Сбор по разлика: формула, задачи и тест за 7. клас
Сбор по разлика
Разлика на квадрати
Теория: сбор по разлика и разлика на квадрати
Продължаваме с формулите за съкратено умножение. В този урок разглеждаме произведението на сбор и разлика на едни и същи два израза. Ще прилагаме формулата както за бързо умножение и пресмятане, така и в обратната посока — за разлагане на разлика на квадрати. Ще решаваме уравнения, ще сравняваме лица и ще доказваме твърдения.
За задачите, в които се съчетават няколко формули, припомнете квадрата на двучлен — квадрат на сбор и на разлика.
Чете се: „сбор по разлика е равно на разлика от квадрати“. Тъждеството е вярно за всички реални стойности на \(a\) и \(b\). Вместо букви могат да участват числа, едночлени или по-сложни изрази.
Защо формулата е вярна?
Разкриваме скобите, като умножаваме всеки член на първия двучлен с всеки член на втория:
Събираемите \(-ab\) и \(+ab\) са противоположни и сборът им е нула. Затова няма среден член, както при квадрата на двучлен.
Това извеждане използва разпределителното свойство на умножението, познато от 5. клас.
Как разпознаваме и прилагаме формулата?
- Проверяваме дали участват едни и същи два члена — веднъж като сбор, веднъж като разлика.
- Определяме кой израз е \(a\) и кой е \(b\). При нужда разместваме събираеми или групираме обща част в скоби.
- Повдигаме целите изрази \(a\) и \(b\) в квадрат, включително коефициентите.
- От квадрата на първия изваждаме квадрата на втория и привеждаме подобните членове.
Тук \(a=5t\), а не само \(t\). При формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) разместването на множителите не променя произведението.
Обратна посока: разлагане на разлика на квадрати
Например \(x^2-64=x^2-8^2=(x-8)(x+8)\). Първо разпознаваме двата квадрата, после записваме разлика и сбор на техните основи.
Чести грешки
Не добавяме среден член: \((a+b)(a-b)\) не е \(a^2-2ab+b^2\); последното е \((a-b)^2\).
Следим реда в разликата: \((a+b)(b-a)=b^2-a^2\), а не \(a^2-b^2\).
Минус пред скоби: \(M-(x^2-9)=M-x^2+9\).
Разликата не е сбор: формулата не позволява да разлагаме \(a^2+b^2\) като \((a-b)(a+b)\).
Справочник: останалите формули от първоначалния урок
Основната тема тук е сбор по разлика. Формулата за квадрат на двучлен служи за припомняне, а формулите за кубове са за следващите уроци:
- 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
- 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
- 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
- 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)
25 решени и обяснени задачи
Задачи №1–20 упражняват основните умения, връзката с квадрата на двучлен и приложенията. Последните пет, №21–25, са с повишена трудност. Натиснете условието, за да видите решението.
Основни приложения — задачи 1–10
1Непосредствено прилаганеИзвършете умножението \((x+y)(x-y)\).
2Коефициенти пред буквитеИзвършете умножението \((3x-4y)(3x+4y)\).
3Степени в общия членИзвършете умножението \((x^2-z)(x^2+z)\).
Използваното правило е обяснено в урока за степенуване на произведение, частно и степен от 6. клас.
4Рационално числено пресмятанеПресметнете по рационален начин \(17 \cdot 23\).
5Разлика на две произведенияОпростете израза \((3x-1)(3x+1)-(x-2)(x+2)\).
При трудности със знаците преговорете събиране, изваждане и разкриване на скоби при рационални числа.
6Комбиниране с квадрат на двучленОпростете израза \((x+2)^2-(x+1)(x-1)\).
7Доказване на тъждествоДокажете тъждеството \((a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)=0\).
8Групиране на общата частИзвършете умножението \((x+y+z)(x+y-z)\).
9Знаци и числена стойностОпростете израза \((a+b)(b-a)+a(a-4c)\) и намерете числената му стойност при \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\).
10Опростяване преди заместванеНамерете числената стойност на израза \((2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)\) при \(x=\dfrac{1}{3}\).
За последната сметка използваме привеждане на дроби към общ знаменател.
Връзка с квадрата на двучлен — задачи 11–13
11Припомняне: квадрат на разликаКато използвате формулите за съкратено умножение, пресметнете рационално \(36^2-2\cdot36\cdot6+6^2\).
12Припомняне: пресмятане на квадратКато използвате формулите за съкратено умножение, пресметнете рационално \(59^2\).
13Припомняне: сбор на два квадратаДокажете тъждеството \((x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)\).
Дроби, разлагане, уравнения и геометрия — задачи 14–20
14Дробни коефициентиИзвършете умножението \(\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{4}y\right)\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{4}y\right)\).
Двата множителя съдържат едни и същи членове, но в първия те се изваждат, а във втория се събират. Затова прилагаме формулата с \(A=\dfrac{2}{3}x\) и \(B=\dfrac{5}{4}y\).
\[\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{4}y\right)\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{4}y\right)=\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2-\left(\dfrac{5}{4}y\right)^2.\]При повдигане на дроб в квадрат повдигаме в квадрат и числителя, и знаменателя. Повдигаме в квадрат и буквения множител:
\[\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2=\dfrac{4x^2}{9},\qquad \left(\dfrac{5}{4}y\right)^2=\dfrac{25y^2}{16}.\]Отговор: \(\dfrac{4x^2}{9}-\dfrac{25y^2}{16}\). Не е необходимо да привеждаме двете събираеми към общ знаменател, за да запишем многочлена.
За квадратите на дробните коефициенти припомнете умножението на обикновени дроби.
15Групиране и знак пред скобиПредставете като многочлен \((2x-y+4)(2x-y-4)\).
Общата част на двата множителя е двучленът \(2x-y\). Приемаме го за един израз \(A\), а числото \(4\) — за \(B\):
\[(2x-y+4)(2x-y-4)=[(2x-y)+4][(2x-y)-4].\]Първо прилагаме формулата за сбор по разлика, а после формулата за квадрат на разлика:
\[[(2x-y)+4][(2x-y)-4]=(2x-y)^2-16,\] \[(2x-y)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot y+y^2=4x^2-4xy+y^2.\]Отговор: \(4x^2-4xy+y^2-16\). Членът \(-4xy\) идва от квадрата на двучлена \(2x-y\), а не от първото прилагане на формулата за сбор по разлика.
16Обратно прилагане на формулатаРазложете на множители \(49a^2-36b^2\).
Разпознаваме разлика на два квадрата: \(49a^2=(7a)^2\) и \(36b^2=(6b)^2\). Използваме формулата в обратната посока:
\[A^2-B^2=(A-B)(A+B).\]При \(A=7a\) и \(B=6b\) получаваме:
\[49a^2-36b^2=(7a-6b)(7a+6b).\]Проверка: умножаваме получените двучлени по същата формула и отново получаваме \((7a)^2-(6b)^2=49a^2-36b^2\).
Отговор: \((7a-6b)(7a+6b)\).
Методът е развит с повече приложения в разлагане на многочлени чрез формулите за съкратено умножение.
17Уравнение след съкращаване на квадратните членовеРешете уравнението \((x+5)(x-5)-(x-2)^2=x+7\).
Не бързаме да определяме вида на уравнението по наличието на квадрати. Първо преобразуваме лявата страна:
\[(x+5)(x-5)=x^2-25,\qquad (x-2)^2=x^2-4x+4.\]Пред втория израз има знак минус, затова променяме знаците на всичките му събираеми:
\[x^2-25-(x^2-4x+4)=x+7,\] \[x^2-25-x^2+4x-4=x+7.\]Квадратните членове се унищожават. Получаваме линейно уравнение:
\[4x-29=x+7\quad\Longrightarrow\quad3x=36\quad\Longrightarrow\quad x=12.\]Проверка в първоначалното уравнение: лявата страна е \(17\cdot7-10^2=119-100=19\), а дясната е \(12+7=19\).
Отговор: \(x=12\).
След преобразуването прилагаме свойствата на числовите равенства и решаването на линейно уравнение, изучени в 6. клас.
18Сравняване на лицаКвадрат има страна \(x\) см, където \(x>3\). Правоъгълник има страни \((x+3)\) см и \((x-3)\) см. Коя фигура има по-голямо лице и с колко?
Условието \(x>3\) осигурява положителни дължини на всички страни. Лицето на квадрата е \(S_1=x^2\) см\(^2\). За правоъгълника умножаваме двете му измерения:
\[S_2=(x+3)(x-3)=x^2-9\quad\text{см}^2.\]За да сравним лицата, намираме разликата им:
\[S_1-S_2=x^2-(x^2-9)=9\quad\text{см}^2.\]Тази разлика е положителна и не зависи от \(x\).
Отговор: квадратът има с \(9\) см\(^2\) по-голямо лице.
Формулите за квадрат и правоъгълник са припомнени в урока за лице на равнинна фигура от 5. клас.
19Две последователни приложенияОпростете \((2x-3)(2x+3)(4x^2+9)\).
Умножаваме първите два множителя:
\[(2x-3)(2x+3)=4x^2-9.\]След замяната отново получаваме сбор по разлика. Този път общият член е \(4x^2\), а другият е \(9\):
\[(4x^2-9)(4x^2+9)=(4x^2)^2-9^2.\]Повдигаме в квадрат целите членове, не само буквата:
\[(4x^2)^2=16x^4,\qquad9^2=81.\]Отговор: \(16x^4-81\). Удобното групиране ни спести умножаване на три скоби „всеки член по всеки“.
20Намиране на страни на два квадратаСтраната на единия квадрат е с \(4\) см по-дълга от страната на другия. Разликата на лицата им е \(80\) см\(^2\). Намерете страните на двата квадрата.
Нека по-малката страна е \(x\) см, \(x>0\). Тогава по-голямата е \((x+4)\) см. Записваме разликата на лицата:
\[(x+4)^2-x^2=80.\]Прилагаме разлагането на разлика на квадрати, без да разкриваме поотделно квадратите:
\[[(x+4)-x][(x+4)+x]=80.\] \[4(2x+4)=80\quad\Longrightarrow\quad2x+4=20\quad\Longrightarrow\quad x=8.\]По-голямата страна е \(8+4=12\) см.
Проверка: \(12-8=4\) см и \(12^2-8^2=144-64=80\) см\(^2\).
Отговор: \(8\) см и \(12\) см.
С повишена трудност — задачи 21–25
21Произведение със съкращаванеПресметнете точно \(P=\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{8^2}\right)\). Множителите са седем — по един за всяко цяло число от \(2\) до \(8\).★ Повишена трудност
Във всеки множител числителят след привеждане към общ знаменател е разлика на квадрати. За всяко \(k=2,3,\ldots,8\):
\[1-\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{k^2-1}{k^2}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\cdot k}=\dfrac{k-1}{k}\cdot\dfrac{k+1}{k}.\]Всички знаменатели са ненулеви. По разместителното и съдружителното свойство събираме първите дроби в една група, а вторите — в друга:
\[P=\left(\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\dfrac34\cdot\dfrac45\cdot\dfrac56\cdot\dfrac67\cdot\dfrac78\right)\] \[\phantom{P={}}\cdot\left(\dfrac32\cdot\dfrac43\cdot\dfrac54\cdot\dfrac65\cdot\dfrac76\cdot\dfrac87\cdot\dfrac98\right).\]В първата група числата от \(2\) до \(7\) се съкращават и остава \(\dfrac18\). Във втората се съкращават числата от \(3\) до \(8\) и остава \(\dfrac92\).
\[P=\dfrac18\cdot\dfrac92=\dfrac9{16}.\]Отговор: \(\dfrac9{16}\). Съкращаваме множители в произведение, а не събираеми в разлика.
При съкращаването използваме основното свойство на дробите и съкращаването на общи множители.
22Параметър и независимост от променливатаДаден е изразът \(A=(2x-3m)(2x+3m)-(4x-m)(x+m)+6x+5\), където \(m\) е параметър. За коя стойност на \(m\) изразът не зависи от \(x\)? Намерете постоянната му стойност.★ Повишена трудност
Първото произведение е сбор по разлика:
\[(2x-3m)(2x+3m)=4x^2-9m^2.\]Второто не е сбор по разлика: общите членове не съвпадат. Разкриваме скобите по разпределителното свойство:
\[(4x-m)(x+m)=4x^2+4mx-mx-m^2=4x^2+3mx-m^2.\]Замествайки двете произведения и внимателно разкривайки скобите след минуса, получаваме:
\[A=4x^2-9m^2-(4x^2+3mx-m^2)+6x+5\] \[\phantom{A}=(6-3m)x+5-8m^2.\]За фиксиран параметър \(m\) изразът е независим от \(x\) точно когато коефициентът пред \(x\) е нула. Ако този коефициент е ненулев, стойностите при \(x=0\) и \(x=1\) са различни.
\[6-3m=0\quad\Longrightarrow\quad m=2.\]При \(m=2\) за всяко \(x\) имаме \(A=5-8\cdot2^2=5-32=-27\).
Отговор: \(m=2\), а постоянната стойност е \(-27\).
23Всички естествени решенияНамерете всички двойки естествени числа \(a>b\), за които \(a^2-b^2=45\).★ Повишена трудност
Разлагаме разликата на квадрати:
\[(a-b)(a+b)=45.\]Двата множителя са положителни цели числа, а \(a+b>a-b\), защото \(b>0\). Всички двойки положителни делители на \(45\), подредени от по-малкия към по-големия, са:
\[1\cdot45,\qquad3\cdot15,\qquad5\cdot9.\]Ако знаем сбора и разликата на две числа, по-голямото е половината от сбора на тези две величини, а по-малкото — половината от разликата им. Получаваме:
Първа двойка: \(a-b=1\), \(a+b=45\), следователно \(2a=46\), \(a=23\), \(b=22\).
Втора двойка: \(a-b=3\), \(a+b=15\), следователно \(2a=18\), \(a=9\), \(b=6\).
Трета двойка: \(a-b=5\), \(a+b=9\), следователно \(2a=14\), \(a=7\), \(b=2\).
Проверки: \(529-484=45\), \(81-36=45\), \(49-4=45\). Изброихме всички възможни двойки делители, затова други решения няма.
Отговор: \((a,b)=(23,22),\ (9,6),\ (7,2)\).
За системното изброяване използвайте понятието делител на естествено число.
24Най-голяма стойност без производниНамерете най-голямата стойност на \(E=(x+2)(x-2)-(x-3)^2-(x-1)^2+14\) за реални стойности на \(x\). При кое \(x\) се достига тя?★ Повишена трудност
Прилагаме формулата за сбор по разлика и двете формули за квадрат на разлика:
\[E=x^2-4-(x^2-6x+9)-(x^2-2x+1)+14.\]Привеждаме подобните членове:
\[E=-x^2+8x.\]За да намерим най-голяма стойност, допълваме до точен квадрат. Понеже \((x-4)^2=x^2-8x+16\), следва:
\[E=16-(x-4)^2.\]Квадратът на реално число е неотрицателен, затова \((x-4)^2\ge0\) и \(E\le16\). Равенство има точно когато \(x-4=0\).
Проверка при \(x=4\): \(6\cdot2-1^2-3^2+14=12-1-9+14=16\).
Отговор: най-голямата стойност е \(16\) и се достига само при \(x=4\).
25Питагорова теорема и разлика на квадратиВ правоъгълен триъгълник единият катет е \(18\) см, а хипотенузата е с \(6\) см по-дълга от другия катет. Намерете обиколката и лицето на триъгълника.★ Повишена трудност
Нека другият катет е \(x\) см, \(x>0\). Хипотенузата тогава е \((x+6)\) см. По Питагоровата теорема:
\[x^2+18^2=(x+6)^2.\]Прехвърляме \(x^2\) отдясно и разлагаме получената разлика на квадрати:
\[(x+6)^2-x^2=324,\] \[[(x+6)-x][(x+6)+x]=324,\] \[6(2x+6)=324.\]Делим на \(6\) и решаваме: \(2x+6=54\), откъдето \(2x=48\) и \(x=24\). Хипотенузата е \(24+6=30\) см.
Проверяваме дължините: \(18^2+24^2=324+576=900=30^2\), а \(30-24=6\) см.
\[P=18+24+30=72\ \text{см},\] \[S=\dfrac{18\cdot24}{2}=216\ \text{см}^2.\]Отговор: обиколката е \(72\) см, а лицето е \(216\) см\(^2\). Използвахме катетите за лице, защото те са взаимно перпендикулярни.
Геометричната зависимост е обяснена в урока за Питагоровата теорема от 6. клас.
30 задачи за самостоятелна работа
Решавайте самостоятелно, преди да отворите отговорите. Номерацията е на задачите, а не на подусловията. №26–30 са допълнително предизвикателство.
а) \((1-4x)(1+4x)\); б) \((-5+a)(-5-a)\); в) \((3x^2-4y^2)(3x^2+4y^2)\); г) \(\left(\dfrac{1}{3}x-y\right)\left(\dfrac{1}{3}x+y\right)\); д) \((a-b-c)(a-b+c)\).
Отговор и насока
б) \(25-a^2\)
в) \(9x^4-16y^4\)
г) \(\dfrac{x^2}{9}-y^2\)
д) \(a^2-2ab+b^2-c^2\)
а) \(98\cdot102\); б) \(47\cdot53\); в) \(11{,}5\cdot10{,}5\).
Отговор и насока
б) \(47\cdot53=(50-3)(50+3)=2500-9=2491\)
в) \(11{,}5\cdot10{,}5=(11+0{,}5)(11-0{,}5)=121-0{,}25=120{,}75\)
Отговор и насока
\(40^2=1600\), следователно \(40^2 \gt 38\cdot42\).
а) \((x-8)(x+8)-(x-8)^2\); б) \((a-5)(5+a)-(1-a)^2\); в) \((x+y)(x-y)+(x+y)^2-2xy\).
Отговор и насока
б) \(2a-26\)
в) \(2x^2\)
а) \((y-2)(y+2)(y^2+4)\); б) \(\left(\dfrac{a}{7}-\dfrac{6x}{5}\right)\left(\dfrac{a}{7}+\dfrac{6x}{5}\right)\).
Отговор и насока
б) \(\dfrac{a^2}{49}-\dfrac{36x^2}{25}\)
а) \(\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)\left(2x-\dfrac{1}{3}\right)-x(4x-3)\), при \(x=1\);
б) \(5x^2-(3+2x)(2x-3)\), при \(x=0{,}3\);
в) \(10y^2-(2+3y)(3y-2)\), при \(y=0{,}2\).
Отговор и насока
б) \(5x^2-(4x^2-9)=x^2+9\); при \(x=0{,}3\): \(9{,}09\)
в) \(10y^2-(9y^2-4)=y^2+4\); при \(y=0{,}2\): \(4{,}04\)
Отговор и насока
\((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)
\((x^2-y^2)(x^2+y^2)=x^4-y^4\)
\((x^4-y^4)(x^4+y^4)=x^8-y^8\) \(\blacksquare\)
Отговор и насока
\((3a-2)(-2-3a)=-(3a-2)(3a+2)=-(9a^2-4)=-9a^2+4\)
Сбор: \(9a^2+5a-4-9a^2+4=5a\) \(\blacksquare\)
Отговор и насока
\(A=(x^2-9)(x-2)-(x+2)(x^2-9)-36=(x^2-9)\bigl[(x-2)-(x+2)\bigr]-36\)
\(=(x^2-9)(-4)-36\). При \(x=1\): \((1-9)(-4)-36=32-36=\mathbf{-4}\).
За определяне на \(x\) припомнете абсолютната стойност на рационално число.
Отговор и насока
Шанс: \(\dfrac{3}{7}\).
Вероятността намираме като брой благоприятни, разделен на брой всички равновъзможни изходи. Припомнете вероятност на случайно събитие.
Отговор и насока
\(q=1\Rightarrow Q=3\); \(q=2\Rightarrow Q=2\); \(q=3\Rightarrow Q=1\); \(q=4\Rightarrow Q=0\); \(q=5\Rightarrow Q=-1\)
а) \((a-b)^2-2(a-b)(a+b)+(a+b)^2\);
б) \((x^2+2)^2-(x-2)(x+2)(x^2+4)\);
в) \(5(a-2)(a+2)-\dfrac{1}{2}(8a-6)^2+38\);
г) \((a-1)(a^2+1)(a-1)-(a^2-1)^2\);
д) \(2(m-n)^2-2(m+n)^2-4(m+n)(m-n)+8mn\);
е) \((2a-1)(2a+1)-\left[\dfrac{1}{2}(4a-3)\right]^2+(2a-13)\left(a-\dfrac{1}{4}\right)\).
Отговор и насока
б) \((x^4+4x^2+4)-(x^2-4)(x^2+4)=4x^2+20\)
в) \(-27a^2+48a\)
г) \((a-1)^2(a^2+1)-(a-1)^2(a+1)^2=(a-1)^2\!\left[(a^2+1)-(a+1)^2\right]=-2a(a-1)^2=-2a^3+4a^2-2a\)
д) \(4n^2-4m^2\)
е) \(2a^2-\dfrac{15}{2}a\)
Отговор и насока
\(C=9\gt0\) за всяко \(x\). Да, твърдението е вярно. \(\blacksquare\)
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Онлайн тест: 15 въпроса
По 4 точки за верен отговор · максимум 60 точки
Скала за самопроверка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; 0–14 т. → 2. Това е учебна самооценка, не стандартизиран изпит.
Видеоуроци
Допълнителни тестове
Използвана литература
Сборникът на „Коала Прес“, тема 12, е методически ориентир за видовете задачи и нивото на група Б. Допълващите задачи №14–25 от решените и №14–30 от самостоятелните са съставени за този урок, а не са дословни преписи. Останалите библиографски записи са запазени от първоначалната публикация.
- 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
- 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
- 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
- 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
- 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
- 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
- 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
- 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
- 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
- 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
- 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
- 12.Сп. Математика; Сп. Математика+
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар