Квадрат на двучлен: формули, задачи и тест за 7. клас
Квадрат на двучлен
Формули за съкратено умножение
Теория: квадрат на двучлен
В началото на учебната година всеки седмокласник се сблъсква с формулите за съкратено умножение. С настоящия урок ще се опитаме заедно да преодолеем трудностите при решаването на задачи, в които се прилага квадратът на двучлен. Първо ще изведем двете формули, ще обсъдим типичните грешки и ще преминем към задачите.
Преди да започнете: Понятието степен е припомнено в урока за степенуване с естествен степенен показател от 6. клас. За работата с едночлени и многочлени използвайте и урока за цели изрази в 7. клас.
Квадратът на сбор е равен на квадрата на първия член плюс удвоеното произведение на двата члена плюс квадрата на втория.
Променя се знакът пред удвоеното произведение. Квадратът на втория член отново се прибавя.
Защо формулите са верни?
Използваме разпределителното свойство, за да умножим всеки член от едната скоба с всеки член от другата:
Двете формули са тъждества: важат за всички реални стойности на \(a\) и \(b\). На мястото на буквите могат да стоят и по-сложни изрази, стига да са определени.
Как да прилагаме формулата
- Определяме двата члена на сбора или разликата.
- Повдигаме на квадрат целия първи член.
- Пресмятаме удвоеното произведение и поставяме правилния знак.
- Прибавяме квадрата на втория член и събираме подобните членове, ако има такива.
Обратната посока и допълване до квадрат
Формулата може да се използва и отдясно наляво: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). Проверяваме не само двата квадрата, но и средния член. Например \(x^2+10x+25=(x+5)^2\).
Другите формули за съкратено умножение — за справка
В настоящия урок работим с квадрата на двучлен. Останалите формули се разглеждат в отделни уроци.
- 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
- 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
- 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
- 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)
25 решени и обяснени задачи
Задачи №1–20 изграждат основните умения и приложения. Задачи №21–25 са с повишена трудност. Отворете условието, за да видите решението стъпка по стъпка.
Основни умения — задачи 1–13
1Квадрат на сборПредставете като многочлен \((x+6)^2\).
Използваме формулата за квадрат на сбор: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Тук първият член е \(a=x\), а вторият е \(b=6\).
Пресмятаме поотделно трите събираеми: \(a^2=x^2\), \(2ab=2\cdot x\cdot6=12x\), \(b^2=6^2=36\).
\[(x+6)^2=x^2+2\cdot x\cdot6+6^2=x^2+12x+36.\]Отговор: \(x^2+12x+36\). Средният член \(12x\) не бива да се пропуска: квадратът на сбор не е просто сбор от квадратите.
2Квадрат на разликаПредставете като многочлен \((x-8)^2\).
Прилагаме \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) с \(a=x\) и \(b=8\). Знакът минус е пред удвоеното произведение, а последният квадрат е положителен.
\[(x-8)^2=x^2-2\cdot x\cdot8+8^2=x^2-16x+64.\]Проверка на знаците: при \(x=0\) първоначалният израз е \((-8)^2=64\), а полученият многочлен също има стойност \(64\). Това е проверка за конкретна стойност; тъждеството следва от приложената формула.
Отговор: \(x^2-16x+64\).
3Коефициенти пред буквитеРазкрийте скобите: а) \((3x+4)^2\); б) \((6a-7b)^2\).
а) Двата члена са \(3x\) и \(4\). Повдигаме на квадрат целия първи член, включително коефициента му:
\[(3x+4)^2=(3x)^2+2\cdot3x\cdot4+4^2=9x^2+24x+16.\]б) Двата члена са \(6a\) и \(7b\). Понеже между тях има минус, удвоеното произведение се изважда:
\[(6a-7b)^2=(6a)^2-2\cdot6a\cdot7b+(7b)^2\] \[=36a^2-84ab+49b^2.\]В средния член \(2\cdot6\cdot7=84\), а буквеният множител е \(ab\), не \(a^2b^2\).
Отговор: а) \(9x^2+24x+16\); б) \(36a^2-84ab+49b^2\).
4Отрицателни членовеПредставете като многочлени: а) \((-2a-7b)^2\); б) \((7b-2a)^2\).
а) Изнасяме минус пред скобите: \(-2a-7b=-(2a+7b)\). Квадратът на противоположния израз е същият:
\[(-2a-7b)^2=(2a+7b)^2=4a^2+28ab+49b^2.\]б) Това е квадрат на разлика с членове \(7b\) и \(2a\):
\[(7b-2a)^2=49b^2-28ab+4a^2=4a^2-28ab+49b^2.\]Двата резултата се различават по знака на средния член. Два минуса вътре в първия двучлен не означават отрицателно удвоено произведение.
Отговор: а) \(4a^2+28ab+49b^2\); б) \(4a^2-28ab+49b^2\).
5Дробни коефициентиРазкрийте скобите: а) \(\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{5}y\right)^2\); б) \(\left(\dfrac14a-\dfrac27b\right)^2\).
Формулите са същите и при дробни коефициенти. За средния член умножаваме двете дроби и още по \(2\).
а) \(2\cdot\frac23\cdot\frac35=\frac45\). Следователно:
\[\left(\frac23x+\frac35y\right)^2=\frac49x^2+\frac45xy+\frac9{25}y^2.\]б) \(2\cdot\frac14\cdot\frac27=\frac17\), а \((\frac14)^2=\frac1{16}\) и \((\frac27)^2=\frac4{49}\). Получаваме:
\[\left(\frac14a-\frac27b\right)^2=\frac1{16}a^2-\frac17ab+\frac4{49}b^2.\]При квадрат на дроб повдигаме на квадрат както числителя, така и знаменателя.
6Десетични коефициентиПредставете като многочлен \((0{,}4x-1{,}5y)^2\).
Първият квадрат е \((0{,}4x)^2=0{,}16x^2\), а вторият е \((1{,}5y)^2=2{,}25y^2\).
Удвоеното произведение е \(2\cdot0{,}4x\cdot1{,}5y=1{,}2xy\). Изваждаме го:
\[(0{,}4x-1{,}5y)^2=0{,}16x^2-1{,}2xy+2{,}25y^2.\]Не умножаваме коефициента по \(2\), когато пресмятаме неговия квадрат: \(0{,}4^2=0{,}16\), а не \(0{,}8\).
Отговор: \(0{,}16x^2-1{,}2xy+2{,}25y^2\).
7Степени в двучленаРазкрийте скобите в \((3x^2-4y^3)^2\).
Разглеждаме \(3x^2\) и \(4y^3\) като двата члена на разликата. Използваме и правилото \((x^m)^n=x^{mn}\).
\[(3x^2)^2=9x^4,\qquad (4y^3)^2=16y^6.\]При средния член само умножаваме членовете — не ги повдигаме допълнително на квадрат:
\[2\cdot3x^2\cdot4y^3=24x^2y^3.\]Следователно:
\[(3x^2-4y^3)^2=9x^4-24x^2y^3+16y^6.\]Отговор: \(9x^4-24x^2y^3+16y^6\).
8Минус пред квадрат и минус в скобитеОпростете и сравнете получените многочлени: а) \(-(2x-9)^2\); б) \((-2x+9)^2\).
а) Първо пресмятаме квадрата, след което умножаваме всички негови членове по \(-1\):
\[-(2x-9)^2=-(4x^2-36x+81)=-4x^2+36x-81.\]б) Тук минусът е вътре в повдигания на квадрат израз. Понеже \(-2x+9=-(2x-9)\), получаваме:
\[(-2x+9)^2=(2x-9)^2=4x^2-36x+81.\]Двата многочлена са противоположни. Те имат равни стойности само когато \(2x-9=0\), тоест при \(x=\frac92\), когато и двата са нула.
9Липсващ членПопълнете празните места, за да получите тъждества: а) \((5a-\square)^2=25a^2-30ab+9b^2\); б) \(x^2+\square x+81=(x-9)^2\).
а) Последният член \(9b^2\) е квадратът на \(3b\). Проверяваме средния член, преди да приемем попълването:
\[-2\cdot5a\cdot3b=-30ab.\]Той съвпада с дадения, следователно празното място е \(3b\).
б) Разкриваме дясната страна:
\[(x-9)^2=x^2-18x+81.\]Коефициентът пред \(x\) е \(-18\), затова записваме \(-18\) в празното място.
Отговор: а) \(3b\); б) \(-18\).
10Разпознаване на точен квадратЗапишете като квадрат на двучлен: а) \(x^2+18x+81\); б) \(16a^2-40ab+25b^2\).
За да разпознаем формулата в обратна посока, проверяваме и трите члена: два квадрата и удвоеното произведение на техните основи.
а) \(x^2=(x)^2\), \(81=9^2\) и \(18x=2\cdot x\cdot9\). Знакът на средния член е плюс:
\[x^2+18x+81=(x+9)^2.\]б) \(16a^2=(4a)^2\), \(25b^2=(5b)^2\) и \(40ab=2\cdot4a\cdot5b\). Средният член е отрицателен:
\[16a^2-40ab+25b^2=(4a-5b)^2.\]Проверка само на първия и последния член не е достатъчна: например \(x^2+17x+81\) не е \((x+9)^2\).
11Допълване до квадратКаква константа трябва да прибавим към: а) \(t^2+14t\); б) \(9y^2-12y\), за да получим квадрат на двучлен?
а) Търсим \((t+c)^2=t^2+2ct+c^2\). Сравняваме средните членове: \(2c=14\), откъдето \(c=7\). Значи трябва да прибавим \(c^2=49\):
\[t^2+14t+49=(t+7)^2.\]б) Първият член е \((3y)^2\). Търсим \((3y-c)^2=9y^2-6cy+c^2\). От \(6c=12\) намираме \(c=2\), следователно прибавяме \(4\):
\[9y^2-12y+4=(3y-2)^2.\]Отговор: а) \(49\); б) \(4\).
12Пресмятане на квадрат без дълго умножениеПресметнете чрез формулите: а) \(103^2\); б) \(97^2\).
Избираме близкото кръгло число \(100\). Така умноженията стават по-лесни.
а) Записваме \(103=100+3\):
\[103^2=(100+3)^2=10000+600+9=10609.\]б) Записваме \(97=100-3\):
\[97^2=(100-3)^2=10000-600+9=9409.\]И в двата случая последното събираемо е \(+9\). Знакът се променя само пред удвоеното произведение \(600\).
Отговор: а) \(10609\); б) \(9409\).
13Пресмятане чрез обратната формулаПресметнете рационално: а) \(48^2+2\cdot48\cdot12+12^2\); б) \(73^2-2\cdot73\cdot23+23^2\).
а) Разпознаваме квадрат на сбор с членове \(48\) и \(12\). Не е необходимо да пресмятаме трите събираеми поотделно:
\[48^2+2\cdot48\cdot12+12^2=(48+12)^2=60^2=3600.\]б) Отрицателното удвоено произведение показва квадрат на разлика:
\[73^2-2\cdot73\cdot23+23^2=(73-23)^2=50^2=2500.\]Отговор: а) \(3600\); б) \(2500\). Преди дълго пресмятане винаги проверявайте дали изразът не е запис на позната формула.
Преобразувания и приложения — задачи 14–20
14Разлика на два квадрата на двучлениОпростете \((2x+5)^2-(2x-5)^2\), като разкриете двата квадрата.
Прилагаме формулите поотделно. После разкриваме външните скоби след минуса, като сменяме всеки знак:
\[(2x+5)^2=4x^2+20x+25,\] \[(2x-5)^2=4x^2-20x+25.\]Замествайки, получаваме:
\[(4x^2+20x+25)-(4x^2-20x+25)\] \[=4x^2+20x+25-4x^2+20x-25=40x.\]Квадратичните и постоянните членове се унищожават, а двата линейни члена се събират.
Отговор: \(40x\).
15Множител пред квадратаПредставете като нормален многочлен \(3(x-2)^2-2(x+1)^2\).
Първо разкриваме квадратите. Коефициентите \(3\) и \(-2\) се отнасят за целите получени многочлени:
\[3(x^2-4x+4)-2(x^2+2x+1).\]Умножаваме всеки член в скобите по съответния коефициент:
\[3x^2-12x+12-2x^2-4x-2.\]Събираме подобните членове: \(3x^2-2x^2=x^2\), \(-12x-4x=-16x\), \(12-2=10\).
\[3(x-2)^2-2(x+1)^2=x^2-16x+10.\]Отговор: \(x^2-16x+10\).
16Стойност, независеща от променливатаДокажете, че стойността на \(2(x+3)^2-2x(x+6)\) не зависи от \(x\), и я намерете.
Трябва да преобразуваме израза така, че да видим дали всички членове, съдържащи \(x\), се унищожават.
\[2(x+3)^2-2x(x+6)=2(x^2+6x+9)-(2x^2+12x)\] \[=2x^2+12x+18-2x^2-12x=18.\]След преобразуването не остава променлива. Следователно за всяко допустимо \(x\) стойността е една и съща.
Отговор: \(18\) за всяко реално \(x\). Тук няма знаменатели или други ограничения върху \(x\).
17Уравнение, което се свежда до линейноРешете уравнението \((x+4)^2-x^2=56\).
На пръв поглед участват квадрати, но след прилагане на формулата членовете с \(x^2\) се унищожават:
\[x^2+8x+16-x^2=56.\]Получава се линейното уравнение \(8x+16=56\). Изваждаме \(16\) от двете страни и делим на \(8\):
\[8x=40,\qquad x=5.\]Проверка в първоначалното уравнение: \((5+4)^2-5^2=81-25=56\).
Отговор: \(x=5\).
Припомняне: След преобразуването използваме свойствата на равенствата и решаването на линейни уравнения.
18Лице на квадратна рамкаКвадратна площадка има страна \(x\) метра, където \(x>0\). Около нея отвън е направена ивица с ширина \(3\) м. Изразете лицето на ивицата чрез \(x\) и го пресметнете при \(x=12\).
Ивицата е широка \(3\) м от всяка страна. Затова страната на външния квадрат е \(x+3+3=x+6\) метра, а не \(x+3\).
Лицето на ивицата е разликата между лицата на външния и вътрешния квадрат:
\[S=(x+6)^2-x^2=x^2+12x+36-x^2=12x+36.\]При \(x=12\) получаваме \(S=12\cdot12+36=180\text{ м}^2\).
Проверка: външната страна е \(18\) м, следователно \(18^2-12^2=324-144=180\text{ м}^2\).
Отговор: \(S=(12x+36)\text{ м}^2\); при \(x=12\), \(S=180\text{ м}^2\).
19Дадени сбор и произведениеЗа числата \(a\) и \(b\) е известно, че \(a+b=11\) и \(ab=24\). Намерете \(a^2+b^2\), без да намирате самите числа.
От формулата \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) изразяваме търсения сбор:
\[a^2+b^2=(a+b)^2-2ab.\]Замествайки дадените стойности, получаваме:
\[a^2+b^2=11^2-2\cdot24=121-48=73.\]Не е нужно да решаваме система за \(a\) и \(b\). Дадените сбор и произведение са достатъчни за търсения израз.
Отговор: \(73\).
20Квадрат на тричлен чрез групиранеПредставете като нормален многочлен \((x+2y-3)^2\).
Групираме \(x+2y\) като един член. Прилагаме формулата за квадрат на разлика с членове \(x+2y\) и \(3\):
\[(x+2y-3)^2=(x+2y)^2-6(x+2y)+9.\]След това разкриваме вътрешния квадрат на сбор:
\[(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2.\]Умножаваме \(-6\) по двата члена в скобите и събираме:
\[(x+2y-3)^2=x^2+4xy+4y^2-6x-12y+9.\]Отговор: \(x^2+4xy+4y^2-6x-12y+9\). Не сме пропуснали произведенията между различните членове.
Задачи с повишена трудност — 21–25
21Групиране и независимост от една променливаОпростете \[E=(2x-3y+1)^2-(2x-3y-1)^2-8(x-y).\] Докажете, че \(E\) не зависи от \(x\), и намерете стойността му при \(y=-\dfrac34\).★ Повишена трудност
Идея: изразът \(2x-3y\) се повтаря. Означаваме го с \(t\), за да не разкриваме веднага всички членове.
\[(t+1)^2-(t-1)^2=(t^2+2t+1)-(t^2-2t+1)=4t.\]Връщаме \(t=2x-3y\) и внимаваме при умножението по \(-8\):
\[E=4(2x-3y)-8(x-y)\] \[=8x-12y-8x+8y=-4y.\]Променливата \(x\) се унищожава. При \(y=-\frac34\) получаваме \(E=-4\cdot(-\frac34)=3\).
Отговор: \(E=-4y\), а при даденото \(y\), \(E=3\) за всяко \(x\).
22Параметър и коефициентиДаден е изразът \[P=(p-1)(x+2)^2-(p+3)(x-1)^2+4x^2,\] където \(p\) е параметър. а) За кое \(p\) стойността на \(P\) не зависи от \(x\)? б) За кое \(p\) свободният член е нула и какъв многочлен се получава?★ Повишена трудност
Разкриваме двата квадрата и групираме членовете според степента на \(x\):
\[P=(p-1)(x^2+4x+4)-(p+3)(x^2-2x+1)+4x^2.\]Коефициентът пред \(x^2\) е \((p-1)-(p+3)+4=0\), тоест квадратният член се унищожава за всяко \(p\).
Коефициентът пред \(x\) е \(4(p-1)+2(p+3)=6p+2\). Свободният член е \(4(p-1)-(p+3)=3p-7\). Следователно:
\[P=(6p+2)x+3p-7.\]а) Изразът не зависи от \(x\), когато \(6p+2=0\), тоест \(p=-\frac13\). Тогава \(P=3\cdot(-\frac13)-7=-8\).
б) Свободният член е нула при \(3p-7=0\), тоест \(p=\frac73\). Получаваме \(P=(14+2)x=16x\).
Отговор: а) \(p=-\frac13\), \(P=-8\); б) \(p=\frac73\), \(P=16x\).
23Най-малка стойност чрез точен квадратНамерете най-малката стойност на \[F=2x^2-12x+23+(y+2)^2\] за реални \(x\) и \(y\). При кои стойности се достига тя?★ Повишена трудност
Ще използваме само факта, че квадратът на реално число е неотрицателен. Не са необходими формула за корените на квадратно уравнение или графика на функция.
Изнасяме \(2\) пред първите два члена и допълваме до квадрат:
\[2x^2-12x+23=2(x^2-6x+9)+5=2(x-3)^2+5.\]Константата е \(5\), защото \(2\cdot9+5=23\). Така:
\[F=2(x-3)^2+(y+2)^2+5\ge5.\]Равенство има точно когато и двата квадрата са нула: \(x-3=0\) и \(y+2=0\). Следователно \(x=3\), \(y=-2\).
Отговор: най-малката стойност е \(5\), достига се при \((x,y)=(3,-2)\).
24Доказателство за делимостДокажете, че сборът от квадратите на три последователни естествени числа не се дели на \(3\). Намерете остатъка при делението му на \(3\).★ Повишена трудност
Нека числата са \(n\), \(n+1\) и \(n+2\), където \(n\ge1\) е естествено число. Не проверяваме отделни примери, а преобразуваме общия сбор:
\[n^2+(n+1)^2+(n+2)^2\] \[=n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)=3n^2+6n+5.\]Записваме резултата като кратно на \(3\) плюс число, по-малко от \(3\):
\[3n^2+6n+5=3(n^2+2n+1)+2=3(n+1)^2+2.\]Понеже \((n+1)^2\) е естествено число и \(0\le2<3\), това е запис на деление с остатък. Остатъкът е \(2\), а не \(0\).
Извод: сборът не се дели на \(3\); винаги дава остатък \(2\).
Защо остатъкът е различен от нула е обяснено и в урока „Деление с остатък. Делител и кратно“ за 5. клас.
25Геометрия и съкращаване на квадратните членовеВ правоъгълен триъгълник катетите са \((3x-1)\) см и \((4x+4)\) см, а хипотенузата е \((5x+3)\) см, като \(x>\dfrac13\). Намерете \(x\), обиколката и лицето на триъгълника.★ Повишена трудност
Условието \(x>\frac13\) гарантира положителни дължини. Прилагаме Питагоровата теорема: сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.
\[(3x-1)^2+(4x+4)^2=(5x+3)^2.\]Разкриваме всеки квадрат:
\[(9x^2-6x+1)+(16x^2+32x+16)=25x^2+30x+9.\]След събиране на подобните членове получаваме \(25x^2+26x+17=25x^2+30x+9\). Квадратните членове се унищожават:
\[26x+17=30x+9\quad\Rightarrow\quad8=4x\quad\Rightarrow\quad x=2.\]Стойността удовлетворява \(x>\frac13\). Дължините са \(5\) см, \(12\) см и \(13\) см. Проверяваме: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\).
\[P=5+12+13=30\text{ см},\qquad S=\frac{5\cdot12}{2}=30\text{ см}^2.\]Отговор: \(x=2\), \(P=30\text{ см}\), \(S=30\text{ см}^2\).
Геометричната връзка е припомнена в урока за Питагоровата теорема. Тук основната алгебрична стъпка е правилното разкриване на квадратите.
30 задачи за самостоятелна работа
Задачи №1–16 запазват преговора върху едночлени и многочлени от първоначалния урок. Задачи №17–30 допълват практиката върху квадрата на двучлен. Решете самостоятелно, преди да отворите отговора.
Преговор — задачи 1–16
а) \(A=-4x^2y^3\) и \(B=-3x^4y^2\);
б) \(A=\tfrac{3}{4}ab^2c\) и \(B=\tfrac{4}{3}a^2bc^3\);
в) \(A=-\tfrac{1}{27}mn^2p^7\), \(B=\tfrac{3}{2}m^5k^2p\) и \(C=-\tfrac{1}{4}k^4p\).
Припомняне: За дробните коефициенти припомнете правилата за умножение на обикновени дроби от 5. клас.
▼ Отговор
б) \(a^3b^3c^4\)
в) \(\dfrac{1}{72}m^6n^2k^6p^9\)
а) \((1{,}5x^2y^3z^4)(4xyz^5)\);
б) \(\bigl(\tfrac{7}{8}m^2k^3p^4\bigr)\bigl(\tfrac{1}{4}mkp^3\bigr)\);
в) \((1{,}5ax^2y^3z^6)(-2{,}5a^2xy^2z^3)\).
Припомняне: При пресмятане на коефициентите са полезни правилата за умножение и деление на рационални числа от 6. клас.
▼ Отговор
б) \(\tfrac{7}{32}m^3k^4p^7\) — коефициент \(\tfrac{7}{32}\), степен \(14\)
в) \(-3{,}75\,a^3x^3y^5z^9\) — коефициент \(-3{,}75\), степен \(20\)
а) \((2x^2y^3z^4)^3\);
б) \(\bigl(\tfrac{2}{3}ab^4c^5\bigr)^8\);
в) \((-bx^4y^5z^2)^{11}\).
Припомняне: За това упражнение използвайте правилата за степенуване на произведение и степен от 6. клас.
▼ Отговор
б) \(\dfrac{256}{6561}a^8b^{32}c^{40}\)
в) \(-b^{11}x^{44}y^{55}z^{22}\)
Условие за допустимост: \(w\ne0\), тоест \(a\ne0\), \(m\ne0\), \(x\ne0\) и \(y\ne0\).
▼ Отговор
▼ Отговор
Припомняне: Разкриването на скобите използва разпределителното свойство на умножението, изучено в 5. клас.
▼ Отговор
\((ac+ad+bc+bd)-(ab+ad+bc+cd)-(ac-ab-cd+bd)\)
\(=ac+ad+bc+bd-ab-ad-bc-cd-ac+ab+cd-bd=0\) \(\blacksquare\)
▼ Отговор
При \(m=-\tfrac{1}{2}\), \(n=\tfrac{1}{3}\): \(U=3\cdot\!\left(-\tfrac{1}{8}\right)\cdot\tfrac{1}{27}=-\dfrac{1}{72}\)
▼ Отговор
Припомняне: Обърнете внимание на скобите и знака пред степента. При нужда припомнете степенуването на рационални числа от 6. клас.
▼ Отговор
▼ Отговор
▼ Отговор
Тъй като \(27^{669}=3^{2007}\) и \((-3)^{2008}=3^{2008}\), получаваме \(x=\tfrac{1}{3}\).
Следователно \(A=-9\cdot\tfrac{1}{9}=\mathbf{-1}\).
а) \(3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c)\);
б) \(8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3)\);
в) \((4x^2+2xy+y^2)(2x-y)\).
Припомняне: При разкриване на скоби след знак минус са полезни правилата за събиране и изваждане на рационални числа от 6. клас.
▼ Отговор
б) \(x^2-8x\)
в) \(8x^3-y^3\)
▼ Отговор
Условие: \(a-10=-a\Rightarrow a=5\).
При \(a=5\): \(2x^5-5x^4-19x^3+15x^2-2x-5\).
▼ Отговор
Условие: \(4m+3=9\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\).
а) \((y-3)(y-1)-(y+1)(y+3)\);
б) \(3x-2y(x+1)+x(2y-3)\);
в) \(3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3\).
▼ Отговор
б) \(-2y\)
в) \(-2m^4+4m^3+3m^2-7m-3\)
а) \(A\) е от 1-ва степен;
б) коефициентите пред \(y^2\) и \(y\) са равни;
в) при \(y=1\) изразът е 0.
▼ Отговор
а) Коеф. при \(y^2=0\Rightarrow b=6\)
б) \(b-6=-2b+3\Rightarrow b=3\)
в) \(-2b-3=0\Rightarrow b=-\dfrac{3}{2}\)
Квадрат на двучлен — задачи 17–26
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Приложения и надграждане — задачи 27–30
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
При въпросите с дроби можете да използвате припомнянето за привеждане на обикновени дроби към общ знаменател от 5. клас.
Скала за самопроверка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; 0–14 т. → 2. Това е учебна самооценка, не стандартизиран изпит.
Видео уроци
Допълнителни тестове
Използвана литература
Допълнителните задачи и подробните им решения са съставени за този урок. Сборникът на „Коала Прес“ е използван като методически ориентир, без дословно възпроизвеждане на неговите задачи. Запазена е и литературата, посочена в първоначалната публикация.
- 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
- 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
- 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
- 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
- 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
- 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
- 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
- 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
- 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
- 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
- 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
- 12.Сп. Математика; Сп. Математика+
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар