📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 7 клас › Алгебра › Разлагане на многочлени

Разлагане на многочлени
чрез формули за съкратено умножение

Пълен урок за 7. клас: теория и стратегия, 25 подробно решени задачи (№21–25 с повишена трудност), 30 задачи за самостоятелна работа, тест с 15 въпроса и видеоурок.

7. клас25 решени задачи5 с повишена трудност30 самостоятелни15 въпроса тестД-р Атанас Илчев

Теория: разлагане чрез формулите за съкратено умножение

Когато използваме формулите за съкратено умножение отдясно наляво, превръщаме многочлен в произведение. Това е един от основните методи за разлагане на многочлен на множители. Преди него е полезно да сме уверени в изнасянето на общ множител, защото в по-сложните задачи двата метода често се комбинират.

1.Разлика на квадрати: \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\).
2.Точен квадрат: \(A^2\pm2AB+B^2=(A\pm B)^2\).
3.Точен куб: \(A^3\pm3A^2B+3AB^2\pm B^3=(A\pm B)^3\).
4.Сбор и разлика на кубове: \(A^3\pm B^3=(A\pm B)(A^2\mp AB+B^2)\).

Основна стратегия. Преди да изберем формула, проверяваме дали членовете могат да се представят като квадрати или кубове, дали средният член е точно \(2AB\) или \(3A^2B,3AB^2\), и дали след първото разлагане някой от получените множители не може да се разложи още.

Вид на израза	Какво търсим?
Два члена със знак „−“	Проверяваме дали са квадрати: \(A^2-B^2\).
Три члена	Проверяваме за \(A^2\pm2AB+B^2\); ако не съвпада точно, опитваме допълване до точен квадрат.
Четири члена	Проверяваме за точен куб на двучлен.
Два куба	Използваме сбор или разлика на кубове.
След първото разлагане	Проверяваме всеки множител още веднъж — разлагането трябва да е пълно за изучаваните методи.

Припомняне. При степени като \(x^{2k}=(x^k)^2\) използваме правилата от степенуването с естествен показател. А самата идея „от сбор към произведение“ е обратна на разпределителното свойство.

Чести грешки:

• при \(A^3+B^3\) знакът в средния член на втория множител е минус;

• при \(A^3-B^3\) вторият множител е \(A^2+AB+B^2\);

• \((A-B)^2\neq A^2-B^2\);

• след първото разлагане често може да се приложи още една формула;

• при допълване до квадрат добавеното число трябва едновременно да бъде и извадено.

Следващи стъпки: след този урок преминаваме към разлагане чрез групиране, а след това към комбинирано прилагане на различни методи.

25 подробно решени задачи

Задачи №1–20 преминават от директно разпознаване на формула към последователно разлагане, допълване до квадрат, числени оценки и доказателства. №21–25 са с повишена трудност.

1Разлика на квадратиРазложете на множители многочлена \(4x^2-y^2\).

Решение

Първо разпознаваме двата члена като квадрати:

\[ 4x^2=(2x)^2,\qquad y^2=y^2. \]

Прилагаме формулата за разлика на квадрати

\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B), \]

с \(A=2x\) и \(B=y\). Получаваме:

\[ \boxed{4x^2-y^2=(2x-y)(2x+y)}. \]

2Разлика на квадрати с многочленРазложете на множители многочлена \(p^2-(x+y)^2\).

Решение

И двата члена са квадрати: \(p^2\) и \((x+y)^2\). Прилагаме

\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B) \]

с \(A=p\), \(B=x+y\):

\[ p^2-(x+y)^2=[p-(x+y)][p+(x+y)]. \]

Разкриваме само вътрешните скоби:

\[ \boxed{p^2-(x+y)^2=(p-x-y)(p+x+y)}. \]

3Точен квадратРазложете на множители многочлена \(16b^2-8b+1\).

Решение

Проверяваме формулата

\[ A^2-2AB+B^2=(A-B)^2. \]

Имаме \(16b^2=(4b)^2\), \(1=1^2\), а средният член е

\[ -2\cdot4b\cdot1=-8b. \]

Следователно:

\[ \boxed{16b^2-8b+1=(4b-1)^2}. \]

4Точен кубРазложете на множители многочлена \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\).

Решение

Сравняваме с формулата за куб на сбор:

\[ (A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3. \]

При \(A=2x\), \(B=y\) получаваме:

\[ (2x)^3=8x^3,\quad 3(2x)^2y=12x^2y,\quad 3(2x)y^2=6xy^2. \]

Всички членове съвпадат, следователно:

\[ \boxed{8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3=(2x+y)^3}. \]

5Сбор на кубовеРазложете на множители многочлена \(64a^3+27b^3\).

Решение

Записваме двата члена като кубове:

\[ 64a^3=(4a)^3,\qquad 27b^3=(3b)^3. \]

Прилагаме формулата

\[ A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2). \]

С \(A=4a\), \(B=3b\) получаваме:

\[ \boxed{64a^3+27b^3=(4a+3b)(16a^2-12ab+9b^2)}. \]

6Допълване до точен квадратРазложете на множители тричлена \(x^2-8x+15\).

Решение

Първите два члена насочват към квадрата \((x-4)^2\):

\[ (x-4)^2=x^2-8x+16. \]

Затова добавяме и изваждаме \(16\):

\[ x^2-8x+15=(x-4)^2-1. \]

Получихме разлика на квадрати:

\[ (x-4)^2-1^2=[(x-4)-1][(x-4)+1]. \]

Следователно:

\[ \boxed{x^2-8x+15=(x-5)(x-3)}. \]

7Най-голяма стойностНамерете най-голямата стойност на \(\dfrac{6}{x^2+4x+5}\) и стойността на \(x\), при която се получава тя.

Решение

Допълваме знаменателя до точен квадрат:

\[ x^2+4x+5=(x+2)^2+1. \]

Понеже \((x+2)^2\ge 0\), знаменателят е най-малък, когато \((x+2)^2=0\), т.е. при \(x=-2\). Тогава знаменателят е \(1\).

При положителен числител дробта е най-голяма, когато знаменателят е най-малък. Следователно:

\[ \boxed{\max \frac{6}{x^2+4x+5}=6\quad\text{при }x=-2}. \]

8Последователно разлаганеРазложете напълно на множители многочлена \(x^6-1\).

Решение

Започваме с разлика на квадрати:

\[ x^6-1=(x^3)^2-1^2=(x^3-1)(x^3+1). \]

После използваме формулите за разлика и сбор на кубове:

\[ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), \] \[ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1). \]

Следователно пълното разлагане е:

\[ \boxed{x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)}. \]

9Точен квадрат със степениРазложете на множители многочлена \(x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}\).

Решение

Използваме свойството \((x^k)^2=x^{2k}\) и \((y^l)^2=y^{2l}\), познато от степенуването с естествен показател.

Така:

\[ x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}=(x^k)^2+2x^ky^l+(y^l)^2. \]

Разпознаваме формулата \(A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\):

\[ \boxed{x^{2k}+2x^ky^l+y^{2l}=(x^k+y^l)^2}. \]

10Точен квадрат на сборРазложете на множители \(9a^2+24ab+16b^2\).

Решение

Първият и последният член са квадрати:

\[ 9a^2=(3a)^2,\qquad 16b^2=(4b)^2. \]

Проверяваме средния член:

\[ 2\cdot3a\cdot4b=24ab. \]

Следователно тричленът е точен квадрат:

\[ \boxed{9a^2+24ab+16b^2=(3a+4b)^2}. \]

11Точен квадрат на разликаРазложете на множители \(25m^2-30mn+9n^2\).

Решение

Имаме \(25m^2=(5m)^2\) и \(9n^2=(3n)^2\). Средният член е

\[ -2\cdot5m\cdot3n=-30mn. \]

Затова:

\[ \boxed{25m^2-30mn+9n^2=(5m-3n)^2}. \]

12Разлика на кубовеРазложете на множители \(27x^3-8y^3\).

Решение

Записваме:

\[ 27x^3=(3x)^3,\qquad 8y^3=(2y)^3. \]

Прилагаме \(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\):

\[ \boxed{27x^3-8y^3=(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)}. \]

13Сбор на кубовеРазложете на множители \(125p^3+64q^3\).

Решение

Разпознаваме \(125p^3=(5p)^3\) и \(64q^3=(4q)^3\). По формулата за сбор на кубове:

\[ A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2). \]

Получаваме:

\[ \boxed{125p^3+64q^3=(5p+4q)(25p^2-20pq+16q^2)}. \]

14Две последователни формулиРазложете напълно на множители \(x^4-16\).

Решение

Първо използваме разлика на квадрати:

\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4). \]

Първият множител отново е разлика на квадрати:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Над реалните числа \(x^2+4\) няма реални линейни множители. Следователно:

\[ \boxed{x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)}. \]

15Разлика на четвърти степениРазложете напълно на множители \(81u^4-v^4\).

Решение

Записваме израза като разлика на квадрати:

\[ 81u^4-v^4=(9u^2)^2-(v^2)^2=(9u^2-v^2)(9u^2+v^2). \]

Първият множител отново е разлика на квадрати:

\[ 9u^2-v^2=(3u-v)(3u+v). \]

Следователно:

\[ \boxed{81u^4-v^4=(3u-v)(3u+v)(9u^2+v^2)}. \]

16Допълване до квадратРазложете на множители \(4x^2+12x+5\).

Решение

Допълваме до квадрат на двучлен:

\[ 4x^2+12x+5=(2x+3)^2-4. \]

Проверка: \((2x+3)^2=4x^2+12x+9\), а \(9-4=5\).

Сега имаме разлика на квадрати:

\[ (2x+3)^2-2^2=(2x+3-2)(2x+3+2). \]

Затова:

\[ \boxed{4x^2+12x+5=(2x+1)(2x+5)}. \]

17Допълване до квадратРазложете на множители \(9y^2-30y+16\).

Решение

Първите два члена са част от квадрата \((3y-5)^2\):

\[ (3y-5)^2=9y^2-30y+25. \]

Следователно:

\[ 9y^2-30y+16=(3y-5)^2-9. \]

Прилагаме разлика на квадрати:

\[ (3y-5)^2-3^2=(3y-8)(3y-2). \]

Значи:

\[ \boxed{9y^2-30y+16=(3y-8)(3y-2)}. \]

18Рационално пресмятанеПресметнете рационално \(1001^2-999^2\).

Решение

Не повдигаме отделно числата на квадрат. Използваме разлика на квадрати:

\[ 1001^2-999^2=(1001-999)(1001+999). \]

Тогава:

\[ 2\cdot2000=\boxed{4000}. \]

Това е пример как формулата превръща трудна на вид сметка в едно просто произведение.

19НеотрицателностДокажете, че \(x^2+6x+13\) е положително за всяко реално \(x\).

Решение

Допълваме до точен квадрат:

\[ x^2+6x+13=(x+3)^2+4. \]

За всяко реално \(x\) е вярно \((x+3)^2\ge0\). Следователно:

\[ (x+3)^2+4\ge4>0. \]

Значи изразът е положителен за всяко реално \(x\). \(\blacksquare\)

20Разлика на квадрати с двучлениРазложете на множители \((a+b)^2-(p-q)^2\).

Решение

Прилагаме директно формулата \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\), като

\[ A=a+b,\qquad B=p-q. \]

Следователно:

\[ (a+b)^2-(p-q)^2=[a+b-(p-q)][a+b+(p-q)]. \]

Премахваме вътрешните скоби:

\[ \boxed{(a+b-p+q)(a+b+p-q)}. \]

Задачи с повишена трудност

Тук формулите се комбинират с параметри, големи степени, допълване до квадрат и уравнения от по-висока степен.

21Параметър и точен квадратНамерете естественото число \(n\), за което \(nx^4+30x^2+25\) е точен квадрат на многочлен.Повишена трудност

Решение

Тъй като коефициентът пред \(x^4\) е ненулев, квадратът трябва да има вида

\[ (\alpha x^2+\beta x+\gamma)^2. \]

В дадения многочлен няма членове с \(x^3\) и \(x\). От коефициента пред \(x^3\), \(2\alpha\beta=0\), а \(\alpha\ne0\), следователно \(\beta=0\).

Остава:

\[ (\alpha x^2+\gamma)^2=\alpha^2x^4+2\alpha\gamma x^2+\gamma^2. \]

От свободния член \(\gamma^2=25\), а от \(2\alpha\gamma=30\). Получаваме \(|\gamma|=5\) и \(|\alpha|=3\), като знаците са еднакви. Следователно:

\[ n=\alpha^2=9. \]

Проверка:

\[ 9x^4+30x^2+25=(3x^2+5)^2. \]

Затова \(\boxed{n=9}\).

22Параметри и точен кубНамерете естествените числа \(a\) и \(b\), за които \(x^3-3ax^2+27x-b\) е точен куб на двучлен.Повишена трудност

Решение

Понеже водещият коефициент е \(1\), точният куб трябва да е от вида

\[ (x-c)^3=x^3-3cx^2+3c^2x-c^3. \]

Сравняваме коефициентите с \(x^3-3ax^2+27x-b\):

\[ -3c=-3a\Rightarrow c=a, \] \[ 3c^2=27\Rightarrow c^2=9. \]

Тъй като \(a\) е естествено число, \(c=a=3\). Тогава

\[ b=c^3=27. \]

Наистина:

\[ x^3-9x^2+27x-27=(x-3)^3. \]

Следователно \(\boxed{a=3,\ b=27}\).

23Голяма степен и точен квадратДокажете, че \(2^{2018}+2^{1010}+1\) е точен квадрат на естествено число.Повишена трудност

Решение

Търсим формата \(A^2+2A+1=(A+1)^2\). Забелязваме:

\[ 2^{2018}=(2^{1009})^2. \]

Освен това:

\[ 2\cdot2^{1009}=2^{1010}. \]

Следователно:

\[ 2^{2018}+2^{1010}+1=(2^{1009})^2+2\cdot2^{1009}\cdot1+1^2. \]

По формулата за квадрат на сбор:

\[ \boxed{2^{2018}+2^{1010}+1=(2^{1009}+1)^2}. \]

Следователно даденото число е точен квадрат. \(\blacksquare\)

24Допълване до квадрат и разлаганеРазложете на множители тричлена \(49x^2-28x-5\).Повишена трудност

Решение

Допълваме до квадрата \((7x-2)^2\):

\[ (7x-2)^2=49x^2-28x+4. \]

Затова:

\[ 49x^2-28x-5=(7x-2)^2-9. \]

Получихме разлика на квадрати:

\[ (7x-2)^2-3^2=(7x-2-3)(7x-2+3). \]

Опростяваме:

\[ \boxed{49x^2-28x-5=(7x-5)(7x+1)}. \]

25Уравнение от осма степенРешете в множеството на реалните числа уравнението \(x^8-17x^4+16=0\).Повишена трудност

Решение

Виждаме квадратен тричлен спрямо \(x^4\). Полагаме

\[ t=x^4,\qquad t\ge0. \]

Уравнението става:

\[ t^2-17t+16=0. \]

Разлагаме тричлена:

\[ t^2-17t+16=(t-1)(t-16). \]

Следователно:

\[ t=1\quad\text{или}\quad t=16. \]

Връщаме \(t=x^4\):

\[ x^4=1\Rightarrow x=\pm1, \] \[ x^4=16\Rightarrow x=\pm2. \]

Значи решенията са:

\[ \boxed{x\in\{-2,-1,1,2\}}. \]

30 задачи за самостоятелна работа

Опитайте първо самостоятелно. Под всяка задача има кратък проверен отговор или насока.

Задача 1Разложете на множители многочлена:
а) \(x^2+18x+81\); б) \(4x^2-16y^2\); в) \(y^3+15y^2+75y+125\); г) \(27u^3-64v^3\).

Отговор и насока

а) \((x+9)^2\)
б) \(4(x-2y)(x+2y)\)
в) \((y+5)^3\)
г) \((3u-4v)(9u^2+12uv+16v^2)\)

Задача 2Намерете числената стойност на израза \((2x-1)^2-81x^2\) при \(x=1\).

Отговор и насока

Разлагаме \((2x-1)^2-(9x)^2=(2x-1-9x)(2x-1+9x)\). При \(x=1\): \((-8)\cdot10=\boxed{-80}\).

Задача 3Нека \(a\) и \(b\) са цели числа. Докажете, че ако \(a+b\) се дели на \(5\), то \(a^2-b^2\) също се дели на \(5\).

Отговор и насока

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Понеже първият множител се дели на \(5\), произведението също се дели на \(5\). \(\blacksquare\)

Задача 4Намерете най-малката стойност на израза \(x^2-10x+37\) и стойността на \(x\), при която тя се достига.

Отговор и насока

\(x^2-10x+37=(x-5)^2+12\). Минимумът е \(\boxed{12}\) при \(\boxed{x=5}\).

Задача 5Докажете тъждеството \[\bigl(a(x+y)+b(x-y)\bigr)^2-\bigl(a(x-y)+b(x+y)\bigr)^2=4xy(a-b)(a+b).\]

Отговор и насока

Нека \(P=a(x+y)+b(x-y)\), \(Q=a(x-y)+b(x+y)\). Тогава \(P^2-Q^2=(P-Q)(P+Q)\), където \(P-Q=2y(a-b)\), \(P+Q=2x(a+b)\). Произведението е \(4xy(a-b)(a+b)\).

Задача 6Разложете \(a^2-49b^2\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(a-7b)(a+7b)}\).

Задача 7Разложете \(25x^2+20xy+4y^2\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(5x+2y)^2}\).

Задача 8Разложете \(64m^3-27n^3\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(4m-3n)(16m^2+12mn+9n^2)}\).

Задача 9Разложете \(8p^3+125q^3\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(2p+5q)(4p^2-10pq+25q^2)}\).

Задача 10Разложете напълно \(z^4-81\) на множители.

Отговор и насока

\(z^4-81=(z^2-9)(z^2+9)=\boxed{(z-3)(z+3)(z^2+9)}\).

Задача 11Разложете напълно \(16a^4-b^4\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(2a-b)(2a+b)(4a^2+b^2)}\).

Задача 12Разложете \(x^2+10x+16\) на множители чрез допълване до точен квадрат.

Отговор и насока

\((x+5)^2-9=\boxed{(x+2)(x+8)}\).

Задача 13Разложете \(4x^2-4x-15\) на множители.

Отговор и насока

\((2x-1)^2-16=\boxed{(2x-5)(2x+3)}\).

Задача 14Разложете напълно \(x^6-64\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)}\).

Задача 15Пресметнете рационално \(1003^2-997^2\).

Отговор и насока

\((1003-997)(1003+997)=6\cdot2000=\boxed{12000}\).

Задача 16Намерете най-малката стойност на \(x^2-12x+40\).

Отговор и насока

\((x-6)^2+4\), следователно минимумът е \(\boxed{4}\) при \(x=6\).

Задача 17Намерете най-голямата стойност на \(\dfrac{10}{x^2-8x+17}\).

Отговор и насока

Знаменателят е \((x-4)^2+1\), следователно максимумът е \(\boxed{10}\) при \(x=4\).

Задача 18Докажете, че \(4x^2+12x+13>0\) за всяко реално \(x\).

Отговор и насока

\(4x^2+12x+13=(2x+3)^2+4>0\).

Задача 19Намерете естественото \(n\), за което \(nx^4+24x^2+16\) е точен квадрат.

Отговор и насока

\((3x^2+4)^2=9x^4+24x^2+16\), следователно \(\boxed{n=9}\).

Задача 20Намерете естественото \(n\), за което \(x^3+9x^2+27x+n\) е точен куб.

Отговор и насока

\((x+3)^3=x^3+9x^2+27x+27\), следователно \(\boxed{n=27}\).

Задача 21Разложете напълно \(x^8-1\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)}\).

Задача 22Разложете напълно \(a^6-b^6\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)}\).

Задача 23Разложете напълно \(x^4-10x^2+9\) на множители.

Отговор и насока

\((x^2-1)(x^2-9)=\boxed{(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)}\).

Задача 24Разложете \(x^4+5x^2+4\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(x^2+1)(x^2+4)}\).

Задача 25 За надгражданеДокажете, че \(3^{2024}+2\cdot3^{1012}+1\) е точен квадрат.

Отговор и насока

\(\boxed{3^{2024}+2\cdot3^{1012}+1=(3^{1012}+1)^2}\).

Задача 26 За надгражданеРешете \(x^4-13x^2+36=0\).

Отговор и насока

\((x^2-4)(x^2-9)=0\), затова \(\boxed{x=\pm2,\ \pm3}\).

Задача 27 За надгражданеНамерете естественото число \(n\), за което \(16x^4+40x^2+n\) е точен квадрат.

Отговор и насока

\((4x^2+5)^2=16x^4+40x^2+25\), следователно \(\boxed{n=25}\).

Задача 28 За надгражданеРазложете \((a+b)^2-(c-d)^2\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(a+b-c+d)(a+b+c-d)}\).

Задача 29 За надгражданеРазложете напълно \(81x^4-16y^4\) на множители.

Отговор и насока

\(\boxed{(3x-2y)(3x+2y)(9x^2+4y^2)}\).

Задача 30 За надгражданеНамерете естественото число \(m\), за което \(x^3-15x^2+75x-m\) е точен куб.

Отговор и насока

\((x-5)^3=x^3-15x^2+75x-125\), следователно \(\boxed{m=125}\).

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки. Това е учебна самооценка, а не стандартизирано оценяване.

Видео урок

Видео урок — Разлагане чрез формули за съкратено умножение

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

Използвана литература

При допълването тема 16 „Разлагане чрез формулите за съкратено умножение“ от предоставения сборник на „Коала Прес“ служи като ориентир за типовете задачи, последователното разлагане, допълването до точен квадрат и задачите от група Б. Новите задачи и решения са съставени за този урок и не са дословен препис.

1.П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 7. клас. Коала Прес, Пловдив, 2020
2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

›НВО по математика след 7 клас
›НВО по математика след 10 клас
›Кандидатстудентски изпити по математика
›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
›Технически университет – София и др.
›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
›Студенти по всички математически дисциплини: Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

☎ 0883 375 433 ☏ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

Математика с д-р Атанас Илчев