Разлагане на многочлен на множители чрез прилагане на формулите за съкратено умножение 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Разлагане на многочлени

Разлагане на многочлени
чрез формули за съкратено умножение

Пълен урок с разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 9 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Разлагане на многочлени на множители чрез формулите за съкратено умножение — урок за 7 клас

Често в решаването на различни задачи се налага даден многочлен да го представим като произведение от множители. Тези множители могат да бъдат както едночлени, така и други многочлени. Например добре известно е, че \(a(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\). Ако запишем това равенство в обратен ред, т.е. \(a\cdot b+a\cdot c=a(b+c)\), виждаме, че сбора от едночлените \(ab\) и \(ac\) вече сме представили като произведение. По същия начин се записват и другите равенства: \[a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2,\] \[a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3, \quad a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2).\] По-долу ще видим как можем да прилагаме тези равенства в конкретни задачи.

1. 1. \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
2. 2. \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)
3. 3. \(a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 = (a \pm b)^3\)
4. 4. \(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\)

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Разложете на множители многочлена \(4x^2-y^2\).

▼

Решение Записваме израза по следния начин: \[4x^2-y^2=(2x)^2-y^2.\] Прилагаме формулата \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2,\] като тук \(a=2x\) и \(b=y\). Следователно: \[4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y).\]

2

Разложете на множители многочлена \(p^2-(x+y)^2\).

▼

Решение Прилагаме отново формулата \[a^2-b^2=(a-b)(a+b),\] като поставяме \(a=p\) и \(b=x+y\). Това дава: \[p^2-(x+y)^2=[p-(x+y)](p+x+y)=(p-x-y)(p+x+y).\]

3

Разложете на множители многочлена \(16b^2-8b+1\).

▼

Решение За разлагането на този многочлен използваме формулата \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\] Тук можем да запишем: \[16b^2-8b+1=(4b-1)^2.\]

4

Разложете на множители многочлена \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\).

▼

Решение Записваме дадения многочлен така: \[8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x)^3+3(2x)^2y+3(2x)y^2+y^3.\] Прилагаме формулата за куб на двучлен \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\] като в нашия случай \(a=2x\) и \(b=y\). Получаваме: \[8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x+y)^3.\]

5

Разложете на множители многочлена \(64a^3+27b^3\).

▼

Решение Представяме многочлена във вида \[64a^3+27b^3=(4a)^3+(3b)^3.\] Прилагаме формулата за сбор на кубове: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\] където \(a=4a\) и \(b=3b\). Следователно: \[(4a)^3+(3b)^3=(4a+3b)\bigl((4a)^2-(4a)(3b)+(3b)^2\bigr)=(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2).\]

6

Разложете на множители тричлена \(x^2-8x+15\).

▼

Решение Записваме тричлена като \[x^2-8x+15.\] Можем да го представим като \[(x-4)^2-1,\] тъй като \(x^2-8x+16=(x-4)^2\) и \(15=16-1\). Прилагаме формулата за разлика на квадрати: \[(x-4)^2-1^2=(x-4-1)(x-4+1)=(x-5)(x-3).\]

7

Намерете най-голямата стойност на \(\dfrac{6}{x^2+4x+5}\) и стойността на \(x\), при която се получава тя.

▼

Решение Представяме знаменателя: \[x^2+4x+5=(x+2)^2+1.\] Тъй като \((x+2)^2\geq 0\) за всяко \(x\), най-малкият знаменател е получен при \((x+2)^2=0\), т.е. при \(x=-2\). Затова: \[\frac{6}{(x+2)^2+1}=\frac{6}{0+1}=6,\] което е максималната стойност на дробта.

8

Разложете на множители многочлена \(x^6-1\).

▼

Решение Записваме многочлена като разлика на квадрати: \[x^6-1=(x^3)^2-1^2.\] Прилагаме формулата \[a^2-b^2=(a-b)(a+b),\] като поставяме \(a=x^3\) и \(b=1\). Получаваме: \[x^6-1=(x^3-1)(x^3+1).\] След това разлагаме всеки фактор с помощта на формулите за сбор и разлика на кубове: \[x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\quad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).\] Така: \[x^6-1=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1).\]

9

Разложете на множители многочлена \(x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}\).

▼

Решение Многочлена можем да представим като: \[(x^k)^2+2x^ky^l+(y^l)^2.\] Прилагаме формулата \[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\] като поставяме \(a=x^k\) и \(b=y^l\). Получаваме: \[x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}=(x^k+y^l)^2.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Разложете на множители многочлена:
а) \(x^2+18x+81\);  б) \(4x^2-16y^2\);  в) \(y^3+15y^2+75y+125\);  г) \(27u^3-64v^3\).

Задача 2 Намерете числената стойност на израза \((2x-1)^2-81x^2\) при \(x=1\).

Задача 3 Докажете, че ако \(a+b\) се дели на 5, то \(a^2-b^2\) също се дели на 5.

Задача 4 Намерете най-малката стойност на израза \(x^2-10x+37\) и стойността на \(x\), при която тя се достига.

Задача 5 Докажете тъждеството \[\bigl(a(x+y)+b(x-y)\bigr)^2-\bigl(a(x-y)+b(x+y)\bigr)^2=4xy(a-b)(a+b).\]

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Разлагане чрез формули за съкратено умножение

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Разлагането на \(4x^2-y^2\) на множители е:

\((2x+y)^2\) \((2x-y)^2\) \((2x-y)(2x+y)\) \((4x-y)(x+y)\)

2Разлагането на \(p^2-(x+y)^2\) на множители е:

\((p-x-y)(p-x+y)\) \((p-x-y)(p+x+y)\) \((p+x-y)(p+x+y)\) \((p-x+y)(p+x-y)\)

3Разлагането на \(16b^2-8b+1\) на множители е:

\((4b+1)^2\) \((4b-1)^2\) \((4b-1)(4b+1)\) \((8b-1)^2\)

4Разлагането на \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\) на множители е:

\((2x-y)^3\) \((x+2y)^3\) \((2x+y)^3\) \((2x+y)^2\)

5Разлагането на \(64a^3+27b^3\) на множители е:

\((4a-3b)(16a^2+12ab+9b^2)\) \((4a+3b)(16a^2+12ab+9b^2)\) \((4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2)\) \((4a+3b)^3\)

6Разлагането на \(x^2-8x+15\) на множители е:

\((x-3)(x+5)\) \((x-5)(x+3)\) \((x-3)(x-5)\) \((x+3)(x+5)\)

7Най-голямата стойност на \(\dfrac{6}{x^2+4x+5}\) е:

\(3\) \(6\) \(5\) \(1\)

8Максималната стойност на \(\dfrac{6}{x^2+4x+5}\) се достига при \(x\) равно на:

\(x=2\) \(x=0\) \(x=-2\) \(x=-4\)

9Пълното разлагане на \(x^6-1\) на множители е:

\((x^3-1)(x^3+1)\) \((x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)\) \((x^2-1)(x^4+x^2+1)\) \((x-1)^3(x+1)^3\)

10Разлагането на \(x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}\) на множители е:

\((x^k-y^l)^2\) \((x^k+y^l)^2\) \((x^k+y^l)(x^k-y^l)\) \((x^{2k}+y^{2l})\)

11Разлагането на \(x^2+18x+81\) на множители е:

\((x-9)^2\) \((x+9)^2\) \((x+9)(x-9)\) \((x+3)^2\)

12Разлагането на \(4x^2-16y^2\) на множители е:

\((2x-4y)(2x+4y)\) \(4(x-2y)(x+2y)\) \((4x-4y)(x+y)\) \(2(2x-4y)(x+2y)\)

13Разлагането на \(27u^3-64v^3\) на множители е:

\((3u+4v)(9u^2-12uv+16v^2)\) \((3u-4v)(9u^2-12uv+16v^2)\) \((3u-4v)(9u^2+12uv+16v^2)\) \((3u-4v)^3\)

14Разлагането на \(y^3+15y^2+75y+125\) на множители е:

\((y-5)^3\) \((y+5)^2\) \((y+5)^3\) \((y+15)(y^2+5)\)

15Числената стойност на \((2x-1)^2-81x^2\) при \(x=1\) е:

\(-80\) \(-78\) \(-76\) \(80\)

---

Видео уроци

Видео урок — Разлагане чрез формули за съкратено умножение

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆