 = 7.\]
2
Докажете тъждеството \((ab+cd)^2 = (a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ad-cb)^2\).
▼
Решение
Разглеждаме лявата страна:
\[(ab+cd)^2 = a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2.\]
Сега дясната страна:
\[(a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ad-cb)^2 = a^2b^2 + a^2d^2 + c^2b^2 + c^2d^2 - \left(a^2d^2 - 2adcb + c^2b^2\right).\]
Разпределяме минуса:
\[= a^2b^2 + a^2d^2 + c^2b^2 + c^2d^2 - a^2d^2 + 2adcb - c^2b^2.\]
Групираме подобните членове:
\[= a^2b^2 + c^2d^2 + 2abcd.\]
Така получаваме, че ЛС = ДС и тъждеството е доказано. ■
3
Намерете \(x^3+y^3\), ако \(x+y=t\) и \(x^2+y^2=k\).
▼
Решение
Използваме формулата
\[x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2).\]
Можем да я запишем като:
\[x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2+xy).\]
От условието знаем, че \(x+y=t\) и \(x^2+y^2=k\). За да намерим \(xy\), използваме:
\[(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \quad \Longrightarrow \quad 2xy=t^2-k,\]
тоест:
\[xy=\frac{t^2-k}{2}.\]
След това:
\[x^3+y^3 = t\left(k + \frac{t^2-k}{2}\right) = \frac{t}{2}(t^2+k).\]
(Забележка: Формулата може да се запише и в друга еквивалентна форма.)
4
Приведете многочлена \(B=\dfrac{(x-m)^2}{2}+\dfrac{(m-x)(m+x)}{4}-\dfrac{x(3x-m)}{12}\) в нормален вид.
▼
Решение
Общият знаменател на дробите е 12, така че:
\[B=\frac{6(x-m)^2+3(m-x)(m+x)-x(3x-m)}{12}.\]
Разглеждаме числителя:
\[6(x-m)^2 = 6x^2-12mx+6m^2,\]
\[3(m-x)(m+x) = 3(m^2-x^2)= 3m^2-3x^2,\]
\[-x(3x-m) = -3x^2+mx.\]
Сумирайки:
\[6x^2-12mx+6m^2 + 3m^2-3x^2 - 3x^2+mx = (6x^2-3x^2-3x^2) + (-12mx+mx) + (6m^2+3m^2).\]
Получаваме:
\[= 0\cdot x^2 - 11mx + 9m^2.\]
Следователно:
\[B=\frac{9m^2-11mx}{12} = \frac{3}{4}m^2-\frac{11}{12}mx.\]
5
Стойността на израза \((x+11)^2+(x-11)^2-2(x-3)(x+3)\) зависи ли от стойностите на \(x\)?
▼
Решение
Разкриваме скобите:
\[(x+11)^2=x^2+22x+121,\quad (x-11)^2=x^2-22x+121,\]
и
\[(x-3)(x+3)=x^2-9.\]
Следователно:
\[(x+11)^2+(x-11)^2-2(x-3)(x+3)= (x^2+22x+121)+(x^2-22x+121)-2(x^2-9).\]
Групирайки:
\[=2x^2+242-2x^2+18 = 260.\]
Тъй като резултатът е константа, изразът не зависи от \(x\). ■
6
Сравнете числените стойности на \(A=(x-2)(x^2+2x+4)-(x-1)^3-2\) и \(B=3(x^2-x-3)\) при едно и също \(x\).
▼
Решение
Изчисляваме:
\[(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8,\]
а
\[(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1.\]
Следователно:
\[A=x^3-8 - (x^3-3x^2+3x-1)-2 = x^3-8-x^3+3x^2-3x+1-2,\]
което опростява до:
\[A=3x^2-3x-9.\]
От друга страна:
\[B=3(x^2-x-3)=3x^2-3x-9.\]
Така \(A=B\) за всяко \(x\). ■
7
Опростете израза \((x-1)(x^2+x+1)-(x+1)(x^2-x+1)+(x+1)^2-(x+2)(x-2)\) и намерете числената му стойност при \(x=1\tfrac{1}{2}\).
▼
Решение
Разглеждаме поотделно:
\[(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1,\]
\[(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1,\]
\[(x+1)^2=x^2+2x+1,\]
\[(x+2)(x-2)=x^2-4.\]
Следователно:
\[(x^3-1) - (x^3+1) + (x^2+2x+1) - (x^2-4).\]
Опростяваме:
\[= x^3-1-x^3-1+x^2+2x+1-x^2+4 = 2x+3.\]
При \(x=1\tfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\):
\[2\cdot\frac{3}{2}+3=3+3=6.\]
8
Пресметнете рационално израза \(\dfrac{(63+28)(63^2-63\cdot28+28^2)}{a(63^3+28^3)}+\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\!\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) при \(a=9\), \(b=2\), \(c=3\).
▼
Решение
Забелязваме, че
\[63^3+28^3=(63+28)(63^2-63\cdot28+28^2).\]
Оттук:
\[\frac{(63+28)(63^2-63\cdot28+28^2)}{a(63^3+28^3)} = \frac{1}{a}.\]
За втория компонент използваме формулата за сбор по разлика:
\[\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}.\]
Следователно изразът става:
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{c^2}.\]
Замествайки \(a=9\), \(b=2\) и \(c=3\):
\[\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{1}{4}.\]
Задачи за самостоятелна работа
Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.
Задача 1
Докажете тъждеството
\[(a+b+c)^2+(-a+b+c)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2=4(a^2+b^2+c^2).\]
Задача 2
За коя стойност на параметъра \(a\) многочленът
\[4x(x^2-3x+a)-8ax^2(x-4)^2+12(x-1)(x^2+x+1)\]
не съдържа член от трета степен в нормалния си вид?
Задача 3
Намерете стойността на многочлена
\[\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+4\left(5x-\frac{9}{4}\right)-\left(\frac{x}{2}-2\right)\left(\frac{x}{2}+2\right),\]
при \(x=-\dfrac{2^4}{4^3}\).
Задача 4
Приведете многочлена
\[M=12\left(\frac{4x+1}{4}-\frac{3x-2}{3}+\frac{x^3}{12}\right)-\frac{2(1-x)^2-4x^2}{2}+(2-x)^3\]
в нормален вид и пресметнете неговата стойност при \(x=-\dfrac{1}{2}\).
Задача 5
Приведете израза \((x+1)(x-1)-(-x-2)^2\) в нормален вид.
Задача 6
Намерете стойността на израза
\[(x-2)^2-2(x-2)(x+2)+(x+2)^2-2x,\]
при \(x=-\left|-\dfrac{3}{4}\right|\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Общи задачи с формули за съкратено умножение
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео уроци
Видео урок 1 — Общи задачи
Видео урок 2 — Приложения
Допълнителни тестове
Тест: Едночлен, действия с едночлени
docs.google.com/forms →
Тест: Многочлени, действия с многочлени
docs.google.com/forms →
Използвана литература
- 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
- 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
- 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
- 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
- 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
- 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
- 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
- 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
- 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
- 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
- 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
- 12.Сп. Математика; Сп. Математика+
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
Коментари
Публикуване на коментар