Окръжност. Взаимно положение на окръжност и точка и окръжност и права. Допирателна към окръжност 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Геометрия › Окръжност

Окръжност
Основни понятия, окръжност и права

Определения, взаимно положение на окръжност с точка и права, допирателна, теореми и доказателства — 6 разработени задачи

Окръжност Допирателна Секуща 8 клас Д-р Атанас Илчев

1. Основни понятия

Окръжност \(k\) с център \(O\) и радиус \(r\) означаваме \(k(O;r)\).

\(O\) — център на окръжността;
\(AB = 2r\) — диаметър;
\(OA = OB = OC = r\) — радиуси;
\(KE\) — хорда;
\(\overset{\frown}{KE}\) — дъга, принадлежаща на хордата \(KE\).

2. Окръжност и точка

1) Точката \(B\) лежи на \(k(O;r)\) тогава и само тогава, когато \(OB = r\).
2) Точката \(A\) е вътрешна за \(k(O;r)\) тогава и само тогава, когато \(OA \lt r\).
3) Точката \(C\) е външна за \(k(O;r)\) тогава и само тогава, когато \(OC \gt r\).
4) Ако \(L\) е вътрешна и \(N\) е външна точка за \(k\), отсечката \(LN\) има точно една обща точка с \(k\).

3. Окръжност и права

Нека \(k(O;r)\) е окръжност, \(l\) е права и \(M\) е петата на перпендикуляра от \(O\) към \(l\). Възможни са три случая:

1) \(k\) и \(l\) нямат общи точки \(\iff OM \gt r\)
2) \(k\) и \(l\) имат две общи точки (\(l\) е секуща) \(\iff OM \lt r\)
3) \(k\) и \(l\) имат точно една обща точка (\(l\) е допирателна) \(\iff OM = r\)

Определение 1: Секуща е права с две общи точки с окръжността.

Определение 2: Допирателна (тангента) е права с точно една обща точка с окръжността. Тази точка се нарича допирна точка.

Теорема 1: Ако права е допирателна на окръжност, тя е перпендикулярна на радиуса в допирната точка.

4. Допирателна от точка към окръжност

Определение 3: Допирателните \(t_1\) и \(t_2\) с обща точка \(L\) определят отсечките \(LM\) и \(LN\) (до допирните точки \(M\) и \(N\)), наречени допирателни от \(L\) към \(k\).

Теорема 2: Дължините на допирателните към окръжност, прекарани през точка вън от нея, са равни.
Доказателство: \(\triangle OLM \cong \triangle OLN\) по IV признак (\(OM=ON=r\), \(OL\) — обща, \(\angle OML=\angle ONL=90°\)), откъдето \(LM=LN\). \(\blacksquare\)

Следствие 1: Лъчът \(\overrightarrow{OL}\) е ъглополовяща на ъгъла, образуван от двете допирателни през \(L\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Дадени са \(k(O;\,r=6\text{ cm})\) и права \(m\). Определете взаимното положение на \(k\) и \(m\), ако разстоянието от \(O\) до \(m\) е: а) 6 cm; б) 5 cm; в) 7 cm.

▼

Решение

а) \(ON = 6\text{ cm} = r\) → правата \(m\) е допирателна към \(k\), имат една обща точка.

б) \(ON = 5\text{ cm} \lt r\) → правата \(m\) е секуща, \(k\) и \(m\) имат две общи точки.

в) \(ON = 7\text{ cm} \gt r\) → \(k\) и \(m\) нямат общи точки.

2

Дадени са \(k(O;r)\) и хорда \(AB=r\). Върху правата \(OA\) е взета точка \(C\), така че \(AO=AC\). Докажете, че правата \(BC\) е допирателна към окръжността.

▼

Решение

Тъй като \(AO=AC\), точката \(A\) е среда на \(OC\) и \(BA\) е медиана в \(\triangle OBC\). Следователно \(OA=AB=AC=r\) и \(\triangle OAB\) е равностранен, откъдето \(\angle OAB = 60°\). Тогава \(\angle BAC = 120°\) (съседен ъгъл) и тъй като \(\triangle BAC\) е равнобедрен (\(AB=AC=r\)): \(\angle ABC = \angle ACB = 30°\). Следователно \(\angle OBC = \angle OBA + \angle ABC = 60° + 30° = 90°\), т.е. \(OB \perp BC\). По Теорема 1 \(BC\) е допирателна. \(\blacksquare\)

3

Точките \(A\) и \(B\) лежат на \(k(O;\,r=9\text{ cm})\) и \(OA \perp OB\). Допирателните в \(A\) и \(B\) се пресичат в \(C\). Докажете, че \(OBCA\) е квадрат и намерете периметъра му.

▼

Решение

По Теорема 1: \(\angle OAC = \angle OBC = 90°\). По условие \(\angle AOB = 90°\). Сборът на четирите ъгъла в \(OBCA\) е \(360°\), затова \(\angle ACB = 90°\). Тъй като \(OBCA\) е правоъгълник с \(OB = OA = r\), то той е квадрат.
Периметър: \(P = 4r = 4 \cdot 9 = 36\text{ cm}\).

4

Допирателните в \(A\) и \(B\) от \(k(O;r)\) се пресичат в \(P\). Ако \(\angle AOB:\angle APB = 8:4\) и \(OP=16\text{ cm}\), намерете \(r\).

▼

Решение

От Теорема 2 и признака за еднаквост: \(\triangle OPA \cong \triangle OPB\), откъдето \(\angle AOP = \angle BOP\) и \(\angle APO = \angle OPB\). Нека \(\angle AOB = 8x\), \(\angle APB = 4x\), тогава \(\angle AOP = 4x\), \(\angle APO = 2x\). От правоъгълния \(\triangle OAP\): \[4x + 2x + 90° = 180° \implies x = 15°.\] Следователно \(\angle APO = 30°\). По теоремата за катет срещу \(30°\): \[r = OA = \frac{OP}{2} = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}.\]

5

Правата \(AB\) има една обща точка \(H\) с окръжност с \(O\) и \(r=6\text{ cm}\). Ако \(\angle AOB=90°\) и \(AO=BO\), намерете лицето на \(\triangle ABO\).

▼

Решение

\(AB\) е допирателна → \(OH \perp AB\) и \(OH = r = 6\text{ cm}\). Тъй като \(\triangle AOB\) е равнобедрен правоъгълен, \(OH\) е едновременно височина, медиана и ъглополовяща. Медианата към хипотенузата \(= \frac{1}{2}\cdot AB\), следователно \(AB = 2 \cdot OH = 12\text{ cm}\). Лице: \[S = \frac{OH \cdot AB}{2} = \frac{6 \cdot 12}{2} = 36\text{ cm}^2.\]

6

Даден е квадрат \(ABCD\) с пресечна точка на диагоналите \(O\) и страна \(6\sqrt{3}\text{ cm}\). Построена е \(k(O;r)\). Определете броя на общите точки на \(k\) и правата \(AB\), ако: а) \(r=2\sqrt{6}\text{ cm}\); б) \(r=\sqrt{27}\text{ cm}\); в) \(r=4\sqrt{2}\text{ cm}\).

▼

Решение

В квадрата с страна \(6\sqrt{3}\text{ cm}\): \(OH = \frac{AB}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm}\) (разстоянието от центъра до страната).

а) \(OH = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196 > r = 2\sqrt{6} \approx 4{,}899\) → 0 общи точки.
б) \(r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} = OH\) → правата \(AB\) е допирателна, 1 обща точка.
в) \(r = 4\sqrt{2} \approx 5{,}657 > OH = 3\sqrt{3}\) → 2 общи точки.

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Допирателна към окръжност в точка \(B\) пресича права, минаваща през \(O\), в точка \(A\). Ако \(\angle AOB=60°\) и \(AO=8\text{ cm}\), намерете \(r\).

Задача 2През точка \(M\), външна за окръжност, са построени допирателните \(MP\) и \(MR\). Ако разстоянието от \(M\) до \(R\) е \(4\text{ cm}\), намерете дължината на \(MR\).

Задача 3Даден е равнобедрен \(\triangle ABC\) с \(\angle ACB=120°\). С център средата \(M\) на \(AB\) е построена окръжност, допираща се до \(AC\) и \(BC\). Ако \(r=5\text{ cm}\) и \(MC=p\text{ cm}\), намерете лицето на \(\triangle ABC\).

Задача 4За \(\triangle ABC\) (\(\angle C=90°\)) е известно: \(AB=9\text{ cm}\), \(\angle A=60°\). Окръжност \(k(A;r)\) се допира до \(BC\). Намерете \(r\).

Задача 5Дадена е \(AB=8\text{ dm}\). Построени са симетралата \(s\) и \(k(B;\,r=40\text{ cm})\). Определете взаимното положение на \(k\) и \(s\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Окръжност — основни понятия и окръжност с права

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Точка лежи на окръжност \(k(O;r)\), ако:

\(OB \lt r\) \(OB = r\) \(OB \gt r\)

2Вътрешна точка за \(k(O;r)\) е тази, за която:

\(OA = r\) \(OA \lt r\) \(OA \gt r\)

3Правата е допирателна към окръжност, ако \(OM\) (разстояние от центъра до правата) е:

\(OM \gt r\) \(OM = r\) \(OM \lt r\)

4Правата е секуща на окръжност, ако:

\(OM = r\) \(OM \lt r\) \(OM \gt r\)

5Допирателната е перпендикулярна на:

Хордата в допирната точка Радиуса в допирната точка Диаметъра

6Дължините на двете допирателни от външна точка са:

Различни Равни В отношение 1:2

7В З1а: разстоянието от \(O\) до \(m\) е 6 cm при \(r=6\) cm. Правата \(m\) е:

Секуща Допирателна Няма общи точки

8В З3: четириъгълникът \(OBCA\) е:

Правоъгълник, но не квадрат Квадрат Ромб

9В З3: периметърът на \(OBCA\) при \(r=9\) cm е:

\(27\text{ cm}\) \(36\text{ cm}\) \(81\text{ cm}\)

10В З4: стойността на \(x\) (при \(\angle AOB=8x\), \(\angle APB=4x\)) е:

\(10°\) \(15°\) \(20°\)

11В З4: радиусът при \(OP=16\) cm е:

\(r=4\text{ cm}\) \(r=8\text{ cm}\) \(r=16\text{ cm}\)

12В З5: лицето на \(\triangle ABO\) е:

\(18\text{ cm}^2\) \(36\text{ cm}^2\) \(72\text{ cm}^2\)

13В З6б: \(r=\sqrt{27}\text{ cm}\) и \(OH=3\sqrt{3}\text{ cm}\). Правата \(AB\) и \(k\) имат:

0 общи точки 1 обща точка 2 общи точки

14В З2: \(\triangle OAB\) е:

Равнобедрен Равностранен Правоъгълен

15Диаметърът на окръжност е:

Равен на радиуса Два пъти по-голям от радиуса Три пъти по-голям от радиуса

---

Видео урок

Видео урок — Окръжност. Основни понятия и окръжност с права

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆