Формули за съкратено умножение - $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Формули за съкратено умножение

Формули за съкратено умножение
Сбор по разлика

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 13 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Формула за сбор по разлика: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) — урок с разработени задачи и тест за 7 клас

Продължаваме с формулите за съкратено умножение. В този урок разглеждаме формулата за сбор по разлика — едно от най-важните тъждества в алгебрата за 7 клас. Нека припомним всички формули:

1. 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
2. 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
3. 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
4. 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)

В тази статия разглеждаме формула № 2 — Сбор по разлика:

\[(a - b)(a + b) = a^2 - b^2\]

Нека разгледаме някои задачи, с които ще илюстрираме нейните приложения.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Извършете умножението \((x+y)(x-y)\).

▼

Решение Забелязваме, че тъй като умножението е комутативно, имаме: \[(x+y)(x-y)=(x-y)(x+y).\] Сега прилагаме формулата \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2,\] където \(a=x\) и \(b=y\). Получаваме: \[(x-y)(x+y)=x^2-y^2.\]

2

Извършете умножението \((3x-4y)(3x+4y)\).

▼

Решение Прилагаме формулата \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2,\] в този случай \(a=3x\) и \(b=4y\). Следователно: \[(3x-4y)(3x+4y)=(3x)^2-(4y)^2=9x^2-16y^2.\]

3

Извършете умножението \((x^2-z)(x^2+z)\).

▼

Решение Прилагаме формулата \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2,\] с \(a=x^2\) и \(b=z\). Получаваме: \[(x^2-z)(x^2+z)=(x^2)^2-z^2=x^4-z^2.\] Нека да припомним свойството за степенуване на степен, което използвахме в разглежданата задача: \[(a^n)^m=a^{n\cdot m}.\]

4

Пресметнете по рационален начин \(17 \cdot 23\).

▼

Решение Представяме \(17 \cdot 23\) като произведение: \[17 \cdot 23 = (20-3)(20+3),\] след което прилагаме формулата \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2.\] Получаваме: \[(20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391.\]

5

Опростете израза \((3x-1)(3x+1)-(x-2)(x+2)\).

▼

Решение Използваме формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) за двете произведения: \[(3x-1)(3x+1)=(3x)^2-1^2=9x^2-1,\] и \[(x-2)(x+2)=x^2-2^2=x^2-4.\] Сега изваждаме: \[9x^2-1-(x^2-4)=9x^2-1-x^2+4=8x^2+3.\]

6

Опростете израза \((x+2)^2-(x+1)(x-1)\).

▼

Решение Използваме формулата за квадрата на сбор: \[(x+2)^2 = x^2+4x+4,\] и формулата за разлика на квадрати: \[(x+1)(x-1)=x^2-1.\] Така: \[(x+2)^2-(x+1)(x-1)=\bigl(x^2+4x+4\bigr)-(x^2-1)=4x+5.\]

7

Докажете тъждеството \((a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)=0\).

▼

Решение Прилагаме формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) за всяко от произведенията: \[(a+b)(a-b)=a^2-b^2, \quad (b+c)(b-c)=b^2-c^2, \quad (c+a)(c-a)=c^2-a^2.\] Сумата им е: \[a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2=0.\] Тъждеството е доказано. ■

8

Извършете умножението \((x+y+z)(x+y-z)\).

▼

Решение Записваме произведението, като групираме първите два члена: \[(x+y+z)(x+y-z)=\bigl[(x+y)+z\bigr]\cdot\bigl[(x+y)-z\bigr],\] и прилагаме формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) с \(a=x+y\) и \(b=z\): \[(x+y)^2-z^2 = x^2+2xy+y^2-z^2.\]

9

Опростете израза \((a+b)(b-a)+a(a-4c)\) и намерете числената му стойност при \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\).

▼

Решение Забелязваме, че \[(a+b)(b-a) = -(a+b)(a-b) = -\bigl(a^2-b^2\bigr).\] Така: \[(a+b)(b-a)+a(a-4c) = -\bigl(a^2-b^2\bigr)+a^2-4ac = -a^2+b^2+a^2-4ac = b^2-4ac.\] Замествайки \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\), получаваме: \[(-5)^2-4\cdot2\cdot3 = 25-24=1.\]

10

Намерете числената стойност на израза \((2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)\) при \(x=\dfrac{1}{3}\).

▼

Решение Изчисляваме отделно всяка скоба. Първо: \[(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9.\] Второ, по формулата за разлика на квадрати: \[(x-2)(x+2)=x^2-4.\] Трето, третото произведение умножаваме по правилото "всяко по всяко": \[(x-1)(3x-2)=3x^2-2x-3x+2=3x^2-5x+2.\] Събираме всичко: \[4x^2-12x+9 - (x^2-4) - (3x^2-5x+2)=4x^2-12x+9-x^2+4-3x^2+5x-2.\] Групираме по степени: \[(4x^2-x^2-3x^2)+(-12x+5x)+(9+4-2)=0\cdot x^2-7x+11.\] При \(x=\dfrac{1}{3}\): \[-7\cdot\frac{1}{3}+11 = -\frac{7}{3}+\frac{33}{3}=\frac{26}{3}.\]

11

Като използвате формулите за съкратено умножение, пресметнете рационално \(36^2-2\cdot36\cdot6+6^2\).

▼

Решение Разпознаваме формулата за квадрат на разлика: \[(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2,\] с \(a=36\) и \(b=6\). Затова: \[36^2-2\cdot36\cdot6+6^2 = (36-6)^2 = 30^2 = 900.\]

12

Като използвате формулите за съкратено умножение, пресметнете рационално \(59^2\).

▼

Решение Представяме \(59\) като \(60-1\) и прилагаме формулата за квадрат на разлика: \[59^2=(60-1)^2 = 60^2-2\cdot60\cdot1+1^2=3600-120+1=3481.\]

13

Докажете тъждеството \((x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)\).

▼

Решение Разкриваме лявата страна: \[(x+y)^2+(x-y)^2 = (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)=2x^2+2y^2.\] Дясната страна: \[2(x^2+y^2)= 2x^2+2y^2.\] Следователно лявата страна е равна на дясната и тъждеството е доказано. ■

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Извършете умножението:
а) \((1-4x)(1+4x)\);   б) \((-5+a)(-5-a)\);   в) \((3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2)\);   г) \(\left(\dfrac{1}{3}x-y\right)\left(\dfrac{1}{3}x+y\right)\);   д) \((a-b-c)(a-b+c)\).

▼ Отговор

а) \(1-16x^2\)
б) \(25-a^2\)
в) \(9x^4-16y^4\)
г) \(\dfrac{x^2}{9}-y^2\)
д) \(a^2-2ab+b^2-c^2\)

Задача 2 Пресметнете произведението, като приложите формулата за сбор по разлика на две числа:
а) \(98\cdot102\);   б) \(47\cdot53\);   в) \(11{,}5\cdot10{,}5\).

▼ Отговор

а) \(98\cdot102=(100-2)(100+2)=10000-4=9996\)
б) \(47\cdot53=(50-3)(50+3)=2500-9=2491\)
в) \(11{,}5\cdot10{,}5=(11+0{,}5)(11-0{,}5)=121-0{,}25=120{,}75\)

Задача 3 Сравнете стойностите на изразите \(40^2\) и \(38\cdot42\).

▼ Отговор

\(38\cdot42=(40-2)(40+2)=1600-4=1596\)
\(40^2=1600\), следователно \(40^2 \gt 38\cdot42\).

Задача 4 Опростете изразите:
а) \((x-8)(x+8)-(x-8)^2\);   б) \((a-5)(5+a)-(1-a)^2\);   в) \((x+y)(x-y)+(x+y)^2-2xy\).

▼ Отговор

а) \(16x-128\)
б) \(2a-26\)
в) \(2x^2\)

Задача 5 Намерете нормалния вид на израза:
а) \((y-2)(y+2)(y^2+4)\);   б) \(\left(\dfrac{a}{7}-\dfrac{6x}{5}\right)\left(\dfrac{a}{7}+\dfrac{6x}{5}\right)\).

▼ Отговор

а) \((y^2-4)(y^2+4)=y^4-16\)
б) \(\dfrac{a^2}{49}-\dfrac{36x^2}{25}\)

Задача 6 Пресметнете стойността на израза, като предварително го опростите:
а) \(\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)\left(2x-\dfrac{1}{3}\right)-x(4x-3)\), при \(x=1\);
б) \(5x^2-(3+2x)(2x-3)\), при \(x=0{,}3\);
в) \(10y^2-(2+3y)(3y-2)\), при \(y=0{,}2\).

▼ Отговор

а) \(4x^2-\tfrac{1}{9}-4x^2+3x=3x-\tfrac{1}{9}\); при \(x=1\): \(\dfrac{26}{9}\approx2{,}89\)
б) \(5x^2-(4x^2-9)=x^2+9\); при \(x=0{,}3\): \(9{,}09\)
в) \(10y^2-(9y^2-4)=y^2+4\); при \(y=0{,}2\): \(4{,}04\)

Задача 7 Докажете тъждеството \((x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)=x^8-y^8\).

▼ Отговор

Прилагаме формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) последователно:
\((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)
\((x^2-y^2)(x^2+y^2)=x^4-y^4\)
\((x^4-y^4)(x^4+y^4)=x^8-y^8\) \(\blacksquare\)

Задача 8 Докажете тъждеството \((9a-4)(a+1)+(3a-2)(-2-3a)=5a\).

▼ Отговор

\((9a-4)(a+1)=9a^2+5a-4\)
\((3a-2)(-2-3a)=-(3a-2)(3a+2)=-(9a^2-4)=-9a^2+4\)
Сбор: \(9a^2+5a-4-9a^2+4=5a\) \(\blacksquare\)

Задача 9 Намерете числената стойност на израза \(A=(x-3)(x-2)(x+3)-(x+2)(x^2-9)-36\), ако \(x=3-|-2|\).

▼ Отговор

\(x=3-2=1\). Забелязваме, че \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), затова:
\(A=(x^2-9)(x-2)-(x+2)(x^2-9)-36=(x^2-9)\bigl[(x-2)-(x+2)\bigr]-36\)
\(=(x^2-9)(-4)-36\). При \(x=1\): \((1-9)(-4)-36=32-36=\mathbf{-4}\).

Задача 10 Ученик избира по случаен начин един от изразите \(a^2-b^2\), \((a+b)^2\), \((c-d)^2\), \(b^2-a^2\), \(a^2+b^2\), \((a-b)(a+b)\), \(3a-3b\). Какъв е шансът да избере израз, който е разлика от квадратите на две числа?

▼ Отговор

Разлика от квадрати са: \(a^2-b^2\), \(b^2-a^2\) и \((a-b)(a+b)\) — три израза от седем.
Шанс: \(\dfrac{3}{7}\).

Задача 11 Намерете стойностите на израза \(Q=q(q-1)+(2+q)(2-q)\) за всички \(q\) от множеството \(\{1,2,3,4,5\}\).

▼ Отговор

\(Q=q^2-q+4-q^2=4-q\)
\(q=1\Rightarrow Q=3\);  \(q=2\Rightarrow Q=2\);  \(q=3\Rightarrow Q=1\);  \(q=4\Rightarrow Q=0\);  \(q=5\Rightarrow Q=-1\)

Задача 12 Намерете нормалния многочлен, тъждествен на израза:
а) \((a-b)^2-2(a-b)(a+b)+(a+b)^2\);
б) \((x^2+2)^2-(x-2)(x+2)(x^2+4)\);
в) \(5(a-2)(a+2)-\dfrac{1}{2}(8a-6)^2+38\);
г) \((a-1)(a^2+1)(a-1)-(a^2-1)^2\);
д) \(2(m-n)^2-2(m+n)^2-4(m+n)(m-n)+8mn\);
е) \((2a-1)(2a+1)-\left[\dfrac{1}{2}(4a-3)\right]^2+(2a-13)\left(a-\dfrac{1}{4}\right)\).

▼ Отговор

а) \([(a-b)-(a+b)]^2=(-2b)^2=4b^2\)
б) \((x^4+4x^2+4)-(x^2-4)(x^2+4)=4x^2+20\)
в) \(-27a^2+48a\)
г) \((a-1)^2(a^2+1)-(a-1)^2(a+1)^2=(a-1)^2\!\left[(a^2+1)-(a+1)^2\right]=-2a(a-1)^2\)
д) \(4(n^2-m^2)\)
е) \(2a^2-\dfrac{15}{2}a\)

Задача 13 Вярно ли е, че при всяко \(x\) от израза \(C=(5-x)^2-(x-3)(x+3)+5(2x-5)\) се получава \(C\gt0\)?

▼ Отговор

\(C=25-10x+x^2-(x^2-9)+10x-25=9\)
\(C=9\gt0\) за всяко \(x\). Да, твърдението е вярно. \(\blacksquare\)

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Сбор по разлика

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1След като умножим \((8r-5s)(8r+5s)\), се получава:

\(64r^2-10rs+25s^2\) \(64r^2+25s^2\) \(64r^2-25s^2\) \(8r^2-5s^2\)

2След като опростим \((3x-5)(3x+5)+(4x-7)(4x+7)\), се получава:

\(25x^2-74\) \(25x^2-14\) \(25x^2-49\) \(25x^2-24\)

3Кой от изброените изрази е тъждествено равен на \((2y-1)(2y+1)-2y(2y-1)\)?

\(4y\) \(2y+1\) \(2y-1\) \(4y-1\)

4Като приложите формулата за сбор по разлика, пресметнете \(301 \cdot 299\):

\(89\,999\) \(90\,000\) \(90\,001\) \(89\,998\)

5На колко е равно \(x\) в равенството \((x+3)(x-1)-(x-2)^2=2x+5\)?

\(x=1\) \(x=3\) \(x=2\) \(x=-1\)

6На колко е равна стойността на \(\Bigl(\dfrac{3}{4}x-5\Bigr)\Bigl(\dfrac{3}{4}x+5\Bigr)+9\) при \(x=8\)?

\(20\) \(21\) \(18\) \(25\)

7След разкриване на скобите в \((5+2a-b)(5-2a+b)\) се получава:

\(25-4a^2-b^2\) \(25-4a^2-b^2-2ab\) \(25-4a^2-b^2+2ab\) \(25-4a^2-b^2+4ab\)

8За кой от изброените изрази е вярно, че не зависи от стойността на \(x\)?

\((x-2)(x+2)(x^2+4)+(4x-x^4)\) \((x-1)(x+1)(x^2+1)+(1-x^4)\) \((x-2)(x+2)(x^2+4)+4x(x-2)(x+2)\) \((x-3)(x+3)(x^2+9)+(9x-x^4)\)

9Приведете в нормален вид \((x^m-y^4)(x^m+y^4)\):

\(x^m-y^8\) \(x^m+y^4\) \(x^{2m}-y^8\) \(x^{2m}+y^8\)

10Кой от изброените изрази е тъждествено равен на \((u+v)(u-v)(u^2+v^2)(u^4+v^4)\)?

\(u^8-v^8\) \(u^8+v^8\) \(u^4-v^4\) \(u^4+v^4\)

11След като опростим \((x+3)(x-3)-(x^2-9)\), се получава:

\(0\) \(x^2-9\) \(2x^2-18\) \(x^2+9\)

12Кой е нормалният многочлен, тъждествено равен на \(5x-x(x-1)(x+1)+x^2(x+1)\)?

\(x^2+5x\) \(x^2+6x+1\) \(x^2+5x+2\) \(x^2+6x\)

13Пресметнете \(404^2-3\cdot404\):

\(162\,020\) \(162\,010\) \(162\,004\) \(162\,000\)

14След като приведете в нормален вид \(\left(\dfrac{5}{3}x^p-\dfrac{2}{5}y\right)\left(\dfrac{5}{3}x^p+\dfrac{2}{5}y\right)\), се получава:

\(\dfrac{25}{9}x^{2p}-\dfrac{4}{25}y^2\) \(\dfrac{25}{9}x^{2p}+\dfrac{4}{25}y^2\) \(\dfrac{25}{45}x^{2p}-\dfrac{8}{25}y^2\) \(\dfrac{25}{9}x^{2p}-\dfrac{2}{5}y^2\)

15За кой от изброените изрази е вярно, че не зависи от стойността на \(x\)?

\((x-2)(x+2)(x^2+4)-(x^4-16x)\) \((x-1)(x+1)(x^2+1)+(1-x^4)\) \((x-3)(x+3)(x^2+9)+(9x-x^4)\) \((x-5)(x+5)(x^2+25)+(25x-x^4)\)

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Сбор по разлика

Видео урок 2 — Приложения

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆