Корен $n$-ти. Свойства 11 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Корен n-ти

Корен n-ти
Свойства и задачи

Определения, 9 свойства при четен и нечетен показател, дефиниционна област, приравняване на показатели, изнасяне/внасяне на множители, сравняване и рационализиране — 11 разработени задачи

Корен n-ти Четен показател Нечетен показател Рационализиране Д-р Атанас Илчев

Обобщение на свойствата на квадратния корен и корен трети — пълна теория за корен n-ти при четен и нечетен показател

Определения

Определение 1 (четен показател): Корен \(n\)-ти от неотрицателното число \(a\geq0\), където \(n=2s\) (\(s=1,2,\ldots\)) е четно естествено число, е единственото неотрицателно число, чиято \(n\)-та степен е равна на \(a\).

Определение 2 (нечетен показател): Корен \(n\)-ти от произволно реално число \(a\), където \(n=2s+1\) (\(s=1,2,\ldots\)) е нечетно естествено число, е единственото число, чиято \(n\)-та степен е равна на \(a\).

Ключова разлика: При четен показател \(\sqrt[n]{a}\) е дефиниран само за \(a\geq0\), а резултатът е винаги неотрицателен (\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\)). При нечетен показател \(\sqrt[n]{a}\) е дефиниран за всяко реално \(a\), а \(\sqrt[n]{a^n}=a\) (без абсолютна стойност).

Свойства при четен показател

Нека \(n=2s\) е четно, \(s\in\mathbb{N}\), \(n\geq2\), \(a\geq0\), \(b\geq0\):

1) \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\) за всяко \(a\in\mathbb{R}\)
2) \(\sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^k\), \(k\in\mathbb{N}\)
3) \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
4) \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\), \(b\gt0\)
5) \(\sqrt[n]{a^n b}=|a|\sqrt[n]{b}\) за всяко \(a\in\mathbb{R}\)
6) \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)
7) Ако \(a\lt b\), то \(\sqrt[n]{a}\lt\sqrt[n]{b}\)
8) \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\), \(m\in\mathbb{N}\)
9) \(\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}\), \(k\in\mathbb{N}\)

Свойства при нечетен показател

Нека \(n=2s+1\) е нечетно, \(s\in\mathbb{N}\), \(n\geq3\), \(a,b\in\mathbb{R}\):

1) \(\sqrt[n]{a^n}=a\) за всяко \(a\in\mathbb{R}\) (без абсолютна стойност!)
2) \(\sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^k\), \(k\in\mathbb{N}\)
3) \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
4) \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\), \(b\neq0\)
5) \(\sqrt[n]{a^n b}=a\sqrt[n]{b}\) за всяко \(a\in\mathbb{R}\)
6) \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)
7) Ако \(a\lt b\), то \(\sqrt[n]{a}\lt\sqrt[n]{b}\)
8) \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\), \(m\in\mathbb{N}\)
9) \(\sqrt[nk]{a^{mk}}=\sqrt[n]{a^m}\), \(k\in\mathbb{N}\)

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Пресметнете \(\sqrt[4]{81}\), \(\sqrt[7]{\dfrac{1}{128}}\), \(\sqrt[5]{-32}\) и \(\sqrt[6]{729}\).

▼

Решение \[\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3.\] \[\sqrt[7]{\frac{1}{128}}=\sqrt[7]{\left(\frac{1}{2}\right)^7}=\frac{1}{2}.\] \[\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-2)^5}=-2.\quad\text{(нечетен показател — допустимо!})\] \[\sqrt[6]{729}=\sqrt[6]{3^6}=3.\]

2

Определете дефиниционната област на \(\sqrt[8]{2x+1}\).

▼

Решение Показателят \(8\) е четно число, затова подкоренната величина трябва да е неотрицателна: \[2x+1\geq0 \implies x\geq-\frac{1}{2}.\] Дефиниционна област: \(x\in\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\).

3

Определете дефиниционната област на \(\sqrt[11]{x-3}\).

▼

Решение Показателят \(11\) е нечетно число, поради което можем да коренуваме всяко реално число — положително, отрицателно или нула. Нямаме ограничения.
Дефиниционна област: \(x\in(-\infty,+\infty)\).

4

Определете дефиниционната област на \(\sqrt[9]{\dfrac{1}{3x-7}}\).

▼

Решение Показателят \(9\) е нечетен — нямаме ограничение от корена. Имаме обаче дроб, затова знаменателят трябва да е различен от нула: \[3x-7\neq0 \implies x\neq\frac{7}{3}.\] Дефиниционна област: \(x\in\left(-\infty,\dfrac{7}{3}\right)\cup\left(\dfrac{7}{3},+\infty\right)\).

5

Приведете \(\sqrt{2}\), \(\sqrt[3]{6}\) и \(\sqrt[4]{5}\) към общ коренен показател.

▼

Решение Намираме \(\text{НОК}(2,3,4)=12\). Прилагаме свойство 9) за всеки корен: \[\sqrt{2}=\sqrt[2\cdot6]{2^6}=\sqrt[12]{64},\] \[\sqrt[3]{6}=\sqrt[3\cdot4]{6^4}=\sqrt[12]{1296},\] \[\sqrt[4]{5}=\sqrt[4\cdot3]{5^3}=\sqrt[12]{125}.\]

6

Изнесете множител извън корена: \(\sqrt[3]{32}\), \(\sqrt[9]{3^{11}}\), \(\sqrt[5]{243a^6b^5}\) и \(\sqrt[6]{5x^6(1-\sqrt{2})^6}\).

▼

Решение \[\sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^2}=2\sqrt[3]{4}.\] \[\sqrt[9]{3^{11}}=\sqrt[9]{3^9\cdot3^2}=3\sqrt[9]{9}.\] \[\sqrt[5]{243a^6b^5}=\sqrt[5]{3^5\cdot a^5\cdot a\cdot b^5}=3ab\sqrt[5]{a}.\] За последния: показателят \(6\) е четен, затова \(\sqrt[6]{x^6}=|x|\) и \(\sqrt[6]{(1-\sqrt{2})^6}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1\) (тъй като \(\sqrt{2}\gt1\)): \[\sqrt[6]{5x^6(1-\sqrt{2})^6}=|x|\cdot(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt[6]{5}.\]

7

Внесете множител под корена: \(2\sqrt[4]{3}\), \(2\sqrt[5]{x^2yz^3}\), \(a^2b\sqrt[3]{b}\) и \(2\sqrt[4]{\dfrac{3}{32}}\).

▼

Решение \[2\sqrt[4]{3}=\sqrt[4]{2^4\cdot3}=\sqrt[4]{48}.\] \[2\sqrt[5]{x^2yz^3}=\sqrt[5]{2^5\cdot x^2yz^3}=\sqrt[5]{32x^2yz^3}.\] \[a^2b\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{(a^2)^3\cdot b^3\cdot b}=\sqrt[3]{a^6b^4}.\] \[2\sqrt[4]{\frac{3}{32}}=\sqrt[4]{2^4\cdot\frac{3}{32}}=\sqrt[4]{\frac{48}{32}}=\sqrt[4]{\frac{3}{2}}.\]

8

Сравнете \(\sqrt[3]{3}\) и \(\sqrt{2}\).

▼

Решение Привеждаме към общ показател \(\text{НОК}(3,2)=6\): \[\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9},\quad \sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}.\] Тъй като \(9\gt8\), то \(\sqrt[6]{9}\gt\sqrt[6]{8}\), следователно \(\sqrt[3]{3}\gt\sqrt{2}\).

9

Сравнете \(\sqrt[4]{3}\) и \(\sqrt[8]{3\sqrt{7}}\).

▼

Решение Опростяваме втория корен: \(3\sqrt{7}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{63}\), следователно \(\sqrt[8]{3\sqrt{7}}=\sqrt[8]{\sqrt{63}}\). Прилагаме свойство 8): \[\sqrt[8]{\sqrt{63}}=\sqrt[16]{63}.\] Привеждаме първия: \(\text{НОК}(4,16)=16\), тогава \(\sqrt[4]{3}=\sqrt[16]{3^4}=\sqrt[16]{81}\). Тъй като \(81\gt63\), то \(\sqrt[16]{81}\gt\sqrt[16]{63}\), следователно \(\sqrt[4]{3}\gt\sqrt[8]{3\sqrt{7}}\).

10

Рационализирайте знаменателя на \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}-1}\).

▼

Решение Стъпка 1: Умножаваме по \((\sqrt[4]{2}+1)\), използвайки \((x-1)(x+1)=x^2-1\): \[\frac{1}{\sqrt[4]{2}-1}\cdot\frac{\sqrt[4]{2}+1}{\sqrt[4]{2}+1}=\frac{\sqrt[4]{2}+1}{(\sqrt[4]{2})^2-1}=\frac{\sqrt[4]{2}+1}{\sqrt{2}-1}.\] Стъпка 2: Умножаваме по \((\sqrt{2}+1)\): \[\frac{(\sqrt[4]{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{(\sqrt[4]{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{2-1}=(\sqrt[4]{2}+1)(\sqrt{2}+1).\]

11

Съкратете дробта \(\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\), при \(x\gt0\), \(y\gt0\).

▼

Решение Забелязваме, че \(x\sqrt{x}=(\sqrt{x})^3\) и \(y\sqrt{y}=(\sqrt{y})^3\). Прилагаме формулата \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) с \(a=\sqrt{x}\), \(b=\sqrt{y}\): \[\frac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{x-\sqrt{xy}+y}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)}{x-\sqrt{xy}+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 — Пресмятане (I) \(\sqrt[4]{1296}\);  \(\sqrt[6]{(-19)^6}\);  \(\sqrt[4]{2401}\);  \(\sqrt[5]{-3125}\).

Задача 2 — Пресмятане (II) \(\sqrt[4]{24}\cdot\sqrt[4]{54}\);  \(\dfrac{\sqrt[4]{3125}}{\sqrt[4]{5}}\);  \(\sqrt[3]{\sqrt{64}}\);  \(\sqrt[6]{(-27)^2}\).

Задача 3 — Изнасяне на множител \(\sqrt[3]{-125a^5b^9c^4}\);  \(\sqrt[4]{81a^7}\);  \(\sqrt[4]{\dfrac{625a^5b^{12}}{c^6}}\).

Задача 4 — Внасяне под корена \(x^3b\sqrt[5]{3xy}\);  \(3a\sqrt[4]{c}\);  \(a\sqrt[6]{2b}\).

Задача 5 — Сравняване (наредете от най-голямо) а) \(\sqrt{2}\), \(\sqrt[3]{4}\), \(\sqrt[4]{4}\);  б) \(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\), \(\sqrt[5]{8}\), \(\sqrt{15}\).

Задача 6 — Рационализиране \(\dfrac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}}\);  \(\dfrac{10}{\sqrt[3]{5}+1}\);  \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{9}}\);  \(\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt[3]{3}}\).

Задача 7 — Дефиниционна област \(\sqrt[18]{x^2-2x-3}\);  \(\sqrt[11]{\dfrac{2x-3}{x^2-5}}\);  \(\sqrt[3]{4x-5}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Корен n-ти — свойства и задачи

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1При четен показател \(n\), \(\sqrt[n]{a^n}=\)

\(a\) \(|a|\) \(-a\)

2При нечетен показател \(n\), \(\sqrt[n]{a^n}=\)

\(|a|\) \(a\) \(a^2\)

3\(\sqrt[4]{81}=\)

\(9\) \(3\) \(4\)

4\(\sqrt[5]{-32}=\)

Не е дефиниран \(-2\) \(2\)

5Дефиниционната област на \(\sqrt[8]{2x+1}\) е:

\(x\in(-\infty,+\infty)\) \(x\in\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\) \(x\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)

6Дефиниционната област на \(\sqrt[11]{x-3}\) е:

\(x\geq3\) \(x\in(-\infty,+\infty)\) \(x\gt3\)

7Общият показател на \(\sqrt{2}\), \(\sqrt[3]{6}\), \(\sqrt[4]{5}\) е:

\(24\) \(12\) \(6\)

8\(\sqrt[3]{32}=\)

\(4\sqrt[3]{2}\) \(2\sqrt[3]{4}\) \(2\sqrt[3]{2}\)

9\(\sqrt[5]{243a^6b^5}=\)

\(3a^2b\sqrt[5]{a}\) \(3ab\sqrt[5]{a}\) \(9ab\sqrt[5]{a}\)

10Свойство 8) гласи: \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\)

\(\sqrt[n+m]{a}\) \(\sqrt[nm]{a}\) \(\sqrt[n-m]{a}\)

11\(\sqrt[3]{3}\) и \(\sqrt{2}\): кое е по-голямо?

\(\sqrt{2}\gt\sqrt[3]{3}\) \(\sqrt[3]{3}\gt\sqrt{2}\) \(\sqrt[3]{3}=\sqrt{2}\)

12\(\sqrt[6]{(-19)^6}=\)

\(-19\) \(19\) \((-19)^3\)

13При рационализирането на \(\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}-1}\) първата стъпка е умножение по:

\(\sqrt[4]{2}-1\) \(\sqrt[4]{2}+1\) \(\sqrt{2}+1\)

14\(\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}\) след съкращаване е равно на:

\(\sqrt{x}-\sqrt{y}\) \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) \(x+y\)

15\(a^2b\sqrt[3]{b}\) след внасяне под корена е равно на:

\(\sqrt[3]{a^5b^4}\) \(\sqrt[3]{a^6b^4}\) \(\sqrt[3]{a^6b^2}\)

---

Свързани уроци

▶

Преобразуване на ирационални изрази

Опростяване и преобразуване на изрази с корени — разработени задачи и тест.

Преглед на урока →

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по корен n-ти:

Видео урок — Корен n-ти. Свойства и задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆