Множества и операции с тях
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Елементи от вероятности и статистика › Множества и операции с тях
Множества и операции с тях —
графично представяне на множества
Крайни множества, означения, обединение, сечение, разлика и диаграми на Ойлер–Вен — 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок ще се запознаем с понятието множество — една от най-важните идеи в математиката. Ще видим как се записват множествата, какви означения използваме и как се извършват операциите обединение, сечение и разлика. Ще се научим да представяме множества нагледно чрез диаграми на Ойлер–Вен и да решаваме текстови задачи с тяхна помощ. Урокът съдържа теория, 25 разработени задачи с подробни решения, 30 задачи за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса.
📦 Множество. Елементи на множество
Множеството е съвкупност от обекти, обединени по някакъв общ признак. Обектите, които изграждат едно множество, се наричат негови елементи. Множествата означаваме с главни букви \(A, B, C, \ldots\), а елементите — с малки букви \(a, b, c, \ldots\).
Крайни множества са тези множества, които имат краен брой елементи, тоест елементите им могат да се преброят. Едно множество се задава, като се изброят елементите му във фигурни скоби, например \(A = \{1, 3, 5, 7\}\).
Основни означения:
- \(a \in A\) — елементът \(a\) принадлежи на множеството \(A\) (\(a\) е елемент на \(A\));
- \(a \notin A\) — елементът \(a\) не принадлежи на множеството \(A\);
- \(A \subseteq B\) — \(A\) е подмножество на \(B\), ако всеки елемент на \(A\) е елемент и на \(B\);
- \(A = B\) — множествата са равни, ако се състоят от едни и същи елементи;
- \(|A|\) или \(n(A)\) — брой на елементите на множеството \(A\).
Универсално множество \(\Omega\) — състои се от всички разглеждани елементи.
Празно множество \(\varnothing\) — не съдържа нито един елемент.
Празно множество \(\varnothing\) — не съдържа нито един елемент.
🔵 Обединение и сечение
Връзките между множества често могат да се представят нагледно чрез диаграми на Ойлер–Вен — множествата се изобразяват с кръгове (или овали), а елементите им — с точки вътре в тях. Така операциите с множества стават лесни за възприемане.
Обединение на множествата \(A\) и \(B\) се нарича множеството \(A \cup B\), което съдържа всички елементи, принадлежащи на \(A\) или на \(B\):
\[A \cup B = \{x : x \in A \ \text{или}\ x \in B\}.\]
Сечение на множествата \(A\) и \(B\) се нарича множеството \(A \cap B\), което съдържа всички елементи, принадлежащи едновременно на \(A\) и на \(B\):
\[A \cap B = \{x : x \in A \ \text{и}\ x \in B\}.\]
➖ Разлика на множества
Разлика на множествата \(A\) и \(B\) се нарича множеството \(A \setminus B\), което съдържа всички елементи на \(A\), които не принадлежат на \(B\):
\[A \setminus B = \{x : x \in A \ \text{и}\ x \notin B\}.\]
Ако \(A\) е подмножество на универсалното множество \(\Omega\), то разликата \(\Omega \setminus A\) се нарича допълнение на \(A\) и се означава с \(\overline{A}\).
Закони за операциите с множества:
- Комутативен (разместителен): \(A \cup B = B \cup A\); \(\quad A \cap B = B \cap A\).
- Асоциативен (съдружителен): \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\); \(\quad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\).
- Дистрибутивен (разпределителен): \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\); \(\quad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\).
Формула за брой на елементите. За броя на елементите на обединението на две множества е в сила:
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.\]
Изваждаме \(|A \cap B|\), защото общите елементи се броят по веднъж и в \(|A|\), и в \(|B|\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Запишете множеството на буквите, използвани за записването на думата „МАТЕМАТИКА“. Колко елемента има това множество?
▼
РешениеВ думата „МАТЕМАТИКА“ участват буквите: М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К, А. В едно множество всеки елемент се брои само веднъж, затова повтарящите се букви записваме еднократно:
\(B = \{\text{М, А, Т, Е, И, К}\}\).
Множеството има \(|B| = \mathbf{6}\) елемента.
\(B = \{\text{М, А, Т, Е, И, К}\}\).
Множеството има \(|B| = \mathbf{6}\) елемента.
2
Дадено е множеството \(A = \{0, 1, 3, 5, 7, 8\}\) и \(B = \{1, 3, 5\}\). Определете верността на твърденията: а) \(1 \in A\); б) \(2 \in B\); в) \(7 \notin B\); г) \(A = B\); д) \(B \subseteq A\).
▼
Решениеа) \(1 \in A\) — вярно, защото 1 е елемент на \(A\).
б) \(2 \in B\) — невярно, защото 2 не е елемент на \(B\) (правилно е \(2 \notin B\)).
в) \(7 \notin B\) — вярно, защото 7 не е елемент на \(B\).
г) \(A = B\) — невярно, множествата имат различни елементи.
д) \(B \subseteq A\) — вярно, защото всеки елемент на \(B\) (числата 1, 3, 5) е елемент и на \(A\).
б) \(2 \in B\) — невярно, защото 2 не е елемент на \(B\) (правилно е \(2 \notin B\)).
в) \(7 \notin B\) — вярно, защото 7 не е елемент на \(B\).
г) \(A = B\) — невярно, множествата имат различни елементи.
д) \(B \subseteq A\) — вярно, защото всеки елемент на \(B\) (числата 1, 3, 5) е елемент и на \(A\).
3
Опишете свойството, което притежават елементите на множествата: а) \(D = \{2, 4, 6, 8, 10, \ldots\}\); б) \(E = \{1, 3, 5, 7, 9, \ldots\}\); в) \(F = \{2, 4, 6, 8\}\).
▼
Решениеа) \(D\) е множеството на четните естествени числа. Многоточието показва, че множеството е безкрайно.
б) \(E\) е множеството на нечетните естествени числа — също безкрайно.
в) \(F\) е множеството на едноцифрените четни естествени числа. То е крайно — има точно 4 елемента.
б) \(E\) е множеството на нечетните естествени числа — също безкрайно.
в) \(F\) е множеството на едноцифрените четни естествени числа. То е крайно — има точно 4 елемента.
4
Запишете следващия елемент на множеството: а) \(A = \{0, 5, 10, 15, \ldots\}\); б) \(B = \{3, 7, 11, 15, \ldots\}\); в) \(C = \{7, 13, 19, 25, \ldots\}\).
▼
Решениеа) Всеки следващ елемент е с 5 по-голям от предходния: \(15 + 5 = \mathbf{20}\).
б) Всеки следващ елемент е с 4 по-голям: \(15 + 4 = \mathbf{19}\).
в) Всеки следващ елемент е с 6 по-голям: \(25 + 6 = \mathbf{31}\).
б) Всеки следващ елемент е с 4 по-голям: \(15 + 4 = \mathbf{19}\).
в) Всеки следващ елемент е с 6 по-голям: \(25 + 6 = \mathbf{31}\).
5
Ако са дадени множествата \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) и \(B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\), намерете: а) обединението \(A \cup B\); б) сечението \(A \cap B\).
▼
Решениеа) В обединението на двете множества всеки елемент принадлежи или на \(A\), или на \(B\). Записваме всички елементи, всеки по веднъж:
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
б) В сечението влизат елементите, които принадлежат едновременно на \(A\) и на \(B\):
\(A \cap B = \{4, 5\}\).
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
б) В сечението влизат елементите, които принадлежат едновременно на \(A\) и на \(B\):
\(A \cap B = \{4, 5\}\).
6
За множествата \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) и \(B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) намерете подмножеството \(C\) на \(A \cup B\), чиито елементи са само четни числа.
▼
РешениеТъй като \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\), избираме от него само четните числа:
\(C = \{2, 4, 6, 8\}\).
Понеже всеки елемент на \(C\) принадлежи на \(A \cup B\), наистина \(C \subseteq A \cup B\).
\(C = \{2, 4, 6, 8\}\).
Понеже всеки елемент на \(C\) принадлежи на \(A \cup B\), наистина \(C \subseteq A \cup B\).
7
Дадени са множествата \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) и \(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\). Намерете: а) \(A \cup B\); б) \(A \cap B\); в) подмножеството \(C\) на \(A \cup B\), чиито елементи са само нечетни числа.
▼
Решениеа) \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).
б) \(A \cap B = \{4\}\) — единственият общ елемент.
в) Избираме нечетните числа от обединението: \(C = \{1, 3, 5, 7\}\).
б) \(A \cap B = \{4\}\) — единственият общ елемент.
в) Избираме нечетните числа от обединението: \(C = \{1, 3, 5, 7\}\).
8
Дадени са множествата \(A = \{a, b, c\}\), \(B = \{b, c, l, n, m\}\) и \(C = \{c, l, n, m, x, y, z\}\). Запишете елементите на: а) \(A \cup B\); б) \(A \cap B\); в) \(A \setminus B\); г) \(B \setminus A\).
▼
Решениеа) \(A \cup B = \{a, b, c, l, n, m\}\) — всички елементи на двете множества.
б) \(A \cap B = \{b, c\}\) — общите елементи.
в) \(A \setminus B = \{a\}\) — елементите на \(A\), които не са в \(B\).
г) \(B \setminus A = \{l, n, m\}\) — елементите на \(B\), които не са в \(A\).
б) \(A \cap B = \{b, c\}\) — общите елементи.
в) \(A \setminus B = \{a\}\) — елементите на \(A\), които не са в \(B\).
г) \(B \setminus A = \{l, n, m\}\) — елементите на \(B\), които не са в \(A\).
9
Дадени са множествата \(A = \{a, b, c, l, n, m\}\), \(B = \{0, 1, a, b\}\) и \(C = \{t, p, a, 0, 2, d\}\). Намерете \(A \cap B \cap C\).
▼
РешениеТърсим елементите, които принадлежат едновременно и на трите множества.
Намираме първо \(A \cap B = \{a, b\}\).
След това пресичаме с \(C\): от \(\{a, b\}\) само \(a\) принадлежи на \(C\).
Следователно \(A \cap B \cap C = \{a\}\).
Намираме първо \(A \cap B = \{a, b\}\).
След това пресичаме с \(C\): от \(\{a, b\}\) само \(a\) принадлежи на \(C\).
Следователно \(A \cap B \cap C = \{a\}\).
10
Дадени са множествата \(A = \{2, a, 8\}\) и \(B = \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 17\}\). Запишете стойностите на \(a\), при които \(A \subseteq B\).
▼
РешениеЗа да бъде \(A \subseteq B\), всеки елемент на \(A\) трябва да е елемент и на \(B\). Числата 2 и 8 вече принадлежат на \(B\). Остава \(a\) също да принадлежи на \(B\), тоест \(a\) може да бъде което и да е от числата на \(B\):
\(a \in \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 17\}\).
Забележете, че стойностите \(a = 2\) и \(a = 8\) също са допустими — тогава в \(A\) има повтарящ се елемент, но повторенията в едно множество не се броят, например при \(a = 2\): \(A = \{2, 2, 8\} = \{2, 8\} \subseteq B\).
\(a \in \{2, 3, 4, 6, 7, 8, 17\}\).
Забележете, че стойностите \(a = 2\) и \(a = 8\) също са допустими — тогава в \(A\) има повтарящ се елемент, но повторенията в едно множество не се броят, например при \(a = 2\): \(A = \{2, 2, 8\} = \{2, 8\} \subseteq B\).
11
Намерете множеството на естествените делители на числото 48. Колко елемента съдържа то? Колко елемента съдържа подмножеството на простите делители на 48?
▼
РешениеДелителите на 48 търсим по двойки: \(1 \cdot 48\), \(2 \cdot 24\), \(3 \cdot 16\), \(4 \cdot 12\), \(6 \cdot 8\).
Множеството на делителите е \(D = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}\) — то има \(\mathbf{10}\) елемента.
Простите делители са тези, които са прости числа: \(\{2, 3\}\) — подмножеството съдържа \(\mathbf{2}\) елемента.
Множеството на делителите е \(D = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}\) — то има \(\mathbf{10}\) елемента.
Простите делители са тези, които са прости числа: \(\{2, 3\}\) — подмножеството съдържа \(\mathbf{2}\) елемента.
12
Кое е множеството \(P\) от цели числа \(p\), за които числото \(\dfrac{24}{p}\) също е цяло число?
▼
РешениеЧислото \(\frac{24}{p}\) е цяло тогава, когато \(p\) е делител на 24. Делителите на 24 са \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\). Но \(p\) е цяло число — затова към тях добавяме и съответните отрицателни числа:
\(P = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\}\).
Множеството \(P\) има 16 елемента. (Числото \(p = 0\) не се допуска, защото деление на нула е невъзможно.)
\(P = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\}\).
Множеството \(P\) има 16 елемента. (Числото \(p = 0\) не се допуска, защото деление на нула е невъзможно.)
13
Броят на елементите на множествата е \(|A| = 4\), \(|B| = 5\), а \(|A \cap B| = 0\). Колко елемента има множеството \(A \cup B\)?
▼
РешениеПрилагаме формулата за брой на елементите:
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 4 + 5 - 0 = \mathbf{9}.\]
Тъй като \(|A \cap B| = 0\), множествата нямат общи елементи — казваме, че те не се пресичат.
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 4 + 5 - 0 = \mathbf{9}.\]
Тъй като \(|A \cap B| = 0\), множествата нямат общи елементи — казваме, че те не се пресичат.
14
Множеството \(A\) има 6 елемента, множеството \(B\) има 11 елемента, а множеството \(A \cap B\) има 4 елемента. Колко елемента има множеството \(A \cup B\)?
▼
РешениеПо формулата за брой на елементите:
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 6 + 11 - 4 = \mathbf{13}.\]
Множеството \(A \cup B\) има 13 елемента.
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 6 + 11 - 4 = \mathbf{13}.\]
Множеството \(A \cup B\) има 13 елемента.
15
Множеството \(A\) има 16 елемента, множеството \(B\) има 11 елемента, а множеството \(A \cup B\) има 19 елемента. Колко елемента има множеството \(A \cap B\)?
▼
РешениеОт формулата \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) изразяваме търсения брой:
\[|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 16 + 11 - 19 = \mathbf{8}.\]
Множеството \(A \cap B\) има 8 елемента.
\[|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 16 + 11 - 19 = \mathbf{8}.\]
Множеството \(A \cap B\) има 8 елемента.
16
Нека \(A\) е множеството на естествените числа, които са делители на 24, а \(B\) — на делителите на 36. Запишете елементите на \(A \cap B\). Как се нарича най-големият елемент на това сечение?
▼
РешениеДелители на 24: \(A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}\).
Делители на 36: \(B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\).
Общите елементи: \(A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\).
Най-големият елемент е \(\mathbf{12}\) — той е най-големият общ делител на 24 и 36, означаван НОД\((24, 36) = 12\).
Делители на 36: \(B = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}\).
Общите елементи: \(A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\).
Най-големият елемент е \(\mathbf{12}\) — той е най-големият общ делител на 24 и 36, означаван НОД\((24, 36) = 12\).
17
Нека \(A\) е множеството на естествените числа, кратни на 6, а \(B\) — на естествените числа, кратни на 8. Запишете елементите на \(A \cap B\). Как се наричат елементите на това сечение?
▼
РешениеКратните на 6 и на 8 са безкрайни множества:
\(A = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \ldots\}\),
\(B = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, \ldots\}\).
Общите елементи са числата, които се делят едновременно на 6 и на 8:
\(A \cap B = \{24, 48, 72, 96, \ldots\}\).
Това са общите кратни на 6 и 8. Най-малкият елемент \(24\) е най-малкото общо кратно — НОК\((6, 8) = 24\). Сечението е безкрайно множество от кратните на 24.
\(A = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \ldots\}\),
\(B = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, \ldots\}\).
Общите елементи са числата, които се делят едновременно на 6 и на 8:
\(A \cap B = \{24, 48, 72, 96, \ldots\}\).
Това са общите кратни на 6 и 8. Най-малкият елемент \(24\) е най-малкото общо кратно — НОК\((6, 8) = 24\). Сечението е безкрайно множество от кратните на 24.
18
Всички 86 ученици в 6. клас на едно училище изучават английски или немски език, като 57 ученици изучават английски, а 48 — немски. Колко ученици изучават двата езика?
▼
РешениеНека \(A\) е множеството на изучаващите английски, а \(B\) — немски. Тогава \(|A| = 57\), \(|B| = 48\), а \(|A \cup B| = 86\) (всички ученици).
От формулата \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) изразяваме:
\[|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 57 + 48 - 86 = \mathbf{19}.\]
Двата езика изучават 19 ученици.
От формулата \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\) изразяваме:
\[|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 57 + 48 - 86 = \mathbf{19}.\]
Двата езика изучават 19 ученици.
19
Учениците в 6. клас на едно училище са 78. При анкета се установило, че 36 ученици се занимават с футбол, 28 — с лека атлетика, а 25 не спортуват. Колко ученици се занимават с двата спорта?
▼
РешениеЩом 25 ученици не спортуват, то спортуващите са \(78 - 25 = 53\). Това е броят на учениците в обединението \(A \cup B\), където \(A\) са футболистите, а \(B\) — леките атлети.
\[|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 36 + 28 - 53 = \mathbf{11}.\]
С двата спорта се занимават 11 ученици.
\[|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 36 + 28 - 53 = \mathbf{11}.\]
С двата спорта се занимават 11 ученици.
20
Множеството \(M\) се състои от естествените числа, по-малки от 20. \(A\) е подмножеството на \(M\) от числата, кратни на 3, а \(\overline{A}\) — от числата, които не се делят на 3. Запишете \(A\) и \(\overline{A}\). Вярно ли е, че \(A \cup \overline{A} = M\)?
▼
Решение\(M = \{1, 2, 3, \ldots, 19\}\) (естествените числа, по-малки от 20).
Кратните на 3: \(A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\) — 6 елемента.
Останалите числа: \(\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19\}\) — 13 елемента.
Да, вярно е, че \(A \cup \overline{A} = M\), защото всяко число от \(M\) или се дели на 3, или не се дели. Освен това \(|A| + |\overline{A}| = 6 + 13 = 19 = |M|\).
Кратните на 3: \(A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\) — 6 елемента.
Останалите числа: \(\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19\}\) — 13 елемента.
Да, вярно е, че \(A \cup \overline{A} = M\), защото всяко число от \(M\) или се дели на 3, или не се дели. Освен това \(|A| + |\overline{A}| = 6 + 13 = 19 = |M|\).
21
Намерете елементите на множествата \(A\) и \(B\), ако е известно, че: \(A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6\}\); \(A \cap B = \{2,4\}\); \(A \cup \{1,3\} = \{1,2,3,4,5\}\); \(B \cup \{0,2\} = \{0,2,4,6\}\). ⭐ Трудна
▼
РешениеОт \(A \cup \{1,3\} = \{1,2,3,4,5\}\) следва, че \(A\) не може да съдържа елементи извън \(\{1,2,3,4,5\}\). Освен това числата 2, 4 и 5 задължително са в \(A\), защото не могат да дойдат от добавеното множество \(\{1,3\}\).
От \(B \cup \{0,2\} = \{0,2,4,6\}\) следва, че 4 и 6 задължително са в \(B\) — те не могат да дойдат от \(\{0,2\}\).
Понеже \(A \cap B = \{2,4\}\), числата 2 и 4 трябва да са и в двете множества.
За да бъде \(A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6\}\), остава още 1 и 3 да са в \(A\), а 0 — в \(B\).
Следователно \(A = \{1,2,3,4,5\}\), \(B = \{0,2,4,6\}\).
Проверка: \(A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6\}\) ✓; \(A \cap B = \{2,4\}\) ✓.
От \(B \cup \{0,2\} = \{0,2,4,6\}\) следва, че 4 и 6 задължително са в \(B\) — те не могат да дойдат от \(\{0,2\}\).
Понеже \(A \cap B = \{2,4\}\), числата 2 и 4 трябва да са и в двете множества.
За да бъде \(A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6\}\), остава още 1 и 3 да са в \(A\), а 0 — в \(B\).
Следователно \(A = \{1,2,3,4,5\}\), \(B = \{0,2,4,6\}\).
Проверка: \(A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6\}\) ✓; \(A \cap B = \{2,4\}\) ✓.
22
Определете множествата \(A\), \(B\) и \(C\), ако елементите им са естествени числа, \(A\) има четири елемента, \(B\) има три елемента, \(C\) има два елемента, и е известно, че \(A \cap B = \{1,2\}\), \(B \cap C = \{4\}\), а сборът от елементите на \(C\) е с 3 по-голям от сбора на елементите на \(B\) и с 1 по-малък от сбора на елементите на \(A\). ⭐ Трудна
▼
РешениеМножеството \(B\) има 3 елемента и съдържа \(\{1,2\}\) (от \(A\cap B\)) и \(\{4\}\) (от \(B\cap C\)). Значи \(B = \{1,2,4\}\), а сборът на елементите му е \(1+2+4 = 7\).
Сборът на елементите на \(C\) е с 3 по-голям: \(7 + 3 = 10\). Множеството \(C\) има 2 елемента, единият от които е 4 (от \(B\cap C\)). Другият е \(10 - 4 = 6\). Значи \(C = \{4, 6\}\).
Сборът на елементите на \(A\) е с 1 по-голям от сбора на \(C\): \(10 + 1 = 11\). Множеството \(A\) има 4 елемента, два от които са 1 и 2 (от \(A\cap B\)). Сборът на другите два е \(11 - 1 - 2 = 8\). Останалите два елемента на \(A\) трябва да са естествени числа, различни от 1 и 2, и да не принадлежат на \(B\), за да остане \(A \cap B = \{1,2\}\). Единствената подходяща двойка е \(3\) и \(5\), защото \(3 + 5 = 8\).
Окончателно: \(A = \{1,2,3,5\}\), \(B = \{1,2,4\}\), \(C = \{4,6\}\).
Сборът на елементите на \(C\) е с 3 по-голям: \(7 + 3 = 10\). Множеството \(C\) има 2 елемента, единият от които е 4 (от \(B\cap C\)). Другият е \(10 - 4 = 6\). Значи \(C = \{4, 6\}\).
Сборът на елементите на \(A\) е с 1 по-голям от сбора на \(C\): \(10 + 1 = 11\). Множеството \(A\) има 4 елемента, два от които са 1 и 2 (от \(A\cap B\)). Сборът на другите два е \(11 - 1 - 2 = 8\). Останалите два елемента на \(A\) трябва да са естествени числа, различни от 1 и 2, и да не принадлежат на \(B\), за да остане \(A \cap B = \{1,2\}\). Единствената подходяща двойка е \(3\) и \(5\), защото \(3 + 5 = 8\).
Окончателно: \(A = \{1,2,3,5\}\), \(B = \{1,2,4\}\), \(C = \{4,6\}\).
23
В една галерия има 156 произведения. От тях 26 са графики, 92 са произведения на европейски художници, а 12 са графики на европейски художници. а) Колко произведения на европейски художници не са графики? б) Колко произведения не са графики и не са на европейски художници? ⭐ Трудна
▼
РешениеНека \(G\) е множеството на графиките, а \(E\) — на произведенията на европейски художници. Тогава \(|G| = 26\), \(|E| = 92\), \(|G \cap E| = 12\).
а) Произведенията на европейски художници, които не са графики, са \(E \setminus G\):
\(|E \setminus G| = |E| - |G \cap E| = 92 - 12 = \mathbf{80}\).
б) Първо намираме колко произведения са графики или на европейски художници:
\(|G \cup E| = |G| + |E| - |G \cap E| = 26 + 92 - 12 = 106\).
Произведенията, които не са нито графики, нито на европейски художници, са останалите:
\(156 - 106 = \mathbf{50}\).
а) Произведенията на европейски художници, които не са графики, са \(E \setminus G\):
\(|E \setminus G| = |E| - |G \cap E| = 92 - 12 = \mathbf{80}\).
б) Първо намираме колко произведения са графики или на европейски художници:
\(|G \cup E| = |G| + |E| - |G \cap E| = 26 + 92 - 12 = 106\).
Произведенията, които не са нито графики, нито на европейски художници, са останалите:
\(156 - 106 = \mathbf{50}\).
24
В едно училище има 75 шестокласници. В свободното си време те се занимават с музика, рисуване и спорт. С музика се занимават 25 ученици, с рисуване — 29, със спорт — 36. С точно две от дейностите се занимават 7 ученици. Намерете колко ученици се занимават с трите дейности, ако всеки ученик има поне едно занимание. ⭐ Трудна
▼
РешениеНека \(t\) е броят на учениците, които се занимават и с трите дейности.
Сборът \(25 + 29 + 36 = 90\) брои всеки ученик с точно две занимания по два пъти, а всеки ученик с три занимания — по три пъти.
Понеже всички ученици са 75, сборът 90 е с \(90 - 75 = 15\) по-голям от действителния брой ученици.
Всеки ученик с точно две занимания е преброен веднъж повече, а всеки ученик с три занимания — два пъти повече. Точно две занимания имат 7 ученици, затова:
\[7 + 2t = 15.\]
Оттук \(2t = 8\), тоест \(t = \mathbf{4}\).
И с трите дейности се занимават 4 ученици.
Сборът \(25 + 29 + 36 = 90\) брои всеки ученик с точно две занимания по два пъти, а всеки ученик с три занимания — по три пъти.
Понеже всички ученици са 75, сборът 90 е с \(90 - 75 = 15\) по-голям от действителния брой ученици.
Всеки ученик с точно две занимания е преброен веднъж повече, а всеки ученик с три занимания — два пъти повече. Точно две занимания имат 7 ученици, затова:
\[7 + 2t = 15.\]
Оттук \(2t = 8\), тоест \(t = \mathbf{4}\).
И с трите дейности се занимават 4 ученици.
25
В окраската на кучетата в един град се срещат три цвята: черно, бяло и кафяво. Черна окраска имат 181 кучета, бяла — 156, а кафява — 176. И трите цвята се срещат при 17 кучета, а 91 са двуцветни, тоест имат точно два от трите цвята. Колко са кучетата в града, ако всяко куче има поне един от тези цветове? ⭐ Трудна
▼
РешениеНека \(Ч\), \(Б\), \(К\) са множествата на кучетата с черно, бяло и кафяво. Имаме \(|Ч| = 181\), \(|Б| = 156\), \(|К| = 176\). Нека \(t = 17\) е броят на кучетата с трите цвята, а \(d = 91\) — броят на двуцветните кучета.
Използваме преброяване според това дали кучето има точно два или точно три от цветовете. В сбора \(|Ч| + |Б| + |К|\) всяко двуцветно куче е преброено два пъти, а всяко куче с три цвята — три пъти. Затова:
\[|Ч \cup Б \cup К| = |Ч| + |Б| + |К| - d - 2t.\]
Изваждаме \(d\), защото всяко двуцветно куче е преброено веднъж повече; изваждаме \(2t\), защото всяко трицветно куче е преброено два пъти повече.
\[|Ч \cup Б \cup К| = 181 + 156 + 176 - 91 - 2 \cdot 17 = 513 - 91 - 34 = \mathbf{388}.\]
В града има 388 кучета.
Използваме преброяване според това дали кучето има точно два или точно три от цветовете. В сбора \(|Ч| + |Б| + |К|\) всяко двуцветно куче е преброено два пъти, а всяко куче с три цвята — три пъти. Затова:
\[|Ч \cup Б \cup К| = |Ч| + |Б| + |К| - d - 2t.\]
Изваждаме \(d\), защото всяко двуцветно куче е преброено веднъж повече; изваждаме \(2t\), защото всяко трицветно куче е преброено два пъти повече.
\[|Ч \cup Б \cup К| = 181 + 156 + 176 - 91 - 2 \cdot 17 = 513 - 91 - 34 = \mathbf{388}.\]
В града има 388 кучета.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Запишете множеството на буквите, използвани за записването на думата „ГЕОМЕТРИЯ“. Колко елемента има то?
Отг.: \(\{\text{Г, Е, О, М, Т, Р, И, Я}\}\); 8 елемента.
Отг.: \(\{\text{Г, Е, О, М, Т, Р, И, Я}\}\); 8 елемента.
Задача 2Запишете множеството на цифрите, използвани за записването на числото 2 017 020.
Отг.: \(\{0, 1, 2, 7\}\); 4 елемента.
Отг.: \(\{0, 1, 2, 7\}\); 4 елемента.
Задача 3Дадено е \(A = \{2, 5, 8, 11, 14\}\). Вярно ли е, че: а) \(8 \in A\); б) \(6 \in A\); в) \(14 \notin A\)?
Отг.: а) вярно; б) невярно; в) невярно.
Отг.: а) вярно; б) невярно; в) невярно.
Задача 4Опишете свойството на елементите на: а) \(G = \{4, 8, 12, 16, 20, \ldots\}\); б) \(K = \{2, 5, 8, 11, 14, \ldots\}\).
Отг.: а) естествените числа, кратни на 4; б) числата, които при деление на 3 дават остатък 2 (всяко следващо е с 3 по-голямо).
Отг.: а) естествените числа, кратни на 4; б) числата, които при деление на 3 дават остатък 2 (всяко следващо е с 3 по-голямо).
Задача 5Запишете следващия елемент на множеството: а) \(A = \{1, 4, 9, 16, 25, \ldots\}\); б) \(B = \{2, 6, 12, 20, 30, \ldots\}\).
Отг.: а) 36 (точните квадрати); б) 42 (разликите растат: 4, 6, 8, 10, 12).
Отг.: а) 36 (точните квадрати); б) 42 (разликите растат: 4, 6, 8, 10, 12).
Задача 6За \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) и \(B = \{2, 4, 6, 8, 10\}\) намерете \(A \cup B\) и \(A \cap B\).
Отг.: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8,10\}\); \(A \cap B = \{2,4,6\}\).
Отг.: \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,8,10\}\); \(A \cap B = \{2,4,6\}\).
Задача 7За \(A = \{1, 5, 13, 21, 33, 40\}\) и \(B = \{5, 7, 8, 13, 33, 45\}\) намерете \(A \cup B\) и \(A \cap B\).
Отг.: \(A \cup B = \{1,5,7,8,13,21,33,40,45\}\); \(A \cap B = \{5,13,33\}\).
Отг.: \(A \cup B = \{1,5,7,8,13,21,33,40,45\}\); \(A \cap B = \{5,13,33\}\).
Задача 8За \(A = \{a, b, c, d\}\) и \(B = \{c, d, e, f\}\) намерете \(A \setminus B\) и \(B \setminus A\).
Отг.: \(A \setminus B = \{a, b\}\); \(B \setminus A = \{e, f\}\).
Отг.: \(A \setminus B = \{a, b\}\); \(B \setminus A = \{e, f\}\).
Задача 9Дадени са \(A = \{a, b, c\}\), \(B = \{b, c, l, n, m\}\), \(C = \{c, l, n, m, x, y, z\}\). Намерете \(A \cup B \cup C\).
Отг.: \(\{a, b, c, l, n, m, x, y, z\}\).
Отг.: \(\{a, b, c, l, n, m, x, y, z\}\).
Задача 10За множествата от задача 9 намерете \(A \cap C\) и \(A \cap B \cap C\).
Отг.: \(A \cap C = \{c\}\); \(A \cap B \cap C = \{c\}\).
Отг.: \(A \cap C = \{c\}\); \(A \cap B \cap C = \{c\}\).
Задача 11\(A\) е множеството на четните числа, \(B\) — на числата, кратни на 4, \(C\) — кратни на 12. Вярно ли е, че \(C \subseteq B \subseteq A\)?
Отг.: Вярно. Всяко кратно на 12 е кратно на 4; всяко кратно на 4 е четно.
Отг.: Вярно. Всяко кратно на 12 е кратно на 4; всяко кратно на 4 е четно.
Задача 12Дадени са \(A = \{3, 6, 9\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6, 7\}\), \(C = \{4, 5, 7\}\). Намерете \(A \cup B\), \(A \cap B\) и \(B \cap C\).
Отг.: \(A \cup B = \{3,4,5,6,7,9\}\); \(A \cap B = \{3,6\}\); \(B \cap C = \{4,5,7\}\).
Отг.: \(A \cup B = \{3,4,5,6,7,9\}\); \(A \cap B = \{3,6\}\); \(B \cap C = \{4,5,7\}\).
Задача 13Намерете множеството на естествените делители на 36. Колко са те? Колко са простите делители?
Отг.: \(\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\); 9 делителя; прости: \(\{2, 3\}\) — 2.
Отг.: \(\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\); 9 делителя; прости: \(\{2, 3\}\) — 2.
Задача 14Кое е множеството от цели числа \(p\), за които \(\dfrac{18}{p}\) е цяло число?
Отг.: \(\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18\}\); 12 елемента.
Отг.: \(\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18\}\); 12 елемента.
Задача 15Дадени са \(A = \{3, 5, x\}\) и \(B = \{3, y, 7\}\). Определете \(x\) и \(y\) така, че \(A = B\).
Отг.: \(x = 7\), \(y = 5\). Тогава и двете множества са \(\{3, 5, 7\}\).
Отг.: \(x = 7\), \(y = 5\). Тогава и двете множества са \(\{3, 5, 7\}\).
Задача 16Намерете \(A\) и \(B\), ако \(A \cup B = \{1,2,3,4,5\}\), \(A \cap B = \{3\}\), \(1 \in A\), \(2 \in A\), \(2 \notin B\) и \(B\) има 3 елемента.
Отг.: \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{3,4,5\}\).
Отг.: \(A = \{1,2,3\}\), \(B = \{3,4,5\}\).
Задача 17\(|A| = 10\), \(|B| = 7\), \(|A \cap B| = 3\). Колко елемента има \(A \cup B\)?
Отг.: \(|A \cup B| = 10 + 7 - 3 = 14\).
Отг.: \(|A \cup B| = 10 + 7 - 3 = 14\).
Задача 18\(|A| = 12\), \(|B| = 15\), \(|A \cup B| = 20\). Колко елемента има \(A \cap B\)?
Отг.: \(|A \cap B| = 12 + 15 - 20 = 7\).
Отг.: \(|A \cap B| = 12 + 15 - 20 = 7\).
Задача 19Нека \(A\) е множеството на делителите на 30, а \(B\) — на делителите на 45. Намерете \(A \cap B\) и най-големия му елемент.
Отг.: \(A \cap B = \{1, 3, 5, 15\}\); най-голям е 15 — НОД\((30,45)\).
Отг.: \(A \cap B = \{1, 3, 5, 15\}\); най-голям е 15 — НОД\((30,45)\).
Задача 20Нека \(A\) е множеството на числата, кратни на 4, а \(B\) — кратни на 6. Намерете първите 4 елемента на \(A \cap B\). Какъв е най-малкият?
Отг.: \(A \cap B = \{12, 24, 36, 48, \ldots\}\); първите четири са 12, 24, 36, 48. Най-малък е 12 — НОК\((4,6)\).
Отг.: \(A \cap B = \{12, 24, 36, 48, \ldots\}\); първите четири са 12, 24, 36, 48. Най-малък е 12 — НОК\((4,6)\).
Задача 21\(M\) е множеството на естествените числа, по-малки от 50. \(A\) е множеството на четните числа от \(M\). Колко елемента има \(A\) и колко — \(\overline{A}\)?
Отг.: \(|M| = 49\); \(|A| = 24\) (числата 2, 4, ..., 48); \(|\overline{A}| = 25\).
Отг.: \(|M| = 49\); \(|A| = 24\) (числата 2, 4, ..., 48); \(|\overline{A}| = 25\).
Задача 22Намерете колко естествени числа, по-малки от 50, се делят и на 3, и на 5.
Отг.: Делят се на 15: числата 15, 30, 45 — 3 числа.
Отг.: Делят се на 15: числата 15, 30, 45 — 3 числа.
Задача 23Намерете колко естествени числа, по-малки от 50, се делят на 3 или на 5.
Отг.: Кратни на 3: 16; кратни на 5: 9; кратни на 15: 3. Общо \(16 + 9 - 3 = 22\).
Отг.: Кратни на 3: 16; кратни на 5: 9; кратни на 15: 3. Общо \(16 + 9 - 3 = 22\).
Задача 24В клас от 28 ученици 18 играят шах, 14 играят табла, а всеки ученик играе поне една от двете игри. Колко ученици играят и двете игри?
Отг.: \(|A \cap B| = 18 + 14 - 28 = 4\) ученици.
Отг.: \(|A \cap B| = 18 + 14 - 28 = 4\) ученици.
Задача 25В група от 40 туристи 25 говорят английски, 18 — немски, а 7 говорят и двата езика. Колко туристи не говорят нито един от двата езика?
Отг.: Поне един език: \(25 + 18 - 7 = 36\). Нито един: \(40 - 36 = 4\).
Отг.: Поне един език: \(25 + 18 - 7 = 36\). Нито един: \(40 - 36 = 4\).
Задача 26\(M\) е множеството на естествените числа, по-малки или равни на 20. \(A\) са кратните на 4, \(B\) — кратните на 5. Намерете \(A\), \(B\), \(A \cap B\) и \(A \cup B\).
Отг.: \(A = \{4,8,12,16,20\}\); \(B = \{5,10,15,20\}\); \(A \cap B = \{20\}\); \(A \cup B = \{4,5,8,10,12,15,16,20\}\).
Отг.: \(A = \{4,8,12,16,20\}\); \(B = \{5,10,15,20\}\); \(A \cap B = \{20\}\); \(A \cup B = \{4,5,8,10,12,15,16,20\}\).
Задача 27Дадени са \(A = \{a, b, c, d\}\), \(B = \{0, 1, a, b\}\), \(C = \{t, p, a, 0, 2, d\}\). Намерете \(A \cap B\), \(A \cap C\) и \(B \cap C\).
Отг.: \(A \cap B = \{a, b\}\); \(A \cap C = \{a, d\}\); \(B \cap C = \{0, a\}\).
Отг.: \(A \cap B = \{a, b\}\); \(A \cap C = \{a, d\}\); \(B \cap C = \{0, a\}\).
Задача 28Множеството \(A\) има 5 елемента. Колко подмножества с по 1 елемент има \(A\)? А колко подмножества с по 4 елемента?
Отг.: Едноелементни — 5; четириелементни — също 5 (всяко такова подмножество се получава, като изключим един от петте елемента).
Отг.: Едноелементни — 5; четириелементни — също 5 (всяко такова подмножество се получава, като изключим един от петте елемента).
Задача 29В училище от 120 ученици 70 спортуват футбол, 55 — баскетбол, 30 — и двата спорта. Колко ученици не спортуват нито един от двата?
Отг.: Поне един: \(70 + 55 - 30 = 95\). Нито един: \(120 - 95 = 25\).
Отг.: Поне един: \(70 + 55 - 30 = 95\). Нито един: \(120 - 95 = 25\).
Задача 30Множеството \(M\) се състои от естествените числа, по-малки или равни на 60. \(A\) са кратните на 4, \(B\) — кратните на 3. Колко елемента има \(A \cap B\)? Как се наричат?
Отг.: Кратни на 12: \(\{12,24,36,48,60\}\) — 5 елемента; общи кратни на 3 и 4.
Отг.: Кратни на 12: \(\{12,24,36,48,60\}\) — 5 елемента; общи кратни на 3 и 4.
✅ Онлайн тест
Тест: Множества и операции с тях
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Колко елемента има множеството на буквите в думата „БАНАН“?
2Дадено е \(A = \{2, 4, 6, 8\}\). Кое твърдение е вярно?
3За \(A = \{1, 2, 3\}\) и \(B = \{3, 4, 5\}\) намерете \(A \cup B\).
4За \(A = \{1, 2, 3\}\) и \(B = \{3, 4, 5\}\) намерете \(A \cap B\).
5За \(A = \{a, b, c, d\}\) и \(B = \{c, d, e\}\) намерете \(A \setminus B\).
6Кое множество е празно?
7Ако \(|A| = 8\), \(|B| = 6\) и \(|A \cap B| = 2\), колко е \(|A \cup B|\)?
8Ако \(|A| = 9\), \(|B| = 7\) и \(|A \cup B| = 13\), колко е \(|A \cap B|\)?
9Кое твърдение за подмножество е вярно?
10Множеството на естествените делители на 12 е:
11Най-големият елемент на сечението на делителите на 24 и делителите на 18 е:
12Най-малкият елемент на сечението на кратните на 4 и кратните на 10 е:
13В клас от 30 ученици 20 учат английски, 15 — френски, всеки учи поне един език. Колко учат двата езика?
14Кой закон изразява равенството \(A \cap B = B \cap A\)?
15\(\Omega\) има 20 елемента, а \(A \subseteq \Omega\) има 13 елемента. Колко елемента има допълнението \(\overline{A}\)?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥 Видео към урока
Видео разработка на този урок очаквайте скоро в YouTube канала на д-р Атанас Илчев. Там ще намерите и други видео уроци по математика за 6. клас.
🔗 Свързани уроци
📊
Средноаритметично на числа. Таблично и графично представяне на данни
Урок за 6. клас от раздела „Елементи от вероятности и статистика“ — средноаритметично, таблици, линейна и кръгова диаграма, хистограма. 25 решени задачи и тест.
Към урока →
📐
Лице на многоъгълник — 6. клас
Урок за 6. клас по геометрия — лице на триъгълник, успоредник, трапец и съставни фигури. Теория, разработени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар