Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$ 7 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
Математика › 7 клас › Алгебра › Формули за съкратено умножение
Формули за съкратено умножение
Сбор и разлика на кубове
Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест
Формула за сбор и разлика на кубове: \((a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3\) — урок с разработени задачи и тест за 7 клас
Продължаваме с формулите за съкратено умножение. В този урок разглеждаме последната от формулите, изучавани в 7 клас — формулата за сбор и разлика на кубове. Нека припомним всички формули:
- 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
- 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
- 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
- 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)
В тази статия разглеждаме формула № 4 — Сбор и разлика на кубове:
\[(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\]
\[(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3\]
Нека разгледаме задачи, с които ще илюстрираме приложенията на тази формула.
Разработени задачи
Кликнете върху задача, за да видите решението.
1
Извършете умножението \((3-x)(9+3x+x^2)\).
▼
Решение
Забелязваме, че даденият израз може да се запише като \((3-x)(3^2+3x+x^2)\).
Прилагаме формулата
\[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,\]
като заменяме \(a=3\) и \(b=x\), получаваме:
\[(3-x)(3^2+3x+x^2)=3^3-x^3=27-x^3.\]
2
Извършете умножението \((3t+2)(9t^2-6t+4)\).
▼
Решение
Даденият израз може да се запише като
\[(3t+2)\bigl[(3t)^2-3t\cdot2+2^2\bigr].\]
Прилагаме формулата
\[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,\]
с \(a=3t\) и \(b=2\). Следователно:
\[(3t+2)(9t^2-6t+4)=(3t)^3+2^3=27t^3+8.\]
3
Опростете израза \((x-2)(x^2+2x+4)-x(x-2)(x+2)-4(x-2)\).
▼
Решение
Прилагаме първо формулата
\[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,\]
с \(a=x\) и \(b=2\):
\[(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-2^3=x^3-8.\]
Също използваме формулата за сбор по разлика
\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\]
за изчисляване на
\[x(x-2)(x+2)=x\bigl(x^2-4\bigr)=x^3-4x.\]
И накрая изваждаме:
\[(x^3-8)-\bigl(x^3-4x\bigr)-4(x-2)=x^3-8-x^3+4x-4x+8=0.\]
4
Опростете израза и намерете числената му стойност \((2y-3)(4y^2+6y+9)+(y+3)(y^2-3y+9)\) при \(y=2\).
▼
Решение
Използваме формулата
\[(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3.\]
За първото произведение избираме \(a=2y\) и \(b=3\):
\[(2y-3)(4y^2+6y+9)=(2y)^3-3^3=8y^3-27.\]
За второто произведение с \(a=y\) и \(b=3\):
\[(y+3)(y^2-3y+9)=y^3+3^3=y^3+27.\]
Сумираме:
\[8y^3-27+y^3+27=9y^3.\]
При \(y=2\):
\[9\cdot2^3=9\cdot8=72.\]
5
Намерете неизвестното число \(x\) в равенството \((x+4)(x^2-4x+16)-x(x-2)(x+2)=8\).
▼
Решение
Прилагаме формулата
\[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,\]
с \(a=x\) и \(b=4\):
\[(x+4)(x^2-4x+16)=x^3+4^3=x^3+64.\]
Също така,
\[x(x-2)(x+2)=x\bigl(x^2-4\bigr)=x^3-4x.\]
Равенството става:
\[x^3+64-\bigl(x^3-4x\bigr)=64+4x=8.\]
Оттук:
\[4x=8-64=-56,\quad x=-14.\]
6
Намерете числената стойност на израза \((x+2)(x^2-2x+4)-(2x+1)(2x-1)-9\) при \(x=-2\).
▼
Решение
Прилагаме формулата
\[(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,\]
т.е.
\[(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+2^3=x^3+8.\]
Освен това,
\[(2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1.\]
Така изразът става:
\[x^3+8-\bigl(4x^2-1\bigr)-9=x^3+8-4x^2+1-9=x^3-4x^2.\]
При \(x=-2\):
\[(-2)^3-4(-2)^2=-8-16=-24.\]
7
Докажете, че стойността на израза \((2x-1)(4x^2+2x+1)-8x(x+2)(x-2)-32x+4\) не зависи от стойността на \(x\).
▼
Решение
Прилагаме формулата
\[(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3,\]
с \(a=2x\) и \(b=1\):
\[(2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x)^3-1^3=8x^3-1.\]
Забелязваме, че
\[(x+2)(x-2)=x^2-4.\]
След това изразът става:
\[8x^3-1-8x\bigl(x^2-4\bigr)-32x+4.\]
Разгръщаме:
\[=8x^3-1-8x^3+32x-32x+4=3.\]
Така независимо от \(x\) изразът е равен на 3. ■
8
Докажете тъждеството \((x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3=3x(x-1)\).
▼
Решение
Разграждаме лявата страна. По формулата за разлика на кубове:
\[(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1,\]
а по формулата за куб на двучлен:
\[(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1.\]
Изваждаме:
\[(x-1)(x^2+x+1)-(x-1)^3 = \bigl(x^3-1\bigr)-\bigl(x^3-3x^2+3x-1\bigr)=3x^2-3x.\]
Дясната страна:
\[3x(x-1)=3x^2-3x.\]
Следователно лявата страна е равна на дясната и тъждеството е доказано. ■
Задачи за самостоятелна работа
Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.
Задача 1
Извършете умножението:
а) \((x-y)(x^2+xy+y^2)\);
б) \((y^2-7)(y^4+7y^2+49)\);
в) \(\left(\dfrac{1}{2}a+b\right)\left(\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{2}ab+b^2\right)\);
г) \(\left(\dfrac{1}{3}-2a\right)\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{3}a+4a^2\right)\).
а) \((x-y)(x^2+xy+y^2)\);
б) \((y^2-7)(y^4+7y^2+49)\);
в) \(\left(\dfrac{1}{2}a+b\right)\left(\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{2}ab+b^2\right)\);
г) \(\left(\dfrac{1}{3}-2a\right)\left(\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{3}a+4a^2\right)\).
▼ Отговор
а) \(x^3-y^3\)
б) \(y^6-343\)
в) \(\dfrac{a^3}{8}+b^3\)
г) \(\dfrac{1}{27}-8a^3\)
б) \(y^6-343\)
в) \(\dfrac{a^3}{8}+b^3\)
г) \(\dfrac{1}{27}-8a^3\)
Задача 2
Докажете тъждеството:
а) \((y-1)^3-(y+2)(y^2-2y+4)=3(-y^2+y-3)\);
б) \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\).
а) \((y-1)^3-(y+2)(y^2-2y+4)=3(-y^2+y-3)\);
б) \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\).
▼ Отговор
а) ЛС: \((y^3-3y^2+3y-1)-(y^3+8)=-3y^2+3y-9=3(-y^2+y-3)\) = ДС. \(\blacksquare\)
б) ДС: \((x+y)^3-3xy(x+y)=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2=x^3+y^3\) = ЛС. \(\blacksquare\)
б) ДС: \((x+y)^3-3xy(x+y)=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-3x^2y-3xy^2=x^3+y^3\) = ЛС. \(\blacksquare\)
Задача 3
Опростете израза:
а) \((3x-4)(9x^2+12x+16)-(3x-2)^3-2x(x+4)\);
б) \((x-3)^2-(x-3)(x^2+3x+9)\).
а) \((3x-4)(9x^2+12x+16)-(3x-2)^3-2x(x+4)\);
б) \((x-3)^2-(x-3)(x^2+3x+9)\).
▼ Отговор
а) \(52x^2-44x-56\)
б) \(-x^3+x^2-6x+36\)
б) \(-x^3+x^2-6x+36\)
Задача 4
Намерете числената стойност на израза:
а) \(3(x-1)^2+(x+2)(x^2-2x+4)-(x+1)^3\) при \(x=\dfrac{1}{27}\);
б) \(-\bigl(b-1\bigr)(b^2+b+1)+b(b+3)(b-3)\) при \(b=\left(-\dfrac{1}{9}\right)^2\).
а) \(3(x-1)^2+(x+2)(x^2-2x+4)-(x+1)^3\) при \(x=\dfrac{1}{27}\);
б) \(-\bigl(b-1\bigr)(b^2+b+1)+b(b+3)(b-3)\) при \(b=\left(-\dfrac{1}{9}\right)^2\).
▼ Отговор
а) Изразът се опростява до \(10-9x\). При \(x=\dfrac{1}{27}\): \(\mathbf{\dfrac{29}{3}}\approx9{,}67\).
б) Изразът се опростява до \(1-9b\). Тъй като \(b=\!\left(-\tfrac{1}{9}\right)^2=\tfrac{1}{81}\): \(\mathbf{\dfrac{8}{9}}\approx0{,}89\).
б) Изразът се опростява до \(1-9b\). Тъй като \(b=\!\left(-\tfrac{1}{9}\right)^2=\tfrac{1}{81}\): \(\mathbf{\dfrac{8}{9}}\approx0{,}89\).
Задача 5
Даден е изразът \(A=(x-m)^3-(x-m)(x^2+xm+m^2)-3mx(m+3)\), където \(m\) е параметър.
а) Приведете израза в нормален вид.
б) За коя стойност на \(m\) коефициентът на члена от втора степен е 18?
а) Приведете израза в нормален вид.
б) За коя стойност на \(m\) коефициентът на члена от втора степен е 18?
▼ Отговор
а) \(A=-3mx^2-9mx\)
б) Коефициентът пред \(x^2\) е \(-3m\). От \(-3m=18\) → \(m=-6\).
б) Коефициентът пред \(x^2\) е \(-3m\). От \(-3m=18\) → \(m=-6\).
Задача 6
Даден е изразът \(8+3(2y^2-y)-(y-3)(y^2+3y+9)+(y-2)^3\):
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(y=-3\).
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(y=-3\).
▼ Отговор
а) \(9y+27=9(y+3)\)
б) При \(y=-3\): \(9(-3+3)=\mathbf{0}\).
б) При \(y=-3\): \(9(-3+3)=\mathbf{0}\).
Задача 7
Даден е изразът \(a-(a-b^2)(a^2+b^4+ab^2)+(a-b^3)(a+b^3)\):
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(a=-2\).
а) Намерете нормалния вид на дадения израз;
б) Намерете числената стойност на израза за \(a=-2\).
▼ Отговор
а) \(-a^3+a^2+a\)
б) При \(a=-2\): \(-(-8)+4+(-2)=8+4-2=\mathbf{10}\).
б) При \(a=-2\): \(-(-8)+4+(-2)=8+4-2=\mathbf{10}\).
Задача 8
Дадено е, че \(\dfrac{a+b}{a^3+b^3}=\dfrac{1}{6}\) и \(a^2+b^2=10\). Намерете на колко е равно \(ab\).
▼ Отговор
Тъй като \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\), от условието следва:
\[\frac{1}{a^2-ab+b^2}=\frac{1}{6}\Rightarrow a^2-ab+b^2=6.\]
От \(a^2+b^2=10\) получаваме \(10-ab=6\), откъдето \(ab=\mathbf{4}\).
Задача 9
Ако имаме, че
\[\frac{4(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2}+\frac{1}{2}\!\cdot\!\frac{x^2-y^2}{x+y}=35,\]
то на колко ще бъде равно \(x-y\)?
▼ Отговор
Опростяваме: \(\dfrac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}=x-y\) и \(\dfrac{x^2-y^2}{x+y}=x-y\). Следователно:
\[4(x-y)+\tfrac{1}{2}(x-y)=\tfrac{9}{2}(x-y)=35\Rightarrow x-y=\mathbf{\dfrac{70}{9}}.\]
Задача 10
Пресметнете по рационален начин израза
\[\frac{68^2-68\cdot32+32^2}{68^3+32^3}.\]
▼ Отговор
Числителят е \(a^2-ab+b^2\), а знаменателят \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) при \(a=68\), \(b=32\). След съкращаване:
\[\frac{1}{a+b}=\frac{1}{68+32}=\mathbf{\dfrac{1}{100}}.\]
Задача 11
Докажете, че стойността на израза
\[(-2y-1)^2-y(7y+1)-(y-1)^3+(y^2+y+1)(y-1)\]
не зависи от стойностите на променливата \(y\).
▼ Отговор
След разкриване на скобите и събиране на подобни членове изразът се опростява до \(\mathbf{1}\) за всяко \(y\). \(\blacksquare\)
Задача 12
Покажете, че независимо от стойността на променливата \(z\) изразът
\[(z^2-2z+4)(z^2+2z+4)(z+2)(z-2)-(-64+z^6)\]
е тъждествено равен на 0.
▼ Отговор
Групираме: \((z^2+2z+4)(z-2)=z^3-8\) и \((z^2-2z+4)(z+2)=z^3+8\).
Следователно: \((z^3+8)(z^3-8)=z^6-64\).
Изразът: \(z^6-64-(-64+z^6)=0\). \(\blacksquare\)
Следователно: \((z^3+8)(z^3-8)=z^6-64\).
Изразът: \(z^6-64-(-64+z^6)=0\). \(\blacksquare\)
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Сбор и разлика на кубове
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео уроци
Видео урок 1 — Сбор и разлика на кубове
Видео урок 2 — Приложения
Допълнителни тестове
Тест: Едночлен, действия с едночлени
docs.google.com/forms →
Тест: Многочлени, действия с многочлени
docs.google.com/forms →
Използвана литература
- 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
- 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
- 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
- 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
- 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
- 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
- 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
- 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
- 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
- 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
- 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
- 12.Сп. Математика; Сп. Математика+
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна
◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев
◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433
◆
ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж
◆
Коментари
Публикуване на коментар