Функция, дефиниционно множество на функция. Начини на задаване на функции 9 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 9 клас › Алгебра › Функции
Функции
Определения, дефиниционна област и задачи
6 определения, 4 начина на задаване, дефиниционна област при дроби и корени, функционални стойности — 4 разработени задачи и 5 задачи за самостоятелна работа
От понятието за числова функция и графиката й до намиране на дефиниционна област при дроби и квадратни корени и пресмятане на функционални стойности
Теория
Понятието функция е едно от най-фундаменталните в цялата математика. С помощта на функциите можем да моделираме ситуации от реалния живот.
Нека разгледаме добре познатата формула \(S=V\cdot t\), където \(S\) е изминатият път, \(V\) е скоростта, а \(t\) е времето. Пътят \(S\) е функция на две променливи \(V\) и \(t\). Нека разгледаме и правоъгълник със страни \(a\) и \(b\) — периметърът \(P=2a+2b\) е функция на \(a\) и \(b\).
Определение 1: Ако на всяко число \(x\) от едно числово множество по определено правило (закон) съпоставим единствено число \(y\), казваме, че е зададена числова функция. Числото \(x\) е аргумент (независима променлива), а \(y\) е зависима променлива. Записваме \(y=f(x)\).
Множеството от стойности на \(x\) е дефиниционната област (\(D\) или ДО), а множеството от стойностите на функцията е множеството от функционалните стойности.
Множеството от стойности на \(x\) е дефиниционната област (\(D\) или ДО), а множеството от стойностите на функцията е множеството от функционалните стойности.
Определение 2: Множеството от всички точки \((x;\,f(x))\) за \(x\in D\) се нарича графика на функцията \(y=f(x)\).
Функция може да бъде зададена по четири начина:
1) Графично — чрез нейната графика:
2) Аналитично — чрез формула, например \(y=f(x)=2x-1\).
3) Таблично — чрез таблица:
3) Таблично — чрез таблица:
4) Описателно — чрез думи, например: „\(n\)-тата стойност на аргумента е \(n\)-тото просто число".
Определение 3: Функцията \(f(x)\) е монотонно растяща (ненамаляваща), ако за всеки \(x_1,x_2\in D\) с \(x_1\leq x_2\) е изпълнено \(f(x_1)\leq f(x_2)\).
Определение 4: Функцията \(f(x)\) е монотонно намаляваща (нерастяща), ако за всеки \(x_1,x_2\in D\) с \(x_1\leq x_2\) е изпълнено \(f(x_1)\geq f(x_2)\).
Определение 5: Функцията \(f(x)\) е строго растяща, ако за всеки \(x_1,x_2\in D\) с \(x_1
Определение 6: Функцията \(f(x)\) е строго намаляваща, ако за всеки \(x_1,x_2\in D\) с \(x_1f(x_2)\).
Правила за намиране на дефиниционна област:
• При дроб \(\dfrac{A}{B}\): \(B\neq 0\).
• При квадратен корен \(\sqrt{A}\): \(A\geq 0\).
• При \(\dfrac{A}{\sqrt{B}}\): \(B>0\) (нулата е изключена, тъй като \(\sqrt{B}\neq 0\)).
• При дроб \(\dfrac{A}{B}\): \(B\neq 0\).
• При квадратен корен \(\sqrt{A}\): \(A\geq 0\).
• При \(\dfrac{A}{\sqrt{B}}\): \(B>0\) (нулата е изключена, тъй като \(\sqrt{B}\neq 0\)).
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Намерете дефиниционната област на следните функции:
а) \(f(x)=\dfrac{3}{4x-5}\); б) \(f(x)=\dfrac{2x-1}{7x^2+5}\); в) \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^3-64}+\dfrac{3-5x}{x^2-9}\); г) \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}+\dfrac{1}{x^2-3}\).
а) \(f(x)=\dfrac{3}{4x-5}\); б) \(f(x)=\dfrac{2x-1}{7x^2+5}\); в) \(f(x)=\dfrac{3x^2}{x^3-64}+\dfrac{3-5x}{x^2-9}\); г) \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}+\dfrac{1}{x^2-3}\).
▼
Решение
а) Знаменателят \(4x-5\neq 0\implies x\neq\dfrac{5}{4}\).
\[\text{ДО: }x\in\left(-\infty;\frac{5}{4}\right)\cup\left(\frac{5}{4};+\infty\right).\]
б) Знаменателят \(7x^2+5\). Тъй като \(x^2\geq 0\), имаме \(7x^2+5\geq 5>0\) за всяко \(x\) — никога не е нула.
\[\text{ДО: }x\in(-\infty;+\infty).\]
в) Нужно е \(x^3-64\neq 0\) и \(x^2-9\neq 0\):
\[x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16)\neq 0 \implies x\neq 4 \text{ (тричленът }x^2+4x+16>0\text{)}.\]
\[x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0 \implies x\neq 3,\; x\neq -3.\]
\[\text{ДО: }x\in(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,4)\cup(4,+\infty).\]
г) Нужно е \(x-2\neq 0\) и \(x^2-3\neq 0\):
\[x\neq 2;\quad x^2-(\sqrt{3})^2=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\neq 0\implies x\neq\pm\sqrt{3}.\]
\[\text{ДО: }x\in(-\infty,-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3},\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},2)\cup(2,+\infty).\]
2
Намерете дефиниционната област на следните функции:
а) \(f(x)=\sqrt{x-5}\); б) \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}\); в) \(f(x)=\dfrac{11}{x-3}+\sqrt{4x+5}\).
а) \(f(x)=\sqrt{x-5}\); б) \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}}\); в) \(f(x)=\dfrac{11}{x-3}+\sqrt{4x+5}\).
▼
Решение
а) Подкоренната величина \(x-5\geq 0\implies x\geq 5\).
\[\text{ДО: }x\in[5,+\infty).\]
б) Тъй като е дроб с корен в знаменателя: \(\sqrt{2x-3}\neq 0\) и \(2x-3\geq 0\). Обединявайки: \(2x-3>0\implies x>\dfrac{3}{2}\).
\[\text{ДО: }x\in\left(\frac{3}{2};+\infty\right).\]
в) Нужно е \(x-3\neq 0\) и \(4x+5\geq 0\):
\[x\neq 3;\quad x\geq -\frac{5}{4}.\]
Комбинираме: взимаме \(x\geq -\dfrac{5}{4}\) и изключваме \(x=3\).
\[\text{ДО: }x\in\left[-\frac{5}{4};\,3\right)\cup(3;+\infty).\]
3
Дадена е функцията \(f(x)=4x^2+\dfrac{2}{3x}\), \(x\neq 0\). Пресметнете:
а) \(f(1)+f(-1)\); б) \(\dfrac{f(2)}{f(1)}\); в) \(f(x+1)\).
а) \(f(1)+f(-1)\); б) \(\dfrac{f(2)}{f(1)}\); в) \(f(x+1)\).
▼
Решение
а)
\[f(1)=4\cdot1^2+\frac{2}{3\cdot1}=4+\frac{2}{3}=\frac{14}{3};\quad f(-1)=4\cdot(-1)^2+\frac{2}{3\cdot(-1)}=4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}.\]
\[f(1)+f(-1)=\frac{14}{3}+\frac{10}{3}=\frac{24}{3}=8.\]
б)
\[f(2)=4\cdot4+\frac{2}{6}=16+\frac{1}{3}=\frac{49}{3};\quad \frac{f(2)}{f(1)}=\frac{\tfrac{49}{3}}{\tfrac{14}{3}}=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}.\]
в) Заместваме \(x\) с \(x+1\):
\[f(x+1)=4(x+1)^2+\frac{2}{3(x+1)}.\]
4
Напишете лицето на окръжност \(S\) като функция на нейната дължина \(C\).
▼
Решение
Познатите формули: \(S=\pi r^2\) и \(C=2\pi r\). От дължината изразяваме радиуса: \(r=\dfrac{C}{2\pi}\). Заместваме в \(S\):
\[S=\pi\cdot\left(\frac{C}{2\pi}\right)^2=\pi\cdot\frac{C^2}{4\pi^2}=\frac{C^2}{4\pi}.\]
Тъй като \(\pi\) е константа, \(S\) зависи само от \(C\):
\[S(C)=\frac{1}{4\pi}\cdot C^2.\]
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Намерете дефиниционната област на:
а) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+15}\); б) \(f(x)=\dfrac{2x-3}{1-4x^2}\); в) \(f(x)=\dfrac{3x}{(x^3-64)(x-1)}\); г) \(f(x)=\dfrac{5}{x^2+4}+\dfrac{11x-9}{x^3-3x}\).
а) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+15}\); б) \(f(x)=\dfrac{2x-3}{1-4x^2}\); в) \(f(x)=\dfrac{3x}{(x^3-64)(x-1)}\); г) \(f(x)=\dfrac{5}{x^2+4}+\dfrac{11x-9}{x^3-3x}\).
Задача 2Намерете дефиниционната област на:
а) \(f(x)=\sqrt{3x-1}\); б) \(f(x)=\dfrac{2x-3}{\sqrt{3x+4}}\); в) \(f(x)=\sqrt{7x-2}+\dfrac{1}{3x-11}\).
а) \(f(x)=\sqrt{3x-1}\); б) \(f(x)=\dfrac{2x-3}{\sqrt{3x+4}}\); в) \(f(x)=\sqrt{7x-2}+\dfrac{1}{3x-11}\).
Задача 3Дадена е \(f(x)=\dfrac{x^3+2x^2-3x+1}{4}\). Намерете: \(f(1)\); \(f(0)\); \(f(1)+f(2)\); \(\dfrac{f(3)}{f(2)}\); \(f(x+1)+1\).
Задача 4Дадена е \(f(x)=\sqrt{x+8}+2\). Намерете: \(f(-8)\); \(f(1)\) и \(f(x-8)\).
Задача 5Запишете лицето на равностранен триъгълник като функция от дължината \(m\) на неговите страни.
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Функции — определения и дефиниционна област
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Коментари
Публикуване на коментар