Хуго Щайнхауз — между духа и материята посредничи математиката
Хуго Щайнхауз —
между духа и материята посредничи математиката
Доктор по математика при Хилберт, последовател на идеите на Лебег и един от създателите на Лвовската математическа школа — работата на Хуго Щайнхауз трудно се побира в една математическа област. През 1916 г. случайно чува в краковския парк Планти думите „лебегов интеграл“ и така се запознава със Стефан Банах, когото по-късно нарича най-голямото си математическо откритие. Самият Щайнхауз има важни резултати във функционалния анализ, теорията на мярката и вероятностите, поставя задачи за справедливо разпределение и пише „Математически калейдоскоп“. По време на германската окупация живее под чуждо име, а след войната участва активно в изграждането на математическия център във Вроцлав.
Хуго Щайнхауз (1887–1972)
Хуго Дионизи Щайнхауз умира на 25 февруари 1972 г. във Вроцлав на 85 години. Второто си име почти не използва. Две години по-късно неговият ученик Марк Кац публикува обширен спомен за него и подчертава ролята му в полската математика между двете световни войни и в изграждането на научния живот след 1945 г.
Самият Щайнхауз обичал да казва, че най-голямото му математическо откритие е Стефан Банах. Собствената му работа обаче обхваща функционален анализ, теория на мярката и вероятностите, ортогонални редове, теория на игрите и приложна математика.
Момчето от Ясло
Хуго Щайнхауз се ражда на 14 януари 1887 г. в Ясло — галицийско градче по средата на пътя между Краков и Лвов, тогава в Австро-Унгария. Семейството е еврейско и заможно: баща му Богуслав е индустриалец и търговец, а чичо му Игнаци — адвокат и депутат в Галицийския сейм. Хуго завършва класическата гимназия в Ясло през 1905 г. Семейството предпочита Хуго да стане инженер, но той се увлича по чистата математика и сам чете трудовете на съвременни математици. Още същата година записва философия и математика в Лвовския университет, а само година по-късно заминава за Гьотинген.
Гьотинген и докторатът при Хилберт
В началото на XX век Гьотинген е един от водещите математически центрове в Европа. С изключение на една година в Лвов и един семестър в Мюнхен, Щайнхауз получава цялото си математическо образование там. Слуша Хилберт и Клайн и попада в среда, в която работят още Каратеодори, Курант, Ландау, Рунге и Цермело.
Като второ направление Щайнхауз избира приложната математика и изучава механика, графична статика, числени методи и геодезия. Под ръководството на физика Емил Вихерт извършва геодезични измервания с теодолит по улиците на града. През 1911 г. защитава с отличие докторска дисертация „Нови приложения на принципа на Дирихле“, написана под ръководството на Хилберт.
Гьотингенските години личат по-късно и в преподаването му. Той е първият — а между двете войни и единственият — преподавател в Полша, който чете редовно лекции по числени и графични методи: интерес, породен от лекциите на Рунге. По примера на Клайн от време на време предлага на студентите си едносеместриални курсове, в които разглежда въпроси от елементарната математика, предимно от геометрията, с методите и идеите на висшата математика.
Решаващото влияние: Лебег
Решаващото влияние върху научната работа на Щайнхауз идва от идеите на Анри Лебег. През 1912 г. той чете „Лекции по теория на тригонометричните редове“ и започва системно да използва теорията на мярката и лебеговия интеграл. Още през 1918 г. Щайнхауз използва този апарат в работа за линейните функционали върху \(L^1[0,1]\). Той доказва, че всеки непрекъснат линеен функционал \(\varphi\) върху това пространство може да се представи във вида
\[\varphi(f) = \int_0^1 f(x)\,g(x)\,dx.\]Тук \(g \in L^\infty[0,1]\). Резултатът продължава ранните изследвания на Фреше и Рис върху представянето на линейни функционали. Академична длъжност обаче дълго време няма: годините 1911–1914 прекарва като „частен учен“ — изразът е негов — между Ясло и Краков, а в началото на Първата световна война служи за кратко в Полския легион.
От работата на Щайнхауз с лебеговата мярка идва и резултат, който днес носи неговото име. Ако измеримо множество \(A \subset \mathbb{R}\) има положителна лебегова мярка, то разликовото множество
\[A - A = \{\,x - y : x, y \in A\,\}\]съдържа интервал около нулата. Самото множество \(A\) може да бъде силно разпокъсано, но положителната му мярка гарантира, че разликите \(x - y\) запълват цяла околност на нулата. Резултатът е известен като теорема на Щайнхауз.
През 1920 г. Щайнхауз е избран за извънреден професор в Лвов и веднага започва да чете лекции по теорията на Лебег — един от първите такива курсове извън Франция. През следващите години работи върху тригонометрични и ортогонални редове. Конструира примери, които показват колко необичайно може да бъде поведението на тригонометричните редове: ред с коефициенти, клонящи към нула, който е разходящ във всяка точка, и ред, сходящ навсякъде, без да е сходящ равномерно в нито един интервал. Марк Кац нарича тези изследвания „анатомия и патология на тригонометричните редове“. По-късно интересът на Щайнхауз се насочва към общите ортогонални редове; плод на тези изследвания е монографията „Теория на ортогоналните редове“, написана със Стефан Качмарж и издадена през 1935 г.
Разходката в парка
Още при първата им среща Щайнхауз споменава задача за сходимостта в средно на редовете на Фурие, върху която работи. Няколко дни по-късно Банах се появява с решение. Съвместната им бележка върху този резултат, отпечатана през 1918 г., е първата публикация на Банах. През 1919 г. Щайнхауз, Банах и Никодим са сред основателите на Краковското математическо дружество, което скоро се превръща в Полското математическо дружество. След установяването си в Лвов Щайнхауз съдейства Банах да получи асистентско място в Лвовската политехника. През 1920 г. Банах представя докторската си дисертация; Щайнхауз е негов научен наставник и един от рецензентите на работата. През 1923 г. самият Щайнхауз става редовен професор в Лвовския университет. През 1938 г. Лвовският университет удостоява Анри Лебег с почетна докторска степен. След церемонията Щайнхауз се шегува пред Марк Кац, че Банах е бил първият, а Лебег — последният му докторант.
Лвовската школа и Шотландската тетрадка
През 20-те и 30-те години около Щайнхауз и Банах в Лвов се оформя една от най-забележителните математически школи на XX век — Лвовската школа, в която функционалният анализ добива голяма част от съвременния си облик. Щайнхауз и Банах написват само две общи статии. Първата е ранната бележка върху редовете на Фурие; втората — „Върху принципа за сгъстяване на особеностите“ от 1927 г. — става класическа: резултатът, известен днес като теорема на Банах–Щайнхауз или принцип за равномерната ограниченост, е един от основните резултати, изучавани в курсовете по функционален анализ. Сътрудничеството между двамата е много по-тясно, отколкото може да се съди по общите им работи: много от ранните идеи на Банах са доразвити в семинара на Щайнхауз. През 1929 г. Банах и Щайнхауз основават Studia Mathematica — специализирано списание за функционален анализ и близки области, което бързо придобива международен авторитет. От 1931 г. Щайнхауз е сред редакторите на новата поредица „Математически монографии“.
От лвовския период идва и задачата, известна днес като „теоремата за сандвича“. Щайнхауз поставя въпроса дали три тела в пространството могат едновременно да бъдат разполовени по обем с една равнина. Най-популярният пример е сандвич от хляб, масло и шунка. Първото доказателство на тримерния случай се приписва на Стефан Банах и използва теоремата на Борсук–Улам. Кац си спомня как Щайнхауз, чул за пръв път формулировката на Борсук–Улам, незабавно я превежда на всекидневен език: „Това значи, че във всеки момент има поне една двойка диаметрално противоположни точки от повърхността на Земята, в които температурата и атмосферното налягане са едни и същи.“
В равнината две измерими области с крайна площ могат едновременно да бъдат разделени с една права на части с равни площи. В тримерното пространство три тела могат едновременно да бъдат разделени с една равнина на части с равни обеми.
Вероятностите преди Колмогоров
През 1923 г. Щайнхауз публикува във Fundamenta Mathematicae работата Les probabilités dénombrables et leur rapport à la théorie de la mesure. В нея разглежда безкрайни редици от нули и единици — математически модел на последователни хвърляния на монета — и въвежда върху това пространство вероятностна мярка. Трудът е сред ранните мярково-теоретични изследвания в теорията на вероятностите и предхожда аксиоматиката на Колмогоров от 1933 г. По-късно Норберт Винер посочва влиянието на идеи на Щайнхауз върху собствената си работа по случайните процеси.
Игри, стратегии и как се дели торта
Интересът на Щайнхауз към игрите има дълга история. Още през 1925 г. той публикува кратка работа за игрите и преследването, в която обсъжда понятието стратегия. Това е няколко години преди работата на фон Нойман върху минимаксната теорема от 1928 г. През 1962 г., заедно с Ян Мичелски, Щайнхауз предлага аксиомата за детерминираност. Тя твърди, че в определен клас безкрайни игри с двама играчи единият разполага с печеливша стратегия. Аксиомата е несъвместима с пълната аксиома за избора и има важно място в дескриптивната теория на множествата.
По време на войната Щайнхауз се занимава и със задачата за справедливо разпределение на делим ресурс между няколко души. Ако участниците са \(n\), целта е всеки да получи дял, който според собствената му оценка струва поне \(1/n\) от целия ресурс. Трудността идва от това, че различните участници могат да оценяват едни и същи части по различен начин. За произволен брой участници Банах и Бронислав Кнастер предлагат следната процедура. Първият отделя дял, който оценява като \(1/n\) от целия ресурс. Всеки следващ може да го намали, ако според собствената му оценка той е по-голям от \(1/n\). Последният, който е намалил дела, го получава, а процедурата продължава с останалите участници и останалата част от ресурса. Щайнхауз публикува задачата и процедурата в Econometrica през 1948 г. Днес задачите за справедливо разпределение се изучават в математиката, икономиката и информатиката.
Гжегож Крохмални, слънчев часовникар
През юли 1941 г. германските войски влизат в Лвов. Окупацията на практика прекъсва работата на Лвовската математическа школа в предвоенния ѝ вид. Заради еврейския си произход Щайнхауз е принуден да се укрива. Отначало сменя квартири в града, а по-късно заедно със съпругата си заминава на село. Под чуждото име Гжегож Крохмални живее първо в Осичина край Лвов, а след това в Бердехов край Строже. Прехранва се с частни уроци и участва в тайното обучение, а за учениците си построява слънчев часовник с надпис „Гжегож Крохмални, слънчев часовникар“. И в укритието Щайнхауз продължава да работи. Води научни бележки и започва да пише спомените си. През 1944 г. научава, че родното Ясло е разрушено до основи — губи семейния дом и всичко в него.
Пред Кац Щайнхауз казва, че най-щастливи в живота му са били двадесет и четирите часа между момента, в който германските войски напускат селото, и пристигането на съветските: „Едните си бяха отишли, а другите още не бяха дошли.“
Вроцлав: вторият живот
Още в укритието до Щайнхауз стига слух, че Лвовският университет ще бъде „преместен“ във Вроцлав — града, който Полша получава след войната, докато Лвов остава в Украинската ССР. Той отклонява предложения от Лодз и Люблин и през ноември 1945 г. се установява във Вроцлав, където участва активно в изграждането на математическия живот. Той е първият декан на общия Факултет по математика, физика и химия на университета и политехниката. Възстановява Studia Mathematica, участва в основаването на Colloquium Mathematicum, а през 1953 г. създава списанието „Приложения на математиката“.
След войната Щайнхауз работи по множество приложни задачи. Сътрудничи с лекари, инженери, геолози и специалисти по търсене на нефт. Вроцлавската медицинска академия му присъжда почетна докторска степен за приноса му в прилагането на математиката при изследване на биологични и медицински проблеми. От тази работа произлизат и конкретни методи и инструменти. Заедно с колегите си от Вроцлав той участва в разработването на т.нар. Вроцлавска таксономия — метод за групиране на обекти по сходство, основан на минимално покриващо дърво. В исторически план подходът е близък до по-късните методи за йерархично клъстериране от типа single linkage. Изобретява и дългомера — прозрачна пластинка със система от линии, която се поставя върху карта. Дължината на дадена крива се оценява чрез броя на пресичанията ѝ с линиите. Щайнхауз не обича рязкото разделение между „чиста“ и „приложна“ математика. За него един и същ начин на мислене може да доведе както до теорема за линейни функционали, така и до метод за обработване на медицински, геоложки или инженерни данни. Той предпочита ясните и точно формулирани задачи и няма търпение към дълги обсъждания, в които не вижда конкретния математически въпрос. Автор е на около 170 научни труда и книги. През 60-те години е гост-професор в Университета „Нотр Дам“ в САЩ и в Университета на Съсекс в Англия.
„Математически калейдоскоп“
Математическият стил на Щайнхауз се вижда особено ясно в „Математически калейдоскоп“. Книгата е написана през 1937 г. и излиза за първи път през 1938 г. Предназначена е както за любознателни ученици, така и за читатели с математическа подготовка и по-късно е преведена на много езици. Вместо да започва от общи теории, Щайнхауз използва рисунки, геометрични конструкции, числа и нагледни задачи. Често една елементарна ситуация води до съвсем нетривиален математически въпрос.
Щайнхауз предпочита конкретните примери и е предпазлив към обобщенията, когато не вижда какъв нов въпрос решават. Марк Кац си спомня една негова фраза: „Едно твърдение за криви не е интересно, ако не е интересно още в случая на окръжност.“ Интересът му към елементарната математика остава през целия му живот. През 1958 г. издава и сборника „Сто задачи“. Същевременно е критичен към прекомерната специализация и към абстракцията, когато тя губи връзка с конкретен математически проблем.
Щайнхауз особено се гордее със самосгъващия се додекаедър — хартиен модел, който може да бъде притиснат в равнината и след освобождаване възстановява пространствената си форма. Всеки екземпляр от първото издание на „Калейдоскопа“ е придружен от ръчно направен модел; в по-късните издания идеята е изоставена заради високата цена. По спомените на Кац, още в Лвов Щайнхауз му казва:
Всичко, което съм направил, би могло да бъде направено и от някой друг, но само аз можех да изобретя самосгъващия се додекаедър. — Хуго Щайнхауз, по спомените на Марк Кац
„Той грешеше в първото твърдение — добавя Кац, — но беше прав във второто. Само той би могъл да го направи.“
„Така започна моят математически живот“
Кац среща Щайнхауз през пролетта на 1932 г. на устен изпит по Анализ I в Лвовския университет. Студентите са разпределяни между четиримата професори по математика чрез жребий, за да бъдат изпитните такси разпределени безпристрастно. Щайнхауз има репутация на страшен изпитващ, но тя е незаслужена. Кац разказва за студентка, далеч не отличничка, която се явява при Щайнхауз на изпита по Анализ II — смятан за най-трудния — и излиза с много добра оценка. Попитан по-късно как се е случило това, Щайнхауз отговаря: „Поисках от нея да опише римановата повърхнина на \(\sqrt{z}\) и тя каза, че има една такава в чантата си. След кратко търсене направи един доста хубав модел. Не смятате ли, че всяка млада дама, която носи риманова повърхнина в чантата си, заслужава най-малко много добър?“
На изпита на Кац Щайнхауз задава два прости въпроса и му поставя най-високата оценка. Преди да напусне кабинета, младият Кац иска разрешение да посещава семинара, който Щайнхауз ръководи заедно с Мазур. „Той ми позволи да се запиша — пише Кац — и така започна моят математически живот.“ През 1934 г. Щайнхауз му показва едно определение за статистически независими функции и му предлага да го изследва. От 1935 г. до заминаването на Кац от Полша през ноември 1938 г. двамата работят в много тясно сътрудничество. Десетилетия по-късно Кац посвещава на Щайнхауз монографията си „Статистическа независимост в теорията на вероятностите, анализа и теорията на числата“. Той изрично отбелязва, че посвещението не е само израз на благодарност: почти всичко в книгата е свързано с годините на съвместната им работа.
• Теорема на Щайнхауз — ако едно множество от реални числа има положителна лебегова мярка, то множеството от разликите на неговите елементи съдържа цял интервал около нулата.
• Справедливо разпределение — задачите, поставени от Щайнхауз, и процедурата на Банах–Кнастер са сред ранните математически изследвания на разпределението на ресурси според индивидуалните оценки на участниците.
• Аксиома за детерминираност на Мичелски–Щайнхауз — аксиома за безкрайни игри, несъвместима с пълната аксиома за избора и важна в дескриптивната теория на множествата.
• Studia Mathematica и основаното от Щайнхауз списание Zastosowania Matematyki, днес Applicationes Mathematicae, продължават да излизат.
Животът на Щайнхауз в дати
- Ражда се в Ясло, Галиция (тогава в Австро-Унгария), в заможно еврейско семейство.
- Завършва гимназията в Ясло и записва философия и математика в Лвовския университет.
- Учи в Гьотинген; през 1911 г. защитава с отличие докторска дисертация при Хилберт.
- На разходка в краковския парк Планти дочува думите „лебегов интеграл“ и се запознава с Банах и Никодим.
- Доказва, че всеки непрекъснат линеен функционал върху \(L^1[0,1]\) има интегрално представяне.
- Става извънреден професор в Лвов и води един от ранните курсове по теорията на Лебег извън Франция.
- Редовен професор в Лвовския университет; публикува мярково-теоретично изследване на безкрайни редици от хвърляния на монета — една от ранните работи по строгото изграждане на вероятностни модели.
- Публикува кратка статия за игрите и преследването, в която обсъжда идеята за стратегия — години преди систематичната теория на фон Нойман.
- Заедно с Банах доказва принципа за сгъстяване на особеностите — теоремата на Банах–Щайнхауз.
- Двамата с Банах основават списанието Studia Mathematica.
- Излиза „Теория на ортогоналните редове“, написана със Стефан Качмарж.
- Завършва „Математически калейдоскоп“; книгата излиза през следващата година.
- Укрива се от нацистите под името Гжегож Крохмални; преподава тайно, оценява германските загуби по некролозите и започва мемоарите си.
- Установява се във Вроцлав; организатор и първи декан на Факултета по математика, физика и химия.
- Публикува в Econometrica работата The Problem of Fair Division, посветена на справедливото разпределение на ресурси.
- Почетен доктор на Вроцлавската медицинска академия за приложенията на математиката в медицината.
- Заедно с Ян Мичелски предлага аксиомата за детерминираност, свързана с печеливши стратегии в безкрайни игри.
- Умира във Вроцлав на 85 години.
Защо да помним Щайнхауз
Името на Щайнхауз остава в няколко различни области на математиката. Теоремата на Банах–Щайнхауз е основен резултат във функционалния анализ. Работата му от 1923 г. принадлежи към ранната история на мярковата теория на вероятностите, а задачите му за справедливо разпределение поставят началото на самостоятелна изследователска тема. Към това се прибавят теоремата на Щайнхауз, изследванията му върху ортогоналните редове и многобройните му работи по приложна математика. На надгробния му камък във Вроцлав са изсечени неговите думи:
Между духа и материята посредничи математиката. — надписът върху гроба на Хуго Щайнхауз във Вроцлав
Тези думи добре описват начина, по който Щайнхауз работи — без рязка граница между абстрактната идея и конкретния проблем.
Източници
- Кац, М. Хуго Щайнхауз — възпоменание и почит. Списание „Математика“, София (съкратен превод на статията на Марк Кац по случай 100-годишнината от рождението на Щайнхауз).
- Kac, M. Hugo Steinhaus — A Reminiscence and a Tribute. The American Mathematical Monthly, 81 (1974), 572–581.
- O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Hugo Steinhaus. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Steinhaus, H. Mathematician for All Seasons: Recollections and Notes, Vol. 1–2. Birkhäuser, 2015–2016. (Мемоарите на Щайнхауз в английски превод.)
- Duda, R. Pearls from a Lost City: The Lvov School of Mathematics. American Mathematical Society, 2014.
- Steinhaus, H. Kalejdoskop matematyczny („Математически калейдоскоп“). Първо издание 1938; английско издание Mathematical Snapshots.
- Steinhaus, H. The Problem of Fair Division. Econometrica, 16 (1948), 101–104.
- Mauldin, R. D. (ed.) The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Café. Birkhäuser, 2015.
- Hugo Steinhaus Center, Wrocław University of Science and Technology. Prof. Hugo Steinhaus. alfa.im.pwr.edu.pl
- Wikipedia. Hugo Steinhaus. en.wikipedia.org
Още от поредицата „Любопитно от математиката“
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар