Централни ъгли, дъги и хорди. Диаметър перпендикулярен на хорда 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Геометрия › Централни ъгли, дъги и хорди

Централни ъгли,
дъги и хорди

Определения, теореми с доказателства, паралелни хорди, диаметър и хорда — 4 разработени задачи

Централен ъгъл Дъга Хорда 8 клас Д-р Атанас Илчев

1. Хорди и дъги

Ако права \(t\) пресича окръжността \(k\) в точки \(A\) и \(B\), отсечката \(AB\) се нарича хорда на окръжността \(k\). Отсечката \(MN\) е също хорда на \(k\).

Определение 1: Всяка хорда разделя окръжността на две части, наречени дъги на окръжността.

Ако хордата \(AB\) е диаметър, то всяка от дъгите \(\overset{\frown}{ALB}\) и \(\overset{\frown}{AKB}\) се нарича полуокръжност и \(\overset{\frown}{ALB}=\overset{\frown}{AKB}=180°\).

2. Централен ъгъл

Определение 2: Ъгъл, чийто връх е центърът на окръжността \(k\), се нарича централен ъгъл. Всеки централен ъгъл е равен по мярка на принадлежащата му дъга.

На чертежа \(\sphericalangle KOL\) е централен ъгъл и \(\sphericalangle KOL = \overset{\frown}{KL} = \alpha\).

Определение 3: Две окръжности се наричат еднакви, ако имат равни радиуси.

Определение 4: Две дъги от една и съща окръжност или от еднакви окръжности се наричат равни, когато имат равни мерки в градуси.

3. Теорема 1 — Хорди, централни ъгли и дъги

Теорема 1 (в окръжност или в еднакви окръжности, при централни ъгли \(\alpha\) и \(\beta\)):
1) Ако \(AB=CD\), то \(\alpha=\beta\) и \(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\).
2) Ако \(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\), то \(\alpha=\beta\) и \(AB=CD\).
3) Ако \(\alpha=\beta\), то \(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\) и \(AB=CD\).

4. Паралелни хорди

Ако \(AB \parallel CD\), то \(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}\) и обратно. От Теорема 1 следва, че хордите \(AC\) и \(BD\) са равни и \(ABCD\) е равнобедрен трапец.

5. Теорема 2 — Диаметър перпендикулярен на хорда

Теорема 2: В окръжност диаметър, перпендикулярен на хорда, я разполовява.
Доказателство: Построяваме \(OK\) и \(OL\). \(\triangle KOL\) е равнобедрен. Тъй като \(OH \perp KL\), то \(OH\) е височина в \(\triangle KOL\), следователно е и медиана, откъдето \(H\) е среда на \(KL\). \(\blacksquare\)

Теорема 3: Ако диаметърът минава през средата на хорда, която не е диаметър, то той е перпендикулярен на хордата.
Доказателство: Дадено е \(KH=LH\). Тъй като \(\triangle KOL\) е равнобедрен и \(H\) е среда на \(KL\), то \(OH\) е медиана, следователно е и височина, откъдето \(OH \perp KL\). \(\blacksquare\)

Полезни следствия:
1) Диаметър, перпендикулярен на хорда, разполовява и съответната дъга.
2) Две хорди са равни тогава и само тогава, когато разстоянията от центъра до тях са равни.
3) По-голямата от две хорди е по-близо до центъра; по-близката до центъра хорда е по-голяма.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Точките \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) (в този ред) са от окръжност \(k\) и \(\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CD}:\overset{\frown}{DA}=6:4:2:3\). Намерете градусните мерки на \(\overset{\frown}{ABC}\), \(\overset{\frown}{BCD}\) и \(\overset{\frown}{DAB}\).

▼

Решение

Нека \(\overset{\frown}{AB}=6x\), \(\overset{\frown}{BC}=4x\), \(\overset{\frown}{CD}=2x\), \(\overset{\frown}{DA}=3x\). Цялата окръжност е \(360°\): \[6x+4x+2x+3x=360° \implies 15x=360° \implies x=24°.\] Следователно: \(\overset{\frown}{AB}=144°\), \(\overset{\frown}{BC}=96°\), \(\overset{\frown}{CD}=48°\), \(\overset{\frown}{DA}=72°\).

\[\overset{\frown}{ABC}=144°+96°=240°.\] \[\overset{\frown}{BCD}=96°+48°=144°.\] \[\overset{\frown}{DAB}=72°+144°=216°.\]

2

Градусната мярка на \(\overset{\frown}{MN}\) е \(\frac{1}{4}\) от тази на \(k(O)\). Ако \(MN=12\sqrt{5}\text{ dm}\), намерете разстоянието от \(O\) до \(MN\).

▼

Решение

\(\overset{\frown}{MN}=\frac{1}{4}\cdot360°=90°\), следователно централният ъгъл \(\sphericalangle MON=90°\). \(\triangle MON\) е равнобедрен правоъгълен, затова \(OH\) (перпендикулярът от \(O\) до \(MN\)) е едновременно височина, медиана и ъглополовяща, и \(H\) е среда на \(MN\). Следователно: \[OH = HM = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}\cdot12\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\text{ dm}.\]

3

Дадени са хорда \(AB=7\text{ cm}\) и дъга \(\overset{\frown}{AB}=60°\) от окръжност \(k\). Намерете диаметъра на \(k\).

▼

Решение

Централният ъгъл \(\sphericalangle AOB=60°\). \(\triangle AOB\) е равнобедрен (\(OA=OB=r\)) с ъгъл \(60°\) при върха, следователно е равностранен и \(r=AB=7\text{ cm}\). Диаметърът: \[d=2r=14\text{ cm}.\]

4

В окръжност са дадени хорди \(AB\) и \(CD\). Докажете: а) ако \(AB=CD\), разстоянията от \(O\) до хордите са равни; б) ако разстоянията от \(O\) до хордите са равни, то \(AB=CD\).

▼

Решение

Нека \(OH \perp AB\) и \(OM \perp CD\).
а) От \(AB=CD\) и \(OA=OB=OC=OD=r\) следва \(\triangle AOB \cong \triangle COD\) (по III признак), откъдето съответните медиани са равни: \(OH=OM\). \(\blacksquare\)

б) Дадено \(OH=OM\). От \(OH \perp AB\): \(H\) е среда на \(AB\), т.е. \(HB=\frac{AB}{2}\). Аналогично \(MD=\frac{CD}{2}\). \(\triangle BHO \cong \triangle DOM\) по IV признак (\(OH=OM\), \(OB=OD=r\), прав ъгъл), откъдето \(HB=DM\) и \(AB=CD\). \(\blacksquare\)

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Хордата \(BC\) е равна на радиуса. Ако \(AB\) е диаметър, намерете ъглите на \(\triangle ABC\).

Задача 2Точките \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) са от окръжност с \(O\). \(\overset{\frown}{DA}=3\overset{\frown}{CD}\), \(5\overset{\frown}{CD}=2\overset{\frown}{BC}\), \(\overset{\frown}{AB}=100°\). Намерете \(\sphericalangle AOB\), \(\sphericalangle BOC\), \(\sphericalangle COD\) и \(\sphericalangle DOA\).

Задача 3Точките \(M\) и \(N\) лежат на \(k(O;\,r=10\text{ cm})\). Намерете мярката на \(\overset{\frown}{MN}\), ако \(O\) е на разстояние \(5\text{ cm}\) от хордата \(MN\).

Задача 4Точките \(M\), \(N\), \(P\) са от окръжност с \(O\). \(\overset{\frown}{MN}=60°\), дъгата \(\overset{\frown}{NP}\) (несъдържаща \(M\)) е 4 пъти по-голяма от \(\overset{\frown}{MN}\). Намерете: а) \(\sphericalangle MOP\); б) периметъра на \(MNOP\), ако \(MP=7\text{ cm}\).

Задача 5Дадена е окръжност с \(O\) и хорда \(MN\). Докажете, че ъглополовящата на \(\sphericalangle MON\) пресича дъгата \(\overset{\frown}{MN}\) в средата й.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Централни ъгли, дъги и хорди

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Хорда на окръжността е:

Всяка права, пресичаща окръжността Отсечката между двете точки, в които секуща пресича окръжността Дъга на окръжността

2Централен ъгъл е ъгъл, чийто:

Страни са хорди Връх е центърът на окръжността Страни са допирателни

3Централният ъгъл е равен по мярка на:

Половината от принадлежащата му дъга Принадлежащата му дъга Двойната принадлежаща дъга

4В З1: стойността на \(x\) е:

\(20°\) \(24°\) \(30°\)

5В З1: \(\overset{\frown}{ABC}=\)

\(192°\) \(240°\) \(216°\)

6В З2: централният ъгъл \(\sphericalangle MON=\)

\(45°\) \(90°\) \(60°\)

7В З2: разстоянието от \(O\) до \(MN\) е:

\(12\sqrt{5}\text{ dm}\) \(6\sqrt{5}\text{ dm}\) \(3\sqrt{5}\text{ dm}\)

8В З3: \(\triangle AOB\) с \(\sphericalangle AOB=60°\) и \(OA=OB\) е:

Равнобедрен Равностранен Правоъгълен

9В З3: диаметърът на \(k\) е:

\(7\text{ cm}\) \(14\text{ cm}\) \(21\text{ cm}\)

10Теорема 2 гласи: диаметър, перпендикулярен на хорда:

Я удвоява Я разполовява Минава извън нея

11Ако \(AB \parallel CD\) в окръжност, то:

\(\overset{\frown}{AC} \neq \overset{\frown}{BD}\) \(\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}\) \(AC \neq BD\)

12Две равни хорди в окръжност са:

На различни разстояния от центъра На равни разстояния от центъра Винаги успоредни

13Полуокръжност е дъга с мярка:

\(90°\) \(180°\) \(360°\)

14В З1: \(\overset{\frown}{BCD}=\)

\(120°\) \(144°\)

\(168°\)

15По-голямата от две хорди в окръжност е:

По-далеч от центъра По-близо до центъра На равно разстояние от центъра

---

Видео урок

Видео урок — Централни ъгли, дъги и хорди

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆