Сумата на Рамануджан $1+2+3+\ldots +\infty=-\frac{1}{12}$

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

★ Интересно от математиката

\(1+2+3+4+\ldots = -\dfrac{1}{12}\)
Сумата, която обърка всичко

Как е възможно сборът на всички естествени числа — 1, 2, 3, 4 и така до безкрайност — да е равен на \(-\frac{1}{12}\)? Отговорът е едновременно математически строг и напълно контраинтуитивен.

Д-р Атанас Илчев • Поредица: Интересно от математиката

Сриниваса Рамануджан (1887–1920)

„За какво, за Бога, говориш? Това няма как да е вярно!" — Жена ми, след като й разказах тази история

Ето каква беше реакцията на жена ми — и тя е напълно разбираема. Тази математическа аномалия пряко противоречи на елементарната логика. Как може сборът на безброй много положителни числа да е равен не само на отрицателно, но и на отрицателна дроб?

Преди да навляза в доказателствата, трябва да поясня един важен момент: когато в тази статия говоря за „суми", не го правя в традиционния смисъл на думата. Всички редове, с които се занимавам, не клонят към определено число в обичайния смисъл — те се разминават. За тях говорим за специален вид сумиране, наречено сумиране по Чезаро.

Отношението към такива редове дълго време е било всичко друго, но не и спокойно. През януари 1826 г. норвежкият математик Нилс Хенрик Абел пише на своя учител Холмбое:

„Разходящите редове са изобретение на дявола и е срамно да се основава каквото и да било доказателство върху тях." — Нилс Хенрик Абел, писмо до Бернт Холмбое, 16 януари 1826 г.

Абел има основание за раздразнението си: с разходящи редове наистина може да се стигне до противоречия, ако се борави небрежно. Затова и всичко по-долу е смислено само в рамките на точно определен начин на сумиране.

Определение (сума на Чезаро): Редицата \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) се нарича Чезаро сумируема със сума \(A\in\mathbb{R}\), ако средното аритметично на първите \(n\) частични суми \(s_1, s_2, \ldots, s_n\) клони към \(A\) при \(n\to\infty\): $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}s_k = A.$$

Важно е да се отбележи и следното: в цялата статия работим с т.нар. изброима безкрайност — тази на множеството от естествените числа \(\mathbb{N}\). За разлика от по-„голямата" безкрайност на реалните числа \(\mathbb{R}\), при изброимата безкрайност можем да прилагаме стандартни свойства като комутативност, което ни позволява да разместваме елементите в редовете.

Ако не сте чували за нея, тази формула е известна като Сума на Рамануджан, на името на изключителния индийски математик Сриниваса Рамануджан, и гласи:

\(\zeta(-1) = 1+2+3+4+\ldots = -\dfrac{1}{12}\)

Да, равна е на \(-0{,}0\overline{8333}\)

Самият Рамануджан е знаел много добре как звучи този резултат. Във второто си писмо до Г. Х. Харди от 27 февруари 1913 г. той пише:

„Казах му, че сумата на безкраен брой членове на реда 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12 според моята теория. Ако ви кажа това, вие веднага ще ми посочите лудницата като моя цел." — Сриниваса Рамануджан, писмо до Г. Х. Харди, 27 февруари 1913 г.

Харди не му посочил лудницата. Напротив — поканил го в Кеймбридж.

\(\frac{1}{2}\)

Сума на Гранди
\(1-1+1-1+\ldots\)

\(\frac{1}{4}\)

Сума B
\(1-2+3-4+\ldots\)

\(-\frac{1}{12}\)

Сума на Рамануджан
\(1+2+3+4+\ldots\)

Стъпка 1 — Сумата на Гранди

Тук се случва истинската магия. Без тази стъпка останалите две доказателства са невъзможни. Нека дефинираме:

$$A = 1-1+1-1+1-1+\ldots$$

Сега прилагам един прост, но изящен трик — изваждам \(A\) от \(1\):

Извеждане

$$1-A = 1-(1-1+1-1+1-1+\ldots)$$ $$1-A = 1-1+1-1+1-1+1+\ldots$$ $$1-A = A$$ $$1 = 2A \implies \boxed{A = \frac{1}{2}}$$

Това е сумата на Гранди, кръстена на италианския математик, философ и свещеник Гуидо Гранди (1671–1742). Тя е моят личен фаворит — проста, изящна и отваряща врата към неочаквани дълбини. Рамануджан по-късно показва, че тя е специален случай на аналитичното продължение на дзета функцията на Риман.

Стъпка 2 — Парадоксалната сума

Сега дефинираме:

$$B = 1-2+3-4+5-6+\ldots$$

Този път, вместо да изваждаме от \(1\), изваждаме \(B\) от вече намерената \(A\):

Извеждане

$$A-B = (1-1+1-1+\ldots)-(1-2+3-4+\ldots)$$ $$A-B = (1-1+1-1+\ldots)-1+2-3+4-\ldots$$ $$A-B = (1-1)+(-1+2)+(1-3)+(-1+4)+(1-5)+\ldots$$ $$A-B = 0+1-2+3-4+\ldots = B$$ $$A = 2B \implies \frac{1}{2} = 2B \implies \boxed{B = \frac{1}{4}}$$

Този ред е познат като реда на Ойлер или „парадоксалното уравнение". Той предизвикал дискусия сред математиците от XVIII век и допринесъл за изследванията на Ойлер върху т.нар. Базелски проблем — намирането на точната стойност на \(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots\), което по-късно довело до дзета функцията на Риман.

Стъпка 3 — Черешката на тортата

Сега дефинираме сумата, заради която сме тук:

$$C = 1+2+3+4+5+6+\ldots$$

Изваждаме \(C\) от \(B\):

Извеждане

$$B-C = (1-2+3-4+5-6+\ldots)-(1+2+3+4+5+6+\ldots)$$ $$B-C = (1-1)+(-2-2)+(3-3)+(-4-4)+(5-5)+(-6-6)+\ldots$$ $$B-C = 0-4+0-8+0-12+\ldots = -4-8-12-\ldots$$ $$B-C = -4(1+2+3+\ldots) = -4C$$ $$B = -3C \implies \frac{1}{4} = -3C \implies \boxed{C = -\frac{1}{12}}$$

\(1+2+3+4+\ldots = -\dfrac{1}{12}\)

Доказано в три стъпки чрез суми на Чезаро

Защо това е важно?

Сега, когато сме доказали резултата, е редно да разберем защо той не е просто математическа любопитост, а има реални приложения в съвременната физика.

Теория на струните: В оригиналната бозонна теория на струните тази сума се появява при изчисляването на критичното измерение на пространство-времето. Конкретно — при пресмятането на „нормалната наредена" енергия на квантови осцилатори, чийто сбор дава точно \(-\frac{1}{12}\). Макар бозонната теория да е до голяма степен изместена от суперсиметричната теория на струните, тя остава теоретична основа за разбирането на суперструните.

Ефектът на Казимир: Хендрик Казимир предсказва през 1948 г., че две незаредени проводящи плочи, поставени във вакуум на много малко разстояние, ще се привличат взаимно. Причината е наличието на виртуални частици, породени от квантови флуктуации. При изчисляването на енергийната плътност между плочите Казимир използва именно тази сума. Ефектът е експериментално потвърден за първи път от Стив Ламорю през 1997 г.

ⓘ Рамануджан и неговите тетрадки

Сриниваса Рамануджан (1887–1920) е самоук индийски математик, открил тази формула независимо и я записал в прочутите си тетрадки. Когато изпратил резултатите си на британския математик Г. Х. Харди, последният признал, че някои от формулите напълно го объркали — и заключил, че трябва да са верни, защото, ако не бяха, никой не би имал въображението да ги измисли. Рамануджан умира на едва 32 години, оставяйки след себе си стотици теореми, много от които са доказани едва десетилетия по-късно.

Хронология

1703

Сумата на ГрандиГуидо Гранди изследва редовете \(1-1+1-1+\ldots\) и предизвиква оживена дискусия в математическите среди.

1735

Базелският проблемОйлер решава прочутия Базелски проблем и поставя основите на дзета функцията, в чийто контекст се разбира и сумата \(-\frac{1}{12}\).

1859

Дзета функцията на РиманРиман публикува своя прочут труд, в който формализира \(\zeta(s)\) и показва, че \(\zeta(-1) = -\frac{1}{12}\) чрез аналитично продължение.

~1913

РамануджанОткрива независимо сумата и я записва в тетрадките си. Изпраща резултатите на Г. Х. Харди в Кеймбридж.

1948

Ефектът на КазимирХендрик Казимир предсказва притегателна сила между незаредени плочи, използвайки сумата \(-\frac{1}{12}\) в пресметнатото.

1997

Потвърждение на ефекта на КазимирСтив Ламорю измерва ефекта експериментално — пряко потвърждение на теорията, в основата на която стои тази сума.

Заключение

И така — ето я сумата на Рамануджан, открита в началото на XX век, която близо сто години по-късно продължава да оказва влияние в квантовата физика и теорията на струните. Тя е великолепен пример за нещо, което математиката прави по-добре от всяка друга наука: взима привидно абсурдна идея, я формализира строго и показва, че зад нея се крие дълбока истина.

Следващия път, когато някой ви каже, че математиката е скучна — разкажете им тази история. А ако не ви вярват, просто им покажете трите стъпки по-горе.

Рамануджан Суми на Чезаро Сума на Гранди Дзета функция на Риман Ефект на Казимир Теория на струните История на математиката

Следваща статия от поредицата

Интересни факти от историята на математиката

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆