📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7. клас › Алгебра › Формули за съкратено умножение

Сбор и разлика на кубове
Формули, задачи и тест за 7. клас

25 подробно решени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа, онлайн тест и видеоуроци

7. клас25 решени задачи30 самостоятелни задачи15 въпроса тестД-р Атанас Илчев

В този урок

Теория и формули25 решени задачиПет трудни задачи30 самостоятелниОнлайн тестВидеоуроциСвързани материали

Теория: сбор и разлика на кубове

Продължаваме с формулите за съкратено умножение. Тук разглеждаме формулите за сбор и разлика на кубове: използваме ги както за бързо умножение, така и за разлагане на множители, опростяване, числено пресмятане и решаване на уравнения.

Преди да започнете: припомнете степенуването с естествен показател от 6. клас и разграничете настоящите формули от куба на двучлен.

Какво разпознаваме? Сборът \(a^3+b^3\) и разликата \(a^3-b^3\) съдържат два куба. Те се представят като произведение на двучлен и тричлен. Буквите \(a\) и \(b\) могат да означават числа, едночлени или по-сложни изрази.

Сбор на кубове \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).\] Разлика на кубове \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).\]

Правило за знаците: в двучлена знакът е същият като между кубовете. Пред \(ab\) в тричлена знакът е противоположният. Последният член \(b^2\) винаги е със знак плюс.

Защо формулите са верни?

Разкриваме скобите по разпределителното свойство и събираме подобните членове. При сбора:

\[\begin{aligned}(a+b)(a^2-ab+b^2)&=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\\&=a^3+b^3.\end{aligned}\]

При разликата:

\[\begin{aligned}(a-b)(a^2+ab+b^2)&=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\\&=a^3-b^3.\end{aligned}\]

Тук използваме разпределителното свойство на умножението, изучено още в 5. клас.

В двата случая средните членове се унищожават по двойки. Равенствата са тъждества — верни са за всички реални стойности на \(a\) и \(b\).

Непълен квадрат: какво означава това?

Тричленът \(a^2-ab+b^2\) се нарича непълен квадрат на разликата, а \(a^2+ab+b^2\) — непълен квадрат на сбора. Това не са квадратите \((a-b)^2\) и \((a+b)^2\): при тях средният член е съответно \(-2ab\) и \(+2ab\).

Как прилагаме формулите?

1. Разпознаваме двете основи на кубовете или двата члена в първата скоба.
2. Проверяваме коефициентите и показателите: например \(64x^3=(4x)^3\), а \(y^6=(y^2)^3\).
3. Избираме формулата за сбор или разлика.
4. Проверяваме всичките три члена на втория множител — \(a^2\), \(ab\) със съответния знак и \(b^2\).
5. Довършваме пресмятането и събираме подобните членове. При дроби предварително проверяваме знаменателите.

Пример: \(8x^3+125=(2x)^3+5^3\), следователно \[8x^3+125=(2x+5)(4x^2-10x+25).\] Обратно, същото произведение се умножава до \(8x^3+125\).

Полезни следствия

Когато са известни сборът или разликата на две числа и тяхното произведение, не е нужно да намираме числата поотделно:

\[a^3+b^3=(a+b)\bigl((a+b)^2-3ab\bigr),\] \[a^3-b^3=(a-b)\bigl((a-b)^2+3ab\bigr).\] Те следват от \(a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab\) и \(a^2+ab+b^2=(a-b)^2+3ab\).

Чести грешки

Сбор на кубове не е куб на сбор. \(a^3+b^3\) обикновено не е равно на \((a+b)^3\). Например \(1^3+2^3=9\), докато \((1+2)^3=27\).

Не поставяме \(2ab\) в непълния квадрат. Вторият множител е тричлен със среден член \(ab\), а не квадрат на двучлен.

Следим реда в разликата. \(a^3-b^3=-(b^3-a^3)\); размяната на двете основи променя знака.

Съкращаваме само ненулеви общи множители. Например \[\frac{x^3+8}{x+2}=x^2-2x+4\quad\text{само при }x\ne-2.\] След съкращаването ограничението от първоначалния знаменател остава.

Обхват. Ако не е посочено друго, буквите означават реални числа. В задачите с дроби знаменателите трябва да са ненулеви. Използваме \(\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\). Надграждащите задачи №21–25 съчетават формулите с допълнително разсъждение.

Справочник: четирите формули от първоначалния урок

1. 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
2. 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
3. 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
4. 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)

---

25 решени и обяснени задачи

№1–20 развиват основните умения и приложения. №21–25 са с повишена трудност. Отворете всяка задача, за да видите стъпките и обясненията.

1Разлика на кубовеИзвършете умножението \((3-x)(9+3x+x^2)\).▼

РешениеЗабелязваме, че даденият израз може да се запише като \((3-x)(3^2+3x+x^2)\). Прилагаме формулата \[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,\] като заменяме \(a=3\) и \(b=x\), получаваме: \[(3-x)(3^2+3x+x^2)=3^3-x^3=27-x^3.\]

2Сбор на кубовеИзвършете умножението \((3t+2)(9t^2-6t+4)\).▼

РешениеДаденият израз може да се запише като \[(3t+2)\bigl[(3t)^2-3t\cdot2+2^2\bigr].\] Прилагаме формулата \[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,\] с \(a=3t\) и \(b=2\). Следователно: \[(3t+2)(9t^2-6t+4)=(3t)^3+2^3=27t^3+8.\]

3Комбиниране с разлика на квадратиОпростете израза \((x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2)\).▼

РешениеПрилагаме първо формулата \[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,\] с \(a=x\) и \(b=2\): \[(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-2^3=x^3-8.\] Също използваме формулата за сбор по разлика \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\] за изчисляване на \[x(x-2)(x+2)=x\bigl(x^2-4\bigr)=x^3-4x.\] И накрая изваждаме: \[(x^3-8)-\bigl(x^3-4x\bigr)-4(x-2)=x^3-8-x^3+4x-4x+8=0.\]

Използваната предишна формула е обяснена в урока сбор по разлика — разлика на квадрати.

4Опростяване преди заместванеОпростете израза и намерете числената му стойност \((2y-3)(4y^2+6y+9)+(y+3)(y^2-3y+9)\) при \(y=2\).▼

РешениеИзползваме формулата \[(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3.\] За първото произведение избираме \(a=2y\) и \(b=3\): \[(2y-3)(4y^2+6y+9)=(2y)^3-3^3=8y^3-27.\] За второто произведение с \(a=y\) и \(b=3\): \[(y+3)(y^2-3y+9)=y^3+3^3=y^3+27.\] Сумираме: \[8y^3-27+y^3+27=9y^3.\] При \(y=2\): \[9\cdot2^3=9\cdot8=72.\]

5УравнениеНамерете неизвестното число \(x\) в равенството \((x+4)(x^2-4x+16)-x(x-2)(x+2)=8\).▼

РешениеПрилагаме формулата \[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,\] с \(a=x\) и \(b=4\): \[(x+4)(x^2-4x+16)=x^3+4^3=x^3+64.\] Също така, \[x(x-2)(x+2)=x\bigl(x^2-4\bigr)=x^3-4x.\] Равенството става: \[x^3+64-\bigl(x^3-4x\bigr)=64+4x=8.\] Оттук: \[4x=8-64=-56,\quad x=-14.\]

6Числена стойностНамерете числената стойност на израза \((x+2)(x^2-2x+4)-(2x+1)(2x-1)-9\) при \(x=-2\).▼

РешениеПрилагаме формулата \[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,\] т.е. \[(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+2^3=x^3+8.\] Освен това, \[(2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1.\] Така изразът става: \[x^3+8-\bigl(4x^2-1\bigr)-9=x^3+8-4x^2+1-9=x^3-4x^2.\] При \(x=-2\): \[(-2)^3-4(-2)^2=-8-16=-24.\]

При отрицателни стойности внимавайте със скобите и събирането и изваждането на рационални числа.

7Независимост от променливаДокажете, че стойността на израза \((2x-1)(4x^2+2x+1)-8x(x+2)(x-2)-32x+4\) не зависи от стойността на \(x\).▼

РешениеПрилагаме формулата \[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,\] с \(a=2x\) и \(b=1\): \[(2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x)^3-1^3=8x^3-1.\] Забелязваме, че \[(x+2)(x-2)=x^2-4.\] След това изразът става: \[8x^3-1-8x\bigl(x^2-4\bigr)-32x+4.\] Разгръщаме: \[=8x^3-1-8x^3+32x-32x+4=3.\] Така независимо от \(x\) изразът е равен на 3. ■

8Доказване на тъждествоДокажете тъждеството \((x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3=3x(x-1)\).▼

РешениеПреобразуваме лявата страна. По формулата за разлика на кубове: \[(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1,\] а по формулата за куб на двучлен: \[(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1.\] Изваждаме: \[(x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3 = \bigl(x^3-1\bigr)-\bigl(x^3-3x^2+3x-1\bigr)=3x^2-3x.\] Дясната страна: \[3x(x-1)=3x^2-3x.\] Следователно лявата страна е равна на дясната и тъждеството е доказано. ■

9Дробни коефициенти и степениИзвършете умножението \[\left(\frac{a}{3}+2b^2\right)\left(\frac{a^2}{9}-\frac{2ab^2}{3}+4b^4\right).\]▼

Решение

Двата члена в първата скоба са \(A=\dfrac{a}{3}\) и \(B=2b^2\). Проверяваме тричлена, преди да приложим формулата:

\[A^2=\frac{a^2}{9},\qquad AB=\frac{2ab^2}{3},\qquad B^2=4b^4.\]

Следователно той е точно \(A^2-AB+B^2\). По формулата за сбор на кубове:

\[\begin{aligned}(A+B)(A^2-AB+B^2)&=A^3+B^3\\&=\left(\frac{a}{3}\right)^3+(2b^2)^3\\&=\frac{a^3}{27}+8b^6.\end{aligned}\]

Кубът на частно се получава, като повдигнем на трета степен и числителя, и знаменателя. При \((b^2)^3\) умножаваме показателите: \(2\cdot3=6\).

За степените на целите членове припомнете степенуването на произведение, частно и степен.

10Разпознаване при разместени членовеПредставете като многочлен в нормален вид \[(0{,}4u-v)(v^2+0{,}4uv+0{,}16u^2).\]▼

Решение

Редът на събираемите във втората скоба не променя стойността ѝ. Подреждаме ги така, че да разпознаем формулата:

\[v^2+0{,}4uv+0{,}16u^2=(0{,}4u)^2+(0{,}4u)v+v^2.\]

Първата скоба е разлика, а средният член на тричлена е със знак плюс. Избираме \(A=0{,}4u\) и \(B=v\):

\[(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3.\]

Понеже \(0{,}4^3=0{,}064\), получаваме:

\[(0{,}4u-v)(v^2+0{,}4uv+0{,}16u^2)=0{,}064u^3-v^3.\]

Десетичните коефициенти се пресмятат по правилата за умножение и деление на рационални числа.

11Обратно прилагане — разлаганеРазложете на множители: а) \(x^3+216\); б) \(64a^3-125b^3\).▼

Решение

а) Записваме \(216=6^3\). При сбор на кубове първият множител е сборът на основите, а вторият е \(A^2-AB+B^2\):

\[x^3+216=x^3+6^3=(x+6)(x^2-6x+36).\]

б) Основите на двата куба са \(4a\) и \(5b\), защото \((4a)^3=64a^3\), а \((5b)^3=125b^3\). Затова:

\[\begin{aligned}64a^3-125b^3&=(4a)^3-(5b)^3\\&=(4a-5b)\bigl((4a)^2+(4a)(5b)+(5b)^2\bigr)\\&=(4a-5b)(16a^2+20ab+25b^2).\end{aligned}\]

Не заменяме тричлена с квадрат на двучлен: неговият среден член е \(AB\), а не \(2AB\).

Същият подход се развива в урока за разлагане чрез формулите за съкратено умножение.

12Липсващи коефициенти в тъждествоНамерете числата \(A\) и \(B\), за които \[(2x-3y)(4x^2+Axy+By^2)=8x^3-27y^3\] е тъждество.▼

Решение

Дясната страна е \((2x)^3-(3y)^3\). Разлагаме я по формулата:

\[8x^3-27y^3=(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2).\]

Това подсказва \(A=6\), \(B=9\). За да обосновем, че няма други стойности, разкриваме скобите в условието:

\[8x^3+(2A-12)x^2y+(2B-3A)xy^2-3By^3.\]

При тъждество коефициентите на едни и същи членове трябва да съвпадат. Получаваме \(2A-12=0\) и \(-3B=-27\), откъдето \(A=6\) и \(B=9\). Проверяваме и останалия коефициент:

\[2B-3A=18-18=0.\]

Отговор: \(A=6\), \(B=9\).

13Рационално числено пресмятанеПресметнете без отделно изчисляване на кубовете: \[\frac{53^3-17^3}{53^2+53\cdot17+17^2}.\]▼

Решение

Разликата в числителя е разлика на кубове. Изнасяме множителя \(53-17\):

\[53^3-17^3=(53-17)(53^2+53\cdot17+17^2).\]

Знаменателят е положителен: той е сбор от три положителни числа. Следователно можем да съкратим общия ненулев множител:

\[\frac{(53-17)(53^2+53\cdot17+17^2)}{53^2+53\cdot17+17^2}=53-17=36.\]

Съкращаваме множители, а не отделни събираеми.

Това е приложение на основното свойство на дробите и съкращаването.

14Противоположни кубовеДокажете, че изразът \[(x+5)(x^2-5x+25)+(5-x)(x^2+5x+25)\] не зависи от \(x\), и намерете стойността му.▼

Решение

Първото произведение е сбор на кубове:

\[(x+5)(x^2-5x+25)=x^3+125.\]

При второто произведение първата скоба е \(5-x\), затова редът на основите е \(5\), после \(x\). Подреждаме тричлена:

\[(5-x)(25+5x+x^2)=125-x^3.\]

Събираме двата резултата:

\[(x^3+125)+(125-x^3)=250.\]

Членовете \(x^3\) и \(-x^3\) се унищожават. За всяко реално \(x\) стойността е 250.

15Последователно прилагане на формулиРазложете \(x^6-729\) на произведение от два линейни и два квадратни множителя.▼

Решение

Първо разпознаваме разлика на квадрати: \(x^6=(x^3)^2\) и \(729=27^2\). Следователно:

\[x^6-729=(x^3-27)(x^3+27).\]

В първия множител имаме разлика на кубове, а във втория — сбор на кубове, защото \(27=3^3\):

\[x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9),\] \[x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9).\]

Съединяваме разлаганията:

\[x^6-729=(x-3)(x+3)(x^2+3x+9)(x^2-3x+9).\]

Линейните множители са \(x-3\) и \(x+3\). Квадратните множители съдържат противоположни средни членове.

16Съкращаване и допустими стойностиОпростете \[F=\frac{x^3-64}{x^2+4x+16}\] и посочете за кои реални \(x\) има смисъл първоначалният израз.▼

Решение

Най-напред проверяваме знаменателя. Допълваме до точен квадрат:

\[x^2+4x+16=(x+2)^2+12\ge12>0.\]

Следователно знаменателят не е нула за никое реално \(x\). Разлагаме числителя като разлика на кубове:

\[x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16).\]

Общият множител е ненулев, затова:

\[F=\frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{x^2+4x+16}=x-4.\]

Отговор: \(F=x-4\) за всички реални \(x\). Не изключваме \(x=4\): при него първоначалният знаменател е \(48\), а числителят е \(0\).

17Сбор на кубове по дадени сбор и произведениеДадено е \(a+b=9\) и \(ab=14\). Намерете \(a^3+b^3\), без да намирате поотделно \(a\) и \(b\).▼

Решение

Използваме формулата за сбор на кубове. За втория множител ни трябват \(a^2+b^2\) и \(ab\):

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\]

Оттук:

\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=81-28=53.\]

Тогава непълният квадрат на разликата е:

\[a^2-ab+b^2=53-14=39.\]

Сега прилагаме основната формула:

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=9\cdot39=351.\]

Същото пресмятане може да се събере в равенството \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\).

18Разлика на кубове по дадени разлика и произведениеДадено е \(a-b=4\) и \(ab=12\). Намерете \(a^3-b^3\), без да определяте поотделно числата.▼

Решение

От квадрата на разликата получаваме:

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\] \[a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=16+24=40.\]

За формулата за разлика на кубове е необходим тричленът с положителен среден член:

\[a^2+ab+b^2=40+12=52.\]

Следователно:

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=4\cdot52=208.\]

Еквивалентно: \(a^3-b^3=(a-b)\bigl((a-b)^2+3ab\bigr)\).

19Уравнение с унищожаване на кубичните членовеРешете уравнението \[(2x-1)(4x^2+2x+1)-8x(x-1)(x+1)=39.\]▼

Решение

Първото произведение е разлика на кубове, а във второто използваме сбор по разлика:

\[(2x-1)(4x^2+2x+1)=8x^3-1,\] \[8x(x-1)(x+1)=8x(x^2-1)=8x^3-8x.\]

Заместваме в уравнението и внимаваме със знака пред втората скоба:

\[8x^3-1-(8x^3-8x)=39,\] \[8x-1=39\quad\Longrightarrow\quad8x=40\quad\Longrightarrow\quad x=5.\]

Всички преобразувания са тъждествени; не сме делили на израз с неизвестното. Проверка в първоначалното равенство:

\[(10-1)(100+10+1)-40\cdot4\cdot6=999-960=39.\]

Отговор: \(x=5\).

След преобразуването използваме правилата за решаване на уравнение от вида ax+b=0 от 6. клас.

20Практическа задача — обеми на два кубаДва куба имат ръбове с дължини \(a\) см и \(b\) см, където \(a,b>0\), \(a+b=12\) и \(ab=32\). Намерете сбора от обемите им, без да намирате ръбовете поотделно.▼

Решение

Обемът на куб с ръб \(a\) см е \(a^3\) см\(^3\). Търсеният сбор е \(V=a^3+b^3\) см\(^3\).

Разлагаме сбора на кубовете и изразяваме втория множител чрез дадените величини:

\[a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab=12^2-3\cdot32=144-96=48.\]

Следователно:

\[V=(a+b)(a^2-ab+b^2)=12\cdot48=576\text{ см}^3.\]

Сборът на ръбовете е дължина, но сборът на обемите се записва в кубични сантиметри. Не е вярно, че \(a^3+b^3=(a+b)^3\).

Припомнете обема на куб и мерните единици за обем от 5. клас.

Задачи №21–25 — с повишена трудност

21Верига от разлики на кубовеОпростете произведението \[P=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^6+a^3b^3+b^6).\] След това намерете \(P\) при \(a=2\), \(b=1\), без да умножавате трите първоначални множителя поотделно.Повишена трудност▼

Решение

Идея: първата формула създава нова разлика, която е подходяща за втора употреба на същата формула.

Групираме първите два множителя:

\[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.\]

След тази стъпка произведението е:

\[P=(a^3-b^3)(a^6+a^3b^3+b^6).\]

Сега основите са целите изрази \(A=a^3\) и \(B=b^3\). Третият първоначален множител е \(A^2+AB+B^2\), затова:

\[P=(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3=a^9-b^9.\]

При \(a=2\), \(b=1\):

\[P=2^9-1^9=512-1=511.\]

Проверка чрез междинното произведение: \((8-1)(64+8+1)=7\cdot73=511\).

22Два параметъра и независимост от променливаЗа кои реални числа \(m\) и \(n\) стойността на \[P=(x+2)(x^2-2x+4)-(x-1)^3-mx(x+1)-nx\] не зависи от \(x\)? Намерете и постоянната стойност.Повишена трудност▼

Решение

Записваме всяка част като многочлен:

\[(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8,\] \[(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1,\qquad mx(x+1)=mx^2+mx.\]

След заместване кубичните членове се унищожават:

\[P=3x^2-3x+9-mx^2-mx-nx.\] \[P=(3-m)x^2+(-3-m-n)x+9.\]

Този многочлен е постоянен точно когато коефициентите пред \(x^2\) и \(x\) са нула:

\[3-m=0\quad\Longrightarrow\quad m=3,\] \[-3-m-n=0\quad\Longrightarrow\quad -3-3-n=0\quad\Longrightarrow\quad n=-6.\]

При тези стойности \(P=0\cdot x^2+0\cdot x+9=9\) за всяко \(x\).

Отговор: \(m=3\), \(n=-6\), постоянна стойност \(9\).

23Най-малка стойност чрез точен квадратНамерете най-малката стойност на \[E=(x+3)(x^2-3x+9)-(x-2)^3\] за реално \(x\). При кое \(x\) се достига тя?Повишена трудност▼

Решение

Не сравняваме кубовете поотделно. Първо опростяваме целия израз:

\[(x+3)(x^2-3x+9)=x^3+27,\] \[(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8.\]

Следователно:

\[E=x^3+27-(x^3-6x^2+12x-8)=6x^2-12x+35.\]

Изнасяме \(6\) от първите два члена и допълваме до точен квадрат:

\[\begin{aligned}E&=6(x^2-2x)+35\\&=6\bigl((x-1)^2-1\bigr)+35\\&=6(x-1)^2+29.\end{aligned}\]

Квадратът \((x-1)^2\) е неотрицателен за всяко реално \(x\). Затова \(E\ge29\). Равенство има точно при \(x-1=0\), тоест \(x=1\).

Проверка: \((1+3)(1-3+9)-(1-2)^3=4\cdot7-(-1)=29\).

Отговор: най-малката стойност е \(29\), достига се при \(x=1\).

Допълването до точен квадрат използва формулата за квадрат на двучлен.

24Доказателство за делимост — точно определен множителДокажете, че за всяко нечетно естествено число \(n\) сборът \[(n+1)^3+(n-1)^3\] се дели на \(8\), но не се дели на \(16\).Повишена трудност▼

Решение

Прилагаме формулата за сбор на кубове с \(A=n+1\) и \(B=n-1\). Намираме двата множителя:

\[A+B=2n,\] \[A^2+B^2=(n+1)^2+(n-1)^2=2n^2+2,\] \[AB=(n+1)(n-1)=n^2-1.\]

Следователно:

\[A^2-AB+B^2=(2n^2+2)-(n^2-1)=n^2+3,\] \[(n+1)^3+(n-1)^3=2n(n^2+3).\]

Понеже \(n\) е нечетно, можем да запишем \(n=2k+1\), където \(k\) е неотрицателно цяло число. Тогава:

\[\begin{aligned}n^2+3&=(2k+1)^2+3\\&=4k^2+4k+4\\&=4\bigl(k(k+1)+1\bigr).\end{aligned}\]

Следователно:

\[(n+1)^3+(n-1)^3=8(2k+1)\bigl(k(k+1)+1\bigr).\]

Числата \(k\) и \(k+1\) са последователни, така че едното е четно. Затова \(k(k+1)\) е четно, а \(k(k+1)+1\) е нечетно. Числото \(2k+1\) също е нечетно.

Получихме \(8\), умножено по нечетно цяло число. Значи сборът се дели на \(8\). За да се дели и на \(16=8\cdot2\), частното при деление на \(8\) трябва да е четно, а то е нечетно. Следователно на \(16\) не се дели.

Аргументът стъпва върху делимостта на сбор и произведение.

25Всички естествени решенияНамерете всички двойки естествени числа \((x,y)\), за които \[x^3-y^3=91.\]Повишена трудност▼

Решение

Тъй като \(91>0\), имаме \(x>y\). Означаваме \(d=x-y\); тогава \(d\) е положително цяло число.

Разлагаме разликата на кубовете:

\[(x-y)(x^2+xy+y^2)=91,\] \[d(x^2+xy+y^2)=91.\]

Следователно \(d\) е положителен делител на \(91=7\cdot13\): възможни са \(1,7,13,91\).

Но \(x=y+d\) и \(y\ge1\), затова:

\[\begin{aligned}x^2+xy+y^2&=(y+d)^2+(y+d)y+y^2\\&=3y^2+3dy+d^2>d^2.\end{aligned}\]

Получаваме \(91=d(x^2+xy+y^2)>d^3\). Всяка възможност \(d\ge7\) е невъзможна, защото тогава \(d^3\ge343>91\). Остава само \(d=1\), тоест \(x=y+1\).

Заместваме:

\[(y+1)^3-y^3=91\quad\Longrightarrow\quad3y^2+3y+1=91,\] \[y^2+y-30=0\quad\Longrightarrow\quad(y-5)(y+6)=0.\]

От произведение, равно на нула, следва \(y=5\) или \(y=-6\). Второто число не е естествено. Значи \(y=5\) и \(x=6\).

Проверка: \(6^3-5^3=216-125=91\). Разгледахме всички възможни \(d\), така че други естествени решения няма.

Отговор: единствената двойка е \((6,5)\).

За делителите използваме разлагането на прости множители, а накрая — свойството за произведение, равно на нула.

---

30 задачи за самостоятелна работа

Решавайте самостоятелно, преди да отваряте отговорите. Първите 12 задачи са запазени от първоначалния урок. №13–30 дават допълнителна практика, а последните четири са за надграждане.

Задача 1 Извършете умножението:
а) \((x-y)(x^2+xy+y^2)\);
б) \((y^2-7)(y^4+7y^2+49)\);
в) \(\left(\dfrac{1}{2}a+b\right)\left(\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{2}ab+b^2\right)\);
г) \(\left(\dfrac{1}{3}-2a\right)\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{3}a+4a^2\right)\).

Отговор и насока

а) \(x^3-y^3\)
б) \(y^6-343\)
в) \(\dfrac{a^3}{8}+b^3\)
г) \(\dfrac{1}{27}-8a^3\)

Задача 2 Докажете тъждеството:
а) \((y-1)^3-(y+2)(y^2-2y+4)=3(-y^2+y-3)\);
б) \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\).

Отговор и насока

а) ЛС: \((y^3-3y^2+3y-1)-(y^3+8)=-3y^2+3y-9=3(-y^2+y-3)\) = ДС. \(\blacksquare\)
б) ДС: \((x+y)^3-3xy(x+y)=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2=x^3+y^3\) = ЛС. \(\blacksquare\)

Задача 3 Опростете израза:
а) \((3x-4)(9x^2+12x+16)-(3x-2)^3-2x(x+4)\);
б) \((x-3)^2-(x-3)(x^2+3x+9)\).

Отговор и насока

а) \(52x^2-44x-56\)
б) \(-x^3+x^2-6x+36\)

Задача 4 Намерете числената стойност на израза:
а) \(3(x-1)^2+(x+2)(x^2-2x+4)-(x+1)^3\) при \(x=\dfrac{1}{27}\);
б) \(-\bigl(b-1\bigr)(b^2+b+1)+b(b+3)(b-3)\) при \(b=\left(-\dfrac{1}{9}\right)^2\).

Отговор и насока

а) Изразът се опростява до \(10-9x\). При \(x=\dfrac{1}{27}\): \(\mathbf{\dfrac{29}{3}}\approx9{,}67\).
б) Изразът се опростява до \(1-9b\). Тъй като \(b=\!\left(-\tfrac{1}{9}\right)^2=\tfrac{1}{81}\): \(\mathbf{\dfrac{8}{9}}\approx0{,}89\).

Задача 5 Даден е изразът \(A=(x-m)^3-(x-m)(x^2+xm+m^2)-3mx(m+3)\), където \(m\) е параметър.
а) Приведете израза в нормален вид.
б) За коя стойност на \(m\) коефициентът на члена от втора степен е 18?

Отговор и насока

а) \(A=-3mx^2-9mx\)
б) Коефициентът пред \(x^2\) е \(-3m\). От \(-3m=18\) → \(m=-6\).

Задача 6 Даден е изразът \(8+3(2y^2-y)-(y-3)(y^2+3y+9)+(y-2)^3\):
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(y=-3\).

Отговор и насока

а) \(9y+27=9(y+3)\)
б) При \(y=-3\): \(9(-3+3)=\mathbf{0}\).

Задача 7 Даден е изразът \(a-(a-b^2)(a^2+b^4+ab^2)+(a-b^3)(a+b^3)\):
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(a=-2\).

Отговор и насока

а) \(-a^3+a^2+a\)
б) При \(a=-2\): \(-(-8)+4+(-2)=8+4-2=\mathbf{10}\).

Задача 8 Дадено е, че \(\dfrac{a+b}{a^3+b^3}=\dfrac{1}{6}\) и \(a^2+b^2=10\). Намерете на колко е равно \(ab\).

Условие за допустимост: \(a^3+b^3\ne0\); от него следва и \(a+b\ne0\).

Отговор и насока

Понеже знаменателят в условието е ненулев, \((a+b)(a^2-ab+b^2)\ne0\). Значи \(a+b\ne0\), което оправдава съкращаването.

Тъй като \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), от условието следва: \[\frac{1}{a^2-ab+b^2}=\frac{1}{6}\Rightarrow a^2-ab+b^2=6.\] От \(a^2+b^2=10\) получаваме \(10-ab=6\), откъдето \(ab=\mathbf{4}\).

Задача 9 Ако имаме, че \[\frac{4(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{2}\!\cdot\!\frac{x^2-y^2}{x+y}=35,\] то на колко ще бъде равно \(x-y\)?

Допустими са само стойности с \(x+y\ne0\) и \(x^2+xy+y^2\ne0\).

Отговор и насока

При посочените условия съкращаваме ненулевите общи множители във всяка дроб.

Опростяваме: \(\dfrac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}=x-y\) и \(\dfrac{x^2-y^2}{x+y}=x-y\). Следователно: \[4(x-y)+\tfrac{1}{2}(x-y)=\tfrac{9}{2}(x-y)=35\Rightarrow x-y=\mathbf{\dfrac{70}{9}}.\]

Задача 10 Пресметнете по рационален начин израза \[\frac{68^2-68\cdot32+32^2}{68^3+32^3}.\]

Отговор и насока

Числителят е \(a^2-ab+b^2\), а знаменателят \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) при \(a=68\), \(b=32\). След съкращаване: \[\frac{1}{a+b}=\frac{1}{68+32}=\mathbf{\dfrac{1}{100}}.\]

Задача 11 Докажете, че стойността на израза \[(-2y-1)^2-y(7y+1)-(y-1)^3+(y^2+y+1)(y-1)\] не зависи от стойностите на променливата \(y\).

Отговор и насока

След разкриване на скобите и събиране на подобни членове изразът се опростява до \(\mathbf{1}\) за всяко \(y\). \(\blacksquare\)

Задача 12 Покажете, че независимо от стойността на променливата \(z\) изразът \[(z^2-2z+4)(z^2+2z+4)(z+2)(z-2)-(-64+z^6)\] е тъждествено равен на 0.

Отговор и насока

Групираме: \((z^2+2z+4)(z-2)=z^3-8\) и \((z^2-2z+4)(z+2)=z^3+8\).
Следователно: \((z^3+8)(z^3-8)=z^6-64\).
Изразът: \(z^6-64-(-64+z^6)=0\). \(\blacksquare\)

Задача 13 Разложете на множители: а) \(x^3+343\); б) \(27a^3-64b^3\); в) \(8p^6+q^9\).

Отговор и насока

а) \((x+7)(x^2-7x+49)\);
б) \((3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)\);
в) \((2p^2+q^3)(4p^4-2p^2q^3+q^6)\).

Насока: разпознайте основите на двата куба, включително коефициентите.

Задача 14 Умножете \((2a^2+b)(4a^4-2a^2b+b^2)\).

Отговор и насока

\(8a^6+b^3\). Основите във формулата за сбор на кубове са \(2a^2\) и \(b\).

Задача 15 Представете в нормален вид \((0{,}2x+y)(0{,}04x^2-0{,}2xy+y^2)\).

Отговор и насока

\(0{,}008x^3+y^3\), защото \((0{,}2x)^3=0{,}008x^3\).

Задача 16 Намерете \(A\) и \(B\), така че \((3u+2v)(9u^2+Auv+Bv^2)=27u^3+8v^3\) да е тъждество.

Отговор и насока

\(A=-6\), \(B=4\). Вторият множител е \((3u)^2-(3u)(2v)+(2v)^2\).

Задача 17 Пресметнете по рационален начин \(\dfrac{47^3+23^3}{47^2-47\cdot23+23^2}\).

Отговор и насока

\(70\). Числителят се разлага като \((47+23)(47^2-47\cdot23+23^2)\); знаменателят е \(1657\ne0\).

Задача 18 Опростете \((x+3)(x^2-3x+9)-x(x-4)(x+4)\).

Отговор и насока

\(16x+27\). Първото произведение е \(x^3+27\), второто е \(x^3-16x\).

Задача 19 Решете уравнението \((x+3)(x^2-3x+9)-x(x-4)(x+4)=59\).

Отговор и насока

\(x=2\). Използвайте опростяването от предишната задача: \(16x+27=59\).

Задача 20 Опростете \((2t+1)(4t^2-2t+1)-(t-1)(t^2+t+1)\) и намерете стойността при \(t=-\dfrac12\).

Отговор и насока

Нормален вид: \(7t^3+2\). При \(t=-\dfrac12\): \(-\dfrac78+2=\dfrac98\).

Задача 21 Представете \(x^6-64\) като произведение от два линейни и два квадратни множителя.

Отговор и насока

\((x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)\). Първо запишете \(x^6-64=(x^3-8)(x^3+8)\).

Задача 22 Опростете \(\dfrac{t^3+125}{t+5}\), като посочите ограничението за \(t\).

Отговор и насока

\(t^2-5t+25\) при \(t\ne-5\). Ограничението остава и след съкращаването на множителя \(t+5\).

Задача 23 Опростете \(\dfrac{u^3-27}{u^2+3u+9}\) и определете допустимите реални стойности на \(u\).

Отговор и насока

\(u-3\) за всяко реално \(u\). Знаменателят е \(\left(u+\dfrac32\right)^2+\dfrac{27}{4}>0\).

Задача 24 Ако \(a+b=7\) и \(ab=10\), намерете \(a^3+b^3\), без да намирате \(a\) и \(b\).

Отговор и насока

\(133\). Използвайте \((a+b)^3-3ab(a+b)=343-210\).

Задача 25 Ако \(a-b=5\) и \(ab=6\), намерете \(a^3-b^3\).

Отговор и насока

\(215\), защото \((a-b)\bigl((a-b)^2+3ab\bigr)=5(25+18)\).

Задача 26 Ръбовете на два куба са \(a\) см и \(b\) см, където \(a,b>0\), \(a+b=10\) и \(ab=21\). Намерете сбора на обемите им.

Отговор и насока

\(370\) см\(^3\). \(a^3+b^3=(a+b)\bigl((a+b)^2-3ab\bigr)=10(100-63)\).

Задача 27 За надгражданеНамерете \(p\) и \(q\), така че \((x+1)(x^2-x+1)-(x-2)^3-px^2-qx\) да не зависи от \(x\).

Отговор и насока

\(p=6\), \(q=-12\); постоянната стойност е \(9\). Нормалният вид е \((6-p)x^2+(-12-q)x+9\).

Задача 28 За надгражданеНамерете най-малката стойност на \((x+2)(x^2-2x+4)-(x-1)^3\) за реално \(x\) и стойността на \(x\), при която тя се достига.

Отговор и насока

\(\dfrac{33}{4}\) при \(x=\dfrac12\). Изразът е \(3x^2-3x+9=3\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac{33}{4}\).

Задача 29 За надгражданеОпростете \((y-2)(y^2+2y+4)(y^6+8y^3+64)\).

Отговор и насока

\(y^9-512\). Първите два множителя дават \(y^3-8\), след което отново приложете разлика на кубове с основи \(y^3\) и \(8\).

Задача 30 За надгражданеНамерете всички двойки естествени числа \((x,y)\), за които \(x^3-y^3=61\).

Отговор и насока

Единствената двойка е \((5,4)\). Поставете \(d=x-y>0\). От \(d(x^2+xy+y^2)=61\) следва \(d\mid61\), а \(61>d^3\). Числото \(61\) е просто, затова \(d=1\).

Тогава \(3y^2+3y+1=61\), тоест \((y-4)(y+5)=0\). Естественото решение е \(y=4\), \(x=5\); \(125-64=61\).

---

🛍️

Партньорска препоръка

Открий нещо интересно в Ozone.bg

Книги, техника, игри, подаръци, учебни материали и още много предложения за цялото семейство.

Разгледай Ozone.bg →

Онлайн тест: 15 въпроса

По 4 точки за верен отговор · максимум 60 точки

Скала за самопроверка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; под 15 т. → 2. Това е учебна самооценка, а не стандартизиран изпит.

Тест: Сбор и разлика на кубове

Изберете точно един отговор на всеки въпрос. След „Край на теста“ ще видите оценката и обясненията. Част от въпросите повтарят разгледаните задачи за затвърждаване.

1След умножение на \((2x+3)(4x^2-6x+9)\) се получава:

\(8x^3-27\) \(8x^3+27\) \(4x^3+27\) \(8x^3+9\)

2След умножение на \((5a-2b)(25a^2+10ab+4b^2)\) се получава:

\(125a^3+8b^3\) \(25a^3-8b^3\) \(125a^3-8b^3\) \(125a^3-4b^3\)

3Кой от изразите е тъждествено равен на \((x+4)(x^2-4x+16)\)?

\(x^3-64\) \((x+4)^3\) \(x^3+64\) \(x^3+16\)

4Стойността на \((2y-3)(4y^2+6y+9)+(y+3)(y^2-3y+9)\) при \(y=2\) е:

\(54\) \(63\) \(72\) \(81\)

5След опростяване на \((x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2)\) се получава:

\(0\) \(8\) \(-8\) \(4x-8\)

6Намерете \(x\) от равенството \((x+4)(x^2-4x+16)-x(x-2)(x+2)=8\):

\(x=14\) \(x=-14\) \(x=7\) \(x=-7\)

7Стойността на \((x+2)(x^2-2x+4)-(2x+1)(2x-1)-9\) при \(x=-2\) е:

\(-20\) \(-22\) \(-24\) \(-26\)

8Изразът \((2x-1)(4x^2+2x+1)-8x(x+2)(x-2)-32x+4\) не зависи от \(x\) и е равен на:

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

9Стойността на \(\dfrac{68^2-68\cdot32+32^2}{68^3+32^3}\) е:

\(\dfrac{1}{10}\) \(\dfrac{1}{100}\) \(\dfrac{1}{1000}\) \(\dfrac{1}{50}\)

10Резултатът от умножението \((3-x)(9+3x+x^2)\) е:

\(27+x^3\) \(9-x^3\) \(27-x^3\) \(3-x^3\)

11Резултатът от умножението \((3t+2)(9t^2-6t+4)\) е:

\(27t^3-8\) \(9t^3+8\) \(27t^3+8\) \(27t^3+6\)

12Резултатът от умножението \(\left(\dfrac{1}{2}a+b\right)\!\left(\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{2}ab+b^2\right)\) е:

\(\dfrac{1}{8}a^3-b^3\) \(\dfrac{1}{4}a^3+b^3\) \(\dfrac{1}{8}a^3+b^3\) \(\dfrac{1}{2}a^3+b^3\)

13Опростете \((x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3\):

\(3x^2+3x\) \(3x^2-3x\) \(3x^2-1\) \(x^2-3x\)

14Резултатът от умножението \(\left(\dfrac{1}{3}-2a\right)\!\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{3}a+4a^2\right)\) е:

\(\dfrac{1}{27}+8a^3\) \(\dfrac{1}{9}-8a^3\) \(\dfrac{1}{27}-8a^3\) \(\dfrac{1}{3}-8a^3\)

15Резултатът от умножението \((y^2-7)(y^4+7y^2+49)\) е:

\(y^6+343\) \(y^4-343\) \(y^6-49\) \(y^6-343\)

---

Видеоуроци

Видео урок 1 — Сбор и разлика на кубове

Видео урок 2 — Приложения

---

Допълнителни тестове

Тест: Формули за съкратено умножение

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Свързани уроци и безплатни упражнения

5

Общи задачи от формулите за съкратено умножениеСъчетайте четирите изучени формули в обобщаващи упражнения.Преглед на урока →

7

Разлагане чрез формулите за съкратено умножениеПродължете с обратното прилагане на формулите — от многочлен към произведение.Преглед на урока →

Безплатен материал за 7. клас

За допълнителна практика използвайте сборника „Цели изрази и формули за съкратено умножение“.

Използвана литература

При допълването тема 14 от сборника на „Коала Прес“ служи за ориентир за типовете и трудността. Новите задачи и обяснения са съставени за този урок, а не са дословен препис.

1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆