Общи задачи от разлагане на многочлени на множители – 7. клас
Общи задачи от разлагане на многочлени
приложения и интересни задачи
Теория: приложения на разлагането на многочлени
След като вече познаваме основните методи за разлагане на многочлени на множители, следващата стъпка е да ги използваме в по-общи задачи. Разлагането ни помага да намираме нули на многочлени, да решаваме уравнения, да доказваме делимост и знакопостоянство, да опростяваме алгебрични дроби и да пресмятаме числени стойности по рационален начин.
Преди да започнете: полезно е да сте уверени в комбинираното разлагане на многочлени. При уравнения, в които получаваме произведение, равно на нула, използвайте и урока за уравнения от вида \((ax+b)(cx+d)=0\).
Как използваме разлагането в приложения
След като получим произведение, вече не гледаме само формата на многочлена, а използваме информацията, която дават отделните множители. Именно това превръща разлагането от техническо преобразуване в метод за решаване на задачи.
При задачи с параметър търсим стойности, при които се появява желан множител, коефициент или специална структура. Винаги проверяваме получения резултат чрез заместване или обратно умножение.
Работна стратегия
- Оглеждаме израза за общ множител, формула за съкратено умножение или подходящо групиране.
- Разлагаме последователно и след всяка стъпка проверяваме дали получените множители могат да се разложат още.
- Ако задачата е уравнение, използваме свойството за произведение, равно на нула.
- Ако има дроб, първо записваме ОДЗ и чак след това съкращаваме.
- При делимост или знак тълкуваме полученото произведение според условието.
Чести грешки
Най-често се пропуска още една възможна стъпка на разлагане, съкращават се събираеми вместо множители, забравя се ОДЗ или при изнасяне на отрицателен множител се променят неправилно знаците в скобите.
Припомнете основните методи за разлагане
Общ множител · Формули за съкратено умножение · Групиране · Комбинирано прилагане на методите.
25 решени и обяснени задачи
Задачи №1–20 показват основните приложения на разлагането. Задачи №21–25 са с повишена трудност. Отворете условието, за да видите решението стъпка по стъпка.
Основни приложения — задачи 1–13
1Нормален вид + комбинирано разлагане + числена стойностДаден е многочленът \(A=(x^2-4)^2-(x-2)^2\).
а) Приведете \(A\) в нормален вид.
б) Разложете \(A\) на множители.
в) Намерете стойността на \(A\) при \(x=\left(\tfrac12\right)^{-1}\).
а) Разкриваме двата квадрата:
\[(x^2-4)^2=x^4-8x^2+16,\qquad (x-2)^2=x^2-4x+4.\]Следователно
\[A=x^4-8x^2+16-x^2+4x-4=\boxed{x^4-9x^2+4x+12}.\]б) По-удобно е да се върнем към първоначалния вид и да използваме разлика на квадрати. Нека \(U=x^2-4\), \(V=x-2\). Тогава
\[A=U^2-V^2=(U-V)(U+V).\]Получаваме
\[U-V=x^2-4-x+2=x^2-x-2=(x-2)(x+1),\] \[U+V=x^2-4+x-2=x^2+x-6=(x+3)(x-2).\]Затова
\[\boxed{A=(x-2)^2(x+1)(x+3)}.\]в) \(\left(\tfrac12\right)^{-1}=2\). При \(x=2\) множителят \((x-2)^2\) е нула, следователно \(\boxed{A=0}\).
2Групиране + числена стойностРазложете на множители многочлена \(x^4+2x^3+2x^2+x\) и намерете числената му стойност при \(x=2\).
Първо изнасяме общия множител \(x\):
\[x^4+2x^3+2x^2+x=x(x^3+2x^2+2x+1).\]В скобите групираме:
\[x^3+2x^2+2x+1=(x^3+x^2+x)+(x^2+x+1).\]От първата група изнасяме \(x\):
\[x(x^2+x+1)+(x^2+x+1)=(x+1)(x^2+x+1).\]Следователно
\[\boxed{x^4+2x^3+2x^2+x=x(x+1)(x^2+x+1)}.\]При \(x=2\):
\[2\cdot3\cdot(4+2+1)=6\cdot7=\boxed{42}.\]3Няколко многочлена + разликаДадени са многочлените \(A=ax-3a\), \(B=ax-x+a-1\) и \(C=ax^2-2ax-3a\).
а) Разложете \(A\), \(B\) и \(C\) на множители.
б) Намерете нормалния вид на \(A-C\), разложете го на множители и намерете стойността му при \(a=2\) и \(x=1\).
а) За \(A\) изнасяме \(a\):
\[A=a(x-3).\]За \(B\) групираме:
\[B=x(a-1)+(a-1)=\boxed{(a-1)(x+1)}.\]За \(C\) първо разбиваме средния член:
\[C=ax^2+ax-3ax-3a=ax(x+1)-3a(x+1)=\boxed{a(x+1)(x-3)}.\]б)
\[A-C=ax-3a-(ax^2-2ax-3a)=-ax^2+3ax.\]Изнасяме \(ax\):
\[A-C=\boxed{ax(3-x)}.\]При \(a=2\), \(x=1\):
\[2\cdot1\cdot(3-1)=\boxed{4}.\]4Разлагане и знак на многочленДокажете, че за \(x>2\) изразът \(M=x^3-x^2-x-2\) приема положителни стойности.
Преобразуваме така, че да се появи разлика на кубове:
\[M=(x^3-1)-(x^2+x+1).\]Понеже \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), получаваме
\[M=(x^2+x+1)(x-1)-(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x-2).\]За всяко реално \(x\):
\[x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0.\]При \(x>2\) имаме и \(x-2>0\). Произведението на два положителни множителя е положително, следователно \(\boxed{M>0}\). \(\blacksquare\)
5Разлика на квадрати + нулиПредставете израза \((5x+1)^2-(2x-3)^2\) като произведение на два множителя от първа степен и определете за кои стойности на \(x\) той е равен на 0.
Прилагаме \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) с \(A=5x+1\), \(B=2x-3\):
\[(5x+1)^2-(2x-3)^2=(3x+4)(7x-2).\]За да е произведението нула, поне един множител трябва да е нула:
\[3x+4=0\Rightarrow x=-\frac43,\qquad 7x-2=0\Rightarrow x=\frac27.\]Следователно
\[\boxed{x=-\frac43\quad\text{или}\quad x=\frac27}.\]6Доказване на тъждествоДокажете тъждеството \((x+y)^2-(x-y)^2=4xy\).
Използваме разлика на квадрати:
\[(x+y)^2-(x-y)^2=[(x+y)-(x-y)][(x+y)+(x-y)].\]Опростяваме двата множителя:
\[(x+y-x+y)(x+y+x-y)=2y\cdot2x=4xy.\]Получихме лявата страна равна на дясната, следователно тъждеството е доказано. \(\blacksquare\)
7Параметър + разлаганеДаден е изразът \(x^2-2kx+k+2\).
а) Намерете \(k\), ако стойността на израза при \(x=1\) е 0.
б) Заместете \(k\) с намереното число и разложете получения израз на множители.
а) Заместваме \(x=1\):
\[1-2k+k+2=0\Rightarrow 3-k=0\Rightarrow \boxed{k=3}.\]б) Получаваме
\[x^2-6x+5=x^2-5x-x+5.\]Групираме:
\[x(x-5)-1(x-5)=\boxed{(x-1)(x-5)}.\]8Алгебрична дроб + ОДЗОпростете \(R=\dfrac{x^4-81}{x^2-9}\), като посочите допустимите стойности. Намерете \(R\) при \(x=4\).
Първо намираме ОДЗ:
\[x^2-9\ne0\Rightarrow (x-3)(x+3)\ne0\Rightarrow x\ne3,\;-3.\]Разлагаме числителя като разлика на квадрати:
\[x^4-81=(x^2-9)(x^2+9).\]За допустимите \(x\) съкращаваме:
\[R=\boxed{x^2+9}.\]При \(x=4\): \(R=16+9=\boxed{25}\).
9Уравнение чрез разлаганеРешете в множеството на реалните числа уравнението \(x^4-5x^2+4=0\).
Разбиваме средния член и групираме:
\[x^4-5x^2+4=x^4-x^2-4x^2+4=(x^2-1)(x^2-4).\]Разлагаме двете разлики на квадрати:
\[(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=0.\]Произведение е нула, когато поне един множител е нула. Следователно
\[\boxed{x\in\{-2,-1,1,2\}}.\]10Рационално пресмятане чрез разлика на кубовеПресметнете без директно повдигане на трета степен \[\frac{47{,}13^3-22{,}13^3}{47{,}13^2+47{,}13\cdot22{,}13+22{,}13^2}.\]
Нека \(a=47{,}13\), \(b=22{,}13\). По формулата
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).\]Дробта става
\[\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=a-b.\]Тук знаменателят е положителен, следователно съкращаването е допустимо. Получаваме
\[47{,}13-22{,}13=\boxed{25}.\]11Тъждество с кубовеДокажете тъждеството \((a+b)^3+(a-b)^3=2a(a^2+3b^2)\).
Разкриваме двата куба:
\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\]Събираме. Членовете \(3a^2b\) и \(-3a^2b\), както и \(b^3\) и \(-b^3\), се унищожават:
\[2a^3+6ab^2=2a(a^2+3b^2).\]Тъждеството е доказано. \(\blacksquare\)
12Симетрични изразиАко \(x+y=5\) и \(xy=6\), намерете \(x^2+y^2\) и \(x^3+y^3\), без да намирате поотделно \(x\) и \(y\).
От квадрата на сбора:
\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]Следователно
\[x^2+y^2=25-12=\boxed{13}.\]Използваме формулата
\[x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).\]Заместваме:
\[125-3\cdot6\cdot5=125-90=\boxed{35}.\]13Преобразуване и положителностДокажете, че \(x^4-2x^2+5>0\) за всяко реално \(x\).
Първите три подходящи члена образуват точен квадрат:
\[x^4-2x^2+5=(x^2-1)^2+4.\]За всяко реално \(x\) е \((x^2-1)^2\ge0\). Затова
\[(x^2-1)^2+4\ge4>0.\]Следователно изразът е положителен за всяко реално \(x\). \(\blacksquare\)
Тъждества, делимост и уравнения — задачи 14–20
14Делимост чрез последователни числаДокажете, че за всяко естествено число \(n\) числото \(n^3-n\) се дели на 6.
Разлагаме:
\[n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1).\]Това е произведение на три последователни цели числа \(n-1,n,n+1\). Сред три последователни числа едно е кратно на 3, а поне едно е четно. Следователно произведението е кратно едновременно на 2 и на 3, тоест на 6:
\[\boxed{6\mid(n^3-n)}.\]15Параметър и нула на многочленНамерете естественото число \(m\), за което \(x=2\) е нула на многочлена \(P(x)=x^2-(m+3)x+3m\). След това разложете \(P(x)\) на множители.
Условието \(x=2\) да е нула означава \(P(2)=0\):
\[4-2(m+3)+3m=0.\]Опростяваме:
\[4-2m-6+3m=0\Rightarrow m-2=0\Rightarrow \boxed{m=2}.\]Тогава
\[P(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]Следователно \(\boxed{P(x)=(x-2)(x-3)}\).
16Алгебрична дроб + уравнениеОпростете \(\dfrac{x^3-4x^2-x+4}{x^2-1}\), посочете ОДЗ и решете уравнението \[\frac{x^3-4x^2-x+4}{x^2-1}=3.\]
ОДЗ:
\[x^2-1=(x-1)(x+1)\ne0\Rightarrow x\ne1,-1.\]Групираме числителя:
\[x^3-4x^2-x+4=x^2(x-4)-1(x-4)=(x-4)(x^2-1).\]За допустимите \(x\) дробта се свежда до \(x-4\). Уравнението става
\[x-4=3\Rightarrow \boxed{x=7}.\]Числото 7 принадлежи на ОДЗ.
17Скрита квадратна структураРазложете напълно на множители \(x^4-x^2-12\).
Разглеждаме израза като квадратен тричлен спрямо \(x^2\). Полагаме \(t=x^2\):
\[t^2-t-12=(t-4)(t+3).\]Връщаме \(t=x^2\):
\[(x^2-4)(x^2+3).\]Разлагаме разликата на квадрати:
\[\boxed{x^4-x^2-12=(x-2)(x+2)(x^2+3)}.\]18Делимост на многочленДокажете, че за всяко естествено число \(n\) числото \(n^4-n^2\) се дели на 12.
Разлагаме:
\[n^4-n^2=n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).\]Сред три последователни числа \(n-1,n,n+1\) едно е кратно на 3.
Остава да покажем делимост на 4. Ако \(n\) е четно, тогава \(n^2\) е кратно на 4. Ако \(n\) е нечетно, тогава \(n-1\) и \(n+1\) са две последователни четни числа и едното от тях е кратно на 4.
Следователно произведението е кратно на 3 и на 4, а значи и на 12:
\[\boxed{12\mid(n^4-n^2)}.\]19Нули на многочлен чрез групиранеНамерете всички нули на многочлена \(Q(x)=x^3+2x^2-9x-18\).
Групираме:
\[Q(x)=x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x^2-9).\]Прилагаме разлика на квадрати:
\[Q(x)=(x+2)(x-3)(x+3).\]Следователно нулите са
\[\boxed{x=-3,-2,3}.\]20Приложение към съставни числаДокажете, че за всяко естествено число \(n\) (тук \(n\ge1\)) числото \(n^2+5n+6\) е съставно.
Разлагаме тричлена:
\[n^2+5n+6=(n+2)(n+3).\]Понеже \(n\ge1\), имаме \(n+2\ge3\) и \(n+3\ge4\). И двата множителя са естествени числа, по-големи от 1.
Следователно \(n^2+5n+6\) има нетривиално разлагане на два естествени множителя и е съставно. \(\blacksquare\)
Задачи с повишена трудност — 21–25
21Параметър и двоен множителДаден е многочленът \(P_m(x)=x^3+(m+2)x^2+(2m-3)x-3m\), където \(m\) е естествено число. За коя стойност на \(m\) многочленът има множител \((x+3)^2\)? Разложете го тогава напълно.Повишена трудност
Разделяме членовете на част без параметъра и част с множител \(m\):
\[P_m(x)=x^3+2x^2-3x+m(x^2+2x-3).\]От първите три члена изнасяме \(x\):
\[x(x^2+2x-3)+m(x^2+2x-3).\]Вече имаме общ двучлен, затова
\[P_m(x)=(x+m)(x^2+2x-3).\]Понеже
\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1),\]получаваме
\[P_m(x)=(x+3)(x-1)(x+m).\]Вече има един множител \((x+3)\). За да има втори, трябва \(x+m\) да се нулира при \(x=-3\):
\[-3+m=0\Rightarrow \boxed{m=3}.\]Тогава
\[\boxed{P_3(x)=(x+3)^2(x-1)}.\]22Скрита замяна и четири линейни множителяРазложете напълно \(x^4-2x^3-7x^2+8x+12\).Повишена трудност
Забелязваме повтарящата се комбинация \(x^2-x\):
\[x^4-2x^3-7x^2+8x+12=(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12.\]Полагаме \(u=x^2-x\). Тогава
\[u^2-8u+12=(u-2)(u-6).\]Връщаме замяната:
\[(x^2-x-2)(x^2-x-6).\]Разлагаме двата тричлена:
\[x^2-x-2=(x-2)(x+1),\qquad x^2-x-6=(x-3)(x+2).\]Следователно
\[\boxed{(x-3)(x-2)(x+1)(x+2)}.\]23Разлагане и делимост на 120Докажете, че за всяко естествено число \(n\) числото \(n^5-5n^3+4n\) се дели на 120.Повишена трудност
Изнасяме \(n\):
\[n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4).\]Разлагаме израза в скобите:
\[n^4-5n^2+4=(n^2-1)(n^2-4).\]След две разлики на квадрати:
\[n^5-5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).\]Това са пет последователни цели числа. Сред тях има число, кратно на 5, и число, кратно на 3. За делимостта на 8: сред пет последователни числа има поне две четни, като едното от тях е кратно на 4. Така в произведението има множител \(4\cdot2=8\). Следователно произведението е кратно на
\[5\cdot3\cdot8=120.\]Значи \(\boxed{120\mid(n^5-5n^3+4n)}\). \(\blacksquare\)
24Рационално уравнение след разлагане на числителя и знаменателя на множителиРешете уравнението \[\frac{x^4-5x^2+4}{x^3+x^2-4x-4}=5.\]Повишена трудност
Първо намираме ОДЗ. Знаменателят е
\[x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x^2-4)=(x+1)(x-2)(x+2).\]Следователно
\[x\ne-1,\;2,\;-2.\]Числителят се разлага:
\[x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).\]За допустимите \(x\) дробта се съкращава до \(x-1\). Получаваме
\[x-1=5\Rightarrow \boxed{x=6}.\]Числото 6 принадлежи на ОДЗ.
25Степенни симетрични изразиНека \(a\ne0\) и \(a+\dfrac1a=3\). Намерете \(a^5+\dfrac1{a^5}\), без да намирате \(a\).Повишена трудност
Първо намираме втория симетричен израз:
\[\left(a+\frac1a\right)^2=a^2+2+\frac1{a^2}.\]Следователно
\[a^2+\frac1{a^2}=9-2=7.\]От куба на сбора:
\[\left(a+\frac1a\right)^3=a^3+\frac1{a^3}+3\left(a+\frac1a\right),\]защото \(a\cdot\frac1a=1\). Значи
\[a^3+\frac1{a^3}=27-9=18.\]Умножаваме двата намерени израза:
\[\left(a^2+\frac1{a^2}\right)\left(a^3+\frac1{a^3}\right)=a^5+\frac1{a^5}+a+\frac1a.\]Затова
\[7\cdot18=a^5+\frac1{a^5}+3,\] \[\boxed{a^5+\frac1{a^5}=123}.\]30 задачи за самостоятелна работа
Задачи №1–15 са запазени и коригирани от първоначалния урок. Задачи №16–30 допълват практиката с уравнения, делимост, алгебрични дроби и параметри. Решете самостоятелно, преди да отворите отговора.
Запазени задачи — 1–15
Отговор и насока
Отговор и насока
\((-\tfrac14)^0=1\), \((\tfrac15)^{-1}=5\), затова \(a=|(-4)/2|=2\). При \(a=2\): \(32\cdot1\cdot7=\boxed{224}\).
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
а) Приведете \(A\) в нормален вид;
б) За коя стойност на \(a\) коефициентът пред \(x\) е 1?
в) Разложете \(A\) на множители.
Отговор и насока
б) \(9-3a^2=1\Rightarrow a^2=\tfrac83\Rightarrow \boxed{a=\pm\tfrac{2\sqrt6}{3}}\).
в) \(\boxed{A=-(x-a)(x-a-3)(x-a+3)}\).
Отговор и насока
\(a^3+a^{-3}=5^3-3\cdot5=\boxed{110}\).
а) Докажете, че \(A+6-B^2+2C\) не зависи от \(x,y\);
б) Разложете \(M=A+2C+B\);
в) Докажете, че за естествени \(x,y\), \(M\) е четно.
Отговор и насока
б) \(M=(x+y)^2+(x+y)=\boxed{(x+y)(x+y+1)}\).
в) Това е произведение на две последователни естествени числа, следователно е четно.
а) Разложете \(B=A^2-1\);
б) Намерете \(a\), за които \(B=0\).
Отговор и насока
\(\boxed{a\in\{0,-1,-2,-3\}}\).
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
А) \((a+2b)(a+2b-1)\) Б) \((a+2b)(a+2b+1)\) В) \((-a-2b)(a+2b+1)\) Г) \((-a-2b)(a+2b-1)\)
(НВО по математика 7. клас, 2020 г.)
Отговор и насока
Отговор и насока
а) Разложете \(M\); б) решете \(M=0\); в) докажете, че за цяло \(x\), \(M\) се дели на 10.
Отговор и насока
б) \(\boxed{x=2\text{ или }x=3}\).
в) \((x-2)(x-3)\) е произведение на две последователни цели числа и е четно; умножено по 5, дава число, кратно на 10.
Допълнителна практика — 16–25
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Приложения и надграждане — 26–30
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Отговор и насока
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
При задачите с алгебрични дроби първо определете ОДЗ. При уравненията след разлагане използвайте свойството за произведение, равно на нула.
Скала за самопроверка: 50–60 т. → 6; 40–49 т. → 5; 30–39 т. → 4; 15–29 т. → 3; 0–14 т. → 2. Това е учебна самооценка, не стандартизиран изпит.
Видео уроци
Допълнителни тестове
Използвана литература
Запазен е основният библиографски източник от оригиналната публикация. Допълнителните задачи и решения в настоящата редакция са съставени за този урок и не са дословен препис.
- 1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
- 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
- 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
- 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
- 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
- 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
- 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
- 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
- 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
- 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
- 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
- 12.Сп. Математика; Сп. Математика+
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар