Уравнения от вида $|ax+b|=c$ 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Уравнения › Модулни уравнения

Модулни уравнения
Теория и задачи

Пълен урок с определение, свойства на модула, разработени задачи и интерактивен тест

7 клас 8 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Уравнения от вида \(|ax+b|=c\) — три случая на решаване — урок за 7 клас

Определение: Уравнения от вида \(|ax+b|=c\) ще наричаме модулни уравнения. Решаването им зависи от стойността на \(c\):

Случай 1. При \(c>0\) уравнението \(|ax+b|=c\) е еквивалентно на обединението от решенията на: \[ax+b=c \quad \text{или} \quad ax+b=-c.\] Случай 2. При \(c=0\) уравнението \(|ax+b|=0\) е еквивалентно на \(ax+b=0\).

Случай 3. При \(c<0\) уравнението няма решение (модулът е винаги неотрицателен).

Нека си припомним какво представлява модулът (абсолютната стойност) на едно число. Модулът на едно число представлява разстоянието от 0 до това число върху числовата ос. Например \(|-4|=4\) и \(|4|=4\), защото и 4, и −4 се намират на разстояние 4 единични отсечки от 0.

Определение на \(|a|\): \[|a|=\begin{cases} a, & \text{при } a>0 \\ 0, & \text{при } a=0 \\ -a, & \text{при } a<0 \end{cases}\]

Свойства на модула

1. \(|a|\geq 0\)

2. \(|a|=|-a|\)

3. \(|a-b|=|b-a|\) (за разлика от \((a-b)=-(b-a)\))

4. \(|a+b|=|-a-b|\)

5. \(|a\cdot b|=|a|\cdot|b|\)

6. \(\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}\) при \(b\neq 0\)

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Решете уравнението \(|3x-5|=4\).

▼

Решение Тъй като \(c=4>0\), намираме се в случай 1. Решението е еквивалентно на обединението от: \[3x-5=4 \quad \text{или} \quad 3x-5=-4,\] \[3x=9 \quad \text{или} \quad 3x=1,\] \[x_1=3 \quad \text{или} \quad x_2=\frac{1}{3}.\]

2

Решете уравнението \(\left|\dfrac{1}{2}x-5\right|=0\).

▼

Решение Тъй като \(c=0\), намираме се в случай 2: \[\frac{1}{2}x-5=0 \quad \Rightarrow \quad x=5:\frac{1}{2}=10.\]

3

Решете уравнението \(|3x^2-x+4|=-5\).

▼

Решение Тъй като \(c=-5<0\), намираме се в случай 3. Модулът не може да бъде равен на отрицателно число, следователно уравнението няма решение.

4

Решете уравнението \(3-|1{,}5-x|=1\).

▼

Решение Привеждаме уравнението до вида \(|ax+b|=c\). Прехвърляме 3 в дясно и умножаваме по \((-1)\): \[-|1{,}5-x|=1-3=-2 \;\xrightarrow{\cdot(-1)}\; |1{,}5-x|=2.\] Тъй като \(c=2>0\), прилагаме случай 1: \[1{,}5-x=2 \quad \text{или} \quad 1{,}5-x=-2,\] \[x_1=-0{,}5 \quad \text{или} \quad x_2=3{,}5.\]

5

Решете уравнението \(|3x+1|+|9x+3|=8\).

▼

Решение Записваме уравнението по следния начин: \[|3x+1|+|3(3x+1)|=8,\] \[|3x+1|+3|3x+1|=8,\] \[4|3x+1|=8 \;\xrightarrow{:4}\; |3x+1|=2.\] Прилагаме случай 1: \[3x+1=2 \quad \text{или} \quad 3x+1=-2,\] \[x_1=\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x_2=-1.\]

6

Решете уравнението \(3|2y-5|-5|5-2y|+6=0\).

▼

Решение От свойствата на модула \(|5-2y|=|2y-5|\), затова: \[3|2y-5|-5|2y-5|=-6 \;\Rightarrow\; -2|2y-5|=-6.\] Делим на \((-2)\): \[|2y-5|=3.\] Прилагаме случай 1: \[2y-5=3 \quad \text{или} \quad 2y-5=-3,\] \[y_1=4 \quad \text{или} \quad y_2=1.\]

7

Решете уравнението \(|(x+5)^2-5(2x+5)|=81\).

▼

Решение Разкриваме скобите в модула и извършваме привиденията: \[|x^2+10x+25-10x-25|=81,\] \[|x^2|=81.\] Тъй като \(x^2\geq 0\) за всяко \(x\), имаме \(|x^2|=x^2\), следователно: \[x^2=81 \;\Rightarrow\; x^2-81=0 \;\Rightarrow\; (x-9)(x+9)=0,\] \[x_1=9 \quad \text{или} \quad x_2=-9.\] (Случаят \(x^2=-81\) е невъзможен, тъй като квадрат на реално число е неотрицателен.)

8

Решете уравнението \(||2x-3|-2|=1\).

▼

Решение Прилагаме случай 1 към външния модул: \[|2x-3|-2=1 \quad \text{или} \quad |2x-3|-2=-1,\] \[|2x-3|=3 \quad \text{или} \quad |2x-3|=1.\] За \(|2x-3|=3\): \(2x-3=3\Rightarrow x_1=3\) или \(2x-3=-3\Rightarrow x_2=0\).
За \(|2x-3|=1\): \(2x-3=1\Rightarrow x_3=2\) или \(2x-3=-1\Rightarrow x_4=1\).
Корени: \(x_1=3,\ x_2=0,\ x_3=2,\ x_4=1\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Решете уравнението \(|7x-5|=9\).

▼ Отговор

\(7x-5=9\Rightarrow x=2\)  или  \(7x-5=-9\Rightarrow x=-\dfrac{4}{7}\)

Задача 2 Решете уравнението \(|(u-1)(1-u)+u(u-2)|=9\).

▼ Отговор

Изразът под модула: \((u-1)(1-u)+u(u-2)=-(u-1)^2+u^2-2u=-1\).
Следователно \(|-1|=1\neq9\) — уравнението няма решение.

Задача 3 Решете уравнението \(||x+2|+4|=5\).

▼ Отговор

Тъй като \(|x+2|\geq0\), имаме \(|x+2|+4\geq4\gt0\), затова \(||x+2|+4|=|x+2|+4=5\).
\(|x+2|=1\Rightarrow x=-1\) или \(x=-3\).

Задача 4 Решете уравнението \(5|7x-11|-10|11-7x|+15=0\).

▼ Отговор

Тъй като \(|11-7x|=|7x-11|\), нека \(t=|7x-11|\):
\(5t-10t+15=0\Rightarrow -5t=-15\Rightarrow t=3\).
\(|7x-11|=3\Rightarrow 7x-11=3\Rightarrow x=2\)  или  \(7x-11=-3\Rightarrow x=\dfrac{8}{7}\).

Задача 5 Решете уравнението \(2|3x-4|-6|4-3x|=10\).

▼ Отговор

Тъй като \(|4-3x|=|3x-4|\), нека \(t=|3x-4|\):
\(2t-6t=10\Rightarrow-4t=10\Rightarrow t=-\dfrac{5}{2}\).
Невъзможно (\(t\geq0\)) — уравнението няма решение.

Задача 6 Решете уравнението \(\left|\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)^2-x\!\left(\dfrac{1}{4}x-3\right)\right|=2\).

▼ Отговор

Разкриваме: \(\tfrac{x^2}{4}-x+1-\tfrac{x^2}{4}+3x=2x+1\).
\(|2x+1|=2\Rightarrow 2x+1=2\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\)  или  \(2x+1=-2\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}\).

Задача 7 Намерете сбора от противоположните стойности на корените на уравнението \(8+|2-x|-|8-4x|=-4\).

▼ Отговор

\(|2-x|=|x-2|\) и \(|8-4x|=4|x-2|\), нека \(t=|x-2|\):
\(8+t-4t=-4\Rightarrow-3t=-12\Rightarrow t=4\Rightarrow|x-2|=4\).
\(x=6\) или \(x=-2\).
Противоположните им стойности са \(-6\) и \(2\), сборът им е \(-6+2=\mathbf{-4}\).

Задача 8 Дадени са уравненията:
(1) \(\dfrac{2}{3}\!\left(x-\dfrac{x-1}{5}\right)-\dfrac{(x-2)^2}{5}=\dfrac{x(10-3x)}{15}\);   (2) \(|x+1|=2\);   (3) \(x^2+2x-3=0\).
а) Решете уравнение (1);  б) Решете уравнение (2);  в) Решете уравнение (3);  г) Кои от уравненията са еквивалентни?
(НВО по математика 7 клас 2020 г.)

▼ Отговор

а) Уравнението се опростява до \(\tfrac{2}{3}x-\tfrac{2}{3}=0\), следователно \(x=1\).
б) \(x+1=2\Rightarrow x=1\) или \(x+1=-2\Rightarrow x=-3\). Корени: \(\{-3,1\}\).
в) \((x+3)(x-1)=0\Rightarrow x=-3\) или \(x=1\). Корени: \(\{-3,1\}\).
г) Уравнения (2) и (3) са еквивалентни (имат едни и същи корени \(\{-3,1\}\)). Уравнение (1) не е еквивалентно с тях (има само корен \(x=1\)).

Задача 9 Намерете корена на уравнението \(||3x-4|-2|=5\), който е цяло число.

▼ Отговор

\(|3x-4|-2=5\Rightarrow|3x-4|=7\Rightarrow x=\dfrac{11}{3}\) или \(x=-1\).
\(|3x-4|-2=-5\Rightarrow|3x-4|=-3\) — невъзможно.
Цялото решение е \(x=\mathbf{-1}\).

Задача 10 Дадено е уравнението \(|5-4y|=8-|4y-5|\).
а) Намерете корените на уравнението;
б) Намерете сбора на корените, по-големи от 1. (НОМ)

▼ Отговор

Тъй като \(|5-4y|=|4y-5|\), уравнението става \(2|4y-5|=8\Rightarrow|4y-5|=4\).
\(4y-5=4\Rightarrow y=\dfrac{9}{4}\)  или  \(4y-5=-4\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}\).
б) Само \(y=\dfrac{9}{4}\gt1\), сборът е \(\mathbf{\dfrac{9}{4}}\).

Задача 11 Докажете, че уравненията \(3x^2-4x-4=0\) и \(|5-|3x+2||=5\) имат общ корен, по-малък от \(m=\dfrac{7{,}5^3-8^3}{7{,}5^2+60+8^2}\).

▼ Отговор

Намираме \(m\): числителят е \(7{,}5^3-8^3=(7{,}5-8)(7{,}5^2+7{,}5\cdot8+8^2)\), знаменателят е \(7{,}5^2+7{,}5\cdot8+8^2\) (тъй като \(7{,}5\cdot8=60\)). Следователно \(m=7{,}5-8=-\dfrac{1}{2}\).
Корените на \(3x^2-4x-4=0\): \(x=2\) или \(x=-\dfrac{2}{3}\).
Корените на \(|5-|3x+2||=5\): \(|3x+2|=0\Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}\); \(|3x+2|=10\Rightarrow x=\dfrac{8}{3}\) или \(x=-4\).
Общият корен е \(x=-\dfrac{2}{3}\approx-0{,}67\lt-\dfrac{1}{2}=m\). \(\blacksquare\)

Задача 12 Решете уравненията \(||x-2|+4|=6\), \(x^2=4x\) и \(2x^2-11x+12=0\). Кои от тях са еквивалентни?

▼ Отговор

\(||x-2|+4|=6\): \(|x-2|+4=6\Rightarrow|x-2|=2\Rightarrow x=0\) или \(x=4\). Корени: \(\{0,4\}\).
\(x^2=4x\): \(x(x-4)=0\Rightarrow x=0\) или \(x=4\). Корени: \(\{0,4\}\).
\(2x^2-11x+12=0\): \((2x-3)(x-4)=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\) или \(x=4\). Корени: \(\{\tfrac{3}{2},4\}\).
Еквивалентни са първото и второто уравнение (\(\{0,4\}\)).

Задача 13 Ако \(|2a-3|:8=2^{-3}:3^{-2}\) и \(|2-b|:a=3^{-1}:2^{-2}\), намерете всички възможни стойности на \(a+b\).

▼ Отговор

От първата пропорция: \(\dfrac{|2a-3|}{8}=\dfrac{2^{-3}}{3^{-2}}=\dfrac{9}{8}\Rightarrow|2a-3|=9\).
\(a=6\) или \(a=-3\).
От втората: \(\dfrac{|2-b|}{a}=\dfrac{3^{-1}}{2^{-2}}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow|2-b|=\dfrac{4a}{3}\).
При \(a=6\): \(|2-b|=8\Rightarrow b=-6\) или \(b=10\).
При \(a=-3\): \(|2-b|=-4\) — невъзможно.
\(a+b\in\{\mathbf{0},\,\mathbf{16}\}\).

Задача 14 Решете уравнението:
а) \(\left|\dfrac{4x-1}{3}-x\right|=6\);
б) \(\left|\dfrac{2-\frac{x}{3}}{4}+x-\dfrac{\frac{2x}{5}-1}{6}\right|=1\).

▼ Отговор

а) \(\dfrac{4x-1}{3}-x=\dfrac{x-1}{3}\). \(\left|\dfrac{x-1}{3}\right|=6\Rightarrow x-1=18\Rightarrow x=19\) или \(x-1=-18\Rightarrow x=-17\).
б) Изразът под модула се опростява до \(\dfrac{17x}{20}+\dfrac{2}{3}\).
\(\dfrac{17x}{20}+\dfrac{2}{3}=1\Rightarrow x=\dfrac{20}{51}\)  или  \(\dfrac{17x}{20}+\dfrac{2}{3}=-1\Rightarrow x=-\dfrac{100}{51}\).

Задача 15 Намерете общия корен на уравненията \(|x-5|+|15-3x|=8\) и \(x^3+4x^2=21x\).

▼ Отговор

\(x^3+4x^2-21x=x(x+7)(x-3)=0\Rightarrow x\in\{-7,0,3\}\).
Проверяваме в първото уравнение: само \(x=3\) дава \(|3-5|+|15-9|=2+6=8\). ✓
Общият корен е \(\mathbf{x=3}\).

Задача 16 Еквивалентни ли са уравненията \(||x-3|-2|=1\) и \((x^2-6x)^2+8(x^2-6x)=0\)?

▼ Отговор

\(||x-3|-2|=1\): \(|x-3|=3\Rightarrow x=0\) или \(x=6\); \(|x-3|=1\Rightarrow x=2\) или \(x=4\). Корени: \(\{0,2,4,6\}\).
\((x^2-6x)^2+8(x^2-6x)=0\): с полагане \(t=x^2-6x=x(x-6)\): \(t(t+8)=0\).
\(t=0\Rightarrow x=0\) или \(x=6\); \(t=-8\Rightarrow x^2-6x+8=0\Rightarrow x=2\) или \(x=4\). Корени: \(\{0,2,4,6\}\).
Двете уравнения имат едни и същи корени — да, те са еквивалентни.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Модулни уравнения

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1При \(c>0\) уравнението \(|ax+b|=c\) е еквивалентно на:

само \(ax+b=c\) \(ax+b=c\) или \(ax+b=-c\) уравнението няма решение \(ax+b=0\)

2Уравнението \(|ax+b|=-3\):

има решение \(x=3/a\) няма решение всяко \(x\) е решение има решение \(x=-b/a\)

3Корените на уравнението \(|3x-5|=4\) са:

\(x_1=3\) и \(x_2=-\frac{1}{3}\) \(x_1=3\) и \(x_2=\frac{1}{3}\) \(x_1=-3\) и \(x_2=\frac{1}{3}\) \(x_1=3\) и \(x_2=\frac{5}{3}\)

4Коренът на уравнението \(\left|\dfrac{1}{2}x-5\right|=0\) е:

\(x=5\) \(x=10\) \(x=0\) \(x=\frac{1}{2}\)

5Корените на уравнението \(3-|1{,}5-x|=1\) са:

\(x_1=0{,}5\) и \(x_2=-3{,}5\) \(x_1=-0{,}5\) и \(x_2=3{,}5\) \(x_1=1{,}5\) и \(x_2=-1{,}5\) \(x_1=2{,}5\) и \(x_2=-0{,}5\)

6Корените на уравнението \(|3x+1|+|9x+3|=8\) са:

\(x_1=\frac{1}{4}\) и \(x_2=-\frac{3}{4}\) \(x_1=\frac{1}{3}\) и \(x_2=-1\) \(x_1=2\) и \(x_2=-\frac{8}{3}\) \(x_1=\frac{1}{3}\) и \(x_2=1\)

7Корените на уравнението \(3|2y-5|-5|5-2y|+6=0\) са:

\(y_1=4\) и \(y_2=1\) \(y_1=4\) и \(y_2=-1\) \(y_1=3\) и \(y_2=1\) уравнението няма решение (дясната страна е отрицателна)

8Корените на уравнението \(|(x+5)^2-5(2x+5)|=81\) са:

\(x_1=9\) и \(x_2=-9\) \(x_1=81\) и \(x_2=-81\) \(x_1=9\) \(x_1=3\sqrt{9}\)

9Корените на уравнението \(||2x-3|-2|=1\) са:

\(0,\ -3,\ -1,\ -2\) \(3,\ 0,\ 2,\ 1\) \(3,\ -3,\ 2,\ -2\) \(3,\ 0\)

10Кое от следните твърдения за модула е вярно?

\(|a-b|=a-b\) за всяко \(a,b\) \(|a|=|-a|\) за всяко \(a\) \(|a|\leq 0\) за всяко \(a\) \(|a\cdot b|=|a|+|b|\)

11Коренът на уравнението \(|3x-5|=0\) е:

\(x=5\) \(x=\frac{5}{3}\) \(x=0\) уравнението няма решение

12Корените на уравнението \(|7x-5|=9\) са:

\(x_1=2\) и \(x_2=-\frac{4}{7}\) \(x_1=2\) и \(x_2=\frac{4}{7}\) \(x_1=-2\) и \(x_2=\frac{4}{7}\) \(x_1=2\) и \(x_2=-2\)

13Кое от следните е вярно?

\(|a-b|=a-b\) за всяко \(a,b\) \(|a-b|=|b-a|\) за всяко \(a,b\) \(|a-b|=-(b-a)\) е същото като \(|a-b|\) \(|a+b|=|a|-|b|\)

14Стойността на \(|-4|\) е:

\(-4\) \(4\) \(0\) \(\frac{1}{4}\)

15Корените на уравнението \(|2x+1|=2\) са:

\(x_1=\frac{1}{2}\) и \(x_2=\frac{3}{2}\) \(x_1=\frac{1}{2}\) и \(x_2=-\frac{3}{2}\) \(x_1=-\frac{1}{2}\) и \(x_2=\frac{3}{2}\) \(x_1=1\) и \(x_2=-1\)

---

Видео уроци

Видео урок — Модулни уравнения

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆