Линейна функция, графика на линейна функция 9 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 9 клас › Алгебра › Линейна функция

Линейна функция
Свойства, успоредност и перпендикулярност

Определение, ъглов коефициент, наклон, условия за успоредност и перпендикулярност — 6 разработени задачи и 7 задачи за самостоятелна работа

9 клас Линейна функция Ъглов коефициент Успоредност Перпендикулярност Д-р Атанас Илчев

Графика на линейна функция, роля на ъгловия коефициент и свободния член, условия за успоредни и перпендикулярни прави

Теория

Определение 1: Функция от вида \(f(x)=kx+n\), където \(k,n\in\mathbb{R}\), а \(x\) е променлива, се нарича линейна функция. Числата \(k\) и \(n\) се наричат коефициенти. Коефициентът \(k\) е ъгловият коефициент — в зависимост от стойностите му графиката (права) сключва различни ъгли с оста \(O_x\).

Примерите по-долу илюстрират влиянието на ъгловия коефициент върху наклона на правата.

Пример 1: Графика на \(f(x)=2x+1\)

Пример 2: Графика на \(f(x)=10x+1\) — по-голям ъглов коефициент, по-стръмна права

Пример 3: Графика на \(f(x)=-2x+1\) — отрицателен ъглов коефициент, права пада надясно

Пример 4: Графика на \(f(x)=-10x+1\) — по-голям по абсолютна стойност отрицателен ъглов коефициент

На всичките четири графики пресечната точка с оста \(O_y\) е в точка \((0;1)\). Коефициентът \(n\) (равен на \(1\) в тези примери) показва именно къде графиката пресича оста \(O_y\).

Успоредност: Графиките на \(f_1(x)=k_1x+n_1\) и \(f_2(x)=k_2x+n_2\) са успоредни, когато \(k_1=k_2\) и \(n_1\neq n_2\). Съвпадат, когато \(k_1=k_2\) и \(n_1=n_2\).

Пример 5: Успоредни прави — \(f_1(x)=2x-3\) (червена) и \(f_2(x)=2x+5\) (синя)

Перпендикулярност: Графиките са перпендикулярни, когато \(k_1\cdot k_2=-1\).

Пример 6: Перпендикулярни прави — \(f_1(x)=\frac{1}{2}x-1\) (червена) и \(f_2(x)=-2x+3\) (синя), тъй като \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\)

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Проверете кои от точките \(A(-5;-4)\), \(B(-3;-5)\), \(C(-1{,}5;-4)\), \(D(0;-3)\) и \(E\!\left(1;\frac{2}{3}\right)\) лежат на графиката на функцията \(f(x)=\dfrac{2}{3}x-3\).

▼

Решение Заместваме координатите на всяка точка (\(y=f(x)\)) и проверяваме дали равенството е вярно.

\(A(-5;\,-4)\): \(f(-5)=\frac{2}{3}\cdot(-5)-3=-\frac{10}{3}-3=-\frac{19}{3}\neq -4\). Точката не е от графиката.
\(B(-3;\,-5)\): \(f(-3)=\frac{2}{3}\cdot(-3)-3=-2-3=-5=\mathbf{-5}\). Точката е от графиката. ✓
\(C(-1{,}5;\,-4)\): \(f(-1{,}5)=\frac{2}{3}\cdot(-\frac{3}{2})-3=-1-3=-4=\mathbf{-4}\). Точката е от графиката. ✓
\(D(0;\,-3)\): \(f(0)=\frac{2}{3}\cdot0-3=-3=\mathbf{-3}\). Точката е от графиката. ✓
\(E\!\left(1;\frac{2}{3}\right)\): \(f(1)=\frac{2}{3}\cdot1-3=\frac{2}{3}-3=-\frac{7}{3}\neq\frac{2}{3}\). Точката не е от графиката.

Отговор: От графиката са точките \(B\), \(C\) и \(D\).

2

Определете дали графиките са успоредни, съвпадащи или нито едно от двете:
а) \(3x-4y=12\) и \(9x-12y=72\);  б) \(15x+12y=36\) и \(5x+4y=12\).

▼

Решение а) Записваме в стандартен вид: \[3x-4y=12\implies y=\frac{3}{4}x-3;\quad 9x-12y=72\implies y=\frac{3}{4}x-6.\] Ъгловите коефициенти са равни (\(\frac{3}{4}\)), свободните членове са различни (\(-3\neq -6\)) → успоредни.

б) Делим \(15x+12y=36\) на \(3\): \(5x+4y=12\), т.е. двете уравнения са едно и също. \[5x+4y=12\implies y=-\frac{5}{4}x+3;\quad 5x+4y=12\implies y=-\frac{5}{4}x+3.\] Ъгловите коефициенти и свободните членове са равни → съвпадащи.

3

Намерете функция, графиката на която минава през точката \(A(4;\,-7)\) и е успоредна с графиката на \(f(x)=\dfrac{2}{5}x+\dfrac{8}{5}\).

▼

Решение За успоредност: \(k=\dfrac{2}{5}\) и \(n\neq\dfrac{8}{5}\). Търсената функция: \(f(x)=\dfrac{2}{5}x+n\).
Заместваме \(A(4;\,-7)\): \[-7=\frac{2}{5}\cdot4+n \implies -7=\frac{8}{5}+n \implies n=-7-\frac{8}{5}=-\frac{43}{5}.\] Отговор: \(f(x)=\dfrac{2}{5}x-\dfrac{43}{5}\).

4

Намерете функция, графиката на която минава през точката \(A(-6;\,-1)\) и е перпендикулярна на графиката на \(f(x)=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{7}{3}\).

▼

Решение За перпендикулярност: \(k\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-1 \implies k=\dfrac{3}{4}\). Търсената функция: \(f(x)=\dfrac{3}{4}x+n\).
Заместваме \(A(-6;\,-1)\): \[-1=\frac{3}{4}\cdot(-6)+n \implies -1=-\frac{9}{2}+n \implies n=-1+\frac{9}{2}=\frac{7}{2}.\] Отговор: \(f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{7}{2}\).

5

Намерете линейна функция, графиката на която минава през точките \(A(3;\,-4)\) и \(B(-7;\,2)\).

▼

Решение Системата от точките: \[-4=3k+n \quad\text{и}\quad 2=-7k+n.\] От първото: \(n=-4-3k\). Заместваме в второто: \[2=-7k+(-4-3k)=-10k-4 \implies 10k=-6 \implies k=-\frac{3}{5}.\] \[n=-4-3\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-4+\frac{9}{5}=-\frac{11}{5}.\] Отговор: \(f(x)=-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{11}{5}\).

6

Намерете линейна функция, за която \(f(0)=5\) и \(f(10)=12\).

▼

Решение Графиката минава през \(A(0;\,5)\) и \(B(10;\,12)\). Заместваме \(A\): \[5=k\cdot0+n \implies n=5.\] Заместваме \(B\) с вече намереното \(n=5\): \[12=10k+5 \implies k=\frac{7}{10}.\] Отговор: \(f(x)=\dfrac{7}{10}x+5\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Начертайте графиките на функциите:
а) \(f(x)=\tfrac{1}{2}x+3\);  б) \(f(x)=2x-1\);  в) \(f(x)=-\tfrac{1}{3}x+3\);  г) \(f(x)=-4x-1\).

Задача 2Определете дали двойките функции са успоредни, перпендикулярни, съвпадащи или нито едно:
а) \(y=5x-5\) и \(y=-5x+2\);  б) \(y=-6x-2\) и \(y=\tfrac{1}{6}x-8\);
в) \(y=x-6\) и \(y=x+8\);  г) \(y=2x-8\) и \(4x-2y-16=0\).

Задача 3Намерете функция, графиката на която минава през \(A(5;9)\) и е успоредна с \(y=5x-9\).

Задача 4Намерете функция, графиката на която минава през \(A(-10;-5)\) и е перпендикулярна на \(6x-5y=24\).

Задача 5Намерете линейна функция, графиката на която минава през \(A(5;-3)\) и е успоредна на:
а) \(y=3x-5\);  б) \(y=-\tfrac{2}{7}x+\tfrac{4}{7}\).

Задача 6Намерете линейна функция, графиката на която минава през точките \(A(2;4)\) и \(B(-1;-5)\).

Задача 7Намерете линейна функция, графиката на която минава през точките \(A(0;4)\) и \(B(3;4)\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Линейна функция

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Линейна функция е функция от вида:

\(f(x)=kx^2+n\) \(f(x)=kx+n\) \(f(x)=\dfrac{k}{x}+n\)

2Коефициентът \(n\) в \(f(x)=kx+n\) определя:

Наклона на правата спрямо оста \(O_x\) Пресечната точка на правата с оста \(O_y\) Пресечната точка с оста \(O_x\)

3В Задача 1: от графиката на \(f(x)=\frac{2}{3}x-3\) са точките:

Само \(D\) \(B\), \(C\) и \(D\) Само \(A\) и \(D\)

4В Задача 1: \(f(-1{,}5)\) е равно на:

\(-2\) \(-4\) \(-3\)

5Две прави са успоредни, когато:

\(k_1\cdot k_2=-1\) \(k_1=k_2\) и \(n_1\neq n_2\) \(k_1=k_2\) и \(n_1=n_2\)

6Две прави са перпендикулярни, когато:

\(k_1=k_2\) \(k_1\cdot k_2=-1\) \(k_1+k_2=0\)

7В Задача 2а: правите \(3x-4y=12\) и \(9x-12y=72\) са:

Съвпадащи Успоредни Перпендикулярни

8В Задача 2б: правите \(15x+12y=36\) и \(5x+4y=12\) са:

Успоредни Съвпадащи Перпендикулярни

9В Задача 3: \(n\) на търсената функция е:

\(-\dfrac{8}{5}\) \(-\dfrac{43}{5}\) \(-7\)

10В Задача 4: ъгловият коефициент \(k\) на перпендикулярната функция е:

\(-\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{4}{3}\)

11В Задача 4: \(n\) е равно на:

\(3\) \(\dfrac{7}{2}\) \(-\dfrac{7}{2}\)

12В Задача 5: ъгловият коефициент е:

\(\dfrac{3}{5}\) \(-\dfrac{3}{5}\) \(-\dfrac{5}{3}\)

13В Задача 5: функцията е:

\(y=-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{11}{5}\) \(y=-\dfrac{3}{5}x-\dfrac{11}{5}\) \(y=\dfrac{3}{5}x-\dfrac{11}{5}\)

14В Задача 6: \(n\) е равно на:

\(0\) \(5\) \(-5\)

15В Задача 6: функцията \(f(x)\) е:

\(\dfrac{7}{5}x+5\) \(\dfrac{7}{10}x+5\) \(\dfrac{1}{2}x+5\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по линейна функция:

Видео урок — Линейна функция. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆