Линейни неравенства с едно неизвестно 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Линейни неравенства

Линейни неравенства
Теория, решени задачи и тест

Пълен урок с определения, свойства, решени задачи, самостоятелна работа, онлайн тест и видео уроци

7 клас Алгебра 6 решени задачи 17 самостоятелни задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Как се решават линейни неравенства, кога знакът се обръща и как се записват решенията с интервали

Линейните неравенства са една от най-важните теми в алгебрата за 7 клас. Те се решават по начин, близък до линейните уравнения, но тук трябва да се внимава особено при умножение или деление с отрицателно число — тогава знакът на неравенството се обръща.

---

Теория

Определение 1: Неравенство на два израза, в което едно число е означено с буква като неизвестно, се нарича неравенство с едно неизвестно.

Определение 2: Стойност на неизвестното, за която от дадено неравенство се получава вярно числово неравенство, се нарича решение на неравенството.

Определение 3: Да решим едно неравенство означава да намерим всичките му решения или да установим, че то няма решение.

Определение 4: Две неравенства с едно неизвестно се наричат равносилни (еквивалентни), ако: 1) решенията на едното са решения и на другото, и обратно; 2) двете нямат решение.

Свойство 1: Ако към двете страни на неравенство прибавим или извадим едно и също число, получаваме еквивалентно неравенство.

Свойство 2: Ако умножим или разделим двете страни на неравенство с едно и също положително число, получаваме еквивалентно неравенство.

Свойство 3: Ако умножим или разделим двете страни на неравенство с едно и също отрицателно число, получаваме еквивалентно неравенство, но знакът на неравенството се обръща.

Линейно неравенство е неравенство, което след преобразуване може да се запише във вид \(ax+b<c\), \(ax+b\le c\), \(ax+b>c\) или \(ax+b\ge c\), където \(a\neq 0\).

Запис на решенията:
• ако \(x<3\), то \(x\in(-\infty;3)\);  • ако \(x\le 2\), то \(x\in(-\infty;2]\);
• ако \(x>5\), то \(x\in(5;+\infty)\);  • ако \(x\ge -1\), то \(x\in[-1;+\infty)\).

План за решаване:
• разкриваме скоби, ако има;
• свеждаме подобните членове;
• пренасяме членовете с неизвестното от едната страна, а числата — от другата;
• делим или умножаваме при нужда — ако делим на отрицателно число, обръщаме знака;
• записваме решението като неравенство и като интервал.

⚠ Най-честите грешки: пропускане на обрат на знака при деление на отрицателно число; неправилно разкриване на скоби; при пренасяне на член не се сменя знакът; интервалът се записва с грешни скоби.

---

Решени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Решете неравенството \(4x-4<x+3\).

▼

Решение \[4x-4<x+3 \iff 4x-x<4+3 \iff 3x<7 \iff x<\frac{7}{3}.\] \[x\in\left(-\infty;\frac{7}{3}\right).\]

2

Решете неравенството \(5(x-2)>3(x+2)\).

▼

Решение \[5(x-2)>3(x+2) \iff 5x-10>3x+6 \iff 2x>16 \iff x>8.\] \[x\in(8;+\infty).\]

3

Решете неравенството \((x+1)^3-(3x+2)(x+1)>(x-2)(x^2+2x+4)\).

▼

Решение \[x^3+3x^2+3x+1-(3x^2+5x+2)>x^3-8\] \[x^3-2x-1>x^3-8\] \[-2x-1>-8 \iff -2x>-7.\]

⚠ Внимание: делим на \(-2\) — знакът се обръща!

\[x<\frac{7}{2}, \qquad x\in\left(-\infty;\frac{7}{2}\right).\]

4

Решете \(\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{3x+2}{4}\ge\dfrac{x+5}{6}-\dfrac{x+3}{12}\) и намерете най-голямото цяло решение.

▼

Решение Умножаваме по 12 (положително — знакът не се променя): \[4(2x-1)-3(3x+2)\ge 2(x+5)-(x+3)\] \[8x-4-9x-6\ge 2x+10-x-3\] \[-x-10\ge x+7 \iff -2x\ge 17 \iff x\le -\frac{17}{2}=-8{,}5.\] Най-голямото цяло решение е \(\mathbf{-9}\).

5

Решете неравенството \(2x^2-(x-3)(2x+1)\le 13\).

▼

Решение \[2x^2-(2x^2+x-6x-3)\le 13\] \[2x^2-2x^2+5x+3\le 13\] \[5x\le 10 \iff x\le 2.\] \[x\in(-\infty;2].\]

6

Намерете целите положителни решения на \(\dfrac{5-x}{2}>1-\dfrac{15-x}{6}\).

▼

Решение Умножаваме по 6: \[3(5-x)>6-(15-x)\] \[15-3x>-9+x\] \[24>4x \iff x<6.\] Целите положителни решения са \(\mathbf{1, 2, 3, 4, 5}\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Решете \((x+3)(x^2-3x+9)-x(x+2)(x-2)<2(x+3{,}5)\).

Задача 2Решете \((x-5)^2+(1-x)(x+1)\ge -5(3+2x)\).

Задача 3Решете \(\dfrac{3x-1}{5}-\dfrac{13-x}{2}>\dfrac{7x}{2}-\dfrac{11(x+3)}{6}\).

Задача 4Решете \(2x+\dfrac{5}{4}-\dfrac{1}{2}\!\left(2-\dfrac{3-2x}{3}\right)<2x+\dfrac{5}{6}\).

Задача 5Решете \(\dfrac{(1+x)(1-x)}{3}+\dfrac{2(2x+5)^2-64}{-24}\le\dfrac{5x+1}{2}\).

Задача 6Решете: а) \(\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{2-x}{5}>5\); б) \((3x+1)^3-(8-3x)(3x+8)>9x^2(3x+4)\); в) \(4x(1-x)>1\). Кои са еквивалентни?

Задача 7Намерете най-малкото нечетно естествено число решение на \((2-x)^3+(x-1)(x^2-x+1)<(5-2x)(-5-2x)\).

Задача 8Решете: а) уравнението \(x^2(x^2-25)+(5-x)(x+5)=8(x+1)(x^2-25)\); б) неравенството \(\dfrac{0{,}2x-1}{-0{,}3}-\dfrac{3-x}{6}<3{,}5\). Кои корени на уравнението са решения на неравенството?

Задача 9Намерете най-малкото цяло число решение на \((x+3)^2<(-x-4)^2-\dfrac{1}{2}\!\left(3-\dfrac{x-50}{2}\right)\).

Задача 10За \(A=(2-x^2)^2-2(2-x^2)\) и \(B=\dfrac{2\cdot(-16)^6}{(-32)^5}\): а) намерете за кои \(x\) е вярно \(A\le B\); б) докажете, че за всяко \(x\) е вярно \(A>1{,}1\).

Задача 11Решете \(|x-a|=2a-7\) при \(a=\dfrac{(0{,}125)^{-3}}{128}\) и определете кои корени са решения на \(\dfrac{(1-x)^2}{0{,}4}-\dfrac{3-x}{2}\ge 2\tfrac{1}{2}(x^2-3x)+10\tfrac{1}{2}\).

Задача 12Намерете най-голямото цяло решение на \(1-x-\dfrac{x}{5}\!\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{(x+2)(x-2)}{3}\right)\ge \dfrac{(2-x)(x^2+2x+4)}{6}\).

Задача 13Намерете най-малката цяла стойност на \(x\), за която \(\dfrac{9x+5}{4}-\dfrac{1}{2}\!\left(2-\dfrac{3-2x}{9}\right)<7x\).

Задача 14За кои стойности на \(a\) изразът \((a-8)(a+8)-a^2-2a\) е винаги положителен?

Задача 15Съществува ли естествено \(n\), за което \((n-1)^2-(n+2)(n-2)>4\)?

Задача 16За кои стойности на \(c\) изразът \(\dfrac{3c-2}{5}-3c\) е отрицателен?

Задача 17Решете: а) \(\dfrac{9x+5}{4}-\dfrac{1}{2}\!\left(2-\dfrac{3-2x}{9}\right)<7x\); б) \(\dfrac{(x+1)^2}{3}+2x-\dfrac{(2x-1)^3}{3}>\dfrac{x(3x-4)}{5}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Линейни неравенства

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Кое неравенство е линейно?

\(x^2-3x>0\) \(2x+5\le 9\) \(\dfrac{1}{x}>2\) \((x+1)^2<4\)

2При деление на неравенство с отрицателно число:

знакът не се променя знакът се обръща двете страни стават положителни неравенството губи решения

3Решението на \(4x-4<x+3\) е:

\(x>\dfrac{7}{3}\) \(x<\dfrac{7}{3}\) \(x\le\dfrac{7}{3}\) \(x=\dfrac{7}{3}\)

4Решението на \(5(x-2)>3(x+2)\) е:

\(x>8\) \(x<8\) \(x\ge 8\) \(x\le 8\)

5Решението на \(2x^2-(x-3)(2x+1)\le 13\) е:

\(x\ge 2\) \(x\le 2\) \(x<2\) \(x>2\)

6Кой е интервалният запис на \(x<3\)?

\((-\infty;3)\) \((-\infty;3]\) \([3;+\infty)\) \((3;+\infty)\)

7Кои две неравенства са еквивалентни?

\(x-2>5\) и \(x>7\) \(x+1<3\) и \(x<3\) \(2x>4\) и \(x>4\) \(x-3<0\) и \(x>3\)

8Решението на \(-2x>-6\) е:

\(x>3\) \(x<3\) \(x\ge 3\) \(x\le 3\)

9Най-голямото цяло решение на \(x\le -\dfrac{17}{2}\) е:

\(-8\) \(-9\) \(-10\) \(-\dfrac{17}{2}\)

10Колко са целите положителни решения на \(x<6\)?

4 5 6 безкрайно много

11При прибавяне на едно и също число към двете страни на неравенство:

знакът се обръща знакът не се променя неравенството става уравнение получаваме винаги грешно твърдение

12Решението на \(\dfrac{5-x}{2}>1-\dfrac{15-x}{6}\) е:

\(x<6\) \(x>6\) \(x\le 6\) \(x\ge 6\)

13Кое неравенство няма решение?

\(2x+1<2x-3\) \(x+1>x\) \(3x\le 3x+5\) \(x-2<x+1\)

14Кое е вярно за \(x\in(-\infty;2]\)?

\(x<2\) \(x>2\) \(x\le 2\) \(x\ge 2\)

15Коя е правилната първа стъпка при решаване на неравенство с дроби?

променяме всички знаци умножаваме по общ положителен знаменател заменяме неизвестното с 0 винаги делим на 2

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Линейни неравенства

Видео урок 2 — Още задачи по линейни неравенства

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆