Системи линейни уравнения с две неизвестни. Решаване на системи линейни уравнения с две неизвестни чрез заместване 9 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 9 клас › Алгебра › Системи линейни уравнения

Системи линейни уравнения
Метод на заместването

Приложения, 4 определения, метод на заместването стъпка по стъпка — 6 разработени задачи (вкл. с модул, с параметри и с 3 неизвестни) и 3 задачи за самостоятелна работа

9 клас Системи уравнения Метод заместване 6 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Приложения на системите в науката и практиката, понятия за съвместимост и метод на заместването с 6 разработени задачи

Приложения на системите линейни уравнения

Системите линейни уравнения намират изключително широко приложение в реалния свят.

Физика: Законите на Кирхоф за анализ на електрически вериги, уравнения за равновесие на сили в статични системи. Например:

$$\left|\begin{array}{l}2F_1+2F_2-F_3=0 \\ F_1-4F_2+2F_3=0 \\ 3F_1+F_2+5F_3=10,\end{array}\right.$$

където уравненията описват равновесие по осите \(O_x\), \(O_y\) и \(O_z\).

Икономика: Моделиране на производство и потребление, напр. \(\left|\begin{array}{l}2x+y=10\\x+3y=15\end{array}\right.\) — намираме равновесие между производство и потребление.

Транспорт и логистика: Оптимално разпределение на ресурси и маршрути.

Финанси: Анализ на финансови потоци, моделиране на портфейли от инвестиции.

Биоинформатика: Анализ на генетични данни, напр. вероятности за наследяване:

$$\left|\begin{array}{l}0{,}5x+0{,}3y=0{,}8 \\ 0{,}2x+0{,}4y=0{,}6.\end{array}\right.$$

Ето защо изучаването на методите за решаване на системи линейни уравнения е изключително важно.

Теория

Система от линейни уравнения с две неизвестни има вида:

$$\left|\begin{array}{l}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2,\end{array}\right.$$

където \(x\) и \(y\) са неизвестни, а \(a_1,a_2,b_1,b_2\) са дадени коефициенти.

Определение 1: Две системи линейни уравнения се наричат равносилни (еквивалентни), ако имат едни и същи решения или и двете нямат решение.

Определение 2: Система линейни уравнения се нарича съвместима, ако има поне едно решение.

Определение 3: Система линейни уравнения се нарича несъвместима, ако няма решение.

Определение 4: Система линейни уравнения се нарича неопределена, ако има безброй много решения.

Решението на система линейни уравнения с две неизвестни (ако има такова) е наредена двойка \((m;\,n)\), такава, че когато заместим \(x=m\) и \(y=n\) в двете уравнения, получаваме верни числови равенства.

Метод на заместването — стъпки:
1) Изразяваме едно от неизвестните (\(x\) или \(y\)) от едно от уравненията.
2) Заместваме получения израз в другото уравнение.
3) Решаваме полученото линейно уравнение с едно неизвестно.
4) Намираме стойността на другото неизвестно чрез заместване.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Решете чрез заместване: \[\left|\begin{array}{l}2x+3y=12 \\[1ex] x-y=1.\end{array}\right.\]

▼

Решение От второто уравнение: \(x=1+y\). Заместваме в първото: \[2(1+y)+3y=12 \implies 2+5y=12 \implies y=2.\] Тогава \(x=1+2=3\).
Отговор: \((3;\,2)\).

2

Решете чрез заместване: \[\left|\begin{array}{l}2x+y=5 \\[1ex] x-y=3.\end{array}\right.\]

▼

Решение От второто уравнение: \(x=3+y\). Заместваме в първото: \[2(3+y)+y=5 \implies 6+3y=5 \implies 3y=-1 \implies y=-\frac{1}{3}.\] Тогава \(x=3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}\).
Отговор: \(\left(\dfrac{8}{3};\,-\dfrac{1}{3}\right)\).

3

Решете чрез заместване: \[\left|\begin{array}{l}3x-2y=4 \\[1ex] 4x+y=9.\end{array}\right.\]

▼

Решение От второто уравнение: \(y=9-4x\). Заместваме в първото: \[3x-2(9-4x)=4 \implies 3x-18+8x=4 \implies 11x=22 \implies x=2.\] Тогава \(y=9-8=1\).
Отговор: \((2;\,1)\).

4

Намерете стойностите на параметрите \(a\) и \(b\), така че наредената двойка \((4;\,-2)\) да е решение на системата: \[\left|\begin{array}{l}\dfrac{a+x}{3}-\dfrac{y-b}{2}=\dfrac{x+y}{6} \\ (a+b)x=3a-2by.\end{array}\right.\]

▼

Решение Заместваме \(x=4\) и \(y=-2\) в двете уравнения: \[\left|\begin{array}{l}\dfrac{a+4}{3}-\dfrac{-2-b}{2}=\dfrac{4-2}{6} \\ (a+b)\cdot4=3a-2b(-2)\end{array}\right.\iff\left|\begin{array}{l}\dfrac{a+4}{3}+\dfrac{2+b}{2}=\dfrac{1}{3} \\ 4a+4b=3a+4b.\end{array}\right.\] От второто уравнение: \(4a+4b=3a+4b \implies a=0\).
Заместваме \(a=0\) в първото (умножаваме по 6): \[2(0+4)+3(2+b)=2 \implies 8+6+3b=2 \implies 3b=-12 \implies b=-4.\] Отговор: \(a=0\), \(b=-4\).

5

Решете системата: \[\left|\begin{array}{l}|x+2y|=7 \\[1ex] x+7y=-2.\end{array}\right.\]

▼

Решение От второто: \(x=-2-7y\). Заместваме в първото: \[|-2-7y+2y|=7 \implies |-2-5y|=7.\] Модулното уравнение дава два случая:
• \(-2-5y=7 \implies y_1=-\dfrac{9}{5}\) и \(x_1=-2-7\!\cdot\!\left(-\dfrac{9}{5}\right)=\dfrac{53}{5}\).
• \(-2-5y=-7 \implies y_2=1\) и \(x_2=-2-7\cdot1=-9\).
Отговори: \(\left(\dfrac{53}{5};\,-\dfrac{9}{5}\right)\) и \((-9;\,1)\).

6

Решете системата с три неизвестни: \[\left|\begin{array}{l}x-y+2z=2 \\[1ex] 2x+5y+3z=-5 \\[1ex] x-2y+4z=7.\end{array}\right.\]

▼

Решение От първото уравнение: \(x=y-2z+2\). Заместваме в II и III: \[\left|\begin{array}{l}2(y-2z+2)+5y+3z=-5 \\[1ex] y-2z+2-2y+4z=7\end{array}\right.\iff\left|\begin{array}{l}7y-z=-9 \\[1ex] y=2z-5.\end{array}\right.\] Заместваме \(y=2z-5\) в \(7y-z=-9\): \[7(2z-5)-z=-9 \implies 14z-35-z=-9 \implies 13z=26 \implies z=2.\] Тогава \(y=2\cdot2-5=-1\) и \(x=-1-4+2=-3\).
Отговор: \((-3;\,-1;\,2)\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Решете системите чрез заместване:
а) \(\left|\begin{array}{l}2x+3y=8\\x-2y=-3\end{array}\right.\);  б) \(\left|\begin{array}{l}4x-2y=10\\3x+y=7\end{array}\right.\);  в) \(\left|\begin{array}{l}x+y+z=6\\2x-3y+2z=-1\\3x-2y-3z=7\end{array}\right.\);  г) \(\left|\begin{array}{l}2x+y-z=4\\x-3y+2z=0\\3x+2y-4z=1\end{array}\right.\);
д) \(\left|\begin{array}{l}x+y=2\\5(x-3)-3(x-y)=-9{,}5\end{array}\right.\);  е) \(\left|\begin{array}{l}\dfrac{x+2y}{9}=2\\\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{5}=1\end{array}\right.\);  ж) \(\left|\begin{array}{l}4x(x+2)-(2x-1)^2=y\\(y-3)(y+3)=y(y+7)-14x-4\end{array}\right.\).

Задача 2Равносилни ли са системите: \[\left|\begin{array}{l}4x+5y=11\\x-y=5\end{array}\right.\quad\text{и}\quad\left|\begin{array}{l}4x-5y=11\\2x+y=9?\end{array}\right.\]

Задача 3Решете системата: \[\left|\begin{array}{l}5y-x=-9\\|x+4y|=9.\end{array}\right.\]

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Системи линейни уравнения — метод на заместването

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Решението на система с две неизвестни е:

Едно число Наредена двойка \((m;\,n)\) Множество от числа

2Съвместима система е система, която:

Няма решение Има поне едно решение Има безброй решения

3Несъвместима система е система, която:

Има точно едно решение Няма решение Има безброй решения

4Неопределена система е система, която:

Няма решение Има безброй много решения Има точно две решения

5В Задача 1: от \(x-y=1\) изразяваме \(x=\):

\(y-1\) \(1+y\) \(1-y\)

6В Задача 1: решението е:

\((2;\,3)\) \((3;\,2)\) \((1;\,2)\)

7В Задача 2: \(y\) е равно на:

\(1\) \(-\dfrac{1}{3}\) \(-1\)

8В Задача 3: решението е:

\((1;\,2)\) \((2;\,1)\) \((3;\,-1)\)

9В Задача 4: от второто уравнение получаваме:

\(b=0\) \(a=0\) \(a=b\)

10В Задача 4: \(b\) е равно на:

\(4\) \(-4\) \(-2\)

11В Задача 5: след заместване получаваме:

\(|-2+5y|=7\) \(|-2-5y|=7\) \(|2+5y|=7\)

12В Задача 5: системата има:

Едно решение Две решения Няма решение

13В Задача 6: от първото уравнение изразяваме \(x=\):

\(y+2z-2\) \(y-2z+2\) \(-y+2z+2\)

14В Задача 6: \(z\) е равно на:

\(1\) \(2\) \(-1\)

15В Задача 6: решението е наредената тройка:

\((3;\,1;\,-2)\) \((-3;\,-1;\,2)\) \((-3;\,1;\,2)\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по системи линейни уравнения:

Видео урок — Системи линейни уравнения. Метод на заместването

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆