Комплексни числа - основни понятия

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Комплексни числа

Комплексни числа
Основни операции и формули на Моавър

Исторически преглед, Гаусова равнина, събиране, изваждане, умножение, деление, комплексно спрегнато, аргумент и формули на Моавър — 6 разработени примера и 12 задачи

Комплексни числа Имагинерна единица Гаусова равнина Формули на Моавър Д-р Атанас Илчев

От историята на имагинерните числа до практическото им приложение — всички основни операции и формулите на Моавър за коренуване и степенуване

Комплексните числа са мощен математически инструмент, който ни позволява да работим в ситуации, в които реалните числа не са достатъчни. Те намират широко приложение в електротехниката, физиката, теорията на вероятностите и много други области.

Исторически преглед

Идеята за комплексните числа възниква през 16-ти век, когато математиците се занимавали с решаването на уравнения от вида \(x^2+1=0\). Те установяват, че такова уравнение няма реални корени — квадратът на всяко реално число е неотрицателен. Въпреки това, математиците не отхвърлят идеята за корен от \(-1\), който би задоволил уравнението.

През 18-ти век комплексните числа започват да се разбират и формализират по-добре. Терминът „комплексно число" е въведен за първи път от Карл Фридрих Гаус през 1797 г.

Основни понятия

Комплексните числа се представят във вида \(z = a + bi\), където:
• \(a\) е реалната част;
• \(b\) е имагинерната част;
• \(i\) е имагинерната единица, за която \(i^2 = -1\).
Комплексните числа се изобразяват в комплексната (Гаусовата) равнина — по реалната ос се изобразява реалната част, а по имагинерната ос — имагинерната.

Дефиниция 1: Нека \(z = a + bi\). Комплексното спрегнато на \(z\) е \(\overline{z} = a - bi\) — получава се чрез смяна на знака на имагинерната част.

---

Операции с комплексни числа

Събиране: \((a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i\) — събират се реалните и имагинерните части поотделно.

1

Намерете сумата \(z_1 + z_2\), където \(z_1 = 2+3i\) и \(z_2 = -1+5i\).

▼

Решение \[(2+3i)+(-1+5i) = (2-1)+(3+5)i = 1+8i.\]

Изваждане: \((a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i\) — изваждат се реалните и имагинерните части поотделно.

2

Намерете разликата \(z_1 - z_2\), където \(z_1 = 4+2i\) и \(z_2 = -3+7i\).

▼

Решение \[(4+2i)-(-3+7i) = (4-(-3))+(2-7)i = 7-5i.\]

Умножение: Прилагаме дистрибутивния закон и използваме \(i^2=-1\): \[(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i.\]

3

Намерете произведението \(z_1 \cdot z_2\), където \(z_1 = 3+4i\) и \(z_2 = -2+i\).

▼

Решение \[(3+4i)(-2+i) = (3)(-2)+(3)(1)i+(4)(-2)i+(4)(1)i^2 =\] \[= -6+3i-8i-4 = -10-5i.\]

Деление: Умножаваме числителя и знаменателя по спреженото на знаменателя: \[\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}.\]

4

Намерете частното \(\dfrac{z_1}{z_2}\), където \(z_1 = 5-2i\) и \(z_2 = 3+i\).

▼

Решение \[\frac{5-2i}{3+i} = \frac{(5-2i)(3-i)}{3^2+1^2} = \frac{15-5i-6i+2i^2}{10} = \frac{15-11i-2}{10} = \frac{13-11i}{10} = \frac{13}{10}-\frac{11}{10}i.\]

---

Аргумент на комплексно число

Аргумент: За комплексно число \(z = a+bi\) аргументът \(\theta\) се пресмята по формулата: \[\theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),\] като се отчита в кой квадрант се намираме. \(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2}\) е модулът на \(z\).

---

Формули на Моавър

Коренуване (формула на Моавър): За \(z = r(\cos\theta+i\sin\theta)\): \[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right),\quad k=0,1,\ldots,n-1.\] Специален случай (\(n=2\)): \(\;\sqrt{z} = \sqrt{r}\!\left(\cos\dfrac{\theta}{2}+i\sin\dfrac{\theta}{2}\right)\).

5

Намерете \(\sqrt{z}\), където \(z = \sqrt{3}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\).

▼

Решение Прилагаме формулата на Моавър с \(r=\sqrt{3}\) и \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\): \[\sqrt{z} = \sqrt{\sqrt{3}}\left(\cos\frac{\pi/3}{2}+i\sin\frac{\pi/3}{2}\right) = \sqrt[4]{3}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right).\]

Степенуване (формула на Моавър): За \(z = r(\cos\theta+i\sin\theta)\): \[z^n = r^n\!\left(\cos n\theta+i\sin n\theta\right).\]

6

Намерете \(z^2\), където \(z = \sqrt{2}\!\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\).

▼

Решение Прилагаме формулата на Моавър с \(n=2\), \(r=\sqrt{2}\) и \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\): \[z^2 = (\sqrt{2})^2\left(\cos\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2i.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Събиране

1. Намерете сумата: \((1+3i)+(4+5i)\).
2. Намерете сумата: \((6-8i)+(-9+12i)\).
3. Намерете сумата: \((0+4i)+(-3-7i)\).

Изваждане

1. Намерете разликата: \((10-5i)-(3+4i)\).
2. Намерете разликата: \((8+9i)-(-6-7i)\).
3. Намерете разликата: \((12-11i)-(-9+10i)\).

Умножение

1. Намерете произведението: \((3+4i)\cdot(5+6i)\).
2. Намерете произведението: \((7-8i)\cdot(-9+10i)\).
3. Намерете произведението: \((11+12i)\cdot(-13-14i)\).

Деление

1. Намерете частното: \(\dfrac{6+7i}{8+9i}\).
2. Намерете частното: \(\dfrac{10-11i}{-12+13i}\).
3. Намерете частното: \(\dfrac{14+15i}{-16-17i}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Комплексни числа

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Имагинерната единица \(i\) е дефинирана като:

\(i = 1\) \(i^2 = -1\) \(i = -1\)

2Терминът „комплексно число" е въведен от:

Ойлер Карл Фридрих Гаус Моавър

3Комплексното спрегнато на \(z = 3-5i\) е:

\(3+5i\) \(3+5i\) — правилно, смяна само на знака пред \(i\) \(-3+5i\)

4В Пример 1: \((2+3i)+(-1+5i)\) е равно на:

\(3+2i\) \(1+8i\) \(1-2i\)

5В Пример 2: \((4+2i)-(-3+7i)\) е равно на:

\(1+9i\) \(7-5i\) \(7+9i\)

6При умножение на комплексни числа, \(i^2\) се замества с:

\(1\) \(-1\) \(i\)

7В Пример 3: \((3+4i)(-2+i)\) е равно на:

\(-2+11i\) \(-10-5i\) \(-6+5i\)

8При деление на комплексни числа умножаваме по спреженото, за да получим в знаменателя:

Комплексно число Реално число \(c^2+d^2\) Нула

9В Пример 4: \(\dfrac{5-2i}{3+i}\) е равно на:

\(\dfrac{13}{10}+\dfrac{11}{10}i\) \(\dfrac{13}{10}-\dfrac{11}{10}i\) \(\dfrac{17}{10}-\dfrac{1}{10}i\)

10Аргументът \(\theta\) на \(z = a+bi\) се пресмята по:

\(\theta = \arcsin\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\) \(\theta = \arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\) \(\theta = \sqrt{a^2+b^2}\)

11Формулата на Моавър за степенуване е \(z^n =\):

\(r^n(\cos\theta + i\sin\theta)\) \(r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\) \(nr(\cos\theta+i\sin\theta)\)

12В Пример 6: \(z^2\) при \(z=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\) е равно на:

\(\sqrt{2}\,i\) \(2i\) \(2\)

13Формулата за \(n\)-тия корен от \(z\) дава колко различни стойности?

Една \(n\) стойности (за \(k=0,1,\ldots,n-1\)) Безкрайно много

14В Пример 5: \(\sqrt{z}\) при \(z=\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\) е равно на:

\(\sqrt[3]{3}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\) \(\sqrt[4]{3}(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})\) \(\sqrt[3]{3}(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})\)

15Комплексните числа намират приложение в:

Само в абстрактната математика Електротехниката, физиката, теорията на вероятностите и много други области Само в геометрията

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по комплексни числа:

Видео урок — Комплексни числа. Операции и формули на Моавър

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆