Коя е най-голямата цифра в тази редица?

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

★ Интересно от математиката

Редицата „Погледни и кажи" —
загадката от интервюта, която не е това, което изглежда

1, 11, 21, 1211, … Какъв е следващият член? И защо в класическата редица, започваща с 1, се появяват само цифрите 1, 2 и 3? Зад това просто правило се крият константата на Конуей, експоненциален растеж и своеобразна „периодична таблица“ от 92 математически атома.

Д-р Атанас Илчев • Поредица: Интересно от математиката

Тази загадка често се появява в сборници със занимателни задачи и в тестове за логическо мислене. На пръв поглед изглежда като обикновена числова редица, но правилото не извършва аритметични действия с числата — то работи с техните десетични записи: всеки член описва последователните групи от еднакви цифри в предходния. За да я решите, трябва да смените начина, по който гледате на числата.

Опитайте се сами, преди да четете нататък.

1   11   21   1211   ?

Какъв е следващият член? И коя е най-голямата цифра, която някога ще се появи?

Решението

Правилото не е аритметично — то е описателно. Всеки следващ член се получава, като се „прочете на глас“ предишният: описва се колко пъти поред се повтаря всяка цифра. Оттам и името: „Погледни и кажи“ (на английски: Look-and-Say).

1

Започваме с 1. Виждаме „едно 1“ → следващият член е 11.

2

Четем 11 като „две 1“ → следващият член е 21.

3

Четем 21 като „едно 2, едно 1“ → следващият член е 1211.

4

Четем 1211 като „едно 1, едно 2, две 1“ → следващият член е 111221.

5

Четем 111221 като „три 1, две 2, едно 1“ → 312211.

6

Четем 312211 като „едно 3, едно 1, две 2, две 1“ → 13112221.

Редицата расте бързо — членовете стават все по-дълги, но правилото остава същото.

Каква е най-голямата цифра?

По-интересен е следващият въпрос. На пръв поглед изглежда, че с нарастването на редицата ще се появяват все по-големи цифри. Всъщност не е така — в класическата редица, започваща с 1, най-голямата появяваща се цифра е 3.

Ето защо. Всеки описателен блок се състои от две цифри: първата показва колко пъти се повтаря дадена цифра, а втората — коя е тази цифра. За да докажем, че в класическата редица не се появява цифра, по-голяма от 3, трябва да установим едновременно две неща: че никъде не възникват четири еднакви цифри една след друга и че всички описвани цифри си остават измежду 1, 2 и 3.

Ще ги докажем заедно, с индукция. Първият член е 1 — и двете свойства очевидно са изпълнени. Да приемем, че са изпълнени за някой член, и го разделим на максимални групи от еднакви цифри. По предположение няма четири еднакви цифри поред, така че всяка група е с дължина 1, 2 или 3, а повтарящата се цифра е измежду 1, 2 и 3. Следващият член заменя всяка група с два символа — дължина и цифра — и двата измежду 1, 2 и 3. Значи и в него участват само тези три цифри.

Остава да проверим, че в новия член не могат да се появят четири еднакви цифри подред. Той се чете последователно: брой, цифра, брой, цифра, … Ако четири съседни символа бяха еднакви, сред тях непременно щяха да попаднат означенията на две съседни групи от предходния член. Но съседните максимални групи винаги описват различни цифри — иначе биха се слели в една. Противоречие. Така по индукция и двете свойства важат за цялата редица; а понеже цифрата 3 наистина се появява (в члена 312211), тя е най-голямата в класическата редица.

Накратко: в редицата, започваща с 1, никога не възникват четири еднакви цифри поред. Затова броят на последователните повторения винаги е 1, 2 или 3 — и в членовете ѝ се срещат само тези три цифри.

Джон Конуей и математическата дълбочина

Редицата не е измислена от Джон Хортън Конуей (1937–2020) — най-ранната ѝ известна поява е задача от Международната олимпиада по математика през 1977 г. в Белград. Конуей, британски математик, известен с Играта на живота и с приносите си в теорията на групите, я чува от кеймбриджки студент, увлича се по нея и през 80-те години на XX век разкрива дълбоката ѝ структура — теорията на т.нар. „аудиоактивно разпадане“, показваща, че зад привидно хаотичното нарастване стои точно описуема система.

На пръв поглед членовете стават все по-дълги и по-сложни, без ясна закономерност. Конуей обаче доказва, че редицата притежава точно описуема вътрешна структура и че дългосрочното ѝ поведение се управлява от краен брой основни градивни блокове.

ⓘ Константата на Конуей

Нека L_n е броят на цифрите в n-тия член. Тогава отношението L_n+1/L_n клони към константата на Конуей λ ≈ 1,303577269… Тоест в дългосрочен план всеки член е с около 30% по-дълъг от предходния — растежът е експоненциален. λ е забележително число: алгебрично от степен 71 и единственият положителен реален корен на определен полином от степен 71. В отделните начални стъпки отношението може да се различава значително, но с нарастване на n то се приближава до λ.

Има едно изключение: началният запис „22“. Той се чете като „две двойки“ и отново дава „22“, така че остава непроменен. Всеки друг начален запис може отначало да се държи различно, но в дългосрочен план отношението между дължините на последователните членове клони до константата на Конуей.

92-та атома на Конуей. За класическата редица, започваща с 1, Конуей доказва, че след достатъчно много стъпки всеки член може да се разложи на последователност от 92 основни „атома“. Границите между тях остават устойчиви — при следващите преобразувания всеки атом се развива независимо от съседите си. Конуей ги наименува по химичните елементи с атомни номера от 1 до 92 — от водорода до урана. (При по-общи начални низове към тези 92 „елемента“ се добавят и два допълнителни, условно наречени „трансуранови“.) Получава се своеобразна периодична таблица — редица с просто правило и привидно хаотичен вид, но с дълбока вътрешна закономерност.

Струва си да споменем и по-широкия контекст. Най-известното творение на Конуей — Играта на живота — принадлежи към традицията на клетъчните автомати, поставена през 40-те години на XX век от Станислав Улам и Джон фон Нойман. Фон Нойман търси математически модел на самовъзпроизвеждаща се машина, а Улам предлага процесът да се разглежда върху решетка от клетки. През 1970 г. Конуей създава много по-прост клетъчен автомат, чиито локални правила пораждат изненадващо сложно поведение. Същата обща идея се вижда и в редицата „Погледни и кажи“: едно кратко правило, прилагано многократно, може да създаде богата и трудно предвидима структура.

Редицата „Погледни и кажи“ е добър пример за една от характерните особености на математиката: обект, определен с едно кратко правило, може да притежава неочаквано дълбока структура. Построяването ѝ е елементарно, но дългосрочното ѝ поведение води до асимптотични закони, алгебрични числа и своеобразна периодична таблица от математически атоми. Правилото е елементарно, но последиците му са далеч по-богати.

Редица „Погледни и кажи“ Джон Конуей Константа на Конуей Числови редици Математически загадки Разпознаване на модели

Следваща статия от поредицата

Джон фон Нойман — умът, от който се страхувал Пойа

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7. клас
• ›НВО по математика след 10. клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Подготовка по математика за ISEE, SAT и A Level

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: математически анализ, линейна алгебра, аналитична геометрия, диференциални уравнения, теория на вероятностите, статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆