Александър Гротендик - живот и творчество
Александър Гротендик —
живот и творчество
Около 1950 г. Лоран Шварц подава на новия си студент в Нанси една своя статия, написана съвместно с Жан Дийодоне. В края ѝ стои списък от четиринадесет въпроса, които двамата не са успели да решат. За по-малко от година двадесет и двегодишният Александър Гротендик решава всичките. По-малко от десетилетие по-късно вече изгражда наново основите на алгебричната геометрия. През 1966 г. получава Медал Филдс, но отказва да отиде в Москва за церемонията. През 1970 г. напуска института си заради военно финансиране. През 1991 г. се оттегля в пиренейско село и до края на живота си живее в почти пълна изолация. Оставя след себе си десетки хиляди ръкописни страници, голяма част от които още не са прочетени.
Александър Гротендик (1928–2014)
Хамбург, лагерът, Монпелие
Александър Гротендик се ражда на 28 март 1928 г. в Берлин. Баща му Александър Шапиро — наричан Саша, известен и под името Александър Танаров — е руски евреин от хасидски корени, роден в Новозибков. На петнадесет години се сражава срещу царската власт; заловен през 1907 г., е осъден на смърт, но заради възрастта си получава доживотен затвор. Излежава десет години, бяга по време на Революцията от 1917 г., продължава да се бие като анархист и при по-късните си арести губи лявата си ръка. Майка му Йохана Гротендик, наричана Ханка, е немска журналистка от протестантско семейство в Хамбург, свързана с бохемските и левите среди.
По времето на раждането му Ханка все още е омъжена за журналиста Алфред Радац, известен и като Йоханес, и детето първоначално е регистрирано като Александър Радац. Бракът е разтрогнат през 1929 г.; тогава Шапиро признава бащинството си, но никога не се жени за Ханка. Така синът приема моминската фамилия на майка си.
Семейството живее в Берлин до 1933 г. През май 1933 г., след като Хитлер идва на власт и антиеврейските закони са приети, Шапиро напуска Берлин и заминава за Париж. Ханка остава със сина си до декември същата година. През януари 1934 г. тя оставя петгодишния Александър при приемните родители Вилхелм и Дагмар Хайдорн в Хамбург — Вилхелм е лутерански пастор и учител — и също се премества във Франция. По време на Испанската гражданска война двамата родители заминават за Испания и се връщат във Франция едва през 1939 г. Александър остава разделен от тях повече от пет години.
През май 1939 г. го качват на влак от Хамбург за Франция. Скоро след това баща му е интерниран във Вернè в Ариеж, а Александър и майка му — в лагера Рийкро край Манд, като „нежелани опасни чужденци“. Там Ханка се заразява с туберкулозата, от която умира през 1957 г. Веднъж Александър успява да избяга от лагера с намерението да убие Хитлер; хванат е и върнат.
От лагера ходи на училище в Манд. През 1942 г. Ханка е прехвърлена в лагера Гюрс, а Александър е изпратен в село Шамбон сюр Линьон, където е укриван по пансиони, а по време на нацистките акции — в горите наоколо, понякога по няколко дни без храна и вода. През 1990 г. цялото село е удостоено със званието „Праведник сред народите“ за спасяването на евреи. Там Гротендик учи в Колеж Севенол — училище, основано през 1938 г. от местни протестанти пацифисти. По всичко личи, че тъкмо в него се увлича за първи път по математика.
Баща му е арестуван по антиеврейското законодателство на Виши, изпратен е в Дранси, предаден е на германците и е убит в Аушвиц през 1942 г. Гротендик научава за съдбата му едва през 1946 г.
През 1945 г. взема матура. Записва математика в Монпелие, където отначало не се справя добре — къса се например по астрономия. След три години все по-самостоятелно учене през 1948 г. заминава за Париж.
През учебната 1948–1949 г. Гротендик е в Париж, с препоръчително писмо от бившето си училище до Анри Картан. Посещава семинара на Картан в École Normale Supérieure — по алгебрична топология и теория на снопите — но му липсва подготовката, за да следва темпото. На семинара се среща с някои от водещите френски математици: Клод Шевалѐ, Роже Годман, Лоран Шварц, Андре Вейл и Жан Дийодоне. Един от състудентите му е Жан-Пиер Сер. Понеже интересите му са към топологичните векторни пространства, а не към алгебричната топология, Картан и Вейл го съветват да отиде в Нанси.
Четиринадесетте задачи
В Нанси работят Дийодоне и Шварц — последният току-що е получил Медал Филдс. Двамата изграждат обща теория на дуалността за локално изпъкнали пространства, по-специално за (F)-пространства и техните индуктивни граници, и са публикували статия по въпроса. В края ѝ стои списък от четиринадесет въпроса, на които не са успели да отговорят. Предлагат ги на новодошлия.
Шварц: в спомените си разказва, че не виждали Гротендик няколко седмици, а когато се появил отново, вече бил решил половината от въпросите — с дълбоки и трудни решения, изискващи нови понятия. Двата разказа не си противоречат: половината за седмици, всичките за под година. Тогава Гротендик е на двадесет и две.
Докторската му дисертация — Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, защитена в Нанси през 1953 г. под ръководството на Дийодоне и Шварц — е посветена на топологичните тензорни произведения и въведените от него ядрени пространства. Посвещава я на майка си. Дийодоне сравнява влиянието му в тази област с това на Банах. Бернар Малгранж, който присъства на защитата със счупен крак от ски злополука, си спомня, че Гротендик вече обмисля смяна на областта и заявява, че темата за топологичните векторни пространства е изчерпана.
Въпреки блестящото начало намирането на работа във Франция му е трудно. Причината не е математическа: заради постоянните премествания на родителите му Гротендик няма гражданство. Единственият му документ за самоличност е нансенов паспорт, който го определя като лице без гражданство. Френски гражданин става едва през 1971 г., на 43 години.
Теорията на схемите — нов език за геометрията
От около 1955 г. Гротендик се насочва към теорията на снопите и хомологичната алгебра. Резултатът е статията Sur quelques points d'algèbre homologique, публикувана през 1957 г. в Tôhoku Mathematical Journal, в която развива аксиоматичната теория на абеловите категории и поставя хомологичната алгебра в много по-обща рамка. През 1958 г. Леон Мошан го привлича в новосъздадения Институт за висши научни изследвания (IHÉS) край Париж — институт, за който се приема, че на практика е създаден за Дийодоне и за него. Следват дванадесет години, които математиците наричат Златната ера.
Гротендик в годините на изследователска работа
Централният му принос в алгебричната геометрия е теорията на схемите (фр. théorie des schémas, англ. scheme theory; понятието идва на български през руското схема). Преди него дисциплината работи предимно с алгебрични многообразия над алгебрично затворени полета. Гротендик разширява рамката: схемата е геометричен обект, който локално се описва чрез спектъра \(\operatorname{Spec} A\) на комутативен пръстен \(A\), а не само чрез уравнения над поле.
По-голямата абстрактност усложнява езика, но носи съществено предимство: в една обща рамка попадат класическите многообразия, геометрията над крайни полета и аритметичните обекти над целите числа. Векове наред математиците мечтаят да обединят непрекъснатия аспект на един въпрос (решения сред комплексните числа) с дискретния (решения сред целите числа); теорията на схемите превръща тази мечта в работещ апарат. Тук геометрията вече не е учение за фигури, а език, на който се задават въпроси — продължение на процеса, започнал век по-рано с новите геометрии.
Séminaire de Géométrie Algébrique (SGA) — поредица семинари в IHÉS, записвани и издавани в многотомни сборници. В тях се развиват еталната кохомология, теорията на топосите, еталната фундаментална група, груповите схеми, теорията на пресичанията и редица други основни направления. Само SGA възлизат на няколко хиляди печатни страници.
Хипотезите на Вейл — поставени през 1949 г. твърдения за броя на решенията на полиномиални уравнения по модул просто число \(p\) — са атакувани именно с тези средства. Бернар Дворк доказва рационалността на дзета-функцията през 1960 г. Гротендик и школата му изграждат еталната кохомология и доказват други основни части от програмата. Последната и най-трудна част — аналогът на хипотезата на Риман — пада едва през лятото на 1973 г., когато я доказва Пиер Делин; доказателството е публикувано през 1974 г. Делин е ученик на Гротендик, който по това време вече е напуснал IHÉS и се е отдалечил от основните изследователски центрове.
Междувременно кохомологията над крайни полета престава да бъде чиста абстракция. Тъкмо алгебричната геометрия над крайни полета стои зад елиптичните криви, върху които днес се крепи голяма част от съвременната криптография.
Топоси
Паралелно със схемите Гротендик разработва понятието топос — обобщение на топологичното пространство, което обединява геометрия, логика и теория на категориите. Топосът е категория, която се държи достатъчно като категорията на множествата, за да може в нея да се разсъждава почти както обикновено, но същевременно носи геометрична или логическа информация, недостъпна за класическите методи. Идеята продължава линия, започнала със самото понятие за множество — линия, чието начало е у Георг Кантор.
Топосите намират приложение далеч извън алгебричната геометрия — в теоретичната информатика, конструктивната математика и математическата логика.
В Pursuing Stacks (1983) Гротендик нахвърля програма за нови основи на хомотопичната алгебра — кръг от идеи, който самият той нарича „топологична алгебра“ в списъка на своите дванадесет „велики идеи“. Разсъждава върху висшите групоиди, висшите категории и различните начини, по които един хомотопичен тип може да бъде моделиран. Тези идеи се превръщат в част от предисторията на съвременната теория на висшите категории и на хомотопичната хипотеза. Връзката с хомотопичната теория на типовете и машинната проверка на доказателства обаче е косвена: техните непосредствени основи идват главно от типовата теория на Мартин-Льоф и унивалентните основи на Владимир Воеводски.
Орехът и водата
В Récoltes et Semailles Гротендик описва два начина да се работи в математиката, като си представя теоремата за орех, който трябва да се отвори. Първият е чук и длето: опираш острието в черупката и удряш силно, започвайки отново на различни места, докато тя не се пропука.
Вторият е неговият. Потапяш ореха в течност, която постепенно размеква черупката — например във вода. От време на време го потъркваш, за да проникне по-добре, и оставяш времето да минава. Черупката става по-гъвкава седмици и месеци наред, а когато моментът узрее, стига натиск с ръка — черупката се отваря, по неговите думи, като идеално узряло авокадо.
Двата образа описват два стила на изследователска работа — те не съвпадат с познатото деление между състезателната и изследователската математика, а са две разновидности на самата изследователска работа. В зрелите си трудове Гротендик често предпочита втория подход: вместо да решава изолиран въпрос, търси понятията и общата рамка, които го поставят в естествен контекст. Силата му е в това да види въпроси, които никой не е видял, и да извади правилните понятия, които са липсвали. Това обаче не значи, че не решава чужди задачи — четиринадесетте въпроса на Дийодоне и Шварц и програмата на Вейл са именно такива.
Медалът Филдс и двата отказа
През 1966 г. на Международния конгрес по математика в Москва Гротендик е удостоен с Медала Филдс — заедно с Майкъл Атия, Пол Коен и Стивън Смейл. В мотивите комисията посочва, че той е надградил работата на Вейл и Зариски и е постигнал основни напредъци в алгебричната геометрия, въвел е идеята за K-теория и е революционизирал хомологичната алгебра в прочутата си статия в Tôhoku.
Гротендик отказва да пътува до Москва по политически причини и като израз на пацифистките си убеждения. Публично обяснение тогава не дава; биографите сочат протеста му срещу милитаризма и политическата обстановка, а някои — срещу задържането на писателите Юлий Даниел и Андрей Синявски. Медалът е приет от негово име от Леон Мошан, директора на IHÉS — заедно с чека, който върви с него.
През 1977 г. приема Медала „Емил Пикар“ на Парижката академия на науките. През следващата година получава шест месеца условна присъда за това, че през 1975 г. е приютил японски будистки монах с изтекло разрешение за пребиваване.
Оттеглянето
Пацифизмът на Гротендик не е поза, приета през 1970 г. През 60-те той отказва да участва в конференции, финансирани от НАТО, НАСА или други военни източници — в някои случаи организаторите намират друго финансиране само за да го привлекат. През декември 1967 г., в разгара на войната във Виетнам, чете лекции по теория на категориите в горите около Ханой, докато градът е бомбардиран.
В края на 1969 г. научава, че IHÉS получава част от финансирането си — никога повече от пет процента — от източници във френската армия. За него, син на човек, загинал в Аушвиц, това е непримиримо. Следва остър спор с Леон Мошан, който държи на разделението между научните въпроси, оставени на професорите, и финансовите, които са работа на директора. Когато Гротендик не постига незабавно прекратяване на субсидията, напуска института. По-късно нарича 1970 г. своята „голяма повратна точка“.
Гротендик в годините на уединение
Основава групата „Survivre et Vivre“ — „Оцеляване и живот“ — посветена на ядреното разоръжаване и екологичната криза. Преподава кратко в Колеж дьо Франс и в Орсе, а от 1973 до 1988 г. е професор в Университета на Монпелие. Продължава да ръководи докторанти, но се отдалечава от големите изследователски центрове.
През 1984 г., при кандидатстването си за изследователска позиция в CNRS, той представя програмата си в текста Esquisse d'un programme. Идеите в него по-късно дават началото на теорията на „dessins d'enfants“, на анабеловата геометрия и на теорията на Гротендик–Тайхмюлер. Текстът е публикуван едва през 1997 г.
„Récoltes et Semailles“
Между 1983 и 1986 г. Гротендик пише Récoltes et Semailles — „Жътви и сеитби“, с подзаглавие „Размишления и свидетелства за едно минало на математик“. Над хиляда страници, в които разглежда природата на математическото откритие, критикува духа на съперничество в научната общност и се връща към собствения си живот. Текстът не е публикуван официално приживе, но десетилетия наред циркулира в математическите среди в неофициални фотокопия и машинописни преписи и е известен с острите си оценки за бивши колеги. Издателство Gallimard го публикува едва през 2022 г. в два тома от близо хиляда страници всеки.
В по-късните си писания Гротендик развива убеждението, че истинската наука произлиза от вътрешна необходимост — от желанието да разбереш, а не от стремежа към признание. През 1987 г. пише La Clef des Songes — 315-страничен ръкопис, в който разказва как размишленията върху източника на сънищата го довеждат до заключението, че Бог съществува. В бележките към него описва живота и делото на осемнадесет „мутанти“ — хора, които смята за визионери, изпреварили времето си. Единственият математик в списъка е Бернхард Риман. Въпросът дали математиката се открива, или се изобретява, който занимава Гротендик до края, е един от най-старите въпроси във философията на науката.
Ласер
През 1990 г. Гротендик поверява математическия си архив на Жан Малгоар — свой бивш студент, професор в Монпелие; втора част му предава през 1995 г. През 1991 г. изчезва. Установява се в Ласер, малко село в Пиренеите, в департамента Ариеж, и до края на живота си живее там в почти пълна изолация. Прекъсването не е абсолютно — известни са отделни контакти и писма, сред тях това от 2010 г., с което настоява трудовете му да не бъдат публикувани и преиздавани. Умира на 13 ноември 2014 г. в болницата в Сен-Жирон, на 86 години.
Колекцията от Ласер. Според описа тя е съставена между 1992 и 1999 г. в последното му жилище и съдържа около 60 000 страници, от които само около 3500 са математика. Останалото са литературни, философски и автобиографични текстове, сред тях Réflexions sur la Vie et le Cosmos в 41 тома. През 1997 г. Гротендик завещава тези ръкописи на Националната библиотека на Франция. Голяма част от тях все още не е прочетена.
Наследство
Теорията на схемите е неизменна основа на съвременната алгебрична геометрия, аритметичната геометрия и теорията на числата. Когато Андрю Уайлс доказва Последната теорема на Ферма през 1994 г., доказателството минава през елиптичните криви и модулните форми — апарат, изграден в значителна степен върху инструментите на Гротендик. Още в мотивите за наградата Крафорд през 1988 г. Шведската академия посочва работата на Фалтингс върху теоремата на Ферма като доказателство за силата на тези идеи — шест години преди Уайлс да завърши доказателството.
Имената, останали в учебниците, дават представа за обхвата: група на Гротендик, топология на Гротендик, категория на Гротендик, универсум на Гротендик, теорема на Гротендик–Риман–Рох, етална кохомология, „dessins d'enfants“. В самия Récoltes et Semailles Гротендик изброява дванадесет свои приноса, които според него заслужават названието „велики идеи“.
Мнозина математици и историци го определят като един от най-влиятелните математици на XX век. Подобна класация неизбежно остава условна, но показва мащаба на влиянието му върху съвременната математика.
Животът на Гротендик в дати
- Ражда се в Берлин и е регистриран като Александър Радац. Баща му Александър Шапиро е руски евреин, анархист и революционер, а майка му Ханка Гротендик — немска журналистка.
- Бракът на майка му с Алфред Радац е разтрогнат; Шапиро признава бащинството и синът приема фамилията Гротендик.
- Бащата напуска Берлин и заминава за Париж.
- Майка му оставя петгодишния Александър при семейство Хайдорн в Хамбург и също заминава за Франция. По време на Испанската гражданска война двамата родители са в Испания; връщат се във Франция едва през 1939 г.
- Качват го на влак от Хамбург за Франция. Скоро е интерниран с майка си в лагера Рийкро край Манд.
- Баща му е арестуван по законодателството на Виши, изпратен в Дранси и убит в Аушвиц. Александър е укриван в Шамбон сюр Линьон и учи в Колеж Севенол.
- Взема матура; през 1948 г. завършва математика в Монпелие, където сам стига до общ вариант на интеграла на Лебег.
- В Париж посещава семинара на Анри Картан в École Normale Supérieure.
- В Нанси решава четиринадесетте открити въпроса от статията на Дийодоне и Шварц — за по-малко от година.
- Защитава дисертация Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires при Дийодоне и Шварц.
- Излиза статията Sur quelques points d'algèbre homologique в Tôhoku Mathematical Journal.
- Златната ера в IHÉS: теорията на схемите, топосите, еталната кохомология, EGA и SGA.
- Бернар Дворк доказва рационалността на дзета-функцията — първата от хипотезите на Вейл.
- Медал Филдс, заедно с Атия, Коен и Смейл. Отказва да отиде в Москва; медалът е приет от Леон Мошан.
- Чете лекции по теория на категориите в горите край Ханой, докато градът е бомбардиран.
- Напуска IHÉS заради военното финансиране на института. Основава „Survivre et Vivre“.
- Получава френско гражданство. Дотогава е с нансенов паспорт, като лице без гражданство.
- Пиер Делин доказва последната и най-трудна от хипотезите на Вейл — аналога на хипотезата на Риман.
- Професор в Университета на Монпелие.
- Медал „Емил Пикар“ на Парижката академия на науките.
- Пише Récoltes et Semailles; през 1983 г. — Pursuing Stacks, а през 1984 г. — Esquisse d'un programme.
- Отказва наградата Крафорд (1,6 млн. шведски крони), присъдена съвместно с ученика му Пиер Делин.
- Поверява математическия си архив на Жан Малгоар и изчезва. Установява се в Ласер, Ариеж.
- Умира в болницата в Сен-Жирон на 86 години.
- 18 000 страници от фонда в Монпелие излизат онлайн; Gallimard публикува Récoltes et Semailles.
Източници
- O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Alexander Grothendieck. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Jackson, A. Comme Appelé du Néant — As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck. Notices of the AMS 51 (2004), 1038–1056 и 1196–1212. (Основен биографичен източник.)
- Scharlau, W. Wer ist Alexander Grothendieck? Anarchie, Mathematik, Spiritualität. (Ранните години, семейството, лагерите.)
- McLarty, C. The Rising Sea: Grothendieck on Simplicity and Generality. В: Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950), AMS, 2007. (Образът с ореха и морето.)
- Grothendieck, A. Récoltes et Semailles. Réflexions et témoignages sur un passé de mathématicien. Gallimard, 2022 (написана 1983–1986).
- Grothendieck, A. & Dieudonné, J. Éléments de géométrie algébrique. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 1960–1967.
- Bombal, F. Alexander Grothendieck's work on functional analysis. (Четиринадесетте задачи и свидетелството на Дийодоне.)
- Cartier, P. A Mad Day's Work: From Grothendieck to Connes and Kontsevich. Bulletin of the AMS 38 (2001), 389–408.
- Chai, C.-L. & Oort, F. Life and Work of Alexander Grothendieck. (Ранната биография; регистрацията под името Александър Радац.)
- Schneps, L. (ред.) The Grothendieck Circle. grothendieckcircle (Хронология на семейството; пътуванията до Алжир, Виетнам и Румъния.)
- Dwork, B. On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. American Journal of Mathematics 82 (1960), 631–648.
- The Crafoord Prize 1988. Кралска шведска академия на науките. crafoordprize.se (Размер на наградата и съвместното присъждане с Пиер Делин.)
- Archives Grothendieck. Université de Montpellier. grothendieck.umontpellier.fr (Фондът от 28 000 страници.)
- À la recherche d'Alexandre Grothendieck и 28 000 pages d'Alexandre Grothendieck. Université de Montpellier. (Колекцията от Ласер и дигитализацията.)
- Deligne, P. La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de l'IHÉS 43 (1974), 273–307.
- Grothendieck, A. Esquisse d'un programme. 1984; публикувана в Geometric Galois Actions, Cambridge University Press, 1997.
Още от поредицата „Любопитно от математиката“
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар