Уравнения от вида |ax+b|=c – 7. клас: 25 задачи и тест
Уравнения от вида \(|ax+b|=c\)
Абсолютна стойност (модул)
Теория: абсолютна стойност и уравнения с модул
Модулът, или абсолютната стойност, на реално число е разстоянието му до \(0\) върху числовата ос. Затова \(|4|=4\) и \(|-4|=4\). За преговор използвайте урока за абсолютната стойност на рационално число от 6. клас.
- \(|a|\ge0\);
- \(|a|=|-a|\);
- \(|ab|=|a||b|\);
- \(\left|\dfrac ab\right|=\dfrac{|a|}{|b|}\), ако \(b\ne0\);
- \(|a-b|=|b-a|\).
- \(c<0\): няма решение.
- \(c=0\): решаваме \(ax+b=0\).
- \(c>0\): решаваме \(ax+b=c\) или \(ax+b=-c\).
Практическа схема
- Опростете израза под модула.
- Изолирайте модула.
- Проверете знака на дясната страна.
- При положителна дясна страна решете двата случая \(A=c\) и \(A=-c\).
- При вложен модул работете последователно отвън навътре.
- Проверявайте дали различни модулни изрази не са еднакви, например \(|a-b|=|b-a|\).
Чести грешки:
• да се пише \(|A|=A\), без да е известно, че \(A\ge0\);
• при \(c>0\) да се пропуска случаят \(A=-c\);
• при \(c<0\) да се търсят корени;
• при вложен модул да се премахват всички знаци за модул едновременно.
Връзка с предишните уроци: след премахване на модула получаваме линейни уравнения. В някои задачи след опростяване е полезно и правилото за произведение, равно на нула.
25 подробно решени и обяснени задачи
№1–8 са запазени от първоначалната публикация и са редактирани за по-ясно обяснение. №9–20 развиват основните техники. №21–25 са с повишена трудност.
Основни случаи и преобразувания — задачи 1–20
1Основен случай \(c>0\)Решете уравнението \(|3x-5|=4\).
Понеже дясната страна е \(4>0\), разглеждаме двете възможности:
\[ 3x-5=4 \quad\text{или}\quad 3x-5=-4. \]От първото уравнение \(3x=9\), следователно \(x=3\). От второто \(3x=1\), следователно \(x=\frac13\).
Отговор: \(\boxed{x\in\left\{\frac13,3\right\}}\).
2Случай \(c=0\)Решете уравнението \(\left|\dfrac{1}{2}x-5\right|=0\).
Абсолютна стойност е равна на нула точно когато изразът под модула е нула:
\[ \frac12x-5=0. \]Прибавяме \(5\) към двете страни:
\[ \frac12x=5. \]Умножаваме двете страни по \(2\):
\[ x=10. \]Отговор: \(\boxed{x=10}\).
3Случай \(c<0\)Решете уравнението \(|3x^2-x+4|=-5\).
За всяко реално число \(A\) е изпълнено \(|A|\ge0\). Тук дясната страна е \(-5<0\), следователно равенството е невъзможно независимо от стойността на \(3x^2-x+4\).
Отговор: \(\boxed{\text{няма решение}}\).
4Изолиране на модулаРешете уравнението \(3-|1{,}5-x|=1\).
Първо изолираме модула. Изваждаме \(3\) от двете страни:
\[ -|1{,}5-x|=-2. \]Умножаваме двете страни по \(-1\):
\[ |1{,}5-x|=2. \]Понеже дясната страна е положителна, разглеждаме:
\[ 1{,}5-x=2 \quad\text{или}\quad 1{,}5-x=-2. \]От първото уравнение получаваме \(x=-0{,}5\), а от второто \(x=3{,}5\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-0{,}5,\,3{,}5\}}\).
5Еднакви модулни изразиРешете уравнението \(|3x+1|+|9x+3|=8\).
Забелязваме, че \(9x+3=3(3x+1)\). От свойството \(|kA|=|k||A|\) следва:
\[ |9x+3|=3|3x+1|. \]Тогава
\[ |3x+1|+3|3x+1|=8, \] \[ 4|3x+1|=8, \] \[ |3x+1|=2. \]Понеже дясната страна е положителна:
\[ 3x+1=2 \quad\text{или}\quad 3x+1=-2. \]Получаваме \(x=\frac13\) или \(x=-1\).
Отговор: \(\boxed{x\in\left\{-1,\frac13\right\}}\).
6Противоположни изразиРешете уравнението \(3|2y-5|-5|5-2y|+6=0\).
Понеже \(5-2y=-(2y-5)\), имаме
\[ |5-2y|=|2y-5|. \]Следователно уравнението става
\[ 3|2y-5|-5|2y-5|+6=0, \] \[ -2|2y-5|+6=0, \] \[ |2y-5|=3. \]Понеже дясната страна е положителна:
\[ 2y-5=3 \quad\text{или}\quad 2y-5=-3. \]Получаваме \(y=4\) или \(y=1\).
Отговор: \(\boxed{y\in\{1,4\}}\).
7Опростяване под модулаРешете уравнението \(|(x+5)^2-5(2x+5)|=81\).
Опростяваме израза под модула:
\[ (x+5)^2-5(2x+5) =x^2+10x+25-10x-25=x^2. \]Получаваме
\[ |x^2|=81. \]Понеже \(x^2\ge0\) за всяко реално \(x\), имаме \(|x^2|=x^2\). Следователно
\[ x^2=81, \] \[ x^2-81=0, \] \[ (x-9)(x+9)=0. \]От правилото за произведение, равно на нула, получаваме \(x=9\) или \(x=-9\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-9,9\}}\).
8Вложен модулРешете уравнението \(||2x-3|-2|=1\).
Работим първо с външния модул. Понеже дясната страна е \(1>0\), имаме:
\[ |2x-3|-2=1 \quad\text{или}\quad |2x-3|-2=-1. \]Следователно
\[ |2x-3|=3 \quad\text{или}\quad |2x-3|=1. \]От \(|2x-3|=3\) получаваме \(x=3\) или \(x=0\). От \(|2x-3|=1\) получаваме \(x=2\) или \(x=1\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{0,1,2,3\}}\).
9Линейно модулно уравнениеРешете \(|5x+2|=7\).
\(5x+2=7\) или \(5x+2=-7\). Оттук \(x=1\) или \(x=-\frac95\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-\frac95,1\}}\).
10Линеен израз с противоположен знакРешете \(|4-3x|=5\).
\(4-3x=5\) или \(4-3x=-5\). Получаваме \(x=-\frac13\) или \(x=3\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-\frac13,3\}}\).
11Коефициент пред модулаРешете \(2|x-4|=10\).
Делим на \(2\): \(|x-4|=5\). Следователно \(x-4=5\) или \(x-4=-5\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-1,9\}}\).
12Изолиране на модулаРешете \(5-|2x+1|=2\).
\(-|2x+1|=-3\), следователно \(|2x+1|=3\). Получаваме \(2x+1=3\) или \(2x+1=-3\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-2,1\}}\).
13Модул плюс константаРешете \(|7x-2|+3=10\).
\(|7x-2|=7\). Значи \(7x-2=7\) или \(7x-2=-7\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-\frac57,\frac97\}}\).
14Противоположни изрази под модулРешете \(4|3x-1|-2|1-3x|=6\).
\(|1-3x|=|3x-1|\), затова \(2|3x-1|=6\), тоест \(|3x-1|=3\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-\frac23,\frac43\}}\).
15Модул на дробен изразРешете \(\left|\dfrac{3x-1}{4}\right|=2\).
\(\frac{|3x-1|}{4}=2\Rightarrow |3x-1|=8\). Оттук \(3x-1=\pm8\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-\frac73,3\}}\).
16Вложен модул и нулаРешете \(\left||x-1|-2\right|=0\).
Външният модул е нула точно когато \(|x-1|-2=0\). Значи \(|x-1|=2\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-1,3\}}\).
17Вложен модул — четири решенияРешете \(\left||2x+1|-4\right|=2\).
\(|2x+1|-4=2\) или \(|2x+1|-4=-2\), тоест \(|2x+1|=6\) или \(|2x+1|=2\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-\frac72,-\frac32,\frac12,\frac52\}}\).
18Тъждествено опростяванеРешете \(\left|(x+2)^2-x(x+4)\right|=4\).
Под модула: \((x+2)^2-x(x+4)=4\). Получаваме \(|4|=4\), което е вярно за всяко реално \(x\).
Отговор: \(\boxed{x\in\mathbb R}\).
19Два еднакви модулаРешете \(|2x-5|+|5-2x|=6\).
\(|5-2x|=|2x-5|\), затова \(2|2x-5|=6\), тоест \(|2x-5|=3\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{1,4\}}\).
20Дробни коефициентиРешете \(\left|\dfrac{2x-3}{5}\right|=\dfrac75\).
Умножаваме по \(5>0\): \(|2x-3|=7\). Следователно \(2x-3=\pm7\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-2,5\}}\).
Задачи с повишена трудност — №21–25
21Параметър — брой решенияЗа реален параметър \(m\) разгледайте \(|2x-3|=m-1\). Определете броя на решенията според \(m\) и ги намерете, когато съществуват.Повишена трудност
Ако \(m<1\), дясната страна е отрицателна и решения няма.
Ако \(m=1\), \(|2x-3|=0\Rightarrow x=\frac32\).
Ако \(m>1\), решаваме \(2x-3=m-1\) или \(2x-3=-(m-1)\), откъдето \(x=\frac{m+2}{2}\) или \(x=\frac{4-m}{2}\).
Отговор: \(m<1\) — няма решение; \(m=1\) — едно; \(m>1\) — две.
22Равенство на два модулаРешете \(|3x-4|=|x+2|\).Повишена трудност
\(|A|=|B|\) означава \(A=B\) или \(A=-B\). Следователно \(3x-4=x+2\) или \(3x-4=-(x+2)\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{\frac12,3\}}\).
23Вложен модул — два етапаРешете \(\left||2x-1|-3\right|=2\).Повишена трудност
\(|2x-1|-3=2\) или \(|2x-1|-3=-2\). Получаваме \(|2x-1|=5\) или \(|2x-1|=1\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-2,0,1,3\}}\).
24Сума на два модулаРешете \(|x-2|+|x+2|=6\).Повишена трудност
Разглеждаме интервалите \(x\le-2\), \(-2\le x\le2\), \(x\ge2\).
При \(x\ge2\): \(2x=6\Rightarrow x=3\). При \(-2\le x\le2\): сумата е \(4\), така че решение няма. При \(x\le-2\): \(-2x=6\Rightarrow x=-3\).
Отговор: \(\boxed{x\in\{-3,3\}}\).
25Параметър и точно три коренаЗа коя реална стойност на \(m\) уравнението \(\left||x-1|-2\right|=m\) има точно три различни реални корена?Повишена трудност
При \(m<0\) решения няма. При \(m\ge0\): \(|x-1|=m+2\) или \(|x-1|=2-m\).
За \(m=0\) имаме 2 корена; за \(0
Отговор: \(\boxed{m=2}\).
30 задачи за самостоятелна работа
№1–16 са запазени от оригиналния урок. №17–25 са нови самостоятелни упражнения, а №26–30 са за надграждане.
Запазени задачи — №1–16
Отговор и насока
Отговор и насока
Следователно \(|-1|=1\neq9\) — уравнението няма решение.
Отговор и насока
\(|x+2|=1\Rightarrow x=-1\) или \(x=-3\).
Отговор и насока
\(5t-10t+15=0\Rightarrow -5t=-15\Rightarrow t=3\).
\(|7x-11|=3\Rightarrow 7x-11=3\Rightarrow x=2\) или \(7x-11=-3\Rightarrow x=\dfrac{8}{7}\).
Отговор и насока
\(2t-6t=10\Rightarrow-4t=10\Rightarrow t=-\dfrac{5}{2}\).
Невъзможно (\(t\geq0\)) — уравнението няма решение.
Отговор и насока
\(|2x+1|=2\Rightarrow 2x+1=2\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\) или \(2x+1=-2\Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}\).
Отговор и насока
\(8+t-4t=-4\Rightarrow-3t=-12\Rightarrow t=4\Rightarrow|x-2|=4\).
\(x=6\) или \(x=-2\).
Противоположните им стойности са \(-6\) и \(2\), сборът им е \(-6+2=\mathbf{-4}\).
(1) \(\dfrac{2}{3}\!\left(x-\dfrac{x-1}{5}\right)-\dfrac{(x-2)^2}{5}=\dfrac{x(10-3x)}{15}\); (2) \(|x+1|=2\); (3) \(x^2+2x-3=0\).
а) Решете уравнение (1); б) Решете уравнение (2); в) Решете уравнение (3); г) Кои от уравненията са еквивалентни?
(НВО по математика 7 клас 2020 г.)
Отговор и насока
б) \(x+1=2\Rightarrow x=1\) или \(x+1=-2\Rightarrow x=-3\). Корени: \(\{-3,1\}\).
в) \((x+3)(x-1)=0\Rightarrow x=-3\) или \(x=1\). Корени: \(\{-3,1\}\).
г) Уравнения (2) и (3) са еквивалентни (имат едни и същи корени \(\{-3,1\}\)). Уравнение (1) не е еквивалентно с тях (има само корен \(x=1\)).
Отговор и насока
\(|3x-4|-2=-5\Rightarrow|3x-4|=-3\) — невъзможно.
Цялото решение е \(x=\mathbf{-1}\).
а) Намерете корените на уравнението;
б) Намерете сбора на корените, по-големи от 1. (НОМ)
Отговор и насока
\(4y-5=4\Rightarrow y=\dfrac{9}{4}\) или \(4y-5=-4\Rightarrow y=\dfrac{1}{4}\).
б) Само \(y=\dfrac{9}{4}\gt1\), сборът е \(\mathbf{\dfrac{9}{4}}\).
Отговор и насока
Корените на \(3x^2-4x-4=0\): \(x=2\) или \(x=-\dfrac{2}{3}\).
Корените на \(|5-|3x+2||=5\): \(|3x+2|=0\Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}\); \(|3x+2|=10\Rightarrow x=\dfrac{8}{3}\) или \(x=-4\).
Общият корен е \(x=-\dfrac{2}{3}\approx-0{,}67\lt-\dfrac{1}{2}=m\). \(\blacksquare\)
Отговор и насока
\(x^2=4x\): \(x(x-4)=0\Rightarrow x=0\) или \(x=4\). Корени: \(\{0,4\}\).
\(2x^2-11x+12=0\): \((2x-3)(x-4)=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\) или \(x=4\). Корени: \(\{\tfrac{3}{2},4\}\).
Еквивалентни са първото и второто уравнение (\(\{0,4\}\)).
Отговор и насока
\(a=6\) или \(a=-3\).
От втората: \(\dfrac{|2-b|}{a}=\dfrac{3^{-1}}{2^{-2}}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow|2-b|=\dfrac{4a}{3}\).
При \(a=6\): \(|2-b|=8\Rightarrow b=-6\) или \(b=10\).
При \(a=-3\): \(|2-b|=-4\) — невъзможно.
\(a+b\in\{\mathbf{0},\,\mathbf{16}\}\).
а) \(\left|\dfrac{4x-1}{3}-x\right|=6\);
б) \(\left|\dfrac{2-\frac{x}{3}}{4}+x-\dfrac{\frac{2x}{5}-1}{6}\right|=1\).
Отговор и насока
б) Изразът под модула се опростява до \(\dfrac{17x}{20}+\dfrac{2}{3}\).
\(\dfrac{17x}{20}+\dfrac{2}{3}=1\Rightarrow x=\dfrac{20}{51}\) или \(\dfrac{17x}{20}+\dfrac{2}{3}=-1\Rightarrow x=-\dfrac{100}{51}\).
Отговор и насока
Проверяваме в първото уравнение: само \(x=3\) дава \(|3-5|+|15-9|=2+6=8\). ✓
Общият корен е \(\mathbf{x=3}\).
Отговор и насока
\((x^2-6x)^2+8(x^2-6x)=0\): с полагане \(t=x^2-6x=x(x-6)\): \(t(t+8)=0\).
\(t=0\Rightarrow x=0\) или \(x=6\); \(t=-8\Rightarrow x^2-6x+8=0\Rightarrow x=2\) или \(x=4\). Корени: \(\{0,2,4,6\}\).
Двете уравнения имат едни и същи корени — да, те са еквивалентни.
Допълнителна практика — №17–25
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
За надграждане — №26–30
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки. Това е учебна самооценка.
Скала: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; под 15 т. → 2.
Видео урок
Допълнителни тестове
Използвана литература
Запазена е литературата от първоначалната публикация. Новите задачи са самостоятелно съставени за настоящия урок.
- 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
- 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
- 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
- 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
- 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
- 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
- 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
- 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
- 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
- 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
- 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
- 12.Сп. Математика; Сп. Математика+
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар