Уравнения от вида $(ax+b)(cx+d)=0$ 7 клас

Уравнения с нулев множител – Решаване чрез разлагане на множители | 7 клас | Д-р Атанас Илчев
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆
Математика › 7 клас › Уравнения › Нулев множител

Уравнения с нулев множител
Решаване чрез разлагане

Пълен урок с основно правило, разработени задачи и интерактивен тест
7 клас 10 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Уравнения от вида \((ax+b)(cx+d)=0\) — основно правило и задачи за 7 клас

В тази тема се запознаваме с важен метод за решаване на уравнения — чрез разлагане на левата страна на множители и прилагане на основното правило за нулево произведение.

Основно правило: Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е нула: \[(ax+b)(cx+d)=0 \iff ax+b=0 \text{ или } cx+d=0.\] Правилото се прилага за произволен брой множители.
Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1
Решете уравнението \((2x-5)(3x+1)=0\).
▼
Решение Прилагаме основното правило: \[2x-5=0 \quad \text{или} \quad 3x+1=0,\] \[x_1=\frac{5}{2} \quad \text{или} \quad x_2=-\frac{1}{3}.\]
2
Решете уравнението \(x(4x-9)=0\).
▼
Решение \[x=0 \quad \text{или} \quad 4x-9=0,\] \[x_1=0 \quad \text{или} \quad x_2=\frac{9}{4}.\]
3
Решете уравнението \((x-2)(x+3)(2x-1)=0\).
▼
Решение Това е уравнение с три множителя: \[x-2=0 \quad \text{или} \quad x+3=0 \quad \text{или} \quad 2x-1=0,\] \[x_1=2, \quad x_2=-3, \quad x_3=\frac{1}{2}.\]
4
Решете уравнението \(x^2(x-5)-9(x-5)=0\).
▼
Решение Първо изнасяме общ множител: \[(x-5)(x^2-9)=0.\] Разлагаме и втория множител по формулата за разлика на квадрати: \[(x-5)(x-3)(x+3)=0.\] Решения: \(x_1=5\), \(x_2=3\), \(x_3=-3\).
5
Решете уравнението \(4x^2(2x+1)-25(2x+1)=0\).
▼
Решение Изнасяме общ множител: \[(2x+1)(4x^2-25)=0.\] Разлагаме разликата от квадрати: \[(2x+1)(2x-5)(2x+5)=0.\] \[x_1=-\frac{1}{2}, \quad x_2=\frac{5}{2}, \quad x_3=-\frac{5}{2}.\]
6
Решете уравнението \((x^2-16)(x^2+4x)=0\).
▼
Решение Разлагаме всеки множител: \[(x-4)(x+4)\cdot x(x+4)=0.\] Корените са: \(x_1=4\), \(x_2=-4\), \(x_3=0\).
Забележка: \(x=-4\) е двоен корен.
7
Решете уравнението \((3x-7)^2(x^2-9)=0\).
▼
Решение \[(3x-7)(3x-7)(x-3)(x+3)=0.\] \[x_1=\frac{7}{3} \text{ (двоен корен)}, \quad x_2=3, \quad x_3=-3.\]
8
Решете уравнението \(x^3-3x^2-4x+12=0\).
▼
Решение Групираме: \[x^2(x-3)-4(x-3)=0,\] \[(x-3)(x^2-4)=0,\] \[(x-3)(x-2)(x+2)=0.\] \[x_1=3, \quad x_2=2, \quad x_3=-2.\]
9
Решете уравнението \(2x^4-18x^2=0\).
▼
Решение Изнасяме общ множител: \[2x^2(x^2-9)=0,\] \[2x^2(x-3)(x+3)=0.\] \[x_1=0 \text{ (двоен корен)}, \quad x_2=3, \quad x_3=-3.\]
10
Решете уравнението \((x^2+5x+6)(x^2-1)=0\).
▼
Решение Разлагаме всеки множител: \[(x+2)(x+3)(x-1)(x+1)=0.\] Корени: \(x_1=-2\), \(x_2=-3\), \(x_3=1\), \(x_4=-1\).
Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Решете уравнението \((5x-2)(3x+4)=0\).
▼ Отговор
\(x=\dfrac{2}{5}\) или \(x=-\dfrac{4}{3}\)
Задача 2 Решете уравнението \(x^3-9x=0\).
▼ Отговор
\(x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)=0\)
\(x=0\) или \(x=3\) или \(x=-3\)
Задача 3 Решете уравнението \((x^2-4)(3x-6)=0\).
▼ Отговор
\(3(x-2)(x+2)(x-2)=3(x-2)^2(x+2)=0\)
\(x=2\) или \(x=-2\)
Задача 4 Решете уравнението \(x^2(x+1)-16(x+1)=0\).
▼ Отговор
\((x+1)(x^2-16)=(x+1)(x-4)(x+4)=0\)
\(x=-1\) или \(x=4\) или \(x=-4\)
Задача 5 Решете уравнението \(9x^2(2x-5)-4(2x-5)=0\).
▼ Отговор
\((2x-5)(9x^2-4)=(2x-5)(3x-2)(3x+2)=0\)
\(x=\dfrac{5}{2}\) или \(x=\dfrac{2}{3}\) или \(x=-\dfrac{2}{3}\)
Задача 6 Решете уравнението \((x^2-25)(x^2+6x+9)=0\).
▼ Отговор
\((x-5)(x+5)(x+3)^2=0\)
\(x=5\) или \(x=-5\) или \(x=-3\)
Задача 7 Решете уравнението \(x^3+2x^2-9x-18=0\).
▼ Отговор
Групираме: \(x^2(x+2)-9(x+2)=(x+2)(x^2-9)=(x+2)(x-3)(x+3)=0\)
\(x=-2\) или \(x=3\) или \(x=-3\)
Задача 8 Решете уравнението \((2x-3)^3(x^2-16)=0\).
▼ Отговор
\((2x-3)^3(x-4)(x+4)=0\)
\(x=\dfrac{3}{2}\) или \(x=4\) или \(x=-4\)
Задача 9 Решете уравнението \(x^4-10x^2+9=0\).
▼ Отговор
Полагаме \(t=x^2\): \(t^2-10t+9=(t-1)(t-9)=0\), т.е. \(x^2=1\) или \(x^2=9\).
\(x=1\) или \(x=-1\) или \(x=3\) или \(x=-3\)
Задача 10 Решете уравнението \((x^2+x-6)(x^2-4x+4)=0\).
▼ Отговор
\((x+3)(x-2)(x-2)^2=(x+3)(x-2)^3=0\)
\(x=-3\) или \(x=2\)
Задача 11 Решете уравнението \(3x^3-12x^2-27x+108=0\).
▼ Отговор
\(3(x^3-4x^2-9x+36)=3\bigl[x^2(x-4)-9(x-4)\bigr]=3(x-4)(x^2-9)\)
\(=3(x-4)(x-3)(x+3)=0\)
\(x=4\) или \(x=3\) или \(x=-3\)
Задача 12 Решете уравнението \((x^3-8)(x^2+5x)=0\).
▼ Отговор
\((x-2)(x^2+2x+4)\cdot x(x+5)=0\)
Забел.: \(x^2+2x+4=(x+1)^2+3\gt0\) за всяко реално \(x\) — няма реални корени.
\(x=0\) или \(x=2\) или \(x=-5\)
Задача 13 Решете уравнението \(4x^4-36x^2=0\).
▼ Отговор
\(4x^2(x^2-9)=4x^2(x-3)(x+3)=0\)
\(x=0\) или \(x=3\) или \(x=-3\)
Задача 14 Решете уравнението \((x^2-3x+2)(x^2-9)=0\).
▼ Отговор
\((x-1)(x-2)(x-3)(x+3)=0\)
\(x=1\) или \(x=2\) или \(x=3\) или \(x=-3\)
Задача 15 Решете уравнението \(x^5-5x^4+6x^3=0\).
▼ Отговор
\(x^3(x^2-5x+6)=x^3(x-2)(x-3)=0\)
\(x=0\) или \(x=2\) или \(x=3\)
Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Уравнения с нулев множител
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
1Корените на уравнението \((2x-5)(3x+1)=0\) са:
2Корените на уравнението \(x(4x-9)=0\) са:
3Корените на уравнението \((x-2)(x+3)(2x-1)=0\) са:
4Корените на уравнението \(x^2(x-5)-9(x-5)=0\) са:
5Корените на уравнението \(4x^2(2x+1)-25(2x+1)=0\) са:
6Корените на уравнението \((x^2-16)(x^2+4x)=0\) са:
7Корените на уравнението \((3x-7)^2(x^2-9)=0\) са:
8Корените на уравнението \(x^3-3x^2-4x+12=0\) са:
9Корените на уравнението \(2x^4-18x^2=0\) са:
10Корените на уравнението \((x^2+5x+6)(x^2-1)=0\) са:
11Корените на уравнението \(x^3-9x=0\) са:
12Корените на уравнението \(x^2(x+1)-16(x+1)=0\) са:
13Корените на уравнението \(9x^2(2x-5)-4(2x-5)=0\) са:
14Корените на уравнението \((x^2-25)(x^2+6x+9)=0\) са:
15Корените на уравнението \(x^3+2x^2-9x-18=0\) са:
Видео уроци
Видео урок — Уравнения с нулев множител
Допълнителни тестове
Тест: Едночлен, действия с едночлени
docs.google.com/forms →
Тест: Многочлени, действия с многочлени
docs.google.com/forms →
Използвана литература
  1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
  2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
  3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
  4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
  5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
  6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
  7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
  8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
  9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
  10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
  11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
  12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити
  • ›НВО по математика след 7 клас
  • ›НВО по математика след 10 клас
  • ›Кандидатстудентски изпити по математика
  • ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
  • ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
  • ›Технически университет – София и др.
  • ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
  • ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
  • ›Студенти по всички математически дисциплини:
    Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Коментари

Публикуване на коментар