Таблични и графично представяне на данни. Средноаритметично на числа

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Статистика › Средноаритметично и представяне на данни

Средноаритметично на числа —
таблично и графично представяне на данни

Средна стойност, претеглена средна, таблици, линейна диаграма, хистограма и кръгова диаграма — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

6. клас Средноаритметично Таблици Хистограма Кръгова диаграма Д-р Атанас Илчев

В този урок ще видим как се намира средноаритметичното на числа и защо то е полезно в реални ситуации — например при средна цена, средна скорост, среден успех или средни валежи. След това ще разгледаме как данните се подреждат в таблици и как се представят графично чрез линейна диаграма, хистограма и кръгова диаграма. Включени са разработени задачи с решения, задачи за самостоятелна работа и онлайн тест за проверка.

📊 Средноаритметично на числа

Определение: Сборът на две или повече числа, разделен на техния брой, се нарича средноаритметично (средна стойност) на тези числа. Ако числата са \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) (общо \(n\) на брой), то средноаритметичното им \(\bar{a}\) е: \[\bar{a} = \dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}.\]

Пример: Средноаритметичното на числата 7, 9, 16 и 22 е \(\dfrac{7+9+16+22}{4} = \dfrac{54}{4} = 13{,}5\).

Свойства:

• Средноаритметичното винаги е между най-малкото и най-голямото число.
• Ако всички числа са равни, средното им е равно на самото число.
• При претеглена средна стойност (средна скорост, средна цена и др.) се отчита „тежестта“ на всяко число (време, количество и т.н.): \(\bar{a} = \dfrac{a_1 w_1 + a_2 w_2 + \ldots + a_n w_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}.\)
• Ако сборът на \(n\) числа е \(S\), при добавяне на ново число \(x\) новото средно е \(\dfrac{S+x}{n+1}.\)

📋 Таблично представяне на данни

Често се налага да събираме и сравняваме числова информация — например оценки на ученици, температури, валежи, цени, доходи или резултати от анкети. Такава информация наричаме данни. Един от най-удобните начини за подреждане на данни е чрез таблица — по редове и колони. Обикновено първата колона показва какво означават редовете, а първият ред — какво означават колоните.

При разчитане на таблица проверяваме:

1. какво е заглавието на таблицата;
2. какви са наименованията на редовете и колоните;
3. какви са мерните единици на нанесените данни.

Пример. В таблицата са дадени набраните количества праскови и грозде в една овощна градина:

Месец / плод	Праскови	Грозде
август	10 т	12 т
септември	15 т	20 т

📈 Графично представяне на данни

Числовите данни често се представят чрез диаграми. Те помагат по-лесно да сравняваме стойности, да проследяваме промени и да откриваме коя част е най-голяма или най-малка. В този урок ще използваме три основни вида диаграми: линейна диаграма, хистограма и кръгова диаграма.

Видове диаграми:

• Линейна диаграма — отделните точки, представящи данните, се свързват с начупена линия (графика). Подходяща за проследяване на промени във времето (температура, ръст, печалба).
• Хистограма — стълбовидна диаграма, при която данните се представят с правоъгълни стълбове. Височината на всеки стълб показва съответната стойност или брой.
• Кръгова диаграма — диаграма във формата на кръг, разделен на сектори. Всеки сектор показва каква част от цялото заема дадена стойност. Сборът на всички проценти е 100%, което съответства на целия кръг — \(360°\).

Кръгова диаграма — централен ъгъл: При кръговата диаграма всяка част от данните се представя със сектор от кръга. Колкото по-голям е процентът, толкова по-голям е и централният ъгъл на съответния сектор. Тъй като целият кръг е \(360°\), на 100% съответстват \(360°\), а на 1% съответства ъгъл \(\dfrac{360°}{100} = 3{,}6°\). За процент \(p\%\) централният ъгъл е \(\alpha = 3{,}6° \cdot p\).

Пример. В таблицата са дадени резултатите от измерването на ръста на 50 ученици:

Ръст (см)	<141	141–150	151–160	161–170	>170
Брой ученици	2	16	22	9	1

---

✏️ Разработени задачи

Изберете задача, за да видите решението.

1

Пресметнете средноаритметичното на числата: а) 9 и 23; б) 14 и −6; в) −2,8 и 4,5; г) 3, 25 и 77.

▼

РешениеПо формулата \(\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\):
а) \(\frac{9 + 23}{2} = \frac{32}{2} = \mathbf{16}\).
б) \(\frac{14 + (-6)}{2} = \frac{8}{2} = \mathbf{4}\).
в) \(\frac{-2{,}8 + 4{,}5}{2} = \frac{1{,}7}{2} = \mathbf{0{,}85}\).
г) \(\frac{3 + 25 + 77}{3} = \frac{105}{3} = \mathbf{35}\).

2

Пресметнете средноаритметичното на естествените числа от 1 до 10.

▼

РешениеЧислата са 1, 2, 3, …, 10 (общо 10 на брой). Сборът им е \(1+2+\ldots+10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55\).
Тогава \(\bar{a} = \frac{55}{10} = \mathbf{5{,}5}\).

3

В таблицата е даден годишният доход на едно домакинство за три последователни години. Намерете средния годишен доход (с точност до 1 ст.).

Година	Доход (лв.)
2005	9 752
2006	10 509
2007	11 250

▼

Решение\(\bar{a} = \frac{9752 + 10509 + 11250}{3} = \frac{31511}{3} \approx \mathbf{10\,503{,}67}\) лв.

4

Пресметнете средната скорост на автобус, ако се е движил: а) 1 ч със скорост 52 км/ч и 1 ч със скорост 57 км/ч; б) 1 ч със скорост 49 км/ч и 2 ч със скорост 55 км/ч; в) 2 ч със скорост 60 км/ч и 3 ч със скорост 70 км/ч.

▼

РешениеСредната скорост е претеглена средна стойност: \(\bar{v} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}\).
а) \(\bar{v} = \frac{52 \cdot 1 + 57 \cdot 1}{2} = \frac{109}{2} = \mathbf{54{,}5}\) км/ч.
б) \(\bar{v} = \frac{49 \cdot 1 + 55 \cdot 2}{3} = \frac{159}{3} = \mathbf{53}\) км/ч.
в) \(\bar{v} = \frac{60 \cdot 2 + 70 \cdot 3}{5} = \frac{330}{5} = \mathbf{66}\) км/ч.

5

Намерете числото \(a\), ако средноаритметичното му: а) с числото 5,2 е 4; б) с числата 6 и 13 е 7,2; в) с числата \(2\frac{1}{2}\), \(5\frac{1}{4}\) и \(4\frac{2}{5}\) е 5.

▼

Решениеа) \(\frac{a + 5{,}2}{2} = 4 \Rightarrow a + 5{,}2 = 8 \Rightarrow a = \mathbf{2{,}8}\).
б) \(\frac{a + 6 + 13}{3} = 7{,}2 \Rightarrow a + 19 = 21{,}6 \Rightarrow a = \mathbf{2{,}6}\).
в) Превръщаме в десетични: \(2\frac{1}{2} = 2{,}5\); \(5\frac{1}{4} = 5{,}25\); \(4\frac{2}{5} = 4{,}4\). Тогава \(\frac{a + 2{,}5 + 5{,}25 + 4{,}4}{4} = 5 \Rightarrow a + 12{,}15 = 20 \Rightarrow a = \mathbf{7{,}85}\).

6

Средноаритметичното на 5 числа е 21. Ако към тях прибавим числата 9 и 12, колко ще е средноаритметичното на всички числа?

▼

РешениеСборът на първите 5 числа е \(5 \cdot 21 = 105\). След прибавянето на 9 и 12 имаме 7 числа със сбор \(105 + 9 + 12 = 126\).
\(\bar{a} = \frac{126}{7} = \mathbf{18}\).

7

Средноаритметичното на 4 числа е 8, а на други 8 числа е 4. Колко е средноаритметичното на всичките 12 числа?

▼

РешениеСборът на първите 4 числа е \(4 \cdot 8 = 32\). Сборът на другите 8 числа е \(8 \cdot 4 = 32\). Общ сбор: \(32 + 32 = 64\).
\(\bar{a} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3} \approx \mathbf{5{,}33}\).

8

В таблицата са дадени годишният добив на картофи на земеделец и средната цена за 1 т. Колко лева средно е получил земеделецът за продажбата на 1 т картофи за тригодишния период (с точност до 1 ст.)?

Година	Добив (т)	Ср. цена за 1 т
2005	32	420 лв.
2006	36	395 лв.
2007	28	504 лв.

▼

РешениеТова е претеглено средно. Общата сума от продажбата:
\(32 \cdot 420 + 36 \cdot 395 + 28 \cdot 504 = 13\,440 + 14\,220 + 14\,112 = 41\,772\) лв.
Общо количество: \(32 + 36 + 28 = 96\) т.
Средна цена: \(\bar{c} = \frac{41\,772}{96} \approx \mathbf{435{,}13}\) лв./т.

9

На хистограмата са показани резултатите по математика за първия учебен срок на 6.а, 6.б и 6.в класове. Попълнете таблицата с данните и пресметнете средния успех на всеки клас.

▼

РешениеРазчитаме данните и съставяме таблицата:

Клас	2	3	4	5	6	Брой
6.а	4	5	7	5	1	22
6.б	1	4	8	8	3	24
6.в	4	4	5	6	1	20

6.а: \(\bar{a} = \frac{2\cdot4 + 3\cdot5 + 4\cdot7 + 5\cdot5 + 6\cdot1}{22} = \frac{82}{22} \approx \mathbf{3{,}73}\).
6.б: \(\bar{a} = \frac{2\cdot1 + 3\cdot4 + 4\cdot8 + 5\cdot8 + 6\cdot3}{24} = \frac{104}{24} \approx \mathbf{4{,}33}\).
6.в: \(\bar{a} = \frac{2\cdot4 + 3\cdot4 + 4\cdot5 + 5\cdot6 + 6\cdot1}{20} = \frac{76}{20} = \mathbf{3{,}80}\).
Най-много шестици: 6.б (3 шестици). Най-малко четворки: 6.в (5 четворки).

10

В таблицата са дадени средният ръст и допустимото отклонение в ръста на нормално развиващо се дете от раждането до 1 година. Постройте линейна диаграма на минималните и максималните стойности на ръста за посочените възрасти.

Възраст	0 м.	3 м.	6 м.	9 м.	12 м.
Ср. ръст	53 см	62 см	69 см	73 см	78 см
Отклонение	±2	±3	±3	±3	±4

▼

РешениеМинимални и максимални стойности (см):

Възраст	0 м.	3 м.	6 м.	9 м.	12 м.
Мин	51	59	66	70	74
Макс	55	65	72	76	82

11

На диаграмата са показани стойностите на температурата в град N в различни часове от едно денонощие.

а) Колко градуса е разликата между стойностите в началото и в края на денонощието?
б) С колко градуса се е повишила температурата от 8 ч до 12 ч?
в) Преди или след 6 ч температурата е била 0°?

▼

Решениеа) В 0 ч: \(-4{,}7°\); в 24 ч: \(5{,}5°\). Разлика: \(5{,}5 - (-4{,}7) = \mathbf{10{,}2°}\).
б) В 8 ч температурата е \(1{,}2°\), а в 12 ч е \(10{,}8°\). Повишението е \(10{,}8° - 1{,}2° = \mathbf{9{,}6°}\). Следователно температурата се е повишила с \(9{,}6°\).
в) В 4 ч е \(-2{,}5°\), а в 8 ч е \(1{,}2°\). Температурата минава през 0° след 6 ч (приблизително около 7 ч).

12

Хистограмата представя финансовите резултати на фирма за пет последователни години: 2002 → +9 500 лв.; 2003 → −13 200 лв.; 2004 → −8 700 лв.; 2005 → +3 400 лв.; 2006 → +11 600 лв. Пресметнете средния финансов резултат на фирмата за петте години.

▼

РешениеСумираме петте финансови резултата:
\(9500 + (-13\,200) + (-8\,700) + 3400 + 11\,600 = 2600\) лв.
\(\bar{a} = \frac{2600}{5} = \mathbf{520}\) лв.

13

По данни от кръговата диаграма пресметнете по колко леки автомобила е произвела всяка от трите страни — Япония (20%), САЩ (14%) и Германия (13%) — през 2000 г., ако общо в света са произведени 40 000 000 автомобила.

▼

РешениеЯпония: \(\frac{20}{100} \cdot 40\,000\,000 = \mathbf{8\,000\,000}\) бр.
САЩ: \(\frac{14}{100} \cdot 40\,000\,000 = \mathbf{5\,600\,000}\) бр.
Германия: \(\frac{13}{100} \cdot 40\,000\,000 = \mathbf{5\,200\,000}\) бр.

14

В таблицата е дадено разпределението на времето на шестокласник за едно денонощие. Изчислете колко процента от денонощието отнема всяка дейност и постройте кръгова диаграма.

Дейност	Време (ч)
Учебни занятия	6
Подготовка за училище	3
Почивка	2
ТВ и компютър	2
Спорт	2
Сън	9

▼

РешениеОбщо: \(6+3+2+2+2+9 = 24\) ч. Изчисляваме процент и централен ъгъл (1% ↔ 3,6°):

Дейност	Часа	%	Ъгъл
Учебни занятия	6	25%	90°
Подготовка	3	12,5%	45°
Почивка	2	≈8,33%	30°
ТВ/комп.	2	≈8,33%	30°
Спорт	2	≈8,33%	30°
Сън	9	37,5%	135°

Проверка: \(90+45+30+30+30+135 = 360°\) ✓

15

Невена има следните оценки за първия учебен срок: български език — 6; английски — 5; математика — 5; информационни технологии — 6; история — 6; география — 5; човек и природа — 4; музика — 4; изобразително изкуство — 6; домашна техника — 6; ФВС — 5. а) Пресметнете средния успех (с точност до 0,01). б) С колко процента ще се увеличи средният ѝ успех, ако по 6 от предметите повиши оценките си с по една единица?

▼

Решениеа) Оценките са 6, 5, 5, 6, 6, 5, 4, 4, 6, 6, 5 (общо 11). Сбор:
\(6+5+5+6+6+5+4+4+6+6+5 = 58\). \(\bar{a} = \frac{58}{11} \approx \mathbf{5{,}27}\).
б) Ако повиши 6 оценки с по 1, новият сбор е \(58+6=64\), новото средно: \(\frac{64}{11}\).
Увеличение: \(\frac{64}{11} - \frac{58}{11} = \frac{6}{11}\).
В проценти спрямо първоначалния среден успех:
\(\frac{\frac{6}{11}}{\frac{58}{11}} \cdot 100\% = \frac{6}{58} \cdot 100\% \approx \mathbf{10{,}34\%}\).

16

Като използвате данните от таблицата, попълнете имената на държавите, означени с номера (от 1 до 5) в хистограмата. Стълбовете имат височини: 1 — около 110 хил.; 2 — около 9,4 млн.; 3 — около 550 хил.; 4 — почти 0; 5 — около 17 млн. кв. км.

Държава	Площ (кв. км)
България	110 990
Франция	547 026
Русия	17 075 400
САЩ	9 363 123
Монако	2

▼

РешениеПодреждаме по височина на стълбовете:
1 → България (110 990); 2 → САЩ (9 363 123); 3 → Франция (547 026); 4 → Монако (2); 5 → Русия (17 075 400).

17

На кръговата диаграма са представени исторически данни за населението на шест от най-големите държави в ЕС преди излизането на Великобритания от Европейския съюз: Великобритания — 13%, Германия — 16%, Испания — 9%, Италия — 12%, Полша — 8%, Франция — 13%; останалите в ЕС — 29%. а) Вярно ли е, че населението на четири от държавите е равно на половината от населението на ЕС? Кои са те? б) Ако населението на ЕС е 505 670 000 жители, попълнете таблицата.

▼

Решениеа) Търсим четири процента със сума 50%:
\(16\% + 13\% + 12\% + 9\% = 50\%\) ✓
Една възможна четворка е: Германия, Великобритания, Италия и Испания. Понеже Франция също е 13%, тя може да замени Великобритания в тази четворка.
б) Изчисляваме \(p\%\) от 505 670 000:

Държава	%	Население
Великобритания	13%	65 737 100
Германия	16%	80 907 200
Испания	9%	45 510 300
Италия	12%	60 680 400
Полша	8%	40 453 600
Франция	13%	65 737 100

18

На диаграмата е представено разпределението на годишния семеен бюджет: транспорт — 15%, данъци и осигуровки — 15%, отдих и развлечения — 18%, други — 7%, храна и напитки — 35%, поддръжка на жилището — 10%. За транспорт се изразходват 2 700 лв. а) Ако централният ъгъл на сектора „Транспорт“ е \(54°\), намерете общата сума на бюджета. б) Колко лева семейството изразходва за храна и напитки?

▼

Решениеа) \(54° \div 3{,}6° = 15\%\) (потвърждава Транспорт = 15%). От 15% \(\leftrightarrow\) 2 700 лв.:
\(\text{Бюджет} = \frac{2700}{0{,}15} = \mathbf{18\,000}\) лв.
Проверка: \(15\% + 15\% + 18\% + 7\% + 35\% + 10\% = 100\%\) ✓
От условието имаме, че за храна и напитки са отделени 35% от бюджета.
б) Храна и напитки: \(0{,}35 \cdot 18\,000 = \mathbf{6\,300}\) лв.

19

В таблицата е дадена месечната сума на валежите (мм) в една община за месеците от януари до декември: 53; 47; 62; 61; 107; 104; 104; 58; 79; 71; 44; 60. Пресметнете средната стойност на валежите за всеки от сезоните и представете резултатите графично с хистограма.

▼

РешениеЗима = XII, I, II → \(\frac{60+53+47}{3} \approx \mathbf{53{,}3}\) мм.
Пролет = III, IV, V → \(\frac{62+61+107}{3} \approx \mathbf{76{,}7}\) мм.
Лято = VI, VII, VIII → \(\frac{104+104+58}{3} \approx \mathbf{88{,}7}\) мм.
Есен = IX, X, XI → \(\frac{79+71+44}{3} \approx \mathbf{64{,}7}\) мм.

20

Като използвате данните от хистограмата (средна температура по седмици през февруари: първа −1,8°; втора 3,5°; трета 8,3°; четвърта 7,6°), изчислете средната температура за месец февруари.

▼

Решение\(\bar{t} = \frac{-1{,}8 + 3{,}5 + 8{,}3 + 7{,}6}{4} = \frac{17{,}6}{4} = \mathbf{4{,}4^\circ\mathrm{C}}\).

---

⭐ Задачи с повишена трудност

21

Средноаритметичното на три числа е 85. Ако удвоим първото число, ще получим 3 пъти по-голямо число от второто. Третото число е 6 пъти по-голямо от второто. Намерете числата. ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека второто число е \(b\). От условията: \(2a = 3b \Rightarrow a = \frac{3b}{2}\); \(c = 6b\).
От средното = 85: \(a+b+c = 255\).
\(\frac{3b}{2} + b + 6b = 255 \Rightarrow \frac{17b}{2} = 255 \Rightarrow b = 30\).
Тогава \(a = \frac{3 \cdot 30}{2} = \mathbf{45}\), \(b = \mathbf{30}\), \(c = \mathbf{180}\).
Проверка: \(\frac{45+30+180}{3} = \frac{255}{3} = 85\) ✓

22

Във фирма работят трима техници с месечна заплата 420 лв. и двама инженери с месечна заплата 560 лв. Месечната заплата на всички останали служители е 380 лв. От колко души се състои персоналът, ако средната месечна заплата във фирмата е 400 лв.? ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека останалите служители са \(x\). Общ брой: \(5+x\).
Обща сума на заплатите: \(3 \cdot 420 + 2 \cdot 560 + 380x = 1260 + 1120 + 380x = 2380 + 380x\).
\(\frac{2380 + 380x}{5+x} = 400 \Rightarrow 2380 + 380x = 2000 + 400x\).
\(380 = 20x \Rightarrow x = 19\). Общо: \(5 + 19 = \mathbf{24}\) души.

23

В група от 80 ученици момчетата са с 40% по-малко от момичетата. Средната възраст на момичетата е 15 г., на момчетата — 17 г. Средното тегло на учениците е 65 кг, а на момчетата — 72 кг. а) С колко момичетата са повече от момчетата? б) Каква е средната възраст на учениците? в) Колко е средното тегло на момичетата? ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека момичетата са \(d\), тогава момчетата са \(0{,}6d\). От \(d + 0{,}6d = 80\) следва \(1{,}6d = 80\), т.е. \(d = 50\), момчетата са 30.
а) Разлика: \(50 - 30 = \mathbf{20}\) повече момичета.
б) Средната възраст на всички ученици е \(\frac{50 \cdot 15 + 30 \cdot 17}{80} = \frac{1260}{80} = \mathbf{15{,}75}\) години.
в) Нека средното тегло на момичетата е \(\bar{t}_d\). От \(\frac{50 \bar{t}_d + 30 \cdot 72}{80} = 65\):
\(50 \bar{t}_d + 2160 = 5200 \Rightarrow \bar{t}_d = \mathbf{60{,}8}\) кг.

24

Средноаритметичното на четири числа е 20. Средноаритметичното на първите три числа е 20, а на последните три е 15. Намерете средноаритметичното на средните две числа. ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека числата са \(a, b, c, d\). От условията:
\(a+b+c+d = 80\) (1); \(a+b+c = 60\) (2); \(b+c+d = 45\) (3).
От (1) и (2): \(d = 80 - 60 = 20\).
От (1) и (3): \(a = 80 - 45 = 35\).
От (2): \(b+c = 60 - 35 = 25\). Тогава \(\frac{b+c}{2} = \frac{25}{2} = \mathbf{12{,}5}\).

25

На класната работа по математика Константин решавал тест, в който всеки верен отговор се оценявал с 3 точки, непопълнен — с 0 точки, а за грешен отговор се отнемала 1 точка. Той отговорил на 80% от въпросите, но 25% от отговорите му са грешни. а) Колко точки е получил Константин, ако е попълнил грешно 5 от отговорите? б) От колко въпроса се е състоял тестът, ако Константин е получил 80 точки? ⭐ Повишена трудност

▼

РешениеНека общият брой въпроси е \(n\). Отговорени: \(0{,}8n\). От тях грешни: \(0{,}25 \cdot 0{,}8n = 0{,}2n\). Верни: \(0{,}8n - 0{,}2n = 0{,}6n\). Непопълнени: \(0{,}2n\).
Точки: \(T = 3 \cdot 0{,}6n - 1 \cdot 0{,}2n = 1{,}8n - 0{,}2n = 1{,}6n\).
а) \(0{,}2n = 5 \Rightarrow n = 25\). Точки: \(T = 1{,}6 \cdot 25 = \mathbf{40}\) точки.
б) \(1{,}6n = 80 \Rightarrow n = \mathbf{50}\) въпроса.
Ако резултатите се представят с кръгова диаграма, ще получим: верни отговори — 60% или \(216°\), грешни отговори — 20% или \(72°\), непопълнени въпроси — 20% или \(72°\).

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Намерете средноаритметичното на числата: а) 44, 39, 13, 23, 50, 11; б) \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}\); в) \(2^3, 3^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3, \left(\frac{1}{3}\right)^2\); г) −13, −11, −5, 0, 4, 17, 33.
Отг.: а) 30; б) \(\frac{163}{240} \approx 0{,}679\); в) \(\frac{1241}{288} \approx 4{,}31\); г) \(\frac{25}{7} \approx 3{,}57\).

Задача 2Средноаритметичното на три последователни числа е 33. Намерете числата.
Отг.: 32, 33, 34.

Задача 3Средноаритметичното на седем последователни числа е 50. Намерете числата.
Отг.: 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53.

Задача 4Госпожа Иванова купила три вида сладки. Платила 6,50 лв. за 300 г от първия вид, 7,20 лв. за 250 г от втория и 13,50 лв. за 450 г от третия. Намерете средната цена на 100 г сладки.
Отг.: \(\frac{6{,}50 + 7{,}20 + 13{,}50}{(300+250+450)} \cdot 100 = \frac{27{,}20}{1000} \cdot 100 = 2{,}72\) лв./100 г.

Задача 5На тренировка плувец загрявал, като плувал 30 мин със скорост 6,1 км/ч, следващите половин час тренирал със скорост 6,7 км/ч и накрая за издръжливост плувал 45 мин със скорост 6,3 км/ч. Каква е средната скорост на плувеца?
Отг.: \(\bar{v} = \frac{6{,}1 \cdot 0{,}5 + 6{,}7 \cdot 0{,}5 + 6{,}3 \cdot 0{,}75}{1{,}75} \approx 6{,}36\) км/ч.

Задача 6Средноаритметичното на три числа е 45, а на други четири числа е 52. Намерете средноаритметичното на седемте числа.
Отг.: \(\frac{3 \cdot 45 + 4 \cdot 52}{7} = \frac{343}{7} = 49\).

Задача 7Средноаритметичното на пет числа е 25. Кое число трябва да се добави, така че средноаритметичното на шестте числа да е 26?
Отг.: 31.

Задача 8През първата седмица на учебната година Васко измерил времето си от къщи до училище (мин): понеделник — 11; вторник — 14; сряда — 12; четвъртък — 10; петък — 13. Какво е средното време?
Отг.: 12 мин.

Задача 9Средноаритметичното на три последователни нечетни числа е 17. Намерете най-голямото от тях.
Отг.: 19.

Задача 10Средноаритметичното на две числа е равно на 7, а разликата им е 16. Намерете по-малкото от двете числа.
Отг.: −1.

Задача 11Произведението на две естествени числа е 12. Намерете най-голямата възможна стойност на тяхното средноаритметично.
Отг.: \(\frac{1+12}{2} = 6{,}5\).

Задача 12Средноаритметичното на числата \(a\) и \(b\) е 2, а средноаритметичното на \(a, b\) и \(c\) е 3. Намерете \(c\).
Отг.: \(c = 5\).

Задача 13В таблицата са показани резултатите по математика на 6. клас:

Оценка	Слаб 2	Среден 3	Добър 4	Мн. добър 5	Отличен 6
Брой	4	12	18	24	14

а) Намерете общия брой ученици. б) Намерете средния успех. в) Колко процента са оценките „добър“? г) Намерете отношението отличен : мн. добър : добър.
Отг.: а) 72; б) \(\frac{320}{72} \approx 4{,}44\); в) 25%; г) 14 : 24 : 18 = 7 : 12 : 9.

Задача 14В таблицата са показани резултатите от контролна работа на 6.а клас. Начертайте хистограма и пресметнете средния успех.

Оценка	Слаб	Среден	Добър	Мн. добър	Отличен
Брой	2	4	8	6	5

Отг.: общо 25 ученици; \(\bar{a} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 6 + 6 \cdot 5}{25} = \frac{108}{25} = 4{,}32\).

Задача 15В таблицата е даден броят на учениците от 5., 6., 7. и 8. клас:

Клас	5.	6.	7.	8.
Брой	72	69	75	54

а) Намерете общия брой. б) Намерете централните ъгли за кръгова диаграма. в) Пресметнете процентите.
Отг.: а) 270; б) 96°, 92°, 100°, 72°; в) 26,7%, 25,6%, 27,8%, 20%.

Задача 16На диаграмата за трафика на едно кръстовище за 2 ч са представени: автомобили 52%, камиони 30%, автобуси 16%, мотоциклети — останалият процент. Попълнете таблица с броя на всеки вид, ако камионите са 135.
Отг.: общо 450; автомобили 234; камиони 135; автобуси 72; мотоциклети 9 (2%).

Задача 17В една фирма мениджърите получават 20% от работната заплата, инженерният състав — 30%, работниците — 45%. Останалата част получава администрацията. а) Колко процента е делът на администрацията? б) Какво е отношението на сумите за ръководни кадри към тези за работниците? в) Ако администрацията получава 24 000 лв./месец, намерете заплатите на останалия персонал.
Отг.: а) 5%; б) \(\frac{50}{45} = \frac{10}{9}\); в) общо 480 000 лв., мениджъри 96 000, инженери 144 000, работници 216 000 лв.

Задача 18В училище е проведена анкета за предпочитаната храна: плодове 9%, вафли 26%, чипс 30%, пуканки 21%, спагети 14%. а) Кой вид храна е най-предпочитан? б) Какво е отношението на броя ученици, предпочитащи пуканки, и тези на спагети? в) Вярно ли е, че сумата вафли + чипс е по-голяма от половината анкетирани?
Отг.: а) чипс (30%); б) \(\frac{21}{14} = \frac{3}{2}\); в) да, \(26\% + 30\% = 56\% > 50\%\).

Задача 19В един град: градски транспорт 45%, такси 13%, пеша 25%, автомобил 10%, колело 7%. а) Кой е най-предпочитаният транспорт? б) Вярно ли е, че повече от половината пътуват с градски транспорт или пеша?
Отг.: а) градски транспорт; б) да, \(45\% + 25\% = 70\% > 50\%\).

Задача 20На диаграма „Хранителни норми за деца 11–13 г.“: въглехидрати 66%, белтъчини 17%, мазнини 17%. а) Каква е дневната норма на въглехидратите за момче, ако приема 560 г общо? б) Колко грама общо от трите вида трябва да приема момиче, ако нормата за белтъчини е 85 г? в) С колко процента нормата на мазнините е по-ниска от тази на въглехидратите?
Отг.: а) \(0{,}66 \cdot 560 = 369{,}6\) г; б) \(\frac{85}{0{,}17} = 500\) г; в) с \(\frac{66-17}{66} \cdot 100\% \approx 74{,}24\%\).

Задача 21Месечните суми на валежите в община (мм): 53; 47; 62; 61; 107; 104; 104; 58; 79; 71; 44; 60. Пресметнете средната месечна сума на валежите за годината.
Отг.: \(\bar{a} = \frac{850}{12} \approx 70{,}83\) мм.

Задача 22На диаграмата е представено разпределението на разходите на многодетно семейство с месечен доход 2 000 лв.: храна 45%, битови нужди 15%, облекло 10%, други 30%. По колко лева отделя семейството за всеки разход? Кой разход е най-голям?
Отг.: 900 лв. за храна, 300 лв. за битови нужди, 200 лв. за облекло, 600 лв. за други. Най-голям е разходът за храна.

Задача 23На кръговата диаграма за успеха по математика на 300 ученици: 70% имат „6“, 20% — „5“, 7% — „4“ и 3% — „3“. Намерете броя на учениците с всяка оценка.
Отг.: 210; 60; 21; 9.

Задача 24Намерете средноаритметичното на числата: а) 6, 4, 8, −5, 7, 2; б) 3,2; −6,4; −15,6; 18,8; в) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \frac{1}{3}\); г) \(5^2, 5, 5^3\).
Отг.: а) \(\frac{22}{6} = \frac{11}{3}\); б) 0; в) \(\frac{11}{40}\); г) \(\frac{155}{3} = 51\frac{2}{3}\).

Задача 25Средноаритметичното на три числа е 13. Второто е с 5 по-голямо от първото, а третото — с 1 по-малко от второто. Намерете числата.
Отг.: 10, 15, 14.

Задача 26В клас от 30 ученици броят на учениците, изучаващи немски, френски, английски и испански, се отнася като 2 : 3 : 4 : 1. а) Намерете броя на учениците за всеки език. б) Изобразете процентното разпределение чрез хистограма и кръгова диаграма.
Отг.: а) 6, 9, 12, 3; б) 20%, 30%, 40%, 10% (ъгли 72°, 108°, 144°, 36°).

Задача 27Представете таблично данните за ръста на баскетболисти, ако броят с ръст 1,71–1,80 м е 1, с ръст 1,81–1,90 м е 2, а с ръст 1,91–2 м е 4. Пресметнете и средния ръст (като вземете среден ръст за всеки интервал).
Отг.: \(\bar{r} = \frac{1 \cdot 1{,}755 + 2 \cdot 1{,}855 + 4 \cdot 1{,}955}{7} \approx 1{,}90\) м.

Задача 28В институт с 200 служители броят на тези с висше, средно и основно образование се отнася като 3 : 4 : 1. а) Намерете броя във всяка група. б) Изчислете процентите.
Отг.: а) 75; 100; 25; б) 37,5%; 50%; 12,5%.

Задача 29Средната възраст на населението в България (2000–2018 г.): 39,9; 40,4; 40,6; 40,8; 41,0; 41,2; 41,4; 41,5; 41,7; 41,8; 41,9; 42,7; 42,8; 43,0; 43,2; 43,3; 43,5; 43,6; 43,8. Посочете през коя година изменението е най-голямо спрямо предходната година. Пресметнете средната стойност за периода.
Отг.: най-голямо изменение — 2011 г. (+0,8 г. спрямо 2010); средна стойност \(\bar{a} \approx 42{,}01\) г.

Задача 30Телесна температура на пациент в болница 5 XI – 11 XI: 39,2°; 40,0°; 38,3°; 39,2°; 37,3°; 37,1°; 36,4°. а) Съставете таблица. б) Пресметнете средната телесна температура. в) Кой ден е била най-висока?
Отг.: б) \(\bar{t} = \frac{267{,}5}{7} \approx 38{,}21^\circ\mathrm{C}\); в) 6 XI с \(40^\circ\mathrm{C}\).

---

✅ Онлайн тест

Средноаритметично и представяне на данни — тест

15 въпроса × 4 точки = 60 точки • ≥50→6 • ≥40→5 • ≥30→4 • ≥15→3

1Средноаритметичното на числата 8, 12 и 16 е:

а) 10б) 12в) 14г) 36

2Средноаритметичното на числата −5 и 9 е:

а) 2б) 4в) 7г) −2

3Средноаритметичното на 4 числа е 12. Колко е сборът им?

а) 16б) 3в) 48г) 24

4Сборът на пет числа е 75. Колко е средноаритметичното им?

а) 12б) 15в) 20г) 25

5Средноаритметичното на естествените числа от 1 до 5 е:

а) 2,5б) 3в) 3,5г) 5

6Кръговата диаграма представя данните чрез:

а) правоъгълнициб) триъгълницив) кръгови секториг) точки

7На колко градуса съответства 1% в кръгова диаграма?

а) 1°б) 3,6°в) 10°г) 36°

8Сектор в кръгова диаграма има централен ъгъл 90°. Колко процента съответстват на него?

а) 9%б) 18%в) 25%г) 50%

9Автобус пътувал 2 ч със скорост 50 км/ч и 1 ч със скорост 80 км/ч. Средната му скорост е:

а) 60 км/чб) 65 км/чв) 70 км/чг) 75 км/ч

10Средноаритметичното на 6 числа е 10. Ако прибавим още едно число и средното стане 11, кое е добавеното число?

а) 11б) 17в) 60г) 77

11Линейната диаграма е подходяща за показване на:

а) процентно разпределениеб) изменение на величина във времетов) дял от цялотог) географски данни

12Ученик има оценки 5, 6, 4, 5, 6 за един срок. Среден успех:

а) 5,0б) 5,2в) 5,5г) 5,8

13Средноаритметичното на \(a, b\) и \(c\) е 12, а на \(a\) и \(b\) е 10. Колко е \(c\)?

а) 14б) 16в) 22г) 24

14В кръгова диаграма за 40 ученици секторът „отличен“ е 45°. Колко ученици имат отличен?

а) 3б) 5в) 8г) 10

15Кое НЕ е вярно за средноаритметичното:

а) винаги е между най-малкото и най-голямото числоб) може да бъде отрицателно числов) винаги е цяло числог) ако числата са равни, средното им е равно на самото число

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

▶

Приложение на пропорциите

Мащаб, сплави, смеси, проценти, разпределяне — 25 разработени задачи, 30 за самостоятелна работа и онлайн тест.

Прочети →

▶

Права и обратна пропорционалност

Определения, свойства, графики — пълен урок с разработени задачи и тест.

Прочети →

▶

Всички уроци по математика

Пълен каталог с всички разработени уроци, задачи и тестове за 5.–12. клас.

Вижте всички →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

---

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити
• ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал
• ›Математически анализ, Линейна алгебра, Теория на вероятностите, Статистика

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆