Вероятност на случайно събитие
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Елементи от вероятности и статистика › Вероятност на случайно събитие
Вероятност на случайно събитие —
случайно, достоверно и невъзможно събитие
Случайно събитие, благоприятни изходи и формулата за класическа вероятност — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок се запознаваме с понятията случайно събитие, достоверно (сигурно) събитие, невъзможно събитие и вероятност. Разглеждаме класическата формула \(P(A) = \dfrac{m}{n}\) и решаваме задачи с топчета, зарчета, въртележки и карти за игра. За учениците, които искат да навлязат малко по-дълбоко, е добавена и допълнителна теория за противоположно събитие, сума и произведение на събития. Урокът съдържа 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.
🎲 Случайно събитие. Елементарни изходи
Опит (експеримент) наричаме действие, при което не знаем предварително кой точно резултат ще се получи, но знаем кои резултати са възможни. Всеки отделен резултат се нарича елементарен изход. Множеството от всички възможни изходи се означава с \(\Omega\). Събитие наричаме условие за резултата от опита, което може да бъде изпълнено или да не бъде изпълнено. Събитията означаваме с главни латински букви \(A, B, C, \ldots\).
Видове събития:
- Достоверно (сигурно) събитие \(\Omega\) — събитие, което задължително се случва при всеки опит. Например при хвърляне на зар достоверно е „пада се число от 1 до 6“.
- Невъзможно събитие \(\varnothing\) — събитие, което никога не се случва. Например при хвърляне на зар невъзможно е „пада се числото 7“.
- Случайно събитие — събитие, което може да се случи, но може и да не се случи. Например „при хвърляне на зар се пада 5“.
Множеството от всички възможни изходи при даден опит се означава с \(\Omega\).
Благоприятни изходи за дадено събитие \(A\) са онези елементарни изходи, при които \(A\) се случва (настъпва).
Равновъзможни (равновероятни) изходи са изходи, които имат еднакъв шанс да се случат. Например при честен зар шестте възможни изхода \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) са равновероятни.
Благоприятни изходи за дадено събитие \(A\) са онези елементарни изходи, при които \(A\) се случва (настъпва).
Равновъзможни (равновероятни) изходи са изходи, които имат еднакъв шанс да се случат. Например при честен зар шестте възможни изхода \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) са равновероятни.
📐 Вероятност на събитие. Класическа формула
Вероятност \(P(A)\) на случайно събитие \(A\) при опит с краен брой равновероятни изходи се пресмята по формулата:
\[P(A) = \dfrac{m}{n},\]
където \(m\) е броят на благоприятните изходи за събитието \(A\), а \(n\) — общият брой на всички възможни изходи при опита.
Свойства на вероятността:
- \(0 \le P(A) \le 1\) — вероятността е число между 0 и 1;
- \(P(\Omega) = 1\) — вероятността за достоверно събитие е 1;
- \(P(\varnothing) = 0\) — вероятността за невъзможно събитие е 0;
- колкото по-голяма е вероятността, толкова по-вероятно е събитието да се случи.
Вероятността може да се представя като дроб, десетична дроб или процент. Например ако \(P(A) = \frac{1}{4}\), това е същото като \(0{,}25\) или \(25\%\).
⭐ Допълнителни понятия (за по-силните ученици)
⭐ За напреднали
Противоположно събитие. Ако \(A\) е дадено събитие, противоположното на него събитие — означавано с \(\overline{A}\) (чете се „не A“) — е събитието, което се случва точно когато \(A\) не се случва. В сила е важната формула:
\[P(\overline{A}) = 1 - P(A).\]
Пример: ако вероятността да завали дъжд е \(P(A) = 0{,}3\), то вероятността да не завали е \(P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\).
⭐ За напреднали
Сума и произведение на събития. Нека \(A\) и \(B\) са две събития при един и същ опит.
- Сума \(A \cup B\) — събитието, което се случва, ако се случва поне едно от \(A\) и \(B\) (\(A\) или \(B\)).
- Произведение \(A \cap B\) — събитието, което се случва, ако се случват едновременно и \(A\), и \(B\).
⭐ За напреднали
Несъвместими събития. Две събития \(A\) и \(B\) са несъвместими, ако не могат да се случат едновременно, тоест \(A \cap B = \varnothing\). За несъвместими събития е в сила:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B).\]
Например при хвърляне на зар събитията „пада се 1“ и „пада се 2“ са несъвместими, затова \(P(\text{1 или 2}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Ученик набира телефонен номер, но тъй като е забравил последната цифра, я набира случайно. Намерете вероятността още при първия опит ученикът да набере нужната цифра.
▼
РешениеОбщо цифрите са 10: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\). От тях само една е нужната, тоест има 1 благоприятен изход и 10 възможни.
\[P(A) = \dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1.\]
\[P(A) = \dfrac{m}{n} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1.\]
2
В една лотария са пуснати 1000 билета, от които 50 са печеливши. Каква е вероятността участник в лотарията да изтегли печеливш билет?
▼
РешениеОбщият брой билети е \(n = 1000\), а благоприятните (печеливши) са \(m = 50\). Тогава:
\[P(A) = \dfrac{50}{1000} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 = 5\%.\]
\[P(A) = \dfrac{50}{1000} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 = 5\%.\]
3
Намерете вероятността при произволен избор на една буква от думата „СТАТИСТИКА“ тази буква да бъде: а) буквата „Т“; б) гласна буква.
▼
РешениеДумата „СТАТИСТИКА“ има общо 10 букви.
а) Буквата „Т“ се среща 3 пъти, затова \(P = \dfrac{3}{10}\).
б) Гласните букви в думата са \(А, И, И, А\) — общо 4. Тогава \(P = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\).
а) Буквата „Т“ се среща 3 пъти, затова \(P = \dfrac{3}{10}\).
б) Гласните букви в думата са \(А, И, И, А\) — общо 4. Тогава \(P = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\).
4
\(M\) е множеството на естествените числа от 1 до 13. Каква е вероятността произволно избран елемент на \(M\) да е: а) четно число; б) просто число.
▼
РешениеОбщият брой числа от 1 до 13 е \(n = 13\).
а) Четните числа от 1 до 13 са: 2, 4, 6, 8, 10, 12 — общо 6 числа. Тогава \(P = \dfrac{6}{13}\).
б) Простите числа от 1 до 13 са: 2, 3, 5, 7, 11, 13 — общо 6 числа. Тогава \(P = \dfrac{6}{13}\).
а) Четните числа от 1 до 13 са: 2, 4, 6, 8, 10, 12 — общо 6 числа. Тогава \(P = \dfrac{6}{13}\).
б) Простите числа от 1 до 13 са: 2, 3, 5, 7, 11, 13 — общо 6 числа. Тогава \(P = \dfrac{6}{13}\).
5
В една урна има 15 топки — бели и черни. Ако вероятността да се извади бяла топка е 0,8, колко са черните топки в урната?
▼
РешениеНека \(m\) е броят на белите топки. Имаме \(P = \dfrac{m}{15} = 0{,}8\), откъдето:
\[m = 0{,}8 \cdot 15 = 12.\]
Значи белите топки са 12, а черните са \(15 - 12 = \mathbf{3}\).
\[m = 0{,}8 \cdot 15 = 12.\]
Значи белите топки са 12, а черните са \(15 - 12 = \mathbf{3}\).
6
В кутия има 20 топчета — 7 бели, 8 черни и 5 червени. Изваждаме едно топче от кутията, без да гледаме. Намерете вероятността изваденото топче да е: а) бяло; б) черно; в) бяло или червено; г) да не е бяло.
▼
РешениеОбщо топчетата са \(n = 20\).
а) \(P(\text{бяло}) = \dfrac{7}{20}\).
б) \(P(\text{черно}) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\).
в) Белите и червените топчета са общо \(7 + 5 = 12\). Тогава \(P = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\).
г) Ако топчето не е бяло, то е черно или червено — \(8 + 5 = 13\) топчета. Тогава \(P = \dfrac{13}{20}\).
а) \(P(\text{бяло}) = \dfrac{7}{20}\).
б) \(P(\text{черно}) = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\).
в) Белите и червените топчета са общо \(7 + 5 = 12\). Тогава \(P = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\).
г) Ако топчето не е бяло, то е черно или червено — \(8 + 5 = 13\) топчета. Тогава \(P = \dfrac{13}{20}\).
7
Хвърляме обикновен зар. Каква е вероятността да се падне: а) числото 5; б) четно число; в) число, по-малко от 3; г) число, кратно на 3?
▼
РешениеПри обикновен зар възможните изходи са \(n = 6\): числата 1, 2, 3, 4, 5, 6.
а) Благоприятен е само един изход — да се падне 5. Затова \(P = \dfrac{1}{6}\).
б) Четните са 2, 4, 6 — 3 на брой: \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
в) По-малки от 3 са 1 и 2 — 2 на брой: \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
г) Кратни на 3 са 3 и 6 — 2 на брой: \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
а) Благоприятен е само един изход — да се падне 5. Затова \(P = \dfrac{1}{6}\).
б) Четните са 2, 4, 6 — 3 на брой: \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
в) По-малки от 3 са 1 и 2 — 2 на брой: \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
г) Кратни на 3 са 3 и 6 — 2 на брой: \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
8
Ако приемем, че всеки ден от обикновена година е еднакво възможен рожден ден, намерете вероятността човек да е роден през месец: а) януари; б) февруари.
▼
РешениеОбикновената година има 365 дни.
а) Януари има 31 дни: \(P = \dfrac{31}{365}\).
б) Февруари в обикновена година има 28 дни: \(P = \dfrac{28}{365}\).
а) Януари има 31 дни: \(P = \dfrac{31}{365}\).
б) Февруари в обикновена година има 28 дни: \(P = \dfrac{28}{365}\).
9
При въртене на въртележка с 8 еднакви сектора, върху които са записани буквите А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, пресметнете вероятността стрелката да спре на: а) буквата Д; б) гласна буква; в) съгласна буква.
▼
РешениеВъртележката има 8 еднакви сектора, затова всички изходи са равновъзможни и \(n = 8\).
а) Един благоприятен изход (буквата Д): \(P = \dfrac{1}{8}\).
б) Гласните букви в А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З са А и Е — 2 на брой: \(P = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\).
в) Съгласните букви са Б, В, Г, Д, Ж, З — 6 на брой: \(P = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).
а) Един благоприятен изход (буквата Д): \(P = \dfrac{1}{8}\).
б) Гласните букви в А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З са А и Е — 2 на брой: \(P = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\).
в) Съгласните букви са Б, В, Г, Д, Ж, З — 6 на брой: \(P = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).
10
От тесте с 32 карти за игра се тегли по случаен начин една карта. Намерете вероятността картата да е: а) асо; б) купа; в) поп или вале.
▼
РешениеВ тесте от 32 карти има 4 цвята (купа, каро, спатия, пика), всеки с по 8 карти (7, 8, 9, 10, вале, дама, поп, асо). Общо \(n = 32\).
а) Асата са 4 (по едно от всеки цвят): \(P = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\).
б) Картите от цвят купа са 8: \(P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).
в) Попове са 4 и валета са 4 — общо 8: \(P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).
а) Асата са 4 (по едно от всеки цвят): \(P = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\).
б) Картите от цвят купа са 8: \(P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).
в) Попове са 4 и валета са 4 — общо 8: \(P = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\).
11
Хвърляме зарче с 12 стени, на които са записани числата от 1 до 12. Каква е вероятността да се падне: а) числото 11; б) число, кратно на 3; в) число, по-малко от 5?
▼
РешениеВъзможните изходи са \(n = 12\).
а) Един благоприятен изход: \(P = \dfrac{1}{12}\).
б) Кратните на 3 от 1 до 12 са 3, 6, 9, 12 — 4 на брой: \(P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
в) По-малки от 5 са 1, 2, 3, 4 — 4 на брой: \(P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
а) Един благоприятен изход: \(P = \dfrac{1}{12}\).
б) Кратните на 3 от 1 до 12 са 3, 6, 9, 12 — 4 на брой: \(P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
в) По-малки от 5 са 1, 2, 3, 4 — 4 на брой: \(P = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
12
Избираме произволно едно естествено число, по-малко или равно на 50. Намерете вероятността то да е: а) точен квадрат; б) кратно на 5; в) просто число.
▼
РешениеЧислата са \(n = 50\).
а) Точните квадрати до 50 са: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 — 7 на брой: \(P = \dfrac{7}{50}\).
б) Кратните на 5 до 50 са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 — 10 на брой: \(P = \dfrac{10}{50} = \dfrac{1}{5}\).
в) Простите числа до 50 са: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 — 15 на брой: \(P = \dfrac{15}{50} = \dfrac{3}{10}\).
а) Точните квадрати до 50 са: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 — 7 на брой: \(P = \dfrac{7}{50}\).
б) Кратните на 5 до 50 са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 — 10 на брой: \(P = \dfrac{10}{50} = \dfrac{1}{5}\).
в) Простите числа до 50 са: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 — 15 на брой: \(P = \dfrac{15}{50} = \dfrac{3}{10}\).
13
Намерете вероятността при хвърлянето на два зара (черен и червен) сборът на точките: а) да е равен на 6; б) да е равен на 7; в) да е по-малък от 5.
▼
РешениеПри хвърляне на два зара всеки изход може да се запише като двойка (черен зар; червен зар). Общо \(n = 6 \cdot 6 = 36\) равновъзможни изхода.
а) Сбор 6: (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1) — 5 двойки: \(P = \dfrac{5}{36}\).
б) Сбор 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) — 6 двойки: \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
в) Сборът да е по-малък от 5 означава той да бъде 2, 3 или 4:
сбор 2: (1;1) — 1; сбор 3: (1;2), (2;1) — 2; сбор 4: (1;3), (2;2), (3;1) — 3. Общо \(1 + 2 + 3 = 6\): \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
а) Сбор 6: (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1) — 5 двойки: \(P = \dfrac{5}{36}\).
б) Сбор 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) — 6 двойки: \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
в) Сборът да е по-малък от 5 означава той да бъде 2, 3 или 4:
сбор 2: (1;1) — 1; сбор 3: (1;2), (2;1) — 2; сбор 4: (1;3), (2;2), (3;1) — 3. Общо \(1 + 2 + 3 = 6\): \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
14
При хвърляне на два зара намерете вероятността да се падне чифт (еднакви точки на двата зара).
▼
РешениеОбщият брой възможни изходи е \(n = 36\). Чифтовете са (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6) — общо 6 благоприятни.
\[P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.\]
\[P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.\]
15
Каква е вероятността при две последователни хвърляния на една монета да получим: а) ези и при двете хвърляния; б) тура и при двете хвърляния; в) веднъж ези и веднъж тура?
▼
РешениеПри две хвърляния възможните изходи са 4: (ези, ези), (ези, тура), (тура, ези), (тура, тура). \(n = 4\).
а) (ези, ези) — 1 благоприятен: \(P = \dfrac{1}{4}\).
б) (тура, тура) — 1 благоприятен: \(P = \dfrac{1}{4}\).
в) (ези, тура) и (тура, ези) — 2 благоприятни: \(P = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
а) (ези, ези) — 1 благоприятен: \(P = \dfrac{1}{4}\).
б) (тура, тура) — 1 благоприятен: \(P = \dfrac{1}{4}\).
в) (ези, тура) и (тура, ези) — 2 благоприятни: \(P = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
16
Четирицифрен код на охранителна система се състои само от единици и нули. Каква е вероятността кодът да се състои от четири еднакви цифри?
▼
РешениеВсяка от четирите позиции може да бъде 0 или 1, значи възможните кодове са \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\). От тях с четири еднакви цифри са само два: 0000 и 1111.
\[P = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125.\]
\[P = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125.\]
17
Двама шахматисти участват в състезание. Вероятността за победа на първия е \(\dfrac{8}{15}\), а на втория — \(\dfrac{3}{7}\). Кой от двамата има по-голяма вероятност за победа?
▼
РешениеСравняваме двете вероятности. Привеждаме към общ знаменател \(15 \cdot 7 = 105\):
\(\dfrac{8}{15} = \dfrac{8 \cdot 7}{105} = \dfrac{56}{105}\), а \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 15}{105} = \dfrac{45}{105}\).
Тъй като \(\dfrac{56}{105} > \dfrac{45}{105}\), първият шахматист има по-голяма вероятност за победа.
\(\dfrac{8}{15} = \dfrac{8 \cdot 7}{105} = \dfrac{56}{105}\), а \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \cdot 15}{105} = \dfrac{45}{105}\).
Тъй като \(\dfrac{56}{105} > \dfrac{45}{105}\), първият шахматист има по-голяма вероятност за победа.
18
Туристическа обиколка на исторически град включва посещения на катедралата, кметството и виадукта. а) Колко различни маршрута могат да се получат? б) Каква е вероятността при произволно избран маршрут виадуктът да не е последният обект?
▼
РешениеОзначаваме обектите с \(K\) — катедрала, \(M\) — кметство, \(V\) — виадукт.
а) Обектите са три. Изброяваме всички възможни маршрути:
\(KMV\), \(KVM\), \(MKV\), \(MVK\), \(VKM\), \(VMK\) — общо 6 варианта.
б) В колко от тези маршрути виадуктът \(V\) е последен? Това са \(KMV\) и \(MKV\) — 2 на брой. Значи в \(6 - 2 = 4\) маршрута виадуктът не е последен.
\[P = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.\]
а) Обектите са три. Изброяваме всички възможни маршрути:
\(KMV\), \(KVM\), \(MKV\), \(MVK\), \(VKM\), \(VMK\) — общо 6 варианта.
б) В колко от тези маршрути виадуктът \(V\) е последен? Това са \(KMV\) и \(MKV\) — 2 на брой. Значи в \(6 - 2 = 4\) маршрута виадуктът не е последен.
\[P = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.\]
19
За училищен отбор са закупени фланелки, шорти и чорапи в три цвята — бели, черни и червени. Колко различни екипа могат да се съставят? Каква е вероятността даден екип да е едноцветен?
▼
РешениеФланелките могат да са в 3 цвята, шортите в 3 цвята и чорапите в 3 цвята. Общо различни екипи: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\).
Едноцветните екипи са: бяло-бяло-бяло, черно-черно-черно, червено-червено-червено — общо 3.
\[P = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9}.\]
Едноцветните екипи са: бяло-бяло-бяло, черно-черно-черно, червено-червено-червено — общо 3.
\[P = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9}.\]
20
В клас от 27 ученици \(\dfrac{1}{4}\) от броя на момчетата е равна на \(\dfrac{1}{5}\) от броя на момичетата. Каква е вероятността произволно избран ученик да е момиче?
▼
РешениеНека момчетата са \(x\), а момичетата — \(y\). От условието:
\[\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} \;\Rightarrow\; 5x = 4y.\]
Това означава, че броят на момчетата и момичетата е в отношение \(x : y = 4 : 5\). Общо отношението съдържа \(4 + 5 = 9\) равни части. Понеже учениците са 27, една част е \(27 : 9 = 3\).
Значи момчетата са \(4 \cdot 3 = 12\), а момичетата са \(5 \cdot 3 = 15\).
\[P(\text{момиче}) = \dfrac{15}{27} = \dfrac{5}{9}.\]
\[\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} \;\Rightarrow\; 5x = 4y.\]
Това означава, че броят на момчетата и момичетата е в отношение \(x : y = 4 : 5\). Общо отношението съдържа \(4 + 5 = 9\) равни части. Понеже учениците са 27, една част е \(27 : 9 = 3\).
Значи момчетата са \(4 \cdot 3 = 12\), а момичетата са \(5 \cdot 3 = 15\).
\[P(\text{момиче}) = \dfrac{15}{27} = \dfrac{5}{9}.\]
21
В кутия има 12 топчета — 5 бели, 3 черни и 4 червени. Изваждаме едно топче, без да гледаме. а) Каква е вероятността да не е бяло? б) Каква е вероятността да е бяло или черно? Решете задачата по два начина — директно и чрез противоположно събитие. ⭐ Трудна
▼
РешениеОбщият брой топчета е \(n = 12\).
а) Събитието „топчето не е бяло“:
• Директно: топчетата, които не са бели, са \(3 + 4 = 7\), значи \(P = \dfrac{7}{12}\).
• Чрез противоположно събитие: \(P(\text{бяло}) = \dfrac{5}{12}\), затова \(P(\overline{\text{бяло}}) = 1 - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}\). ✓
б) Събитието „топчето е бяло или черно“:
• Директно: бели или черни са \(5 + 3 = 8\), значи \(P = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\).
• Чрез сума на несъвместими събития: \(P(\text{бяло}) = \dfrac{5}{12}\), \(P(\text{черно}) = \dfrac{3}{12}\). Двете събития са несъвместими (топчето е или бяло, или черно, не и двете), затова \(P(\text{бяло или черно}) = \dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\). ✓
а) Събитието „топчето не е бяло“:
• Директно: топчетата, които не са бели, са \(3 + 4 = 7\), значи \(P = \dfrac{7}{12}\).
• Чрез противоположно събитие: \(P(\text{бяло}) = \dfrac{5}{12}\), затова \(P(\overline{\text{бяло}}) = 1 - \dfrac{5}{12} = \dfrac{7}{12}\). ✓
б) Събитието „топчето е бяло или черно“:
• Директно: бели или черни са \(5 + 3 = 8\), значи \(P = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\).
• Чрез сума на несъвместими събития: \(P(\text{бяло}) = \dfrac{5}{12}\), \(P(\text{черно}) = \dfrac{3}{12}\). Двете събития са несъвместими (топчето е или бяло, или черно, не и двете), затова \(P(\text{бяло или черно}) = \dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\). ✓
22
При хвърляне на два зара намерете вероятността сборът на точките да е просто число. ⭐ Трудна
▼
РешениеОбщият брой възможни изходи е \(n = 36\). Възможните сборове са от 2 до 12. Простите сборове са: 2, 3, 5, 7, 11.
Нека преброим благоприятните изходи според възможния прост сбор:
• Сбор 2: (1;1) — 1
• Сбор 3: (1;2), (2;1) — 2
• Сбор 5: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1) — 4
• Сбор 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) — 6
• Сбор 11: (5;6), (6;5) — 2
Общо \(1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15\) благоприятни изхода.
\[P = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.\]
Нека преброим благоприятните изходи според възможния прост сбор:
• Сбор 2: (1;1) — 1
• Сбор 3: (1;2), (2;1) — 2
• Сбор 5: (1;4), (2;3), (3;2), (4;1) — 4
• Сбор 7: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) — 6
• Сбор 11: (5;6), (6;5) — 2
Общо \(1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15\) благоприятни изхода.
\[P = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}.\]
23
Съставени са всички трицифрени числа, в записа на които се използват само цифрите 1, 2 и 3. Каква е вероятността произволно избрано от тези числа да е четно: а) ако цифрите в съставените числа не се повтарят; б) ако цифрите могат да се повтарят? ⭐ Трудна
▼
Решениеа) Без повторение. Трицифрените числа с различни цифри от 1, 2 и 3 са: 123, 132, 213, 231, 312, 321 — общо 6 числа. От тях четни (завършващи на 2) са: 132, 312 — 2 числа.
\[P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.\]
б) С повторение. Всяка от трите позиции може да е 1, 2 или 3, значи общо числа: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\). От тях четни са онези, които завършват на 2 — първите две цифри могат да бъдат произволни, последната е фиксирана на 2: \(3 \cdot 3 \cdot 1 = 9\) числа.
\[P = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}.\]
\[P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.\]
б) С повторение. Всяка от трите позиции може да е 1, 2 или 3, значи общо числа: \(3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\). От тях четни са онези, които завършват на 2 — първите две цифри могат да бъдат произволни, последната е фиксирана на 2: \(3 \cdot 3 \cdot 1 = 9\) числа.
\[P = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}.\]
24
В равнината са дадени пет различни точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), никои три от които не лежат на една права. От тях е построен петоъгълникът \(ABCDE\). а) Колко е броят на отсечките, определени от тези пет точки? б) Каква е вероятността произволно избрана отсечка да е страна на петоъгълника? в) Каква е вероятността произволно избрана отсечка да е диагонал? ⭐ Трудна
▼
Решениеа) Всяка отсечка се определя от двойка точки. От 5 точки двойките са:
(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,D), (C,E), (D,E) — общо 10 отсечки.
б) Страните на петоъгълника \(ABCDE\) са 5: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\).
\[P(\text{страна}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}.\]
в) Диагоналите са останалите \(10 - 5 = 5\) отсечки: \(AC\), \(AD\), \(BD\), \(BE\), \(CE\).
\[P(\text{диагонал}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}.\]
При произволен избор на отсечка между две от петте точки събитията „избраната отсечка е страна“ и „избраната отсечка е диагонал“ са противоположни — затова \(P(\text{страна}) + P(\text{диагонал}) = 1\).
(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,D), (C,E), (D,E) — общо 10 отсечки.
б) Страните на петоъгълника \(ABCDE\) са 5: \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DE\), \(EA\).
\[P(\text{страна}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}.\]
в) Диагоналите са останалите \(10 - 5 = 5\) отсечки: \(AC\), \(AD\), \(BD\), \(BE\), \(CE\).
\[P(\text{диагонал}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}.\]
При произволен избор на отсечка между две от петте точки събитията „избраната отсечка е страна“ и „избраната отсечка е диагонал“ са противоположни — затова \(P(\text{страна}) + P(\text{диагонал}) = 1\).
25
Нека \(S\) е множеството на простите двуцифрени числа \(\overline{ab}\), които са по-малки от 35, а \(Q\) — множеството от числата, получени чрез размяна на цифрите на числата от \(S\). а) Определете елементите на \(S\) и \(Q\). б) Намерете тяхното сечение. в) Каква е вероятността произволно избран елемент от \(Q\) да е елемент и на \(S\)? ⭐ Трудна
▼
Решениеа) Простите двуцифрени числа, по-малки от 35, са: \(S = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31\}\).
Обръщаме цифрите: \(11 \to 11\), \(13 \to 31\), \(17 \to 71\), \(19 \to 91\), \(23 \to 32\), \(29 \to 92\), \(31 \to 13\). Значи \(Q = \{11, 31, 71, 91, 32, 92, 13\}\).
б) Сечението: общите елементи на \(S\) и \(Q\) са \(\{11, 13, 31\}\) — 3 елемента.
в) \(Q\) има 7 елемента, от които 3 са и в \(S\):
\[P(\text{елемент от } Q \text{ е и в } S) = \dfrac{3}{7}.\]
Обръщаме цифрите: \(11 \to 11\), \(13 \to 31\), \(17 \to 71\), \(19 \to 91\), \(23 \to 32\), \(29 \to 92\), \(31 \to 13\). Значи \(Q = \{11, 31, 71, 91, 32, 92, 13\}\).
б) Сечението: общите елементи на \(S\) и \(Q\) са \(\{11, 13, 31\}\) — 3 елемента.
в) \(Q\) има 7 елемента, от които 3 са и в \(S\):
\[P(\text{елемент от } Q \text{ е и в } S) = \dfrac{3}{7}.\]
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1След завъртане на стрелката на въртележка с числата от 1 до 8 определете дали събитието е случайно, невъзможно или достоверно: стрелката спира на а) числото 5; б) число, по-голямо от 7; в) нечетно число; г) число, по-малко от 10; д) числото 9.
Отг.: а) случайно; б) случайно (числото 8); в) случайно; г) достоверно; д) невъзможно.
Отг.: а) случайно; б) случайно (числото 8); в) случайно; г) достоверно; д) невъзможно.
Задача 2В кутия има 12 топчета — 5 бели, 3 черни и 4 червени. Определете дали е случайно, невъзможно или достоверно събитието изваденото топче да е: а) бяло; б) бяло, черно или червено; в) синьо.
Отг.: а) случайно; б) достоверно; в) невъзможно.
Отг.: а) случайно; б) достоверно; в) невъзможно.
Задача 3Хвърляме обикновен зар. Намерете вероятността да се падне: а) числото 3; б) нечетно число; в) число, по-голямо от 4; г) число, кратно на 2.
Отг.: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{2}\); в) \(\frac{1}{3}\); г) \(\frac{1}{2}\).
Отг.: а) \(\frac{1}{6}\); б) \(\frac{1}{2}\); в) \(\frac{1}{3}\); г) \(\frac{1}{2}\).
Задача 4В една урна има 20 топки — 8 червени и 12 сини. Каква е вероятността произволно извадена топка да е: а) червена; б) синя; в) черна?
Отг.: а) \(\frac{8}{20} = \frac{2}{5}\); б) \(\frac{12}{20} = \frac{3}{5}\); в) 0 (невъзможно).
Отг.: а) \(\frac{8}{20} = \frac{2}{5}\); б) \(\frac{12}{20} = \frac{3}{5}\); в) 0 (невъзможно).
Задача 5Намерете вероятността при произволен избор на една буква от думата „ПАРАЛЕЛЕПИПЕД“ тази буква да бъде: а) „П“; б) „Е“; в) гласна буква.
Отг.: Думата има 13 букви. а) \(\frac{3}{13}\); б) \(\frac{3}{13}\); в) гласни А, А, Е, Е, И, Е — общо 6: \(\frac{6}{13}\).
Отг.: Думата има 13 букви. а) \(\frac{3}{13}\); б) \(\frac{3}{13}\); в) гласни А, А, Е, Е, И, Е — общо 6: \(\frac{6}{13}\).
Задача 6Хвърляме зарче с 12 стени. Каква е вероятността да се падне: а) число, по-малко от 5; б) число, по-голямо от 6; в) число, кратно на 4?
Отг.: а) \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\); б) \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\); в) числата 4, 8, 12 — \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).
Отг.: а) \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\); б) \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\); в) числата 4, 8, 12 — \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\).
Задача 7Хвърляме две 4-стенни зарчета (върху всяко са записани числата 1, 2, 3, 4). Намерете вероятността да се падне: а) чифт; б) чифт единици; в) сбор 5; г) сбор 6.
Отг.: Общо \(4 \cdot 4 = 16\). а) (1;1), (2;2), (3;3), (4;4) — \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{16}\); в) (1;4),(2;3),(3;2),(4;1) — \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\); г) (2;4),(3;3),(4;2) — \(\frac{3}{16}\).
Отг.: Общо \(4 \cdot 4 = 16\). а) (1;1), (2;2), (3;3), (4;4) — \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{16}\); в) (1;4),(2;3),(3;2),(4;1) — \(\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\); г) (2;4),(3;3),(4;2) — \(\frac{3}{16}\).
Задача 8В кутия има 5 бели, 7 черни и 8 зелени топчета. Каква е вероятността произволно извадено топче да: а) е бяло; б) не е бяло; в) е черно или зелено?
Отг.: Общо 20. а) \(\frac{5}{20} = \frac{1}{4}\); б) \(\frac{15}{20} = \frac{3}{4}\); в) \(\frac{15}{20} = \frac{3}{4}\).
Отг.: Общо 20. а) \(\frac{5}{20} = \frac{1}{4}\); б) \(\frac{15}{20} = \frac{3}{4}\); в) \(\frac{15}{20} = \frac{3}{4}\).
Задача 9В една урна има 25 топки — бели и черни. Ако вероятността да се извади бяла топка е 0,6, колко са черните топки?
Отг.: Белите са \(0{,}6 \cdot 25 = 15\), значи черните са \(25 - 15 = 10\).
Отг.: Белите са \(0{,}6 \cdot 25 = 15\), значи черните са \(25 - 15 = 10\).
Задача 10Ако приемем, че всеки ден от обикновена година е еднакво възможен рожден ден, намерете вероятността човек да е роден през: а) март; б) април; в) февруари.
Отг.: а) \(\frac{31}{365}\); б) \(\frac{30}{365} = \frac{6}{73}\); в) \(\frac{28}{365}\).
Отг.: а) \(\frac{31}{365}\); б) \(\frac{30}{365} = \frac{6}{73}\); в) \(\frac{28}{365}\).
Задача 11От тесте с 32 карти за игра се тегли една карта. Каква е вероятността тя да е: а) асо или поп; б) каро; в) черна карта (спатия или пика)?
Отг.: а) асата са 4, поповете — 4, общо 8: \(\frac{8}{32} = \frac{1}{4}\); б) картите каро са 8: \(\frac{8}{32} = \frac{1}{4}\); в) спатии 8 + пики 8 = 16: \(\frac{16}{32} = \frac{1}{2}\).
Отг.: а) асата са 4, поповете — 4, общо 8: \(\frac{8}{32} = \frac{1}{4}\); б) картите каро са 8: \(\frac{8}{32} = \frac{1}{4}\); в) спатии 8 + пики 8 = 16: \(\frac{16}{32} = \frac{1}{2}\).
Задача 12Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сборът на точките да е: а) равен на 8; б) равен на 10; в) по-голям от 9.
Отг.: а) сбор 8: (2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2) — \(\frac{5}{36}\); б) сбор 10: (4;6),(5;5),(6;4) — \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\); в) сбор 10,11,12: \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Отг.: а) сбор 8: (2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2) — \(\frac{5}{36}\); б) сбор 10: (4;6),(5;5),(6;4) — \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\); в) сбор 10,11,12: \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Задача 13Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сборът на точките да: а) се дели на 3; б) се дели на 4; в) е по-голям от 10.
Отг.: а) кратни на 3 (3,6,9,12): \(2+5+4+1 = 12\), \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\); б) кратни на 4 (4,8,12): \(3+5+1 = 9\), \(\frac{9}{36} = \frac{1}{4}\); в) сбор 11 или 12: \(2+1 = 3\), \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
Отг.: а) кратни на 3 (3,6,9,12): \(2+5+4+1 = 12\), \(\frac{12}{36} = \frac{1}{3}\); б) кратни на 4 (4,8,12): \(3+5+1 = 9\), \(\frac{9}{36} = \frac{1}{4}\); в) сбор 11 или 12: \(2+1 = 3\), \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\).
Задача 14Намерете вероятността произволно избрано естествено число от 1 до 30 да е: а) кратно на 4; б) кратно на 5; в) точен квадрат.
Отг.: а) 4,8,...,28 — 7 числа: \(\frac{7}{30}\); б) 5,10,15,20,25,30 — 6 числа: \(\frac{6}{30} = \frac{1}{5}\); в) 1,4,9,16,25 — 5 числа: \(\frac{5}{30} = \frac{1}{6}\).
Отг.: а) 4,8,...,28 — 7 числа: \(\frac{7}{30}\); б) 5,10,15,20,25,30 — 6 числа: \(\frac{6}{30} = \frac{1}{5}\); в) 1,4,9,16,25 — 5 числа: \(\frac{5}{30} = \frac{1}{6}\).
Задача 15Каква е вероятността при две последователни хвърляния на монета да се падне поне един път ези?
Отг.: От 4 възможни (ЕЕ, ЕТ, ТЕ, ТТ) благоприятни са 3 (всички без ТТ): \(\frac{3}{4}\). Чрез противоположно: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Отг.: От 4 възможни (ЕЕ, ЕТ, ТЕ, ТТ) благоприятни са 3 (всички без ТТ): \(\frac{3}{4}\). Чрез противоположно: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Задача 16Трицифрен код се състои от цифрите 1, 2, 3, 4, 5 (може с повторение). Колко са възможните кодове? Каква е вероятността кодът да е четен?
Отг.: Общо \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). Четни (завършват на 2 или 4): \(5 \cdot 5 \cdot 2 = 50\). \(P = \frac{50}{125} = \frac{2}{5}\).
Отг.: Общо \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\). Четни (завършват на 2 или 4): \(5 \cdot 5 \cdot 2 = 50\). \(P = \frac{50}{125} = \frac{2}{5}\).
Задача 17Колко са трицифрените числа, в записа на които участват цифрите 6, 7 и 8 точно по веднъж? Каква е вероятността такова число да: а) е четно; б) се дели на 3?
Отг.: Общо 6 числа: 678, 687, 768, 786, 867, 876. а) четни (на 6 или 8): 678, 768, 786, 876 — 4: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). б) \(6+7+8 = 21\) се дели на 3, значи всичките 6 се делят на 3: \(P = 1\).
Отг.: Общо 6 числа: 678, 687, 768, 786, 867, 876. а) четни (на 6 или 8): 678, 768, 786, 876 — 4: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). б) \(6+7+8 = 21\) се дели на 3, значи всичките 6 се делят на 3: \(P = 1\).
Задача 18Двама състезатели по стрелба се състезават. Първият улучва мишената с вероятност 0,7. Вторият е направил 20 изстрела, от които 15 са точни. Кой е по-точният стрелец?
Отг.: На втория вероятността е \(\frac{15}{20} = 0{,}75\). Сравняваме: \(0{,}75 > 0{,}7\), значи вторият е по-точен.
Отг.: На втория вероятността е \(\frac{15}{20} = 0{,}75\). Сравняваме: \(0{,}75 > 0{,}7\), значи вторият е по-точен.
Задача 19В клас има 28 ученици, от които 16 момчета. Каква е вероятността произволно избран ученик да е: а) момиче; б) момче?
Отг.: Момичетата са \(28 - 16 = 12\). а) \(P = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}\); б) \(P = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}\).
Отг.: Момичетата са \(28 - 16 = 12\). а) \(P = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}\); б) \(P = \frac{16}{28} = \frac{4}{7}\).
Задача 20На въртележка с 8 равни сектора са записани числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Каква е вероятността стрелката да спре на: а) четно число; б) просто число; в) число, по-голямо от 5?
Отг.: а) 2,4,6,8 — \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\); б) 2,3,5,7 — \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\); в) 6,7,8 — \(\frac{3}{8}\).
Отг.: а) 2,4,6,8 — \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\); б) 2,3,5,7 — \(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\); в) 6,7,8 — \(\frac{3}{8}\).
Задача 21Хвърлят се две 12-стенни зарчета. Колко са възможните изходи? Каква е вероятността да се падне: а) чифт; б) сбор 13?
Отг.: Общо \(12 \cdot 12 = 144\). а) чифтове 12: \(\frac{12}{144} = \frac{1}{12}\); б) двойките със сбор 13 са (1;12),(2;11),...,(12;1) — общо 12: \(\frac{12}{144} = \frac{1}{12}\).
Отг.: Общо \(12 \cdot 12 = 144\). а) чифтове 12: \(\frac{12}{144} = \frac{1}{12}\); б) двойките със сбор 13 са (1;12),(2;11),...,(12;1) — общо 12: \(\frac{12}{144} = \frac{1}{12}\).
Задача 22В кутия има 100 еднакви топчета, номерирани от 1 до 100. Каква е вероятността изваденото топче да има номер, който е: а) кратен на 10; б) точен квадрат; в) точен куб?
Отг.: а) 10,20,...,100 — 10: \(\frac{10}{100} = \frac{1}{10}\); б) 1,4,9,...,100 — 10: \(\frac{1}{10}\); в) 1,8,27,64 — 4: \(\frac{4}{100} = \frac{1}{25}\).
Отг.: а) 10,20,...,100 — 10: \(\frac{10}{100} = \frac{1}{10}\); б) 1,4,9,...,100 — 10: \(\frac{1}{10}\); в) 1,8,27,64 — 4: \(\frac{4}{100} = \frac{1}{25}\).
Задача 23В една кутия има общо 60 бонбона от три вида — червени, сини и жълти. Червените са 20, а сините са с 10 повече от жълтите. Каква е вероятността произволно извадено бонбонче да е: а) червено; б) жълто?
Отг.: Сини + жълти \(= 40\). Жълтите \(x\), сините \(x + 10\): \(2x + 10 = 40\), \(x = 15\). Значи жълти 15, сини 25. а) \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\); б) \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\).
Отг.: Сини + жълти \(= 40\). Жълтите \(x\), сините \(x + 10\): \(2x + 10 = 40\), \(x = 15\). Значи жълти 15, сини 25. а) \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\); б) \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\).
Задача 24Хвърля се обикновен зар. Каква е вероятността да не се падне: а) числото 6; б) четно число; в) число, по-голямо от 4? Използвайте противоположно събитие.
Отг.: а) \(P(6) = \frac{1}{6}\), значи \(P(\overline{6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\); б) \(P = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\); в) \(P(>4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), значи \(P = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Отг.: а) \(P(6) = \frac{1}{6}\), значи \(P(\overline{6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\); б) \(P = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\); в) \(P(>4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), значи \(P = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Задача 25В клас от 30 ученици 18 изучават английски и 14 изучават немски, а 6 изучават и двата езика. Колко ученици не изучават нито един от двата езика? Каква е вероятността произволно избран ученик да: а) изучава поне един от двата езика; б) не изучава нито един?
Отг.: Поне един: \(18 + 14 - 6 = 26\). Нито един: \(30 - 26 = 4\). а) \(\frac{26}{30} = \frac{13}{15}\); б) \(\frac{4}{30} = \frac{2}{15}\).
Отг.: Поне един: \(18 + 14 - 6 = 26\). Нито един: \(30 - 26 = 4\). а) \(\frac{26}{30} = \frac{13}{15}\); б) \(\frac{4}{30} = \frac{2}{15}\).
Задача 26В една торба има 4 червени, 6 сини и 5 жълти топчета. Каква е вероятността произволно извадено топче да е: а) синьо; б) червено или жълто; в) не е синьо?
Отг.: Общо 15. а) \(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\); б) \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\); в) \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\).
Отг.: Общо 15. а) \(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\); б) \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\); в) \(\frac{9}{15} = \frac{3}{5}\).
Задача 27Колко са двуцифрените числа? Каква е вероятността произволно избрано двуцифрено число да: а) е кратно на 10; б) се дели на 7?
Отг.: Общо: 90 (от 10 до 99). а) 10,20,...,90 — 9: \(\frac{9}{90} = \frac{1}{10}\); б) 14, 21, ..., 98 — 13 числа: \(\frac{13}{90}\).
Отг.: Общо: 90 (от 10 до 99). а) 10,20,...,90 — 9: \(\frac{9}{90} = \frac{1}{10}\); б) 14, 21, ..., 98 — 13 числа: \(\frac{13}{90}\).
Задача 28Хвърлят се две монети. Каква е вероятността да се падне поне един път тура? А поне един път ези? Изчислете и сумата на двете вероятности — каква е тя?
Отг.: Възможни (ЕЕ,ЕТ,ТЕ,ТТ) — 4. Поне един път тура: 3 (ЕТ,ТЕ,ТТ) — \(\frac{3}{4}\). Поне един път ези: също \(\frac{3}{4}\). Сумата е \(\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} > 1\), защото двете събития не са несъвместими — имат общи изходи ЕТ и ТЕ.
Отг.: Възможни (ЕЕ,ЕТ,ТЕ,ТТ) — 4. Поне един път тура: 3 (ЕТ,ТЕ,ТТ) — \(\frac{3}{4}\). Поне един път ези: също \(\frac{3}{4}\). Сумата е \(\frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} > 1\), защото двете събития не са несъвместими — имат общи изходи ЕТ и ТЕ.
Задача 29Множеството \(A\) се състои от четните двуцифрени числа, които могат да се съставят от цифрите 0, 1, 2, 3, 4, 5 (може с повторение). Колко елемента има \(A\)? Каква е вероятността произволно избрано число от \(A\) да е кратно на 4?
Отг.: Двуцифрено четно: първа цифра 1-5 (5 възможности), втора цифра 0,2,4 (3 възможности). Общо \(5 \cdot 3 = 15\). Кратни на 4 от тях: 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52 — 7. \(P = \frac{7}{15}\).
Отг.: Двуцифрено четно: първа цифра 1-5 (5 възможности), втора цифра 0,2,4 (3 възможности). Общо \(5 \cdot 3 = 15\). Кратни на 4 от тях: 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52 — 7. \(P = \frac{7}{15}\).
Задача 30Разглеждаме множеството на трицифрените числа, записани с три различни цифри (без повторение). Каква е вероятността произволно избрано такова число да е точен квадрат?
Отг.: Общо трицифрени числа с три различни цифри: \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\). Точните квадрати от 100 до 999 (от \(10^2\) до \(31^2\)) с три различни цифри са: 169, 196, 256, 289, 324, 361, 529, 576, 625, 729, 784, 841, 961 — общо 13. \(P = \frac{13}{648}\).
Отг.: Общо трицифрени числа с три различни цифри: \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\). Точните квадрати от 100 до 999 (от \(10^2\) до \(31^2\)) с три различни цифри са: 169, 196, 256, 289, 324, 361, 529, 576, 625, 729, 784, 841, 961 — общо 13. \(P = \frac{13}{648}\).
✅ Онлайн тест
Тест: Вероятност на случайно събитие
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Хвърляме зар. Каква е вероятността да се падне числото 4?
2В кутия има 8 бели, 5 черни и 7 червени топчета. Каква е вероятността извадено топче да е черно?
3Какво е събитието „при хвърляне на зар се пада число от 1 до 6“?
4Намерете вероятността при избор на буква от думата „МАТЕМАТИКА“ да получим гласна буква.
5В лотария има 500 билета, 25 от които са печеливши. Каква е вероятността за печалба?
6В една кутия има 10 топчета. Ако вероятността да се извади бяло е \(\frac{3}{5}\), колко са белите топчета?
7Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне четно число?
8Колко са възможните изходи при хвърляне на два зара?
9При хвърляне на два зара каква е вероятността сборът на точките да е равен на 7?
10От тесте с 32 карти се тегли една карта. Каква е вероятността да е купа?
11Вероятността да завали дъжд днес е 0,3. Каква е вероятността да не завали?
12Каква е вероятността при хвърляне на две монети да се падне ези и тура (в произволен ред)?
13Каква е вероятността произволно избрано естествено число от 1 до 20 да е кратно на 5?
14Колко са трицифрените кодове, съставени от цифрите 1, 2, 3 и 4 с повторение?
15Вероятността на достоверно (сигурно) събитие е:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥 Видео към урока
Видео разработка на този урок очаквайте скоро в YouTube канала на д-р Атанас Илчев. Там ще намерите и други видео уроци по математика за 6. клас.
🔗 Свързани уроци
📦
Множества и операции с тях
Урок за 6. клас от раздела „Елементи от вероятности и статистика“ — обединение, сечение, разлика на множества и диаграми на Ойлер–Вен. 25 решени задачи и тест.
Към урока →
📊
Средноаритметично на числа. Таблично и графично представяне на данни
Урок за 6. клас от раздела „Елементи от вероятности и статистика“ — средноаритметично, таблици, линейна и кръгова диаграма, хистограма.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар