Кватернионите: Мостът между абстракцията и реалния свят
Кватернионите —
числата отвъд комплексните
В продължение на години Уилям Роуън Хамилтън търси числа в три измерения, аналогични на комплексните. На 16 октомври 1843 г., докато минавал по мост в Дъблин, осъзнал: отговорът не е в три, а в четири измерения. И го надраскал на моста.
Откритието на моста
В началото на 1840-те Хамилтън работи по труден проблем: как да дефинира умножение за точки в триизмерно пространство, така че то да се държи аналогично на умножението на комплексните числа. Правило за събиране имало — тройките \((x, y, z)\) са вектори. Но умножението не се поддавало.
На 16 октомври 1843 г. Хамилтън и съпругата му се разхождали по Кралския канал в Дъблин. Докато минавали по моста Броум, му светнало — решението не е в три, а в четири измерения. Използвайки три от четирите координати за триизмерното пространство и четвъртата като допълнително измерение, получил работеща числова система.
Хамилтън, страхувайки се да не загуби идеята, надраскал основните правила за умножение директно върху камъните на моста:
\[i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.\]На следващия ден пише на своя приятел и математик Джон Т. Грейвс:
Хамилтън нарекъл новата система кватерниони (от латинското quaternio — четворка) и посветил остатъка от живота си на изследването им. Буквата \(\mathbb{H}\) за кватернионите е в негова чест.
Числовата верига
Кватернионите разширяват познатата числова йерархия:
Съществуват и по-широки разширения, но нека се съсредоточим върху кватернионите.
Математиката на кватернионите
Кватернионът е израз от вида \(q = a + bi + cj + dk\), където \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\), а символите \(i\), \(j\), \(k\) удовлетворяват:
\[i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.\]От тези основни отношения следват правилата за умножение:
Заедно с дистрибутивния и асоциативния закон, тези правила определят алгебрата на \(\mathbb{H}\). Забележете: кватернионите не са комутативни — редът на умножение има значение. \(ij = k\), но \(ji = -k\). Матриците споделят същото свойство, така че некомутативността не е толкова необичайна, колкото изглежда.
Формулата на Ойлер за кватерниони
Класическата формула на Ойлер \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\) има красив аналог за кватерниони. За кватернион \(q = a + \mathbf{v}\):
\[e^{\mathbf{v}} = \cos\|\mathbf{v}\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\sin\|\mathbf{v}\|.\]При \(\mathbf{v} = xi\) (т.е. \(c = d = 0\)) двете формули съвпадат — формулата на Ойлер за комплексни числа е специален случай.
Приложения
Отвъд кватернионите: Октониони и хиперкомплексни числа
На съвременен математически език кватернионите образуват четириизмерна асоциативна нормирана алгебра с деление над реалните числа — първата открита некомутативна алгебра с деление.
Следващото разширение са октонионите \(\mathbb{O}\) — осемизмерна алгебра. При тях обаче вече липсва и асоциативността: \((ab)c \neq a(bc)\) в общия случай. Всяко ново разширение носи по-богата структура, но се заплаща с загубата на удобни алгебрични свойства.
Веригата \(\mathbb{R} \to \mathbb{C} \to \mathbb{H} \to \mathbb{O}\) е описана от теоремата на Хурвиц (1898): единствените нормирани алгебри с деление над реалните числа са точно тези четири. Пътят към по-високите измерения е затворен — но четирите спирки са достатъчно богати, за да се изследват с векове.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар