Математиката е открита или изобретена?

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

✎ Есе

Математиката —
открита, измислена или нещо трето?

Дали математиката е открита като съществуващ обективен факт, или е измислена като инструмент на ума? Тезата на това есе е, че правилният отговор е нито едното, нито другото — и че намирането на точната метафора е само по себе си философски напредък.

Д-р Атанас Илчев • Поредица: Интересно от математиката

Когато два противоположни лагера спорят безкрайно по даден въпрос, обикновено е защото всеки от тях улавя нещо вярно, но нито един не улавя цялата картина. Всяка страна е отчасти права — и затова нито една не може окончателно да победи другата. Смятам, че точно такъв е случаят с вековния спор дали математиката е открита или измислена.

В това есе ще изложа двете позиции, ще анализирам техните силни и слаби страни, и ще предложа трета концептуализация, която интегрира най-доброто от двете.

Двете позиции

Позиция 1

Математиката е измислена

Математическите обекти — числа, множества, абстрактни пространства — не са физически. Следователно математиката е продукт на ума. Привържениците на тази позиция се наричат интуиционисти.

⚠ Слабост: Как се обяснява забележителната вътрешна последователност на математиката и нейната независимост от нашето съществуване?

Позиция 2

Математиката е открита

Математическите структури съществуват независимо от нас в някаква обективна реалност. Привържениците на тази позиция се наричат платонисти.

⚠ Слабост: Как се доказва съществуването на тази „платонова равнина"? По какво се различава от твърдения за Рая, Хадес или Валхала?

Силата на „измислено" е в нефизичността на математическите обекти. Слабостта е, че тя прави нещо като чудо от факта, че математиката е последователна, полезна и изглежда предшестваща нашето съществуване. Силата на „открито" е, че обхваща начина, по който математическият прогрес наистина изглежда като откритие. Слабостта е, че не разполагаме с нищо подкрепено с доказателства, на което да се основава идеята.

Хипотезата за математическата вселена (MUH)

Едно амбициозно решение е хипотезата за математическата вселена (MUH), развита от физика Макс Тегмарк: самата природа е математика. Ако това е вярно, новите прозрения в математиката са буквално научни открития.

MUH се вдъхновява от феноменалния успех на математиката при моделирането на природата. Но успехът в представянето на реалността не е доказателство, че реалността е математика — той е само съвместимост с тази хипотеза.

По-важни са аргументите против MUH:

1. По-голямата част от математиката няма никаква известна връзка с нашата физическа реалност. Използваната в науката математика е нищожна подмножина от математиката като цяло. 2. Математическите понятия за маса, заряд и свързаните с тях величини изчерпват описанието на това, което тези величини правят, но не на това, което те са. 3. Съществуват клонове на т.нар. непоследователна математика, в които определени ограничени противоречия се допускат без колапс. Ако природата е математика, тези противоречия би трябвало да „заразят" всичко останало — но в природата не наблюдаваме нищо подобно.

Не по-малко важен е четвъртият аргумент: ние специално търсим математически обяснения на природата, защото сме свикнали с тях след Галилей и Нютон. Аристотелистите са търсели обяснения чрез четирите причини на Аристотел. Може би математиката е само един от многото „посредници в разбирането", за които случайно сме се спрели.

Трета позиция: посяване и прибиране на реколтата

Предлагам следната метафора: математическият прогрес прилича на засяване и прибиране на реколтата.

Засаждаме семе и определяме контекстуалните параметри — почва, вода, светлина. Но след като растението веднъж тръгне, то расте по логиката на собствената си природа. Ние само прибираме реколтата. Каква реколта точно ще бъде събрана е зададено от семето и контекста — не от нашите желания.

Ключова идея

Формулирането на аксиомите е аналог на посяването: избираме кои аксиоми да приемем и в какъв формален език да ги изразим. Тази стъпка е най-близо до изобретението. Но след като аксиомите са зададени, математическите структури, израстващи от тях, са детерминирани. Тяхното разкриване — доказване на теореми, намиране на следствия — е стъпката на прибиране на реколтата. Тя е най-близо до откритието.

Стъпка 1

Посяването

Избор на аксиоми, формален език, обхват на системата. Тук математикът взема решения — тази стъпка е близо до изобретението.

Стъпка 2

Прибирането на реколтата

Дефиниране на структури, доказване на теореми, разкриване на следствия. Математикът открива — тази стъпка е близо до откритието.

Определен набор от аксиоми води до по-богата математика от друг — точно както едно семе израства в по-величествено растение. Непоследователен набор от аксиоми е като мъртво семе: не произвежда нищо.

Плурализъм на процеса: Интригуващо е, че физическата реалност изглежда следва сходен процес — Големият взрив като семе, законите на физиката и стойностите на физическите константи като контекст, а наблюдаемата реалност като прибрана реколта. Математическите отношения, съществували преди появата на живот, са „реколта" от физическото посяване — без да се предполага никаква интелигентност или умисъл зад него.

Тази концептуализация се прилага и извън математиката. Изкуството, литературата, музиката, езиците за програмиране — всички те следват сходен двустепенен процес: изборът на основни идеи и ограничения е посяването; разгръщането на произведението в рамките на тези ограничения е прибирането на реколтата.

Избягвам думите „открито" и „измислено" — не само защото нито едното не е напълно точно, но и защото двете предполагат цялостен процес, докато всяка от тях описва само стъпка в по-сложен процес. Математиката не е открита. Математиката не е измислена. Математиката е посята и прибрана.

Философия на математиката MUH Платонизъм Интуиционизъм Макс Тегмарк Аксиоми Математическа вселена

Следваща статия от поредицата

Интересни факти от историята на математиката

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆