Формули за съкратено умножение - $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Формули за съкратено умножение

Формули за съкратено умножение
Квадрат на двучлен

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 16 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Формула за квадрат на двучлен: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) — урок с разработени задачи и тест за 7 клас

В началото на учебната година всеки седмокласник се сблъсква с формулите за съкратено умножение. С настоящия урок ще се опитаме заедно да преодолеем трудностите при решаването на задачи, в които се прилага квадратът на двучлен. Нека първо припомним всички формули:

1. 1. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
2. 2. \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
3. 3. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)
4. 4. \((a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3\)

В тази статия разглеждаме формула № 1 — Квадрат на двучлен:

\[(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Умножете едночлените:
а) \(A=-4x^2y^3\) и \(B=-3x^4y^2\);
б) \(A=\tfrac{3}{4}ab^2c\) и \(B=\tfrac{4}{3}a^2bc^3\);
в) \(A=-\tfrac{1}{27}mn^2p^7\), \(B=\tfrac{3}{2}m^5k^2p\) и \(C=-\tfrac{1}{4}k^4p\).

▼ Отговор

а) \(12x^6y^5\)
б) \(a^3b^3c^4\)
в) \(\dfrac{1}{72}m^6n^2k^6p^9\)

Задача 2 Намерете степента и коефициента на едночлена:
а) \((1{,}5x^2y^3z^4)(4xyz^5)\);
б) \(\bigl(\tfrac{7}{8}m^2k^3p^4\bigr)\bigl(\tfrac{1}{4}mkp^3\bigr)\);
в) \((1{,}5ax^2y^3z^6)(-2{,}5a^2xy^2z^3)\).

▼ Отговор

а) \(6x^3y^4z^9\) — коефициент \(6\), степен \(16\)
б) \(\tfrac{7}{32}m^3k^4p^7\) — коефициент \(\tfrac{7}{32}\), степен \(14\)
в) \(-3{,}75\,a^3x^3y^5z^9\) — коефициент \(-3{,}75\), степен \(20\)

Задача 3 Извършете степенуването:
а) \((2x^2y^3z^4)^3\);
б) \(\bigl(\tfrac{2}{3}ab^4c^5\bigr)^8\);
в) \((-bx^4y^5z^2)^{11}\).

▼ Отговор

а) \(8x^6y^9z^{12}\)
б) \(\dfrac{256}{6561}a^8b^{32}c^{40}\)
в) \(-b^{11}x^{44}y^{55}z^{22}\)

Задача 4 Ако \(u=3abm^2x^3\), \(v=-2a^2mxy\), \(w=a^3mxy\), намерете \(\dfrac{u\cdot v}{w}\).

▼ Отговор

\(-6bm^2x^3\)

Задача 5 Ако \(A=(x^2-xy+2y^2)\) и \(B=(2x-y)\), намерете \(A\cdot B\).

▼ Отговор

\(2x^3-3x^2y+5xy^2-2y^3\)

Задача 6 Докажете тъждеството \((a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)-(a-d)(c-b)=0\).

▼ Отговор

Разкриваме скобите:
\((ac+ad+bc+bd)-(ab+ad+bc+cd)-(ac-ab-cd+bd)\)
\(=ac+ad+bc+bd-ab-ad-bc-cd-ac+ab+cd-bd=0\) \(\blacksquare\)

Задача 7 Намерете числената стойност на \[U=(2mn)^3+3mn^2\cdot2mn-5mn(mn)^2+2mn^2(-3mn)\] при \(m=-\tfrac{1}{2},\ n=\tfrac{1}{3}\).

▼ Отговор

\(U=8m^3n^3+6m^2n^3-5m^3n^3-6m^2n^3=3m^3n^3\)
При \(m=-\tfrac{1}{2}\), \(n=\tfrac{1}{3}\): \(U=3\cdot\!\left(-\tfrac{1}{8}\right)\cdot\tfrac{1}{27}=-\dfrac{1}{72}\)

Задача 8 Намерете стойността на \(b(b-1)-b^2+2b\) при \(b=-1\).

▼ Отговор

\(b^2-b-b^2+2b=b\). При \(b=-1\): резултатът е \(-1\).

Задача 9 Намерете стойността на \(2(3x-2)-x(7-x)\) при \(x=-2^2\).

▼ Отговор

\(6x-4-7x+x^2=x^2-x-4\). Тъй като \(x=-2^2=-4\): \(16+4-4=\mathbf{16}\).

Задача 10 Запишете с нормален многочлен \((2y-1)(1-y)-(2-y^3)\).

▼ Отговор

\(y^3-2y^2+3y-3\)

Задача 11 Намерете стойността на \(A=6(x+5)-2(x-3)(4x-5)+5x(7x-8)-(-6x)^2\) при \(x=\dfrac{27^{669}}{(-3)^{2008}}\).

▼ Отговор

След опростяване \(A=-9x^2\).
Тъй като \(27^{669}=3^{2007}\) и \((-3)^{2008}=3^{2008}\), получаваме \(x=\tfrac{1}{3}\).
Следователно \(A=-9\cdot\tfrac{1}{9}=\mathbf{-1}\).

Задача 12 Представете като нормален многочлен:
а) \(3a+2b-c+(a-3b)-(4a-2c)\);
б) \(8-3x-(5-x^2+3x)-(2x+3)\);
в) \((4x^2+2xy+y^2)(2x-y)\).

▼ Отговор

а) \(c-b\)
б) \(x^2-8x\)
в) \(8x^3-y^3\)

Задача 13 Представете \((2x+a)(x^4-5x^3+3x^2-1)\) с нормален многочлен. За коя стойност на \(a\) коефициентите на 4-та степен и свободния член са равни?

▼ Отговор

\(2x^5+(a-10)x^4+(6-5a)x^3+3ax^2-2x-a\)
Условие: \(a-10=-a\Rightarrow a=5\).
При \(a=5\): \(2x^5-5x^4-19x^3+15x^2-2x-5\).

Задача 14 Намерете \(m\), за което многочленът \(A=mx^2+3mx^2-2x^3+3x^2-5mx+3m-4\) има коефициент при \(x^2\) равен на 9.

▼ Отговор

\(A=-2x^3+(4m+3)x^2-5mx+3m-4\)
Условие: \(4m+3=9\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\).

Задача 15 Намерете нормалния вид:
а) \((y-3)(y-1)-(y+1)(y+3)\);
б) \(3x-2y(x+1)+x(2y-3)\);
в) \(3m(2m^2+m-1)-2m(m^3+m^2+2)-3\).

▼ Отговор

а) \(-8y\)
б) \(-2y\)
в) \(-2m^4+4m^3+3m^2-7m-3\)

Задача 16 За \(A=b(y^2-2)-(b+3y)(2y-1)\) намерете стойностите на \(b\), за които:
а) \(A\) е от 1-ва степен;
б) коефициентите пред \(y^2\) и \(y\) са равни;
в) при \(y=1\) изразът е 0.

▼ Отговор

\(A=(b-6)y^2+(-2b+3)y+(-b)\)
а) Коеф. при \(y^2=0\Rightarrow b=6\)
б) \(b-6=-2b+3\Rightarrow b=3\)
в) \(-2b-3=0\Rightarrow b=-\dfrac{3}{2}\)

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Квадрат на двучлен

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1След степенуване на \((x+4)^2\) се получава:

\(x^2+8x+4\) \(x^2+16\) \(x^2+8x+16\) \(x^2-8x+16\)

2След степенуване на \((4m^3-3t^2)^2\) се получава:

\(16m^6+24m^3t^2+9t^4\) \(16m^6-24m^3t^2+9t^4\) \(16m^6-9t^4\) \(16m^6+9t^4\)

3Кое от следните тъждества е вярно?

\(2x(x-3)+3(x+1)^2 = 2x^2-6x+3x^2+6x+3\) \(3x(x+2)-2(x-1)^2 = 3x^2+6x-2x^2+4x-2\) \(x(x+4)+5(x-2)^2 = x^2+4x+5x^2-20x+20\) \(4x(x-1)-(x+2)^2 = 4x^2-4x-x^2-4x+2\)

4При \(x=2\), стойността на \((x+1)^2+(x-3)^2-(3x^2+2x+1)(x-2)\) е:

20 15 5 10

5Нормалният многочлен на \((2a+3b)(4a^2-ab+5)+(3ab+1)^2-(2a-b)^2\) е:

\(8a^3+6a^2b+4ab+15+9a^2b^2+6ab+1+4a^2-4ab+b^2\) \(8a^3+6a^2b-2ab+15+9a^2b^2+6ab+1-4a^2+4ab-b^2\) \(9a^2b^2+8a^3+10a^2b-3ab^2-4a^2+10ab-b^2+10a+15b+1\) \(8a^3+10a^2b-3ab^2+10a+15b+9a^2b^2-6ab+1-4a^2-4ab-b^2\)

6Опростете \(\dfrac{(x+3)^2}{5}+\dfrac{(x-1)^2}{2}-\dfrac{x}{4}\!\left(\dfrac{6x}{5}-2\right)\):

\(\dfrac{8x^2+14x+46}{20}\) \(\dfrac{8x^2+12x+46}{20}\) \(\dfrac{8x^2+14x+44}{20}\) \(\dfrac{10x^2+14x+46}{20}\)

7Намерете липсващото събираемо: \((2x^2-3y^3)^2=4x^4+\,?\,+9y^6\)

\(-6x^2y^3\) \(-12x^2y^3\) \(12x^2y^3\) \(-6x^4y^3\)

8Пресметнете \(98^2\) с формулата за квадрат на двучлен:

9600 9801 9409 9604

9След опростяване на \((x+3)^2+(x+1)^2+x^2-(x+1)^2-(x-2)^2\) се получава:

\(x^2+6x+5\) \(x^2+8x+9\) \(x^2+10x+5\) \(x^2+10x+1\)

10Опростете \((4x+1)^2-(3x+1)^2-(y-4)^2\):

\(7x^2+2x-y^2+8y-16\) \(7x^2+4x-y^2-8y+16\) \(x^2+2x+1-y^2-4y+16\) \(4x^2+8x-y^2+8y-16\)

11Опростете \((x+4)^2+(x+1)^2-(x^2+12)\):

\(2x^2+8x+5\) \(3x^2+10x+17\) \(x^2+10x+5\) \(x^2+8x+17\)

12Намерете нормалния вид на \((3a+5)^2+(2a-1)(a+4)\):

\(11a^2+37a+21\) \(9a^2+10a+17\) \(5a^2+16a+6\) \(13a^2+25a+21\)

13Опростете \((x-3)^2+(3x-3)\):

\(x^2-5x+7\) \(x^2-3x+6\) \(2x^2-4x+9\) \(x^2-2x+8\)

14Опростете \((2x-5)^2+(x+1)^2-(x-4)^2\):

\(4x^2-20x+25+x^2+2x+1-x^2+8x-16\) \(4x^2-10x+10\) \(6x^2+3x-9\) \(5x^2-5x+6\)

15Намерете стойността на \((x+2)^2+2(x-1)-(x-1)^2\) при \(x=1\):

6 9 10 12

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Квадрат на двучлен

Видео урок 2 — Приложения

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆