Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$ 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Формули за съкратено умножение

Формули за съкратено умножение
Куб на двучлен

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 10 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Формула за куб на двучлен: \((a\pm b)^3 = a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\) — урок с разработени задачи и тест за 7 клас

Продължаваме с формулите за съкратено умножение. В този урок разглеждаме формулата за куб на двучлен — формула № 3, която е особено полезна при степенуване на двучленни изрази от трета степен. Нека припомним всички формули:

1. 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
2. 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
3. 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
4. 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)

В тази статия разглеждаме формула № 3 — Куб на двучлен:

\[(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\]

Нека разгледаме задачи, с които ще илюстрираме приложенията на тази формула.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Извършете степенуването \((x+2)^3\).

▼

Решение Прилагаме формулата \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\] където \(a=x\) и \(b=2\). Получаваме: \[(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot2^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8.\]

2

Извършете степенуването \((2m-3n)^3\).

▼

Решение Използваме формулата за куб на разлика: \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,\] където \(a=2m\) и \(b=3n\). Следователно: \[(2m-3n)^3=(2m)^3-3(2m)^2(3n)+3(2m)(3n)^2-(3n)^3.\] Изчисляваме стъпка по стъпка: \[(2m)^3=8m^3,\quad 3(2m)^2(3n)=3\cdot4m^2\cdot3n=36m^2n,\] \[3(2m)(3n)^2=3\cdot2m\cdot9n^2=54mn^2,\quad (3n)^3=27n^3.\] Така: \[(2m-3n)^3=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3.\]

3

Извършете степенуването \((3t+z^2)^3\).

▼

Решение Прилагаме формулата за куб на сбор: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\] където \(a=3t\) и \(b=z^2\). Следователно: \[(3t+z^2)^3=(3t)^3+3(3t)^2(z^2)+3(3t)(z^2)^2+(z^2)^3.\] Изчисляваме: \[(3t)^3=27t^3,\quad 3(3t)^2z^2=3\cdot9t^2\cdot z^2=27t^2z^2,\] \[3(3t)(z^2)^2=9tz^4,\quad (z^2)^3=z^6.\] Така получаваме: \[(3t+z^2)^3=27t^3+27t^2z^2+9tz^4+z^6.\]

4

Опростете израза \((x+1)^3-2(x-1)^2\).

▼

Решение В този израз участват две формули. Прилагаме формулата за куб на сбор с \(a=x\), \(b=1\): \[(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1.\] За втората скоба използваме формулата за квадрат на разлика: \[(x-1)^2=x^2-2x+1.\] Така: \[(x+1)^3-2(x-1)^2=x^3+3x^2+3x+1-2(x^2-2x+1).\] Разкриваме скобата и групираме: \[= x^3+3x^2+3x+1-2x^2+4x-2 = x^3+x^2+7x-1.\]

5

Опростете израза \((3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)\).

▼

Решение Изчисляваме поотделно всяка от трите части.

Първа част — прилагаме формулата за куб на сбор с \(a=3x\), \(b=2\): \[(3x+2)^3=(3x)^3+3(3x)^2\cdot2+3(3x)\cdot2^2+2^3=27x^3+54x^2+36x+8.\] Втора част — прилагаме формулата за сбор по разлика с \(a=3x\), \(b=1\): \[(3x+1)(3x-1)=9x^2-1,\] след което умножаваме по \(3x\): \[3x(9x^2-1)=27x^3-3x.\] Трета част — умножаваме по правилото "всяко по всяко": \[(3x+2)(x+4)=3x^2+12x+2x+8=3x^2+14x+8.\] Събираме всичко: \[(27x^3+54x^2+36x+8)-(27x^3-3x)-(3x^2+14x+8).\] Групираме по степени: \[x^3:\; 27-27=0,\quad x^2:\; 54-3=51,\quad x:\; 36+3-14=25,\quad \text{конст:}\; 8-8=0.\] Следователно: \[(3x+2)^3-3x(3x+1)(3x-1)-(3x+2)(x+4)=51x^2+25x.\]

6

Извършете означените действия \((a-1)^3-(a+1)^3-(a+1)(a-1)\).

▼

Решение Прилагаме формулата за куб на двучлен: \[(a-1)^3 = a^3-3a^2+3a-1,\quad (a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1.\] Намираме разликата: \[(a-1)^3-(a+1)^3 = (a^3-3a^2+3a-1)-(a^3+3a^2+3a+1) = -6a^2-2.\] Прилагаме формулата за сбор по разлика: \[(a+1)(a-1)=a^2-1.\] Окончателно: \[-6a^2-2-(a^2-1) = -6a^2-2-a^2+1 = -7a^2-1.\]

7

Представете като куб на двучлен: \(x^3-12x^2+48x-64\).

▼

Решение Забелязваме структурата на формулата за куб на разлика и разпознаваме: \[x^3-12x^2+48x-64 = x^3-3\cdot x^2\cdot4+3\cdot x\cdot4^2-4^3.\] Прилагаме формулата \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) с \(a=x\) и \(b=4\): \[x^3-12x^2+48x-64=(x-4)^3.\]

8

Определете стойността на израза \((x+1)^3-(x-1)(x+1)-x(x+1)^2\) при \(x=\dfrac{1}{2}\).

▼

Решение Първо опростяваме израза. Прилагаме формулите: \[(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1,\] \[(x-1)(x+1)=x^2-1,\] \[x(x+1)^2=x(x^2+2x+1)=x^3+2x^2+x.\] Следователно изразът става: \[(x^3+3x^2+3x+1)-(x^2-1)-(x^3+2x^2+x).\] Разкриваме и групираме по степени: \[(x^3-x^3)+(3x^2-x^2-2x^2)+(3x-x)+(1+1)=0+0+2x+2=2x+2.\] При \(x=\dfrac{1}{2}\): \[2\cdot\frac{1}{2}+2= 1+2=3.\]

9

Опростете израза \((a+b)(b-a)+a(a-4c)\) и намерете числената му стойност при \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\).

▼

Решение Забелязваме, че \((a+b)(b-a) = -(a+b)(a-b) = -(a^2-b^2)\). Следователно: \[(a+b)(b-a)+a(a-4c) = -(a^2-b^2)+a^2-4ac = -a^2+b^2+a^2-4ac = b^2-4ac.\] Замествайки \(a=2\), \(b=-5\) и \(c=3\): \[(-5)^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1.\]

10

Намерете числената стойност на израза \((2x-3)^2-(x-2)(x+2)-(x-1)(3x-2)\) при \(x=\dfrac{1}{3}\).

▼

Решение Изчисляваме поотделно: \[(2x-3)^2=4x^2-12x+9,\] \[(x-2)(x+2)=x^2-4,\] \[(x-1)(3x-2)=3x^2-2x-3x+2=3x^2-5x+2.\] Събираме: \[(4x^2-12x+9)-(x^2-4)-(3x^2-5x+2)=4x^2-12x+9-x^2+4-3x^2+5x-2.\] Групираме по степени: \[(4-1-3)x^2+(-12+5)x+(9+4-2)=0\cdot x^2-7x+11.\] При \(x=\dfrac{1}{3}\): \[-7\cdot\frac{1}{3}+11=-\frac{7}{3}+\frac{33}{3}=\frac{26}{3}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Извършете степенуването:
а) \((2x+1)^3\);  б) \((2m-2n)^3\);  в) \(\left(\dfrac{1}{3}a+\dfrac{1}{3}b\right)^3\);  г) \((3-y^2)^3\);  д) \((a-b+c)^3\).

▼ Отговор

а) \(8x^3+12x^2+6x+1\)
б) \(8m^3-24m^2n+24mn^2-8n^3\)
в) \(\dfrac{a^3}{27}+\dfrac{a^2b}{9}+\dfrac{ab^2}{9}+\dfrac{b^3}{27}\)
г) \(27-27y^2+9y^4-y^6\)
д) \(a^3-b^3+c^3-3a^2b+3a^2c+3ab^2-6abc+3ac^2+3b^2c-3bc^2\)

Задача 2 Опростете израза:
а) \((2x+5)^3-2x(2x-3)^2-5(2x+25)\);
б) \((y+2)^3+(2y+x-3)-(-x+3)^2+(-y-2)^3\);
в) \(t(t-3)^2-(t-1)^3\).

▼ Отговор

а) \(84x^2+122x\)
б) \(-x^2+7x+2y-12\)
в) \(-3t^2+6t+1\)

Задача 3 Докажете, че стойността на израза \((x+2)^3-6(x+1)(x-1)-3(4x+1)-x^3\) не зависи от \(x\).

▼ Отговор

След опростяване изразът е равен на \(11\) за всяко \(x\). \(\blacksquare\)

Задача 4 Намерете числената стойност на израза:
а) \((2x+1)^3-8x(x+1)(x-1)-6x(2x-3)\), при \(x=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^5\);
б) \(x(x-2)-(x-2)^3\) при \(x=-1\);
в) \(6t^2+(t-2)^3-t^3\) при \(t=\dfrac{2}{3}\);
г) \(b(b-1)(1+b)+(-b-1)^3+b\) за \(b=-\dfrac{1}{3}\);
д) \(z(z-1)(1+z)+(-z-1)^3\) при \(z=(-1)^{303}\).

▼ Отговор

а) Изразът се опростява до \(32x+1\). Тъй като \(x=\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)^5=-\tfrac{1}{32}\), стойността е \(\mathbf{0}\).
б) Изразът се опростява до \(-x^3+7x^2-14x+8\). При \(x=-1\): \(\mathbf{30}\).
в) Изразът се опростява до \(12t-8\). При \(t=\tfrac{2}{3}\): \(\mathbf{0}\).
г) Изразът се опростява до \(-3b^2-3b-1\). При \(b=-\tfrac{1}{3}\): \(\mathbf{-\tfrac{1}{3}}\).
д) Изразът се опростява до \(-3z^2-4z-1\). Тъй като \(z=(-1)^{303}=-1\), стойността е \(\mathbf{0}\).

Задача 5 За коя стойност на параметъра \(c\) коефициентът пред \(x^2\) в нормалния вид на многочлена, равен на израза \(A=(c-2x)^3-x(x-c)\), е равен на 22?

▼ Отговор

Коефициентът пред \(x^2\) е \(12c-1\). От \(12c-1=22\) получаваме \(c=\dfrac{23}{12}\).

Задача 6 За коя стойност на променливата числената стойност на израза:
а) \((4-y)y(4+y)+(y-2)^3+6y^2\) е равна на 20;
б) \(x(x-1)^2-(x-1)^3-x^2\) е равна на \(-3\).

▼ Отговор

а) Изразът се опростява до \(28y-8\). От \(28y-8=20\) → \(y=1\).
б) Изразът се опростява до \(1-2x\). От \(1-2x=-3\) → \(x=2\).

Задача 7 Намерете най-малката стойност на израза \[(2+x)^3-3x\left(\frac{x^2}{3}+4\right)+(3-x)(3+x).\]

▼ Отговор

Изразът се опростява до \(5x^2+17\). Тъй като \(5x^2\geq0\), минималната стойност е \(\mathbf{17}\) — достига се при \(x=0\).

Задача 8 Намерете най-голямата стойност на израза \[(y-3)^3-3y\left(9+\frac{y^2}{3}\right)-(y+6)(y-6).\]

▼ Отговор

Изразът се опростява до \(9-10y^2\). Тъй като \(-10y^2\leq0\), максималната стойност е \(\mathbf{9}\) — достига се при \(y=0\).

Задача 9 Намерете нормалния многочлен, тъждествен на израза:
а) \((a^2-3)^3-(a-2)(a^2+4)(a+2)-a^4(a^2-10)\);
б) \((2a-3b)^3-(a+2b)^3+7a^2(6b-a)\);
в) \((2a-3)^3-(2-3a)^3-35a^3+90a^2\);
г) \(\left(\dfrac{1}{2}x+2y\right)^3-\left(2x-\dfrac{1}{2}y\right)^3+7\dfrac{7}{8}x^3-7\dfrac{1}{2}x^2y\);
д) \(x^3+3x^2(x-2)+3x(x-2)^2+(x-2)^3\);
е) \((a-b)^3+3(a-b)^2(b-c)+3(a-b)(b-c)^2+(b-c)^3\);
ж) \((2x-m)^3-3(2x-m)^2(y-m)+3(2x-m)(y-m)^2-(y-m)^3\).

▼ Отговор

а) \(27a^2-11\)
б) \(42ab^2-35b^3\)
в) \(90a-35\)
г) \(\dfrac{9}{2}xy^2+\dfrac{65}{8}y^3\)
д) \(8(x-1)^3\)  [нормален вид: \(8x^3-24x^2+24x-8\)]
е) \((a-c)^3\)  [нормален вид: \(a^3-3a^2c+3ac^2-c^3\)]
ж) \((2x-y)^3\)  [нормален вид: \(8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\)]

Задача 10 Вярно ли е, че при всяко \(x\) от израза \[C=(5-x)^2-(x-3)(x+3)+5(2x-5)\] се получава \(C\gt0\)?

▼ Отговор

\(C=25-10x+x^2-(x^2-9)+10x-25=9\)
\(C=9\gt0\) за всяко \(x\). Да, твърдението е вярно. \(\blacksquare\)

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Куб на двучлен

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1След степенуване на \((4x-3y)^3\) се получава:

\(64x^3-48x^2y+36xy^2-27y^3\) \(64x^3-144x^2y+108xy^2+27y^3\) \(64x^3-144x^2y+108xy^2-27y^3\) \(64x^3+144x^2y-108xy^2-27y^3\)

2След като опростим \((x+1)^3-3(x-1)^2\), се получава:

\(x^3+9x-2\) \(x^3+9x+2\) \(x^3-9x-2\) \(x^3-9x+2\)

3Като приложите формулата за куб на двучлен, пресметнете \(97^3\):

\(912\,600\) \(912\,700\) \(912\,664\) \(912\,673\)

4На колко е равен сборът от коефициентите \(a\) и \(b\), ако \((4x+1)^3=ax^3+48x^2+12x+b\)?

\(65\) \(64\) \(66\) \(63\)

5На колко е равна стойността на \((x-3)^3-x(x^2-6x+11)\) при \(x=4\)?

\(-11\) \(11\) \(-10\) \(-12\)

6На колко е равно \(x\) в равенството \((x+3)^3-x^3-9x^2=0\)?

\(x=-1\) \(x=1\) \(x=-3\) \(x=3\)

7След като приведете в нормален вид \(\left(3x^k-2y^l\right)^3\), се получава:

\(27x^{3k}-18x^{2k}y^l+12x^ky^{2l}-8y^{3l}\) \(27x^{3k}-54x^{2k}y^l+36x^ky^{2l}-8y^{3l}\) \(27x^{3k}+54x^{2k}y^l+36x^ky^{2l}+8y^{3l}\) \(27x^{3k}-54x^{2k}y^l-36x^ky^{2l}-8y^{3l}\)

8Кой от изброените изрази е тъждествено равен на \(\left(2a+\dfrac{1}{2}b\right)^3-\left(8a^3+\dfrac{1}{8}b^3\right)\)?

\(3ab\!\left(2a+\dfrac{1}{2}b\right)\) \(3ab\!\left(2a-\dfrac{1}{2}b\right)\) \(3ab\!\left(2a+\dfrac{3}{2}b\right)\) \(3ab\!\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)\)

9След като опростим \((-2x+3y)^3-(x-y)^2+(2x-3y)^3\), се получава:

\((x-y)^2\) \(-(x-y)^2+(2x-3y)^3\) \(-(x-y)^2\) \(-(2x-3y)^3\)

10Кой е нормалният многочлен, тъждествено равен на \((3x+2)^3-(4x-2)(4x+2)-3x(3x+2)^2\)?

\(2x^2+24x+6\) \(2x^2+12x+12\) \(x^2+24x+12\) \(2x^2+24x+12\)

11Пресметнете \(107^3-3\cdot107^2+3\cdot107-1\):

\(1\,191\,010\) \(1\,191\,012\) \(1\,191\,016\) \(1\,191\,020\)

12Степента и свободният член на многочлена \((3x^2+2x+5)^3\) са:

Степен: 6, свободен член: 5 Степен: 6, свободен член: 125 Степен: 3, свободен член: 125 Степен: 6, свободен член: 15

13На колко е равна стойността на \(\left(x^2+\dfrac{1}{3}a^2\right)^3-\dfrac{1}{3}a^2x^2\!\left(3x^2+a^2\right)\) при \(a=3\) и \(x=6\)?

\(46\,680\) \(46\,682\) \(46\,683\) \(46\,684\)

14За кой от изброените изрази е вярно, че не зависи от стойността на \(b\)?

\((b+2)^3-(b+2)(b-2)-b(b^2+4)+6\) \((b+1)^3-(b-1)(b+1)-b(b^2+2b+1)\) \((b+1)^3-(b-1)(b+1)-b(b^2+2b+2)\) \((b+2)^3-(b+2)(b-2)-b(b^2+6b+4)-8b\)

15След като опростим \((x+1)^3-3(x+1)^2+(x+1)(x-1)\), се получава:

\(x^3-2x^2-x-2\) \(x^3-2x^2+x-2\) \(x^3-2x^2-x+2\) \(x^3+2x^2-x-2\)

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Куб на двучлен

Видео урок 2 — Приложения

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆