Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Формули за съкратено умножение

Формули за съкратено умножение
Квадрат на двучлен

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 16 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Формула за квадрат на двучлен: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) — урок с разработени задачи и тест за 7 клас

В началото на учебната година всеки седмокласник се сблъсква с формулите за съкратено умножение. С настоящия урок ще се опитаме заедно да преодолеем трудностите при решаването на задачи, в които се прилага квадратът на двучлен. Нека първо припомним всички формули:

1. 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
2. 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
3. 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
4. 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)

В тази статия разглеждаме формула № 1 — Квадрат на двучлен:

\[(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\]

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Извършете степенуването \((2x+y)^2\).

▼

Решение Нека разгледаме формулата \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\] В нашия израз ролята на \(a\) играе \(2x\), а на \(b\) – \(y\). Заместваме: \[(2x+y)^2 = (2x)^2 + 2\cdot(2x)\cdot y + y^2.\] Тъй като \((2x)^2 = 4x^2\), получаваме: \[(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2.\]

2

Извършете степенуването \((3n+4m)^2\).

▼

Решение Прилагаме формулата \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\] като \(a=3n\) и \(b=4m\). Следователно: \[(3n+4m)^2 = (3n)^2 + 2\cdot(3n)\cdot(4m) + (4m)^2 = 9n^2 + 24nm + 16m^2.\]

3

Извършете степенуването \((9k-3x)^2\).

▼

Решение Прилагаме формулата \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2,\] в която \(a=9k\) и \(b=3x\). Така: \[(9k-3x)^2 = (9k)^2 - 2\cdot(9k)\cdot(3x) + (3x)^2 = 81k^2 - 54kx + 9x^2.\]

4

Извършете степенуването \((-5+3x)^2\).

▼

Решение Прилагаме разместителното свойство: \[(-5+3x)^2 = (3x-5)^2.\] След това с \(a=3x\), \(b=5\): \[(3x-5)^2 = 9x^2 - 30x + 25.\]

5

Извършете степенуването \((x+y+z)^2\).

▼

Решение Групираме \(a=x+y\) и \(b=z\): \[(x+y+z)^2 = (x+y)^2 + 2(x+y)z + z^2.\] Тъй като \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\), получаваме: \[(x+y+z)^2 = x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2.\]

6

Опростете израза \(x^2+64-(x-8)^2\).

▼

Решение Забелязваме, че \((x-8)^2 = x^2 - 16x + 64\). Затова: \[x^2 + 64 - (x^2-16x+64) = x^2+64-x^2+16x-64 = 16x.\]

7

Приведете в нормален вид \((a-b-3)^2+(a-b)^2\).

▼

Решение Пресмятаме: \[(a-b-3)^2 = (a-b)^2 - 6(a-b) + 9.\] Следователно: \[(a-b-3)^2+(a-b)^2 = 2(a-b)^2 - 6(a-b) + 9.\] Като заместим \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\), получаваме: \[2a^2 + 2b^2 - 4ab - 6a + 6b + 9.\]

8

Приведете в нормален вид \((3-x)^2-(4x+1)^2\).

▼

Решение Пресмятаме: \((3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\) и \((4x+1)^2 = 16x^2 + 8x + 1\). След това: \[(3-x)^2-(4x+1)^2 = 9 - 6x + x^2 - 16x^2 - 8x - 1 = -15x^2 -14x + 8.\]

9

Намерете числената стойност на \((x+1)(y-2)-(x-y-2)^2\) при \(x=-|-5+4|\) и \(y=-(-5+4)^2\).

▼

Решение Намираме: \(x = -|-5+4| = -1\) и \(y = -(-5+4)^2 = -1\).
Опростяваме: \((x+1)(y-2) = xy - 2x + y - 2\).
\((x-y-2)^2 = x^2-2xy+y^2-4x+4y+4\).
Изразът се опростява до \(-x^2 - y^2 + 3xy + 2x - 3y - 6\).
При \(x=y=-1\): \(-1-1+3-2+3-6 = -4\).

10

Пресметнете рационално \(13{,}4^2 + 2\cdot13{,}4\cdot6{,}6 + 6{,}6^2\).

▼

Решение \[(13{,}4+6{,}6)^2 = 20^2 = 400.\]

11

Пресметнете рационално \(36^2 - 2\cdot36\cdot6 + 6^2\).

▼

Решение \[(36-6)^2 = 30^2 = 900.\]

12

Пресметнете рационално \(59^2\).

▼

Решение \[59^2=(60-1)^2=3600-120+1=3481.\]

13

Докажете тъждеството \((x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2)\).

▼

Решение ЛС: \((x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2) = 2x^2+2y^2\).
ДС: \(2(x^2+y^2) = 2x^2+2y^2\).
ЛС = ДС. ■

14

Намерете нормалния многочлен:
а) \((a^2+1)^2+(a-1)(a^2+1)-a^2\)
б) \(3(a^2+1)^2+2(a-1)(a^2+1)-5(a-1)^2-4(0{,}75a^4+3a-1)\)

▼

Решение а) Разкриваме: \((a^2+1)^2 = a^4+2a^2+1\) и \((a-1)(a^2+1) = a^3+a-a^2-1\).
Сборът: \(a^4+2a^2+1+a^3+a-a^2-1-a^2 = a^4+a^3+a\).

б) Намираме поотделно:
\(3(a^2+1)^2 = 3a^4+6a^2+3\)
\(2(a-1)(a^2+1) = 2a^3-2a^2+2a-2\)
\(-5(a-1)^2 = -5a^2+10a-5\)
\(-4(0{,}75a^4+3a-1) = -3a^4-12a+4\)

Събираме по степени:
\(a^4: 3-3=0\) | \(a^3: 2a^3\) | \(a^2: 6-2-5=-a^2\) | \(a: 2+10-12=0\) | конст: \(3-2-5+4=0\)

Нормалният многочлен е \(2a^3-a^2\).

15

Докажете, че \(A=2(2y+1)^2-(4y+3)^2+8y(y+2)\) е константа за всяко \(y\).

▼

Решение Пресмятаме поотделно:
\(2(2y+1)^2 = 8y^2+8y+2\)
\((4y+3)^2 = 16y^2+24y+9\)
\(8y(y+2) = 8y^2+16y\)

Събираме: \(A = (8y^2+8y+2)-(16y^2+24y+9)+(8y^2+16y)\).
\(y^2: 8-16+8=0\) | \(y: 8-24+16=0\) | конст: \(2-9=-7\).

Следователно \(A=-7\) за всяко \(y\). ■

16

Намерете стойността на \(a(a+b)^2-b(a-b)^2+2b(a^2+b^2)\) при \(a=2{,}5,\ b=0{,}5\).

▼

Решение \(a(a+b)^2 = a^3+2a^2b+ab^2\)
\(b(a-b)^2 = a^2b-2ab^2+b^3\)
\(a(a+b)^2-b(a-b)^2 = a^3+a^2b+3ab^2-b^3\)
Добавяме \(2b(a^2+b^2)=2a^2b+2b^3\): \[E = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3.\] При \(a=2{,}5\) и \(b=0{,}5\): \(E=(3)^3=27\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Умножете едночлените:
а) \(A=-4x^2y^3\) и \(B=-3x^4y^2\);
б) \(A=\tfrac{3}{4}ab^2c\) и \(B=\tfrac{4}{3}a^2bc^3\);
в) \(A=-\tfrac{1}{27}mn^2p^7\), \(B=\tfrac{3}{2}m^5k^2p\) и \(C=-\tfrac{1}{4}k^4p\).

Задача 2 Намерете степента и коефициента на едночлена:
а) \((1{,}5x^2y^3z^4)(4xyz^5)\);
б) \(\bigl(\tfrac{7}{8}m^2k^3p^4\bigr)\bigl(\tfrac{1}{4}mkp^3\bigr)\);
в) \((1{,}5ax^2y^3z^6)(-2{,}5a^2xy^2z^3)\).

Задача 3 Извършете степенуването:
а) \((2x^2y^3z^4)^3\);
б) \(\bigl(\tfrac{2}{3}ab^4c^5\bigr)^8\);
в) \((-bx^4y^5z^2)^{11}\).

Задача 4 Ако \(u=3abm^2x^3\), \(v=-2a^2mxy\), \(w=a^3mxy\), намерете \(\dfrac{u\cdot v}{w}\).

Задача 5 Ако \(A=(x^2-xy+2y^2)\) и \(B=(2x-y)\), намерете \(A\cdot B\).

Задача 6 Докажете тъждеството \((a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)-(a-d)(c-b)=0\).

Задача 7 Намерете числената стойност на \[U=(2mn)^3+3mn^2\cdot2mn-5mn(mn)^2+2mn^2(-3mn)\] при \(m=-\tfrac{1}{2},\ n=\tfrac{1}{3}\).

Задача 8 Намерете стойността на \(b(b-1)-b^2+2b\) при \(b=-1\).

Задача 9 Намерете стойността на \(2(3x-2)-x(7-x)\) при \(x=-2^2\).

Задача 10 Запишете с нормален многочлен \((2y-1)(1-y)-(2-y^3)\).

Задача 11 Намерете стойността на \(A=6(x+5)-2(x-3)(4x-5)+5x(7x-8)-(-6x)^2\) при \(x=\dfrac{27^{669}}{(-3)^{2008}}\).

Задача 12 Представете като нормален многочлен:
а) \(3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c)\);
б) \(8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3)\);
в) \((4x^2+2xy+y^2)(2x-y)\).

Задача 13 Представете \((2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1)\) с нормален многочлен. За коя стойност на \(a\) коефициентите на 4-та степен и свободния член са равни?

Задача 14 Намерете \(m\), за което многочленът \(A=mx^2+3mx^2-2x^3+3x^2-5mx+3m-4\) има коефициент при \(x^2\) равен на 9.

Задача 15 Намерете нормалния вид:
а) \((y-3)(y-1)-(y+1)(y+3)\);
б) \(3x-2y(x+1)+x(2y-3)\);
в) \(3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3\).

Задача 16 За \(A=b(y^2-2)-(b+3y)(2y-1)\) намерете стойностите на \(b\), за които:
а) \(A\) е от 1-ва степен;
б) коефициентите пред \(y^2\) и \(y\) са равни;
в) при \(y=1\) изразът е 0.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Квадрат на двучлен

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1След степенуване на \((x+4)^2\) се получава:

\(x^2+8x+4\) \(x^2+16\) \(x^2+8x+16\) \(x^2-8x+16\)

2След степенуване на \((4m^3-3t^2)^2\) се получава:

\(16m^6+24m^3t^2+9t^4\) \(16m^6-24m^3t^2+9t^4\) \(16m^6-9t^4\) \(16m^6+9t^4\)

3Кое от следните тъждества е вярно?

\(2x(x-3)+3(x+1)^2 = 2x^2-6x+3x^2+6x+3\) \(3x(x+2)-2(x-1)^2 = 3x^2+6x-2x^2+4x-2\) \(x(x+4)+5(x-2)^2 = x^2+4x+5x^2-20x+20\) \(4x(x-1)-(x+2)^2 = 4x^2-4x-x^2-4x+2\)

4При \(x=2\), стойността на \((x+1)^2+(x-3)^2-(3x^2+2x+1)(x-2)\) е:

20 15 5 10

5Нормалният многочлен на \((2a+3b)(4a^2-ab+5)+(3ab+1)^2-(2a-b)^2\) е:

\(8a^3+6a^2b+4ab+15+9a^2b^2+6ab+1+4a^2-4ab+b^2\) \(8a^3+6a^2b-2ab+15+9a^2b^2+6ab+1-4a^2+4ab-b^2\) \(9a^2b^2+8a^3+10a^2b-3ab^2-4a^2+10ab-b^2+10a+15b+1\) \(8a^3+10a^2b-3ab^2+10a+15b+9a^2b^2-6ab+1-4a^2-4ab-b^2\)

6Опростете \(\dfrac{(x+3)^2}{5}+\dfrac{(x-1)^2}{2}-\dfrac{x}{4}\!\left(\dfrac{6x}{5}-2\right)\):

\(\dfrac{8x^2+14x+46}{20}\) \(\dfrac{8x^2+12x+46}{20}\) \(\dfrac{8x^2+14x+44}{20}\) \(\dfrac{10x^2+14x+46}{20}\)

7Намерете липсващото събираемо: \((2x^2-3y^3)^2=4x^4+\,?\,+9y^6\)

\(-6x^2y^3\) \(-12x^2y^3\) \(12x^2y^3\) \(-6x^4y^3\)

8Пресметнете \(98^2\) с формулата за квадрат на двучлен:

9600 9801 9409 9604

9След опростяване на \((x+3)^2+(x+1)^2+x^2-(x+1)^2-(x-2)^2\) се получава:

\(x^2+6x+5\) \(x^2+8x+9\) \(x^2+10x+5\) \(x^2+10x+1\)

10Опростете \((4x+1)^2-(3x+1)^2-(y-4)^2\):

\(7x^2+2x-y^2+8y-16\) \(7x^2+4x-y^2-8y+16\) \(x^2+2x+1-y^2-4y+16\) \(4x^2+8x-y^2+8y-16\)

11Опростете \((x+4)^2+(x+1)^2-(x^2+12)\):

\(2x^2+8x+5\) \(3x^2+10x+17\) \(x^2+10x+5\) \(x^2+8x+17\)

12Намерете нормалния вид на \((3a+5)^2+(2a-1)(a+4)\):

\(11a^2+37a+21\) \(9a^2+10a+17\) \(5a^2+16a+6\) \(13a^2+25a+21\)

13Опростете \((x-3)^2+(3x-3)\):

\(x^2-5x+7\) \(x^2-3x+6\) \(2x^2-4x+9\) \(x^2-2x+8\)

14Опростете \((2x-5)^2+(x+1)^2-(x-4)^2\):

\(4x^2-20x+25+x^2+2x+1-x^2+8x-16\) \(4x^2-10x+10\) \(6x^2+3x-9\) \(5x^2-5x+6\)

15Намерете стойността на \((x+2)^2+2(x-1)-(x-1)^2\) при \(x=1\):

6 9 10 12

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Квадрат на двучлен

Видео урок 2 — Приложения

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆