Моделиране с линейни уравнения – 7. клас: 25 решени задачи и тест

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 7 клас › Уравнения › Моделиране

Моделиране с линейни уравнения
Движение, работа, смеси и капитал

Методи и приложения — 25 подробно решени задачи (№21–25 с повишена трудност), 30 задачи за самостоятелна работа, тест с 15 въпроса и 5 видеоурока.

7. клас25 решени задачи5 с повишена трудност30 за самостоятелна работаТест: 15 въпроса

В този урок

Теория25 решени задачиЗадачи 21–2530 за самостоятелна работаТестВидеоуроциСвързани уроци

Теория: как превръщаме условието в линейно уравнение

Математически модел е запис на съществените зависимости от дадена житейска ситуация с математически величини, формули и уравнения. В този урок ще избираме едно удобно неизвестно \(x\), ще изразяваме останалите величини чрез него и ще съставяме линейно уравнение.

Основна схема.

Този подход надгражда урока от 6. клас за моделиране с уравнение от вида \(ax+b=0\), където за първи път системно превръщаме текстово условие в уравнение.

1. Изберете неизвестното и посочете мерната му единица.
2. Изразете чрез него всички други величини.
3. Запишете връзката от условието като уравнение.
4. Решете полученото линейно уравнение.
5. Проверете дали намереното число има смисъл в задачата и отговорете с правилната мерна единица.

Движение. \[ S=V\cdot t,\qquad V=\frac St,\qquad t=\frac SV. \] При движение един срещу друг до срещата сборът на изминатите пътища е равен на началното разстояние. При движение в една посока е полезна относителната скорост — разликата на скоростите. Ако зависимостите между величините още не са напълно уверени, преговорете правата и обратната пропорционалност в 6. клас.

Работа. Ако цялата работа се приема за \(1\), а един изпълнител я извършва за \(T\) часа, неговата производителност е \[ P=\frac1T. \] За \(t\) часа той извършва \(\frac tT\) от работата. При едновременна работа производителностите се събират. Връзката между време и производителност е удобен повод да си припомните и обратната пропорционалност.

Смеси и разтвори. В учебния модел използваме \[ \text{количество чисто вещество} = \frac{p}{100}\cdot\text{общо количество}. \] При смесване общото количество на даденото вещество преди смесването е равно на количеството му след смесването. За по-лесна работа с отношения и процентни състави използвайте и уроците „Отношения и пропорции“ и „Приложение на пропорциите“ от 6. клас.

Проста лихва. В задачите от този урок, когато е записано „проста лихва без капитализация“, за \(n\) години: \[ L=K_0\cdot\frac p{100}\cdot n,\qquad K=K_0+L. \] Ако има капитализация, моделът е различен и това трябва да бъде изрично посочено в условието. Основните процентни зависимости и формулите за проста лихва са подробно преговорени в урока за процент и проста лихва в 5. клас.

Чести грешки:

• минутите да се използват като часове, без преобразуване;

• при движение един срещу друг да се изваждат, вместо да се събират изминатите пътища;

• при работа да се събират времената вместо производителностите;

• при смеси да се събират процентите, вместо количествата чисто вещество;

• да се получи число, което не е допустимо за контекста — например отрицателно време или нецял брой предмети — и то да не бъде проверено.

Преди да започнете: преговорете при нужда линейните уравнения за 7. клас, моделирането с \(ax+b=0\) от 6. клас и, за задачите с отношения, основните свойства на пропорциите.

---

25 подробно решени и обяснени задачи

Задачи №1–13 са запазени от първоначалната публикация с математически и редакционни уточнения. №14–20 са нови приложения. №21–25 са с повишена трудност.

Житейски ситуации — задачи 1–4

1Части от сумаГ-жа Иванова получила известна сума пари. С \(\frac{3}{8}\) от нея купила нов кухненски робот, а с \(\frac{3}{7}\) от останалата след това сума — нова рокля за себе си. Ако роклята струва 75 лв., то колко лева е струвал кухненският робот?▼

Решение

Нека първоначалната сума е \(x\) лв. Кухненският робот струва \(\frac38x\), затова след покупката остават

\[ x-\frac38x=\frac58x. \]

Роклята струва \(\frac37\) от останалата сума и по условие е 75 лв.:

\[ \frac37\cdot\frac58x=75 \quad\Longrightarrow\quad \frac{15}{56}x=75. \]

Умножаваме по 56:

\[ 15x=4200\quad\Longrightarrow\quad x=280. \]

Следователно роботът струва

\[ \frac38\cdot280=105\text{ лв.} \]

Отговор: \(\boxed{105\text{ лв.}}\).

2Отношение \(7:2\)Собственик на ресторант закупил 15 маси и 54 стола, за които платил общо 12 780 лв. Намерете цената на една маса и на един стол, ако отношението „цена на маса : цена на стол“ е \(7:2\).▼

Решение

За да използваме едно неизвестно, нека цената на една „част“ от отношението \(7:2\) е \(x\) лв. Тогава една маса струва \(7x\) лв., а един стол — \(2x\) лв.

Общата цена е 12 780 лв.:

\[ 15\cdot7x+54\cdot2x=12780. \] \[ 105x+108x=12780 \quad\Longrightarrow\quad 213x=12780 \quad\Longrightarrow\quad x=60. \]

Следователно:

\[ 7x=420\text{ лв.},\qquad 2x=120\text{ лв.} \]

Отговор: маса — \(\boxed{420\text{ лв.}}\), стол — \(\boxed{120\text{ лв.}}\).

3Отношения между количестваВ опростен модел семената от кедрови шишарки съдържат мазнини, белтъчини и скорбяла. Количеството белтъчини е \(\frac{1}{3{,}4}\) от количеството мазнини, а скорбялата е \(\frac35\) от количеството белтъчини. Ако общото количество е 12 kg, колко kg е скорбялата?▼

Решение

Нека мазнините са \(x\) kg. Тъй като \(3{,}4=\frac{17}{5}\), белтъчините са

\[ \frac{x}{3{,}4}=\frac{5x}{17}. \]

Скорбялата е \(\frac35\) от белтъчините:

\[ \frac35\cdot\frac{5x}{17}=\frac{3x}{17}. \]

Сборът на трите количества е 12 kg:

\[ x+\frac{5x}{17}+\frac{3x}{17}=12. \] \[ \frac{25x}{17}=12 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{204}{25}=8{,}16. \]

Скорбялата е

\[ \frac{3x}{17}=\frac{3\cdot8{,}16}{17}=1{,}44\text{ kg}. \]

Отговор: \(\boxed{1{,}44\text{ kg}}\).

4Промяна на количестваВ първия склад имало 5 пъти повече книги, отколкото във втория. След като от първия продали 4000 книги, а във втория доставили 7000, книгите във втория станали точно половината от книгите в първия. По колко книги е имало първоначално във всеки склад?▼

Решение

Нека във втория склад първоначално има \(x\) книги. Тогава в първия има \(5x\) книги.

След промените броят е:

\[ \text{първи: }5x-4000,\qquad \text{втори: }x+7000. \]

Вторият склад има точно половината от книгите в първия, т.е.

\[ 5x-4000=2(x+7000). \] \[ 5x-4000=2x+14000 \quad\Longrightarrow\quad 3x=18000 \quad\Longrightarrow\quad x=6000. \]

Значи първоначално вторият склад е имал 6000 книги, а първият — \(5\cdot6000=30000\).

Отговор: \(\boxed{30000}\) и \(\boxed{6000}\) книги.

Задачи от движение — задачи 5–7

5Движение на два етапаВлак изминал 370 km за 5 h 30 min. Първите 4 часа се движил с постоянна скорост, а след това намалил с 10 km/h. Намерете началната скорост.▼

Решение

Общото време е \(5\text{ h }30\text{ min}=5{,}5\) h. След първите 4 h остават \(1{,}5\) h.

Участък	Скорост	Време	Път
Първи	\(x\) km/h	4 h	\(4x\)
Втори	\(x-10\) km/h	1,5 h	\(1{,}5(x-10)\)

Сборът на двата пътя е 370 km:

\[ 4x+1{,}5(x-10)=370. \] \[ 5{,}5x-15=370 \quad\Longrightarrow\quad 5{,}5x=385 \quad\Longrightarrow\quad x=70. \]

Отговор: \(\boxed{70\text{ km/h}}\).

6Движение с по-късен стартОт град A за град B тръгнал товарен влак. Час и половина след него тръгнал пътнически влак, движещ се с 6 km/h по-бързо. След 15 часа от тръгването си пътническият влак изпреварил товарния с 30 km. Намерете скоростта на товарния влак.▼

Решение

Нека скоростта на товарния влак е \(x\) km/h. Пътническият се движи с \(x+6\) km/h.

Когато пътническият е пътувал 15 h, товарният е пътувал \(15+1{,}5=16{,}5\) h.

Влак	Скорост	Време	Път
Товарен	\(x\)	16,5 h	\(16{,}5x\)
Пътнически	\(x+6\)	15 h	\(15(x+6)\)

Пътническият е изминал с 30 km повече:

\[ 15(x+6)=16{,}5x+30. \] \[ 15x+90=16{,}5x+30 \quad\Longrightarrow\quad 60=1{,}5x \quad\Longrightarrow\quad x=40. \]

Отговор: \(\boxed{40\text{ km/h}}\).

7Движение един срещу другРазстоянието между A и B е 270 km. Едновременно от двата края тръгват лека кола и автобус и се срещат след 1 h 30 min. Скоростта на колата е с 20 km/h по-висока от тази на автобуса. Намерете: а) скоростите; б) изминатите пътища до срещата.▼

Решение

Нека скоростта на автобуса е \(x\) km/h. Тогава скоростта на колата е \(x+20\) km/h. До срещата и двете превозни средства се движат \(1{,}5\) h.

Сборът на изминатите пътища е 270 km:

\[ 1{,}5x+1{,}5(x+20)=270. \] \[ 3x+30=270 \quad\Longrightarrow\quad x=80. \]

Следователно автобусът се движи с 80 km/h, а колата — със 100 km/h.

Пътищата до срещата са:

\[ 80\cdot1{,}5=120\text{ km},\qquad 100\cdot1{,}5=150\text{ km}. \]

Отговор: автобус — \(\boxed{80\text{ km/h}}\), кола — \(\boxed{100\text{ km/h}}\); пътища — 120 km и 150 km.

Задачи от работа — задачи 8–9

8Съвместна работаЕдин тракторист може да изоре нива за 6 часа, а друг — за 12 часа. За колко часа ще я изорат заедно?▼

Решение

Приемаме цялата работа за 1. Производителността на първия тракторист е \(\frac16\) нива за час, а на втория — \(\frac1{12}\) нива за час.

За \(x\) часа заедно те извършват:

\[ \frac{x}{6}+\frac{x}{12}=1. \] \[ \frac{3x}{12}=1 \quad\Longrightarrow\quad 3x=12 \quad\Longrightarrow\quad x=4. \]

Отговор: \(\boxed{4\text{ часа}}\).

9Работа на етапиБасейн се пълни от две тръби — първата за 12 часа, втората за 16 часа. Отначало 3 часа 36 минути работи само първата тръба, после и втората. За колко общо часа ще се напълни?▼

Решение

Първата тръба запълва \(\frac1{12}\) от басейна за 1 h, а втората — \(\frac1{16}\).

\(3\text{ h }36\text{ min}=3{,}6\) h. За това време първата тръба сама запълва:

\[ 3{,}6\cdot\frac1{12}=0{,}3 \]

от басейна. Остават \(0{,}7\).

Когато работят заедно, производителността им е

\[ \frac1{12}+\frac1{16}=\frac7{48}. \]

Нека заедно работят още \(x\) часа:

\[ \frac7{48}x=0{,}7 \quad\Longrightarrow\quad x=4{,}8\text{ h}. \]

Общото време е \(3{,}6+4{,}8=8{,}4\) h \(=8\) h 24 min.

Отговор: \(\boxed{8\text{ h }24\text{ min}}\).

Смеси и разтвори — задачи 10–11

10Смесване на разтвориКолко литра разтвор на спирт с концентрация 38% трябва да се добавят към 24 l разтвор с концентрация 68%, за да се получи разтвор с концентрация 54%?▼

Решение

Нека добавим \(x\) l от 38%-овия разтвор. Количеството чист спирт се запазва при смесването:

\[ 0{,}38x+0{,}68\cdot24=0{,}54(x+24). \] \[ 0{,}38x+16{,}32=0{,}54x+12{,}96. \] \[ 3{,}36=0{,}16x \quad\Longrightarrow\quad x=21. \]

Отговор: \(\boxed{21\text{ l}}\).

11Неизвестна концентрацияКъм 11 l разтвор на захар с концентрация 58% добавили 9 l разтвор с неизвестна концентрация. Получената смес е 40%. Намерете концентрацията на добавения разтвор.▼

Решение

Нека неизвестната концентрация е \(x\%\). В този учебен модел процентите се прилагат към количеството разтвор.

Разтвор	Количество	Концентрация	Количество захар
Първи	11 l	58%	\(11\cdot0{,}58\)
Втори	9 l	\(x\%\)	\(9\cdot\frac{x}{100}\)
Смес	20 l	40%	\(20\cdot0{,}40\)

Получаваме:

\[ 11\cdot0{,}58+9\cdot\frac{x}{100}=20\cdot0{,}40. \]

Умножаваме по 100:

\[ 638+9x=800 \quad\Longrightarrow\quad 9x=162 \quad\Longrightarrow\quad x=18. \]

Отговор: \(\boxed{18\%}\).

Проста лихва и капитал — задачи 12–13

12Проста лихваЖоро внесъл в банка 5000 лв. при проста годишна лихва 2% без капитализация. Колко лева ще има след две години?▼

Решение

По условие използваме проста лихва без капитализация. За една година лихвата е

\[ 5000\cdot\frac2{100}=100\text{ лв.} \]

За две години лихвата е \(2\cdot100=200\) лв. Следователно:

\[ 5000+200=5200\text{ лв.} \]

Отговор: \(\boxed{5200\text{ лв.}}\).

13Начален капиталКлиент внесъл депозит при проста годишна лихва 3% за 12-месечен период. В края на периода банката му изплатила 30 900 лв. Намерете депозираната сума.▼

Решение

За 12 месеца при проста годишна лихва 3% нарасналият капитал е

\[ K=K_0\left(1+\frac3{100}\right)=1{,}03K_0. \]

Нека първоначалният депозит е \(x\) лв.:

\[ 1{,}03x=30900. \] \[ x=\frac{30900}{1{,}03}=30000. \]

Отговор: \(\boxed{30000\text{ лв.}}\).

Допълнителни приложения — задачи 14–20

14Цени и разлика между две величиниЗа училищно представление 3 билета за възрастни и 2 ученически билета струват общо 50 лв. Билетът за възрастен е с 5 лв. по-скъп от ученическия. Намерете цените на двата вида билети.▼

Решение

Нека ученическият билет струва \(x\) лв. Тогава билетът за възрастен струва \(x+5\) лв.

\[ 3(x+5)+2x=50. \] \[ 3x+15+2x=50 \quad\Longrightarrow\quad 5x=35 \quad\Longrightarrow\quad x=7. \]

Следователно билетът за възрастен струва \(7+5=12\) лв.

Отговор: ученически — \(\boxed{7\text{ лв.}}\), за възрастен — \(\boxed{12\text{ лв.}}\).

15НастиганеВелосипедист тръгва от град A със скорост 12 km/h. След 45 min от същото място и в същата посока тръгва моторист със скорост 24 km/h. След колко време мотористът ще настигне велосипедиста и на какво разстояние от A?▼

Решение

За 45 min \(=\frac34\) h велосипедистът получава преднина

\[ 12\cdot\frac34=9\text{ km}. \]

Мотористът се приближава към него с относителна скорост

\[ 24-12=12\text{ km/h}. \]

Нека \(t\) е времето от тръгването на моториста до настигането:

\[ 12t=9 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac34\text{ h}=45\text{ min}. \]

Разстоянието от A е

\[ 24\cdot\frac34=18\text{ km}. \]

Отговор: след \(\boxed{45\text{ min}}\), на \(\boxed{18\text{ km}}\) от A.

16Работа на етапиПървата тръба може да напълни басейн за 8 h, а втората — за 12 h. Първата работи сама 2 h, след което се включва и втората. За колко общо време ще се напълни басейнът?▼

Решение

Първата тръба запълва за 2 h:

\[ 2\cdot\frac18=\frac14 \]

от басейна. Остават \(\frac34\).

Общата производителност на двете тръби е

\[ \frac18+\frac1{12}=\frac5{24}. \]

Нека работят заедно още \(x\) часа:

\[ \frac5{24}x=\frac34 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18}{5}=3{,}6\text{ h}. \]

Общото време е \(2+3{,}6=5{,}6\) h \(=5\) h 36 min.

Отговор: \(\boxed{5\text{ h }36\text{ min}}\).

17Смесване на два разтвораКъм 20 l разтвор с концентрация 30% се добавя разтвор с концентрация 60%. Колко литра трябва да се добавят, за да се получи разтвор с концентрация 40%?▼

Решение

Нека добавим \(x\) l от 60%-овия разтвор. Количеството разтворено вещество преди и след смесването дава уравнението:

\[ 0{,}30\cdot20+0{,}60x=0{,}40(20+x). \] \[ 6+0{,}60x=8+0{,}40x \quad\Longrightarrow\quad 0{,}20x=2 \quad\Longrightarrow\quad x=10. \]

Отговор: \(\boxed{10\text{ l}}\).

18Начален капитал при проста лихваПри проста годишна лихва 4% без капитализация след 3 години една сума нараснала до 5600 лв. Намерете първоначалната сума.▼

Решение

За 3 години общата проста лихва е \(3\cdot4\%=12\%\) от началния капитал.

Нека началният капитал е \(x\) лв. Тогава:

\[ x+0{,}12x=5600 \quad\Longrightarrow\quad 1{,}12x=5600. \] \[ x=5000. \]

Отговор: \(\boxed{5000\text{ лв.}}\).

19Цена преди намалениеСлед намаление с 15% една стока струва 102 лв. Каква е била цената ѝ преди намалението?▼

Решение

След намаление с 15% остават \(100\%-15\%=85\%\) от първоначалната цена.

Нека първоначалната цена е \(x\) лв.:

\[ 0{,}85x=102 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{102}{0{,}85}=120. \]

Отговор: \(\boxed{120\text{ лв.}}\).

20Движение с различен начален моментРазстоянието между A и B е 265 km. От B към A тръгва автобус със скорост 50 km/h. Половин час по-късно от A към B тръгва кола със скорост 70 km/h. Колко време след тръгването на колата ще се срещнат и на какво разстояние от A?▼

Решение

Нека колата се движи \(t\) часа до срещата. Автобусът се е движил \(t+0{,}5\) часа.

Сборът на изминатите пътища е 265 km:

\[ 70t+50(t+0{,}5)=265. \] \[ 70t+50t+25=265 \quad\Longrightarrow\quad 120t=240 \quad\Longrightarrow\quad t=2. \]

Колата е изминала

\[ 70\cdot2=140\text{ km}. \]

Отговор: след \(\boxed{2\text{ h}}\), на \(\boxed{140\text{ km}}\) от A.

Задачи с повишена трудност — №21–25

21Многоетапно движение с почивкаАвтомобил изминал първите \(\frac25\) от маршрут със скорост 60 km/h, почивал 20 min, а останалите \(\frac35\) от маршрута изминал със скорост 75 km/h. От началото на движението до края на маршрута са изминали 4 h 44 min. Намерете дължината на маршрута.Повишена трудност▼

Решение

Нека целият маршрут е \(S\) km. Почивката е \(20\text{ min}=\frac13\) h, а общото време е

\[ 4\text{ h }44\text{ min}=4+\frac{44}{60}=\frac{71}{15}\text{ h}. \]

Следователно чистото време за движение е

\[ \frac{71}{15}-\frac13=\frac{66}{15}=\frac{22}{5}\text{ h}. \]

Времето за първата част на маршрута е

\[ \frac{\frac25S}{60}=\frac{S}{150}, \]

а за втората:

\[ \frac{\frac35S}{75}=\frac{S}{125}. \]

Съставяме уравнението

\[ \frac{S}{150}+\frac{S}{125}=\frac{22}{5}. \]

НОК на 150 и 125 е 750:

\[ \frac{5S+6S}{750}=\frac{22}{5} \quad\Longrightarrow\quad \frac{11S}{750}=\frac{22}{5}. \] \[ 11S=3300 \quad\Longrightarrow\quad S=300. \]

Отговор: \(\boxed{300\text{ km}}\).

22Съвместна работа на три етапаПървият работник може да свърши работа сам за 10 h, а вторият — за 15 h. Първият работи сам 2 h, след това двамата работят заедно известно време, а накрая вторият работи сам още 1 h и работата приключва. Колко време са работили заедно?Повишена трудност▼

Решение

Приемаме цялата работа за 1. Производителностите са \(\frac1{10}\) и \(\frac1{15}\) работа за час.

Първият сам за 2 h извършва \(\frac2{10}=\frac15\), а вторият сам за 1 h — \(\frac1{15}\).

Нека заедно работят \(x\) часа. Тогава:

\[ \frac15+x\left(\frac1{10}+\frac1{15}\right)+\frac1{15}=1. \] \[ \frac15+\frac{x}{6}+\frac1{15}=1. \] \[ \frac4{15}+\frac{x}{6}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{6}=\frac{11}{15}. \] \[ x=\frac{22}{5}=4{,}4\text{ h}=4\text{ h }24\text{ min}. \]

Отговор: \(\boxed{4\text{ h }24\text{ min}}\).

23Разреждане чрез изваждане и добавянеОт 30 l 20%-ов солен разтвор се изливат \(x\) литра и на тяхно място се добавят \(x\) литра вода. След това концентрацията става 15%. Колко литра са били заменени?Повишена трудност▼

Решение

Първоначално количеството сол е

\[ 0{,}20\cdot30=6. \]

При изливането на \(x\) литра 20%-ов разтвор се отстраняват \(0{,}20x\) единици сол. След добавянето на вода общият обем отново е 30 l, а солта е \(6-0{,}20x\).

\[ 6-0{,}20x=0{,}15\cdot30=4{,}5. \] \[ 0{,}20x=1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x=7{,}5. \]

Отговор: \(\boxed{7{,}5\text{ l}}\).

24Билети, процентно намаление и приходЗа представление са продадени общо 240 билета. Ученическият билет струва 8 лв., а билетът за възрастен — 14 лв. От билетите за възрастни 20% са продадени с 25% намаление. Общият приход е 2450 лв. Колко ученически билета и колко билета за възрастни са продадени?Повишена трудност▼

Решение

Нека билетите за възрастни са \(x\). Тогава ученическите са \(240-x\).

От билетите за възрастни 80% са продадени по 14 лв., а 20% — с 25% намаление. Намалената цена е

\[ 14\cdot0{,}75=10{,}50\text{ лв.} \]

Приходът от всички билети за възрастни е

\[ 0{,}8x\cdot14+0{,}2x\cdot10{,}5 =11{,}2x+2{,}1x =13{,}3x. \]

Приходът от ученическите билети е \(8(240-x)\). Получаваме:

\[ 13{,}3x+8(240-x)=2450. \] \[ 13{,}3x+1920-8x=2450 \quad\Longrightarrow\quad 5{,}3x=530 \quad\Longrightarrow\quad x=100. \]

Следователно ученическите билети са \(240-100=140\). Проверка: 20% от 100 са 20 билета — цял брой, както трябва.

Отговор: \(\boxed{100}\) билета за възрастни и \(\boxed{140}\) ученически билета.

25Разпределение на капитал и банкова таксаСума от 15 000 лв. е разделена между два депозита с проста годишна лихва съответно 4% и 6%. За една година общата начислена лихва е намалена с банкова такса 90 лв., а нетният доход е 690 лв. Колко лева са вложени при всеки лихвен процент?Повишена трудност▼

Решение

Щом след такса 90 лв. нетният доход е 690 лв., начислената преди таксата лихва е

\[ 690+90=780\text{ лв.} \]

Нека при 4% са вложени \(x\) лв. Тогава при 6% са вложени \(15000-x\) лв.

\[ 0{,}04x+0{,}06(15000-x)=780. \] \[ 0{,}04x+900-0{,}06x=780 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}02x=-120 \quad\Longrightarrow\quad x=6000. \]

При 6% са вложени \(15000-6000=9000\) лв.

Отговор: \(\boxed{6000\text{ лв.}}\) при 4% и \(\boxed{9000\text{ лв.}}\) при 6%.

---

30 задачи за самостоятелна работа

Последните задачи са за надграждане. №26 и №30 са запазени като преход към вече изучени нелинейни модели и са обозначени изрично.

Запазени са всички полезни задачи от първоначалния комплект. Двусмислените условия са прецизирани, а последните пет задачи са отделени за надграждане.

Основна практика — задачи 1–25

Задача 1В смес от спирт и вода количеството спирт е една четвърт от количеството вода. Добавили още 20 l вода и се получил 12% разтвор на спирт. Колко литра вода е имало в началото?

Отговор и насока

Нека спирт = \(x\) l, тогава вода = \(4x\) l. След добавяне: \(\dfrac{x}{5x+20}=0{,}12\Rightarrow x=6\).
Вода в началото = \(4\cdot6=\mathbf{24}\) l.

Задача 2За направата на кекс са необходими брашно, мляко и захар в отношение \(5:1:3\). Ако общото тегло е 1 kg 500 g, по колко грама е необходимо от всяка съставка?

Отговор и насока

Сумата от частите е \(5+1+3=9\). Една част = \(\dfrac{1500}{9}=\dfrac{500}{3}\) g.
Брашно = \(\dfrac{2500}{3}\approx833{,}3\) g,  мляко = \(\dfrac{500}{3}\approx166{,}7\) g,  захар = \(500\) g.

Задача 3Двама велосипедисти тръгнали от A и B едновременно един срещу друг. Първият — 15 km/h, скоростта на втория е с 20% по-висока. При срещата единият е изминал 4 km повече. За колко време първият е изминал разстоянието от A до B?

Отговор и насока

\(v_2=15\cdot1{,}2=18\) km/h. При среща времето е еднакво \(t\).
\(18t-15t=4\Rightarrow t=\tfrac{4}{3}\) h. AB = \((15+18)\cdot\tfrac{4}{3}=44\) km.
Първият изминава AB за \(\dfrac{44}{15}\approx2\) h \(56\) min.

Задача 4Една бригада може да свърши работа за 10 дни, а друга — за \(13\tfrac{1}{2}\) дни. Приемете, че производителността е пропорционална на броя работници. В работата участвали \(\tfrac{1}{3}\) от първата бригада и 75% от втората. За колко часа е свършена работата при 8-часов работен ден?

Отговор и насока

Производителност за 1 ден: \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{13{,}5}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{4}{45}\).
Дни = \(\dfrac{45}{4}=11{,}25\). Часа = \(11{,}25\cdot8=\mathbf{90}\) часа.

Задача 5Ученик наел велосипед за 1 h 45 min. На отиване се движи с 10 km/h, на връщане — изминава всеки км за 2 min повече. На колко км може да се отдалечи?

Отговор и насока

На връщане: 1 km за \(\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{60}=\tfrac{8}{60}\) h → \(v_2=\tfrac{60}{8}=7{,}5\) km/h.
\(\dfrac{d}{10}+\dfrac{d}{7{,}5}=\dfrac{7}{4}\Rightarrow\dfrac{7d}{30}=\dfrac{7}{4}\Rightarrow d=\mathbf{7{,}5}\) km.

Задача 6Разполагаме с разтвори на сярна киселина с 50% и 75% концентрация. В какво отношение трябва да се смесят, за да се получи 60% разтвор?

Отговор и насока

\(50x+75y=60(x+y)\Rightarrow 15y=10x\Rightarrow x:y=\mathbf{3:2}\).

Задача 7В два склада има ориз. Количеството ориз във втория склад е една трета от количеството в първия. Ако от първия се пренесат 60 t във втория, количеството във втория ще бъде с 10 t по-малко от това в първия. По колко тона ориз е имало първоначално във всеки склад?

Отговор и насока

1-ви = \(x\), 2-ри = \(x/3\). След пренасяне: \(x/3+60=(x-60)-10\Rightarrow x=195\).
1-ви = \(\mathbf{195}\) t, 2-ри = \(\mathbf{65}\) t.

Задача 8Водородът във водата е 12,5% от количеството кислород. Колко kg водород и кислород се съдържат в 8,1 kg вода?

Отговор и насока

\(H=\frac18O\), а \(H+O=8{,}1\). Следователно \[ \frac18O+O=8{,}1 \quad\Longrightarrow\quad \frac98O=8{,}1 \quad\Longrightarrow\quad O=7{,}2. \] Тогава \(H=0{,}9\). Отговор: \(\boxed{0{,}9\text{ kg водород}}\) и \(\boxed{7{,}2\text{ kg кислород}}\).

Задача 9Мандарина струва 0,12 лв., банан — 0,60 лв. Тодор заплатил 32,40 лв. Броят на бананите е с 12% по-малък от броя на мандарините. Колко от всяко е закупил?

Отговор и насока

Нека мандарини = \(x\), банани = \(0{,}88x\).
\(0{,}12x+0{,}60\cdot0{,}88x=32{,}40\Rightarrow0{,}648x=32{,}40\Rightarrow x=50\).
Мандарини = \(\mathbf{50}\), банани = \(\mathbf{44}\).

Задача 10В тото „5 от 35" изтеглени пет числа. Първото е 1,5 пъти по-голямо от второто и \(23\tfrac{1}{13}\%\) от сбора на третото и четвъртото (отнасят се 7:6). Петото е с 10% по-малко от второто, сборът е 99. Кои числа са печеливши? (НОМ — областен кръг)

Отговор и насока

Числото \(23\tfrac{1}{13}\%= \frac{300}{13}\%=\frac3{13}\). Нека второто число е \(a\). Тогава първото е \(\frac32a\), а петото — \(\frac9{10}a\). Понеже първото е \(\frac3{13}\) от сбора на третото и четвъртото, \[ \frac32a=\frac3{13}(x_3+x_4) \quad\Longrightarrow\quad x_3+x_4=\frac{13}{2}a. \] От отношението \(x_3:x_4=7:6\) получаваме \[ x_3=\frac72a,\qquad x_4=3a. \] Сборът на петте числа е \[ \frac32a+a+\frac72a+3a+\frac9{10}a=99. \] Това е \(9{,}9a=99\), следователно \(a=10\). Получаваме числата \(15,10,35,30,9\). Отговор: \(\boxed{9,\ 10,\ 15,\ 30,\ 35}\).

Задача 11Майката на Борис купила 4 кг чушки, 5 кг домати и 3 кг патладжани за 14,10 лв. Бащата на Иван — 8 кг чушки и 10 кг домати за 24 лв. 1 кг чушки е с 0,80 лв. повече от 1 кг патладжани. Колко е 1 кг домати? (НОМ)

Отговор и насока

От 2-ро условие: \(4c+5d=12\). От \(c=p+0{,}80\) и 1-во: \(12+3p=14{,}10\Rightarrow p=0{,}70\).
\(c=1{,}50\), \(4\cdot1{,}50+5d=12\Rightarrow d=\mathbf{1{,}20}\) лв/kg.

Задача 12Клас от 28 ученика прави два купона. За Коледа момичетата дали по 10 лв., момчетата по 5 лв. За Ивановден — обратното. За Ивановден са събрани 30 лв. повече. Колко момчета и момичета има?

Отговор и насока

\(m+g=28\), \((5g+10m)-(10g+5m)=30\Rightarrow5m-5g=30\Rightarrow m-g=6\).
Момчета = \(\mathbf{17}\), момичета = \(\mathbf{11}\).

Задача 13В 8:00 от A за B тръгнала кола с 60 km/h. 40 min по-късно — автобус с 90 km/h. След изпреварването колата увеличила скоростта си с 25%. Когато автобусът пристигнал в B, колата била на 25 km от B. Намерете: а) разстоянието A–B; б) в кои моменти, докато и двете превозни средства са в движение и преди автобусът да пристигне в B, разстоянието между тях е 5 km. (НОМ)

Отговор и насока

Автобусът изпреварва колата: при старт на автобуса колата е на 40 km. \(40+60t=90t\Rightarrow t=\tfrac{4}{3}\) h → изпреварване в 10:00 на 120 km от A.
След 10:00: кола 75 km/h, автобус 90 km/h. Автобусът пристига B след \(s\) ч: \(5(AB-120)=6(AB-145)\Rightarrow \mathbf{AB=270}\) km.
а) AB = \(\mathbf{270}\) km.
б) Преди изпреварването (след 8:40): разликата намалява с 30 km/h от 40 km: \(40-30t=5\Rightarrow t=\tfrac{7}{6}\) h → \(\mathbf{9{:}50}\).
След изпреварването (след 10:00): относителна скорост 15 km/h → \(s=\tfrac{1}{3}\) h → \(\mathbf{10{:}20}\).
Колата е на 5 km от автобуса в \(\mathbf{9{:}50}\) и \(\mathbf{10{:}20}\).

Задача 14На конкурсен изпит 10% от учениците получили слаба оценка. Отличниците са \(\tfrac{1}{3}\) от слабите. Останалите са 520. а) Колко ученици се явили? б) В колко паралелки са разпределени приетите (отлични + много добри), ако паралелката е 26–30 ученика, а средни:добри:много добри = 6:4:3? (НОМ)

Отговор и насока

а) \(N(1-0{,}1-\tfrac{0{,}1}{3})=\tfrac{26N}{30}=520\Rightarrow N=\mathbf{600}\).
б) Много добри = \(\tfrac{3}{13}\cdot520=120\). Отличници = 20. Приети = \(120+20=140=5\cdot28\).
Паралелки: \(\mathbf{5}\) (по 28 ученика).

Задача 15Скоростта на течението е 3 km/h. В 8:45 от A за B по течението тръгнал сал. 20 min по-късно от B за A тръгнала лодка, чиято скорост спрямо брега по условие е 12 km/h. При срещата лодката е изминала 3 пъти повече от сала. а) Намерете разстоянието AB и часа на срещата. б) След като стигне до A, лодката почива 20 min и тръгва обратно към B със същата скорост 12 km/h спрямо брега. Кога и на какво разстояние от B настига сала?

Отговор и насока

Салът се движи с 3 km/h и тръгва в 8:45, а лодката — в 9:05. Нека до срещата салът измине \(d\) km. Лодката е изминала \(3d\) km. Времената са \[ t_{\text{сал}}=\frac d3,\qquad t_{\text{лодка}}=\frac{3d}{12}=\frac d4. \] Салът е тръгнал \(\frac13\) h по-рано: \[ \frac d3=\frac d4+\frac13 \quad\Longrightarrow\quad d=4. \] Следователно \(AB=4+12=16\) km, а срещата е в 10:05. След срещата лодката изминава оставащите 4 km до A за 20 min, пристига в 10:25, почива 20 min и тръгва в 10:45. В 10:45 салът е на 6 km от A. Относителната скорост при настигането е \(12-3=9\) km/h, затова \[ t=\frac69=\frac23\text{ h}=40\text{ min}. \] Настигането е в 11:25. За това време лодката изминава \(12\cdot\frac23=8\) km от A, следователно е на 8 km от B. Отговор: а) \(\boxed{AB=16\text{ km}}\), среща в \(\boxed{10{:}05}\); б) \(\boxed{11{:}25}\), на \(\boxed{8\text{ km}}\) от B.

Задача 16Един ден отидох до стадиона с велосипед. Другия ден половината от пътя изминах пеша (2× по-бавно от велосипеда), после взех такси (5× по-бързо от велосипеда). В кой от двата дни стигам по-бързо? (НОМ)

Отговор и насока

Нека разстоянието е \(d\), а скоростта на велосипеда — \(v\). Първия ден: \[ t_1=\frac dv. \] Втория ден пеша скоростта е \(\frac v2\), а с такси — \(5v\). Затова \[ t_2=\frac{d/2}{v/2}+\frac{d/2}{5v} =\frac dv+\frac{d}{10v} =\frac{11d}{10v}>t_1. \] Отговор: по-бързо се стига първия ден — с велосипед.

Задача 17Турист: изкачване 4 km/h, хоризонтален 5 km/h, спускане 6 km/h. Маршрут 9 km (изкачване + хоризонтален + спускане), отиване и връщане за 3 ч 41 min. Дължина на хоризонталния участък? (НОМ)

Отговор и насока

Отиване+връщане: \((a+c)\cdot\tfrac{5}{12}+\tfrac{2b}{5}=\tfrac{221}{60}\) и \(a+b+c=9\).
\((9-b)\cdot\tfrac{5}{12}+\tfrac{2b}{5}=\tfrac{221}{60}\Rightarrow\tfrac{225-b}{60}=\tfrac{221}{60}\Rightarrow b=\mathbf{4}\) km.

Задача 18Тестът съдържа 10 задачи. Таня решила 7 от тях. За всяка решена геометрична задача получава 3 т., за всяка решена алгебрична — 2 т., а трите нерешени задачи са алгебрични и за всяка се отнема по 1 т. Таня събрала 14 т. Колко от решените задачи са алгебрични?

Отговор и насока

Нека решените алгебрични задачи са \(x\). Тогава решените геометрични са \(7-x\), а нерешените са 3. По условие: \[ 2x+3(7-x)-3=14. \] \[ 2x+21-3x-3=14 \quad\Longrightarrow\quad 18-x=14 \quad\Longrightarrow\quad x=4. \] Отговор: \(\boxed{4}\) решени алгебрични задачи.

Задача 19Галерия продала две пластики (едната с 1000 лв. по-скъпа) и картина (5× по-скъпа от по-скъпата пластика). Комисионната е 10% = 2000 лв. Цените? (НОМ)

Отговор и насока

Пластика 2 = \(p\), пластика 1 = \(p+1000\), картина = \(5(p+1000)\).
\(0{,}1\cdot(7p+6000)=2000\Rightarrow p=\mathbf{2000}\) лв.
Пластика 1 = 3 000 лв, пластика 2 = 2 000 лв, картина = \(\mathbf{15\ 000}\) лв.

Задача 20Моторна лодка изминава 58 km: 2 ч в езеро + 20 min по течение (2,5 km/h). Скоростта на лодката в спокойни води? (НОМ)

Отговор и насока

\(2v+\tfrac{1}{3}(v+2{,}5)=58\Rightarrow\tfrac{7v}{3}=\tfrac{343}{6}\Rightarrow v=\mathbf{24{,}5}\) km/h.

Задача 21Яна чете книга от 200 стр. Първия ден — 20%, втория ден — 50% от останалото. а) Колко стр. втория ден? б) Какъв % за двата дни? (НОМ)

Отговор и насока

Ден 1: \(40\) стр., остатък \(160\). а) Ден 2: \(0{,}5\cdot160=\mathbf{80}\) стр.
б) \((40+80)/200=\mathbf{60\%}\).

Задача 22Трима приятели купуват по един чифт маратонки на цена 88 лв. Всеки има ваучер за 60 лв., който се приспада изцяло от цената на неговия чифт. Колко лева трябва да доплатят общо?

Отговор и насока

За един чифт се доплащат \[ 88-60=28\text{ лв.} \] За три чифта: \[ 3\cdot28=84\text{ лв.} \] Отговор: \(\boxed{84\text{ лв.}}\).

Задача 23Мандарина струва 0,12 лв., а банан — 0,60 лв. Тодор е заплатил общо 32,40 лв. Възможно ли е броят на бананите да е с 40% по-голям от броя на мандарините, ако броят на плодовете трябва да е естествено число?

Отговор и насока

Нека мандарините са \(x\), а бананите — \(1{,}4x\). Тогава: \[ 0{,}12x+0{,}60\cdot1{,}4x=32{,}40. \] \[ 0{,}96x=32{,}40 \quad\Longrightarrow\quad x=33{,}75. \] Броят на мандарините не е естествено число, следователно такава покупка е невъзможна. Отговор: \(\boxed{\text{не}}\).

Задача 24Шофьор се движил с постоянна скорост. За първите 30 min изминал половината от маршрута и още 2 km. Продължил със същата скорост и след още 25 min пристигнал. Колко километра е маршрутът?

Отговор и насока

Скорост: \(v=\tfrac{S/2+2}{0{,}5}=S+4\). Остатък \(S/2-2\) за \(25/60\) h: \(S/2-2=(S+4)\cdot\tfrac{5}{12}\).
\(6S-24=5S+20\Rightarrow S=\mathbf{44}\) km.

Задача 25При проста годишна лихва 5% без капитализация след 2 години една сума нараснала до 6600 лв. Намерете първоначалната сума.

Отговор и насока

За 2 години простата лихва е \(10\%\) от началния капитал. Нека той е \(x\) лв.: \[ 1{,}10x=6600 \quad\Longrightarrow\quad x=6000. \] Отговор: \(\boxed{6000\text{ лв.}}\).

За надграждане — задачи 26–30

Задача 26 За надгражданеНадграждаща задача извън основния линейен модел: произведението на две последователни естествени числа е с 19 по-малко от квадрата на техния сбор. Кои са числата?

Отговор и насока

Нека по-малкото естествено число е \(n\), тогава другото е \(n+1\). По условие: \[ n(n+1)=(2n+1)^2-19. \] \[ n^2+n=4n^2+4n-18 \quad\Longrightarrow\quad 3n^2+3n-18=0. \] Делим на 3: \[ n^2+n-6=0=(n-2)(n+3). \] Получаваме \(n=2\) или \(n=-3\). Понеже \(n\) е естествено число, \(n=2\). Отговор: \(\boxed{2\text{ и }3}\).

Задача 27 За надгражданеПоръчка се изпълнява за 8 дни с 3 еднакви машини. Първите 3 дни работят само 2 машини. Колко еднакви машини трябва да работят през останалите 3 дни, за да бъде поръчката готова общо за 6 дни?

Отговор и насока

Цялата поръчка изисква \[ 3\cdot8=24 \] машино-дни. За първите 3 дни са извършени \[ 2\cdot3=6 \] машино-дни. Остават \(24-6=18\) машино-дни за 3 дни, затова са нужни \[ \frac{18}{3}=6 \] машини. Отговор: \(\boxed{6}\) машини.

Задача 28 За надгражданеЛека кола се движи с 60 km/h. След \(\tfrac{3}{5}\) от пътя остава да измине още 11 km и 30% от целия път. Разстоянието и времето?

Отговор и насока

Нека целият път е \(S\) km. След изминаване на \(\frac35S\) остават \(\frac25S\). По условие този остатък е 11 km плюс 30% от целия път: \[ \frac25S=11+0{,}3S. \] \[ 0{,}4S-0{,}3S=11 \quad\Longrightarrow\quad S=110\text{ km}. \] Времето при 60 km/h е \[ \frac{110}{60}=\frac{11}{6}\text{ h}=1\text{ h }50\text{ min}. \] Отговор: \(\boxed{110\text{ km}}\) и \(\boxed{1\text{ h }50\text{ min}}\).

Задача 29 За надгражданеИма два съда с вместимост по 20 l. В първия има 10 l 4%-ов разтвор, а във втория — 15 l 8%-ов разтвор. а) Колко литра трябва да се прелеят от втория в първия, за да стане концентрацията в първия 5%? б) След това първият съд се допълва с вода до 20 l. После от първия се прелива във втория толкова, че и вторият да стане 20 l. Каква е крайната концентрация във втория съд?

Отговор и насока

а) Нека прелеем \(x\) l от 8%-овия разтвор: \[ 0{,}04\cdot10+0{,}08x=0{,}05(10+x). \] \[ 0{,}4+0{,}08x=0{,}5+0{,}05x \quad\Longrightarrow\quad 0{,}03x=0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{3}=3\tfrac13\text{ l}. \] След преливането първият съд съдържа \(\frac{40}{3}\) l 5%-ов разтвор, т.е. \(\frac23\) l разтворено вещество. Допълваме с вода до 20 l, затова концентрацията става \[ \frac{2/3}{20}=\frac1{30}=3\tfrac13\%. \] Във втория съд остават \(\frac{35}{3}\) l 8%-ов разтвор. За да стане 20 l, добавяме от първия \(\frac{25}{3}\) l от \(3\tfrac13\%\)-овия разтвор. Количеството разтворено вещество във втория става \[ 0{,}08\cdot\frac{35}{3}+\frac1{30}\cdot\frac{25}{3} =\frac{14}{15}+\frac5{18} =\frac{109}{90}. \] Крайната концентрация е \[ \frac{109/90}{20}=\frac{109}{1800}\approx0{,}0606. \] Отговор: а) \(\boxed{3\tfrac13\text{ l}}\); б) \(\boxed{\approx6{,}06\%}\).

Задача 30 За надгражданеНадграждаща задача извън основния линейен модел: два трактора заедно орат нива за време, което е с 18 ч по-малко от времето на първия и с 32 ч по-малко от времето на втория. За колко часа оре сам всеки трактор?

Отговор и насока

Нека времето за съвместна работа е \(t>0\) h. Тогава първият трактор сам работи за \(t+18\) h, а вторият — за \(t+32\) h. Общата производителност дава: \[ \frac1{t+18}+\frac1{t+32}=\frac1t. \] След умножение по \(t(t+18)(t+32)\): \[ t(t+32)+t(t+18)=(t+18)(t+32). \] \[ 2t^2+50t=t^2+50t+576 \quad\Longrightarrow\quad t^2=576. \] Понеже \(t>0\), \(t=24\). Следователно: \[ t_1=24+18=42,\qquad t_2=24+32=56. \] Отговор: \(\boxed{42\text{ h}}\) и \(\boxed{56\text{ h}}\).

🛍️

Партньорска препоръка

Открий нещо интересно в Ozone.bg

Книги, техника, игри, подаръци, учебни материали и още много предложения за цялото семейство.

Разгледай Ozone.bg →

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки. Това е учебна самооценка, а не стандартизирано оценяване.

Скала за учебна самооценка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; под 15 т. → 2.

Тест: моделиране с линейни уравнения

Отговорете на всички въпроси и натиснете „Край на теста“.

1Цената на кухненския робот от задача 1 е:

90 лв.105 лв.120 лв.140 лв.

2Цената на маса и стол от задача 2 е:

350 лв. и 100 лв.420 лв. и 120 лв.490 лв. и 140 лв.280 лв. и 80 лв.

3Количеството скорбяла в 12 kg кедрови семена е:

1,20 kg1,44 kg1,68 kg2,00 kg

4Първоначалният брой книги в първия склад (задача 4) е:

20 00025 00030 00035 000

5Началната скорост на влака (задача 5) е:

60 km/h65 km/h70 km/h75 km/h

6Скоростта на товарния влак (задача 6) е:

35 km/h40 km/h45 km/h50 km/h

7Скоростта на автобуса (задача 7) е:

70 km/h75 km/h80 km/h90 km/h

8Двамата трактористи ще изорат нивата заедно за:

3 часа4 часа5 часа6 часа

9Общото време за пълнене на басейна (задача 9) е:

7 ч 12 мин8 ч8 ч 24 мин9 ч

10Количеството 38% спирт, което трябва да се добави (задача 10) е:

18 l21 l24 l28 l

11Концентрацията на добавения разтвор (задача 11) е:

12%15%18%22%

12Сумата на Жоро след 2 години при проста лихва 2% без капитализация е:

5100 лв.5200 лв.5204 лв.5400 лв.

13Депозираната сума (задача 13) е:

28 000 лв.29 000 лв.30 000 лв.31 000 лв.

14Ако влак измине 150 km за 2 часа, скоростта му е:

60 km/h75 km/h80 km/h90 km/h

15Каква част от нивата ще изорат двамата трактористи за 2 часа?

\(\frac{1}{3}\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{2}{3}\)\(\frac{3}{4}\)

---

Видео уроци

Моделиране с линейни уравнения

Задачи от движение

Задачи от работа

Задачи от капитал и финанси

Допълнителни задачи

---

Свързани уроци и материали

Този урок свързва алгебрата от 7. клас с няколко ключови теми от 5.–6. клас. Ако конкретен тип задача затруднява ученика, най-полезно е да се върне към съответния подготвителен урок.

11Линейни уравнения — 7. класОсновните еквивалентни преобразувания и решаването на линейното уравнение, получено след моделирането.Преглед на урока → 12Произведение, равно на нула — 7. класПолезно при надграждащи текстови задачи, които след моделиране водят до разложен многочлен.Преглед на урока → 13Моделиране с уравнение \(ax+b=0\) — 6. класНай-прекият подготвителен урок: избор на неизвестно, изразяване на величини и съставяне на уравнение.Преглед на урока → 15Права и обратна пропорционалност — 6. класПолезно при задачи от движение, работа, скорост, време и производителност.Преглед на урока → 16Приложение на пропорциите — 6. класМащаб, смеси, сплави, проценти и разпределяне в отношение — пряка подготовка за задачите със смеси.Преглед на урока → 42Процент. Основни задачи. Проста лихва — 5. класПроценти, увеличение и намаление с процент, главница, лихва и крайна сума.Преглед на урока →

Преговор от 5.–6. клас

За задачите с отношения и смеси използвайте „Отношения и пропорции“ и „Приложение на пропорциите“. За движение и работа — „Права и обратна пропорционалност“. За финансовите задачи — „Процент. Основни задачи. Проста лихва“.

Използвана литература

Запазена е литературата от първоначалната публикация. Новите задачи и подробните им решения са самостоятелно съставени за настоящия урок.

1. 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆