Общи задачи по алгебра от изучения материал през учебната година - 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Сборни задачи

Сборни задачи по алгебра
Полиноми, разлагане, уравнения и неравенства

Подбрана серия от 39 задачи с полиноми, разлагане на множители, уравнения, неравенства, параметър и числени стойности

7 клас 39 задачи Полиноми Разлагане на множители Уравнения Неравенства Параметър 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Сборни задачи за упражнение върху алгебрични изрази, полиноми, параметри, абсолютна стойност и числени пресмятания

В този урок са събрани задачи за по-задълбочена подготовка по алгебра. Обхващат разлагане на множители, привеждане в нормален вид, доказване на тъждества, неравенства, уравнения с параметър и пресмятане на числени стойности.

---

Задачи

Задача 11. Дадени са полиномите \(A=a^4-3a^2+1\) и \(B=a^4-a^2-2a-1\).
а) да се разложат полиномите \(A\) и \(B\) на множители;

Задача 1 (продължение)б) да се разложи полиномът \(M=A+B\) на множители и след това да се намери числената му стойност, като \(a\) се замести със стойността на израза \(N=(-2)^{-2}\cdot2^2\cdot(-1)^7\). Отг. б) \(M=0\).

Задача 22. Да се разложи на множители полиномът \(P=x^2+4x-y^2-8y-12\). Да се намери числената му стойност, като \(x\) се замести със стойността на израза \(Q=\frac{-8^4\cdot(-32)^2}{(-16)^5}\), а \(y\) - с \(0\). Отг.: \(20\).

Задача 33. Да се разложи на множители полиномът \(C=2a^2+b^2+3ab-2a-b\) и след това да се докаже, че при \(b=4\) и \(a\) цяло число, тоя се дели на \(4\).

Задача 44. Да се реши уравнението \(7(mx+3)=3(2mx+9)\), където \(m\) е параметър. Да се намери за кои стойности на \(x\) уравнението има за корен естествено число.

Задача 55. Кое от числата е по-голямо: стойността на израза \(P=\left[\frac{(8^0+2^{-3})\cdot6^{-2}}{2^{-15}-24}\right]:0{,}1^{-3}-1\) или решението на уравнението \((3x-1)^2-15x^2+6=x(x+3)(x-3)-(x+2)^3\)?

Задача 66. Дадени са полиномите \(P=x^2+ax+a^2\) и \(Q=x^2-ax+a^2\). За кои стойности на \(a\) \(P(2)=2Q(1)+2\)? Отг.: \(a=0\) и \(a=4\).

Задача 77. Дадени са полиномите \(M=(xy+1)^2-(x+y)^2\) и \(N=x^2+y^2-x^2y^2+xy-x-y\):
а) да се разложат на множители полиномите \(M\) и \(N\);

Задача 7 (продължение)б) да се разложи полиномът \(P=M+N\) на множители, а след това да се намери числената му стойност, като \(x\) и \(y\) се заместят съответно с \(1\) и \(-4\).

Задача 88. Да се докаже тъждеството
\[\left(\frac{1}{3}ab-\frac{1}{6}cd\right)\left(\frac{1}{3}cd+\frac{1}{6}ab\right)-\left(\frac{1}{3}ab+\frac{1}{6}cd\right)\left(\frac{1}{3}cd-\frac{1}{6}ab\right)=\frac{1}{9}(ab+cd)(ab-cd).\]

Задача 99. Да се докаже, че при всички стойности на \(x\) е изпълнено неравенството \((x+5)^3<x(x+7)^2+(x+13)^2\).

Задача 1010. Да се намерят всички цели отрицателни числа, които удовлетворяват неравенството \(\frac{7x-3}{4}+\frac{5x-1}{5}-\frac{x-21}{3}>1\).

Задача 1111. Да се докаже, че ако \(ab+ac+bc=1\), то \(a(1-b^2)(1-c^2)+b(1-a^2)(1-c^2)+c(1-a^2)(1-b^2)=4abc\).

Задача 1212. Даден е полиномът \(F=(x^2-4)^2-(x-2)^2\):
а) да се приведе \(F\) в нормален вид;
б) да се разложи \(F\) на прости множители;
в) да се пресметне стойността на \(F\) за \(x=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\).

Задача 1313. Да се разложи на произведение от множители полиномът \(N=3a^2+ab+15a+4b+12\). Да се докаже, че като се замести \(b\) с \(6\), то за всяко цяло число \(a\), \(N\) се дели на \(6\).

Задача 1414. Дадени са полиномите \(A=15x+15\), \(B=9x^3-6x+9x^2-6\) и \(C=4x^3-6x^2-6x+4\).
а) да се разложат полиномите \(A\), \(B\) и \(C\) на прости множители;

Задача 14 (продължение)б) полиномът \(D=A+B-C\) да се разложи на прости множители, а след това да се намери числената му стойност, като \(x\) се замести със стойността на израза \(E=\left[\frac{2^{-3}\cdot(-1)^{-2}\cdot3^4}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}\cdot(-50)^0}\right]^{-1}\). Отг.: \(D=5(x+1)^3\); \(E=-1\).

Задача 1515. Да се разложи на произведение от множители изразът \(M=x^5+x+a\), където \(a=\left[\frac{2^{-3}\cdot(-1)^{-2}\cdot3^4}{\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}\cdot(-49)^0}\right]^{-1}\).

Задача 1616. Да се намери числената стойност на:
а) \(\left(\frac{1}{3}a-2\right)^2-(32a^7-44a^6+68a^5):\left(\frac{4}{5}a^5\right)\) за \(a=-3\);
б) \((28b^3+21b^2-56b):(-14b)-(25b^8+60b^6-45b^5):\left(\frac{1}{2}b^5\right)\) за \(b=0{,}2\). Отг.: а) \(-601\); б) \(69{,}22\).

Задача 1717. Дадени са полиномите \(A=x^4-x^2\), \(B=x^4+x^2-2\) и \(C=x^2-4x+3\):
а) да се разложат полиномите \(A\), \(B\) и \(C\) на прости множители;

Задача 17 (продължение)б) да се разложи полиномът \(D=B+C-A\) на прости множители, а след това да се намери числената стойност на \(D\). Отг.: \(D=(x-1)(3x-1)\); \(D=0\).

Задача 1818. За кои стойности на параметъра \(m\) даденото уравнение няма решение:
а) \((2mx-1)^2=2+4m^2(x^2-1)\); б) \(\frac{x-1}{m}-2=x\)? Отг.: а) \(m=0\); б) \(m=1\).

Задача 1919. Да се извършат означените действия: \(\{3x^2(a^2+b^2)-3a^2b^2+3[x^2+(a+b)x+ab]\cdot[x(x-a)-b(x-a)]\}:2x^2\). На получения израз да се намери числената стойност. Отг.: \(18\), \(375\).

Задача 2020. Да се сравнят по големина стойността на \(A=\left[\frac{(-4)^{-2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)^{-3}}{(-1)^5\cdot(-33)^0\cdot(-2)^2}\right]^{-2}\) и корена на уравнението \((x-1)(x^2+x+1)=(x-1)^3+3x^2\). Отг.: Коренът е по-голям.

Задача 2121. Дадени са полиномите \(M=x^3+x^2-2\) и \(N=9x^2-8x-1\):
а) да се разложат на множители полиномите \(M\) и \(N\);

Задача 21 (продължение)б) да се разложи на множители полиномът \(P=M-2N\). Отг.: а) \(M=(x-1)(x^2+2x+2)\), \(N=(x-1)(9x+1)\); б) \(x(x-1)(x-16)\).

Задача 2222. Да се намерят целите положителни числа, удовлетворяващи едновременно неравенствата \(1-\frac{3x-88}{7}>5x\) и \(4x+5-\frac{1}{6}\left(25x+29\frac{1}{2}\right)<0\).

Задача 2323. Да се намери \(S=2M-\frac{1}{3}N+P-\frac{1}{2}Q\) за дадените изрази и да се пресметне числената стойност.

Задача 2424. Да се намерят всички естествени числа, решения на неравенството \(\frac{x-3}{2}-\frac{x+1}{3}<\frac{1-x}{4}\).

Задача 2525. Дадени са \(A=x^3-x^2+x-1\) и \(B=x^3+x^2+x+1\):
а) да се разложат на множители \(A\) и \(B\);

Задача 25 (продължение)б) да се намери числената стойност на \(C=A-2B\), разложен на множители. Отг.: а) \((x-1)(x^2+1)\), \((x+1)(x^2+1)\); б) \(-3\).

Задача 2626. Да се реши уравнението \(5(kx-8)=3kx-28\). За кои стойности на \(k\): а) коренът е \(-\frac{3}{5}\); б) коренът е естествено число \(\leq 6\); в) няма решение? Отг.: а) \(k=-10\); б) \(k=1;2;3;6\); в) \(k=0\).

Задача 2727. Да се разложи на множители \(A=x^3+x+B\), където \(B=\frac{2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}\cdot(0{,}2)^2\cdot(-1)^{-4}}{3^3\cdot5^{-2}\cdot(-0{,}65)^0}\). Отг.: \((x+1)(x^2-x+2)\).

Задача 2828. Даден е \(P=(x+b)(2x^3-10x^2+7x-3)\): а) в нормален вид; б) за кои \(b\) сумата от коефициентите е нула; в) числена стойност при \(b=1\). Отг.: б) \(b=-1\); в) \(P=73\).

Задача 2929. Да се реши уравнението \(|10-2x|-|8x-24|=0\).

Задача 3030. Да се докаже, че ако \(n+1\) и \(2n+1\) са квадрати на естествени числа, то \(n\) се дели на \(24\).

Задача 3131. Ако при \(x=1\) стойността на \(\frac{3n-2}{3}-4x\) е \(5\), да се определи стойността му при \(x=5\).

Задача 3232. Да се докаже, че стойността на \(A=(4x+1)(3x-2)^2-x[(6x-2)^2-15x]\) не зависи от \(x\).

Задача 3333. Да се представи като произведение \((3x-2)^2-(2-3x)(5x-3)\). За кои \(x\) е равна на нула, по-малка от \(0\).

Задача 3434. Да се реши уравнението \(\frac{3x-1}{5}-\frac{13-x}{2}=\frac{7x}{3}-\frac{11(x+3)}{6}\).

Задача 3535. Да се пресметне числената стойност на \(-\frac{1}{2}a^3\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot b^2c^3\cdot a^2b^3c^2\) за дадените стойности на \(a\), \(b\) и \(c\).

Задача 3636. а) Да се реши \(a^3(x-1)+a(ax+1)=0\) (\(a\) параметър).
б) Нека \(a\) е най-голямото цяло отрицателно число, за което уравнението има единствено решение. Да се реши \((a^2-4)x\leq (a+2)x\).

Задача 3737. а) За кои \(a\) всяко решение на \(4ax+3x+a=2(1+2ax)\) е решение на \(4x+3<-2(1+2x)\)?
б) На олимпиада \(15\)% не решили нито задача, \(144\) — само някои. Отношението решили всички : нерешили нито една е \(5:3\). Колко са всички участници?

Задача 3838. а) Да се реши \((2x-1)^3-8x(x-2)(x+2)<2x(19-6x)\).
б) Три котарака изяждат риба и салам за \(12\) мин. Ако половинките изяде само един, времето е \(20\) мин. За колко две котараци ще изядат рибата?

Задача 3939. Да се покаже, че не съществуват четири последователни естествени числа, чието произведение се представя като произведение на две естествени числа.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Сборни задачи по алгебра

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Кой е коренът на уравнението \(3x+5=20\)?

\(x=4\) \(x=5\) \(x=6\)

2Кой е коренът на уравнението \(7x-4=3x+8\)?

\(x=2\) \(x=4\) \(x=3\)

3Кои са решенията на уравнението \((x-2)(x+5)=0\)?

\(x=2\) или \(x=-5\) \(x=-2\) или \(x=5\) \(x=2\) и \(x=5\)

4Кой е коренът на уравнението \(|2x-6|=0\)?

\(x=0\) \(x=-3\) \(x=3\)

5Кое е решението на неравенството \(5x-7>8\)?

\(x>2\) \(x>3\) \(x<3\)

6Кое е решението на неравенството \(4x+3\leq 15\)?

\(x\leq 3\) \(x\geq 3\) \(x<3\)

7На кой израз е равно \((x+2)^2\)?

\(x^2+2x+4\) \(x^2+4\) \(x^2+4x+4\)

8След разлагане на \(x^2-9\) се получава:

\((x-9)(x+1)\) \((x-3)(x+3)\) \((x-3)^2\)

9След разлагане на \(x^2+5x+6\) се получава:

\((x+2)(x+3)\) \((x+1)(x+6)\) \((x-2)(x-3)\)

10След разлагане на \(3x^2-12x\) се получава:

\(3x(x-12)\) \(x(3x-12)\) \(3x(x-4)\)

11Приведен в нормален вид, \(2x-(3x-5)\) е:

\(x+5\) \(-x+5\) \(-x-5\)

12Сборът на \((2x^2+3x-1)\) и \((x^2-x+4)\) е:

\(3x^2+2x+3\) \(3x^2+4x+5\) \(x^2+2x+3\)

13Кои са решенията на \((x-4)(x+1)=0\)?

\(x=4\) и \(x=1\) \(x=-4\) и \(x=-1\) \(x=4\) или \(x=-1\)

14Ако \(x=-2\), стойността на \(x^2+3x+1\) е:

\(1\) \(-1\) \(-3\)

15Кое е решението на \(2(x-3)+5<9\)?

\(x<5\) \(x>5\) \(x\leq 5\)

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆