Общи задачи от разлагане на многочлен на множител 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Разлагане на многочлени

Разлагане на многочлени
Приложения и интересни задачи

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 7 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Приложения на разлагането на многочлени — интересни задачи за 7 клас

В този урок ще разгледаме някои интересни задачи, свързани с разлагането на многочлени на множители, както и техните приложения — за намиране на стойности, доказване на неравенства и намиране на нули на многочлени.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Даден е многочленът \(A=(x^2-4)^2-(x-2)^2\).
а) Приведете \(A\) в нормален вид.
б) Разложете \(A\) на множители.
в) Намерете стойността на \(A\) при \(x=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}\).

▼

Решение а) За дадения многочлен прилагаме формулата \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), следователно: \[A=x^4-8x^2+16-(x^2-4x+4)=x^4-8x^2+16-x^2+4x-4=x^4-9x^2+4x+12.\]
б) За разлагането на многочлена \(x^4-9x^2+4x+12\) групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме общите множители: \[x^4-9x^2+4x+12=x^2(x^2-9)+4(x+3).\] Прилагаме формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) и изнасяме общия множител \((x+3)\): \[x^2(x-3)(x+3)+4(x+3)=(x+3)\bigl[x^2(x-3)+4\bigr]=(x+3)(x^3-3x^2+4).\] Записваме полученото \((x+3)(x^3+x^2-4x^2+4)\). Групираме: \[(x+3)\bigl[x^2(x+1)-4(x^2-1)\bigr]=(x+3)\bigl[x^2(x+1)-4(x+1)(x-1)\bigr].\] Изкарваме общ множител \((x+1)\): \[(x+3)(x+1)\bigl[x^2-4(x-1)\bigr]=(x+3)(x+1)(x^2-4x+4)=(x+3)(x+1)(x-2)^2.\]
в) Тъй като \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2\), за стойността на \(A\) при \(x=2\) получаваме: \[(2+3)(2+1)(2-2)^2=5\cdot3\cdot0=0.\]

2

Разложете на множители многочлена \(x^4+2x^3+2x^2+x\) и намерете числената му стойност при \(x=2\).

▼

Решение Дадения многочлен записваме във вида \(x^4+x+2x^3+2x^2\). Групираме първите две и последните две събираеми и изнасяме общите множители, следователно: \[x^4+x+2x^3+2x^2=x(x^3+1)+2x^2(x+1)=x(x+1)(x^2-x+1)+2x^2(x+1).\] Изнасяме пред скоби общия множител \((x+1)\) и получаваме: \[(x+1)\bigl[x(x^2-x+1)+2x^2\bigr]=(x+1)(x^3-x^2+x+2x^2)=(x+1)(x^3+x^2+x)=x(x+1)(x^2+x+1).\] Заместваме с \(x=2\): \[2\cdot(2+1)\cdot(2^2+2+1)=2\cdot3\cdot7=42.\]

3

Дадени са многочлените \(A=ax-3a\), \(B=ax-x+a-1\) и \(C=ax^2-2ax-3a\).
а) Разложете \(A\), \(B\) и \(C\) на множители.
б) Намерете нормалния вид на \(A-C\), разложете го на множители и намерете стойността му при \(a=2\) и \(x=1\).

▼

Решение а) В многочлена \(A\) изнасяме общия множител \(a\) и получаваме: \[A=a(x-3).\] За многочлена \(B\) групираме първите две и последните две събираеми и разлагаме: \[B=x(a-1)+(a-1)=(a-1)(x+1).\] Многочленът \(C\) записваме във вида \(C=ax^2+ax-3ax-3a\). Групираме и изнасяме пред скоби общите множители: \[C=ax(x+1)-3a(x+1)=(x+1)(ax-3a)=a(x+1)(x-3).\]
б) Формираме многочлена: \[A-C=ax-3a-(ax^2-2ax-3a)=ax-3a-ax^2+2ax+3a=-ax^2+3ax.\] Разлагаме: \(-ax^2+3ax=ax(3-x)\). Пресмятаме стойността при \(a=2\) и \(x=1\): \[2\cdot1\cdot(3-1)=2\cdot2=4.\]

4

Докажете, че за стойности на \(x\), по-големи от 2, изразът \(M=x^3-x^2-x-2\) приема положителни стойности.

▼

Решение Дадения многочлен записваме по следния начин \(M=x^3-1-(x^2+x+1)\). Прилагаме формулата \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), следователно: \[(x-1)(x^2+x+1)-(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x-1-1)=(x^2+x+1)(x-2).\] От тук лесно се вижда, че за стойности по-големи от 2 множителят \((x-2)>0\), а множителят \((x^2+x+1)>0\) за всяко реално \(x\). Следователно многочленът \(M\) приема само положителни стойности при \(x>2\). ■

5

Представете израза \((5x+1)^2-(2x-3)^2\) като произведение на два множителя от първа степен и определете за кои стойности на \(x\) той е равен на 0.

▼

Решение Прилагаме формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), където \(a=5x+1\) и \(b=2x-3\): \[(5x+1)^2-(2x-3)^2=\bigl[5x+1-(2x-3)\bigr](5x+1+2x-3)=(5x+1-2x+3)(7x-2)=(3x+4)(7x-2).\] Представихме дадения израз като произведение от два множителя от първа степен.

Произведението \((3x+4)(7x-2)\) ще бъде равно на 0, ако някой от множителите е равен на нула. Решаваме уравненията: \[3x+4=0 \Rightarrow x=-\frac{4}{3}, \qquad 7x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{7}.\] Следователно изразът е равен на 0, когато \(x=-\dfrac{4}{3}\) или \(x=\dfrac{2}{7}\).

6

Докажете тъждеството \((x+y)^2-(x-y)^2=4xy\).

▼

Решение Ще докажем, че лявата страна на равенството е равна на дясната страна. Прилагаме формулата за разлика на квадрати: \[\text{ЛС}=\bigl[x+y-(x-y)\bigr](x+y+x-y)=(x+y-x+y)(2x)=2y\cdot2x=4xy.\] Получихме, че ЛС = ДС, следователно равенството е тъждество. ■

7

Даден е изразът \(x^2-2kx+k+2\).
а) Намерете \(k\), ако стойността на израза при \(x=1\) е 0.
б) Заместете \(k\) с намереното число и разложете получения израз на множители.

▼

Решение а) Тъй като дадения израз по условие е равен на 0, можем да запишем равенството \(x^2-2kx+k+2=0\). Заместваме \(x=1\): \[1^2-2k\cdot1+k+2=0 \iff 1-2k+k+2=0 \iff -k=-3 \iff k=3.\]
б) Заместваме \(k=3\) и получаваме: \(x^2-6x+5\). Записваме израза: \[x^2-5x-x+5.\] Групираме и изнасяме общите множители: \[x(x-5)-1(x-5)=(x-1)(x-5).\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Разложете на прости множители многочлена \(A=x^2+x-x(x^2-1)\).

▼ Отговор

\(A=x^2+x-x^3+x=2x+2x^2-x^3=x(2+2x-x^2)=-x(x^2-2x-2)\)
или: \(-x(x-2)(x+1)\)

Задача 2 Разложете на прости множители двучлена \(P=a^8-a^5\) и намерете стойността му за \(a=\left|\dfrac{(-\frac{1}{4})^0-(\frac{1}{5})^{-1}}{2}\right|\).

▼ Отговор

\(P=a^5(a^3-1)=a^5(a-1)(a^2+a+1)\)
Намираме \(a\): \(\left|\dfrac{1-5}{2}\right|=\left|\dfrac{-4}{2}\right|=2\).
При \(a=2\): \(P=32\cdot1\cdot7=\mathbf{224}\).

Задача 3 Пресметнете стойността на израза \(\dfrac{x^3-x^2+x-1}{1-x^2}\) при \(x=-0{,}25\).

▼ Отговор

Числител: \(x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)\)
Знаменател: \(-(x-1)(x+1)\)
Съкращаваме: \(-\dfrac{x^2+1}{x+1}\)
При \(x=-\tfrac{1}{4}\): \(-\dfrac{\frac{1}{16}+1}{\frac{3}{4}}=-\dfrac{\frac{17}{16}}{\frac{3}{4}}=\mathbf{-\dfrac{17}{12}}\approx-1{,}42\).

Задача 4 Разложете на множители многочлена \(x^3-3x^2y-xz^2+3xy^2-y^3+yz^2\).

▼ Отговор

Групираме: \((x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)-z^2(x-y)=(x-y)^3-z^2(x-y)\)
\(=(x-y)\bigl[(x-y)^2-z^2\bigr]=(x-y)(x-y-z)(x-y+z)\)

Задача 5 Намерете стойността на израза \(x^2+y^2-2xy-2x+2y+4\) при \(x-y=-6\).

▼ Отговор

\((x-y)^2-2(x-y)+4\). При \(x-y=-6\): \(36+12+4=\mathbf{52}\).

Задача 6 Даден е многочленът \(A=9x-9a-x^3-3xa^2+a^3+3x^2a\).
а) Приведете \(A\) в нормален вид;
б) За коя стойност на \(a\) коефициентът пред \(x\) е равен на 1?
в) Разложете \(A\) на прости множители.

▼ Отговор

а) \(A=-x^3+3ax^2+(9-3a^2)x+a^3-9a\)
б) Коефициентът пред \(x\) е \(9-3a^2\). От \(9-3a^2=1\Rightarrow a^2=\dfrac{8}{3}\Rightarrow a=\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)
в) \(A=-(x-a)(x-a-3)(x-a+3)\)

Задача 7 Пресметнете \(a^2+\dfrac{1}{a^2}\) и \(a^3+\dfrac{1}{a^3}\), ако \(a+\dfrac{1}{a}=5\).

▼ Отговор

\(a^2+\dfrac{1}{a^2}=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2-2=25-2=\mathbf{23}\)
\(a^3+\dfrac{1}{a^3}=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^3-3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)=125-15=\mathbf{110}\)

Задача 8 Дадени са изразите \(A=x^2+y^2\), \(B=x+y\) и \(C=xy\).
а) Докажете, че стойността на \(A+6-B^2+2C\) не зависи от \(x\) и \(y\);
б) Разложете на прости множители \(M=A+2C+B\);
в) Докажете, че ако \(x\) и \(y\) са естествени числа, стойността на \(M\) е четно число.

▼ Отговор

а) \(A+6-B^2+2C=x^2+y^2+6-(x+y)^2+2xy=6\) — константа. \(\blacksquare\)
б) \(M=x^2+2xy+y^2+x+y=(x+y)^2+(x+y)=(x+y)(x+y+1)\)
в) \(M=(x+y)(x+y+1)\) е произведение на две последователни естествени числа, следователно едното е четно и \(M\) е четно. \(\blacksquare\)

Задача 9 Даден е изразът \(A=a^2+3a+1\).
а) Разложете на прости множители \(B=A^2-1\);
б) Намерете стойностите на \(a\), при които \(B=0\).

▼ Отговор

а) \(B=(A-1)(A+1)=(a^2+3a)(a^2+3a+2)=a(a+3)(a+1)(a+2)\)
б) \(B=0\Rightarrow a\in\{0,-1,-2,-3\}\)

Задача 10 Ако \(x+y=3\) и \(xy=-2\), намерете \(x^3+y^3\).

▼ Отговор

\(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=27-3(-2)(3)=27+18=\mathbf{45}\)

Задача 11 Намерете стойността на израза \(\dfrac{47{,}13^2+47{,}13\cdot22{,}13+22{,}13^2}{47{,}13^3-22{,}13^3}\).

▼ Отговор

Нека \(a=47{,}13\), \(b=22{,}13\). Числителят е \(a^2+ab+b^2\), знаменателят \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). След съкращаване: \[\frac{1}{a-b}=\frac{1}{25}=\mathbf{0{,}04}\]

Задача 12 Пресметнете стойността на израза \(\dfrac{81-x^2-(x+9)^2}{x+9}\) за \(x=-5{,}75\).

▼ Отговор

Числител: \(81-x^2-(x+9)^2=-2x^2-18x=-2x(x+9)\).
Изразът: \(\dfrac{-2x(x+9)}{x+9}=-2x\).
При \(x=-5{,}75\): \(-2\cdot(-5{,}75)=\mathbf{11{,}5}\).

Задача 13 Изразът \((-a-2b)^2-a-2b\) е тъждествено равен на:
А) \((a+2b)(a+2b-1)\)   Б) \((a+2b)(a+2b+1)\)   В) \((-a-2b)(a+2b+1)\)   Г) \((-a-2b)(a+2b-1)\)
(НВО по математика 7 клас 2020 г.)

▼ Отговор

\((a+2b)^2-(a+2b)=(a+2b)(a+2b-1)\). Верният отговор е А).

Задача 14 Представете израза \(G=(x^2-x+1)^2-10(x^2-x+1)+21\) като произведение от четири множителя. Пресметнете стойността му при \(x=\dfrac{3^{-1}\cdot2^{-1}-3^0\cdot2^{-1}}{6^{-1}}\).

▼ Отговор

Полагаме \(t=x^2-x+1\): \(G=t^2-10t+21=(t-3)(t-7)\).
\(t-3=x^2-x-2=(x-2)(x+1)\) и \(t-7=x^2-x-6=(x-3)(x+2)\).
Следователно: \(G=(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)\).

Намираме \(x\): \(\dfrac{\frac{1}{6}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}}=\dfrac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=-2\).
При \(x=-2\): \((-4)(-1)(-5)(0)=\mathbf{0}\).

Задача 15 Даден е многочленът \(M=5x^2-25x+30\).
а) Разложете \(M\) на множители;
б) Решете уравнението \(M=0\);
в) Докажете, че ако \(x\) е цяло число, то \(M\) се дели на 10.

▼ Отговор

а) \(M=5(x^2-5x+6)=5(x-2)(x-3)\)
б) \(M=0\Rightarrow x=2\) или \(x=3\)
в) \(M=5(x-2)(x-3)\). Тъй като \(x\) е цяло, \((x-2)\) и \((x-3)\) са последователни цели числа и едното е четно, следователно \((x-2)(x-3)\) е четно. Тогава \(M=5\cdot\text{четно}\) се дели на 10. \(\blacksquare\)

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Приложения на разлагането на многочлени

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Нормалният вид на \((x^2-4)^2-(x-2)^2\) е:

\(x^4-9x^2+4x+12\) \(x^4-9x^2-4x+12\) \(x^4-9x^2+4x-12\) \(x^4+9x^2+4x+12\)

2Разлагането на \(x^4-9x^2+4x+12\) на множители е:

\((x+3)(x-1)(x-2)^2\) \((x+3)(x+1)(x+2)^2\) \((x+3)(x+1)(x-2)^2\) \((x-3)(x+1)(x-2)^2\)

3Стойността на \(A=(x^2-4)^2-(x-2)^2\) при \(x=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}\) е:

\(12\) \(5\) \(0\) \(-5\)

4Стойността на \(x^4+2x^3+2x^2+x\) при \(x=2\) е:

\(36\) \(42\) \(48\) \(54\)

5Разлагането на \(x^4+2x^3+2x^2+x\) на множители е:

\(x(x-1)(x^2+x+1)\) \(x(x+1)(x^2-x+1)\) \(x(x+1)(x^2+x+1)\) \(x(x+1)^2(x+1)\)

6Разлагането на \((5x+1)^2-(2x-3)^2\) на множители е:

\((3x-4)(7x+2)\) \((3x+4)(7x+2)\) \((3x+4)(7x-2)\) \((3x-4)(7x-2)\)

7Изразът \((5x+1)^2-(2x-3)^2\) е равен на 0 при:

\(x=\dfrac{4}{3}\) или \(x=-\dfrac{2}{7}\) \(x=-\dfrac{4}{3}\) или \(x=\dfrac{2}{7}\) \(x=\dfrac{4}{3}\) или \(x=\dfrac{2}{7}\) \(x=-4\) или \(x=2\)

8Нормалният вид на \(A-C\), където \(A=ax-3a\) и \(C=ax^2-2ax-3a\), е:

\(ax(3+x)\) \(-ax^2+3ax\) \(ax^2+3ax\) \(ax^2-3ax\)

9Стойността на \(A-C\) при \(a=2\) и \(x=1\) е:

\(2\) \(3\) \(4\) \(5\)

10Разлагането на \(M=x^3-x^2-x-2\) на множители е:

\((x^2-x+1)(x-2)\) \((x^2+x-1)(x+2)\) \((x^2+x+1)(x-2)\) \((x^2+x+1)(x+2)\)

11Ако стойността на \(x^2-2kx+k+2\) при \(x=1\) е 0, то \(k\) е равно на:

\(k=1\) \(k=2\) \(k=3\) \(k=4\)

12Разлагането на \(x^2-6x+5\) на множители е:

\((x+1)(x+5)\) \((x-1)(x+5)\) \((x+1)(x-5)\) \((x-1)(x-5)\)

13Изразът \((-a-2b)^2-a-2b\) е тъждествено равен на: (НВО 2020)

\((a+2b)(a+2b-1)\) \((a+2b)(a+2b+1)\) \((-a-2b)(a+2b+1)\) \((-a-2b)(a+2b-1)\)

14Разлагането на \(5x^2-25x+30\) на множители е:

\(5(x+2)(x+3)\) \(5(x-2)(x+3)\) \(5(x-2)(x-3)\) \(5(x+2)(x-3)\)

15Ако \(x+y=3\) и \(xy=-2\), то \(x^3+y^3\) е равно на:

\(27\) \(33\) \(39\) \(45\)

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Приложения на разлагането

Видео урок 2 — Интересни задачи

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆