Моделиране с квадратни уравнения 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 8 клас › Алгебра › Текстови задачи с квадратни уравнения

Текстови задачи
с квадратни уравнения

Математически модел, допустими стойности, 5 разработени задачи и 7 задачи за самостоятелна работа

8 клас Текстови задачи Квадратно уравнение Математически модел 5 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Съставяне на квадратно уравнение по условие на текстова задача и определяне на допустимите решения

Метод

Стъпки за решаване на текстова задача чрез квадратно уравнение:
1) Означаваме търсената величина с буква (най-често \(x\), \(y\) и т.н.).
2) Съставяме квадратно уравнение, като взимаме предвид условията на задачата.
3) Решаваме уравнението.
4) Определяме кои от намерените корени отговарят на допустимите стойности на задачата (например: \(x\in\mathbb{N}\), \(x>0\), \(0 5) Записваме отговора.

Допустими стойности са стойностите, които неизвестното може да приема според спецификата на задачата. Корени на уравнението, които не отговарят на допустимите стойности, се изключват.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Едно сако струва \(50\) лв. Два пъти намалявали цената му, като второто намаление било с два пъти по-голям процент от първото. След двете намаления сакото струвало \(36\) лв. С колко процента е било всяко от двете намаления?

▼

Решение Нека първото намаление е с \(x\%\). Новата цена след първото намаление: \(50-\dfrac{x}{100}\cdot50=50-\dfrac{x}{2}\).
Второто намаление е с \(2x\%\), прилагаме го върху новата цена: \[50-\frac{x}{2}-\frac{2x}{100}\!\left(50-\frac{x}{2}\right)=36.\] Опростяваме: \[50-\frac{x}{2}-x+\frac{x^2}{100}=36 \iff 5000-50x-100x+x^2=3600 \iff x^2-150x+1400=0.\] Корени: \(x_1=140\) и \(x_2=10\). Тъй като намалението не може да е \(140\%\), следва \(x=10\).
Отговор: Първото намаление е с \(10\%\), второто с \(20\%\).

2

Произведението на две последователни естествени числа е с \(209\) по-голямо от техния сбор. Намерете числата.

▼

Решение Нека търсените числа са \(n\) и \(n+1\) (\(n\in\mathbb{N}\)). От условието: \[n(n+1)-209=n+(n+1) \iff n^2+n-209=2n+1 \iff n^2-n-210=0.\] Корени: \(n_1=15\) и \(n_2=-14\). Тъй като \(n\in\mathbb{N}\), следва \(n=15\).
Отговор: Числата са \(15\) и \(16\).

3

Отношението на дължините на катетите на правоъгълен триъгълник е \(2:3\). Хипотенузата му е \(3\) cm. Намерете лицето на триъгълника.

▼

Решение Нека \(a=2x\) и \(b=3x\). По Питагоровата теорема: \[(2x)^2+(3x)^2=3^2 \iff 4x^2+9x^2=9 \iff 13x^2=9 \iff x^2=\frac{9}{13}.\] Тъй като \(x>0\): \(x=\dfrac{3}{\sqrt{13}}\). Следователно \(a=\dfrac{6}{\sqrt{13}}\) и \(b=\dfrac{9}{\sqrt{13}}\). \[S=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{\dfrac{6}{\sqrt{13}}\cdot\dfrac{9}{\sqrt{13}}}{2}=\frac{54}{26}=\frac{27}{13}=2\frac{1}{13}\ \text{cm}^2.\]

4

Лора има с \(9\) диска повече от тези на Ани. Ако от утроеното произведение на броя на дисковете на двете момичета се извадят дисковете на Ани, се получава числото \(105\). Намерете по колко диска има всяко от момичетата.

▼

Решение Нека дисковете на Лора са \(x\), а тези на Ани са \(y=x-9\). От условието: \[3x\cdot y-(x-9)=105 \iff 3x(x-9)-(x-9)=105 \iff 3x^2-27x-x+9=105.\] \[3x^2-28x-96=0.\] Корени: \(x_1=-\dfrac{8}{3}\) и \(x_2=12\). Тъй като броят на дисковете е естествено число, следва \(x=12\).
Отговор: Лора има \(12\) диска, а Ани има \(12-9=3\) диска.

5

Към произведението на две последователни естествени числа прибавих квадрата на по-голямото и получих \(66\). Намерете числата.

▼

Решение Нека \(n\in\mathbb{N}\). Двете последователни числа са \(n\) и \(n+1\). От условието: \[n(n+1)+(n+1)^2=66 \iff n^2+n+n^2+2n+1=66 \iff 2n^2+3n-65=0.\] \[D=9+520=529,\quad \sqrt{D}=23.\] \[n_{1,2}=\frac{-3\pm 23}{4} \implies n_1=5\in\mathbb{N},\quad n_2=-\frac{13}{2}\notin\mathbb{N}.\] Отговор: Търсените числа са \(5\) и \(6\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Сборът от квадратите на две последователни естествени нечетни числа е \(130\). Намерете числата.

Задача 2Произведението на две последователни естествени четни числа е \(168\). Намерете числата.

Задача 3Обиколката и лицето на квадрат се изразяват с едно и също число. Кое е това число?

Задача 4Намерете двуцифрено число, за което цифрата на десетиците му е с \(5\) по-голяма от квадрата на единиците му, а сборът на двете цифри е \(11\).

Задача 5Дадени са прави, всеки две от които се пресичат и никои три не минават през една точка. Ако е известно, че пресечните им точки са \(1275\), да се намери броят на правите.

Задача 6Към произведението на две последователни цели числа прибавих квадрата на по-голямото и получих \(78\). Намерете числата.

Задача 7Към произведението на две последователни естествени числа извадих удвоеният квадрат на по-малкото и получих \(-132\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Текстови задачи с квадратни уравнения

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1При решаване на текстова задача чрез квадратно уравнение, след намиране на корените, ние:

Приемаме и двата корена за отговор Проверяваме кои корени отговарят на допустимите стойности Вземаме само положителния корен

2В Задача 1: уравнението за намаленията на сакото е:

\(x^2-150x-1400=0\) \(x^2-150x+1400=0\) \(x^2+150x+1400=0\)

3В Задача 1: корените са \(x_1=140\) и \(x_2=10\). Защо изключваме \(x_1=140\)?

Защото е отрицателно Защото намаление от \(140\%\) е невъзможно Защото не е естествено число

4В Задача 2: уравнението е:

\(n^2+n-210=0\) \(n^2-n-210=0\) \(n^2-n+210=0\)

5В Задача 2: корените са \(15\) и \(-14\). Отговорът е:

\(-14\) и \(-13\) \(15\) и \(16\) \(14\) и \(15\)

6В Задача 3: уравнението от Питагоровата теорема е:

\(9x^2+4x^2=9\) \(4x^2+9x^2=9\) \(4x^2+9x^2=3\)

7В Задача 3: лицето на триъгълника е:

\(\dfrac{54}{13}\) cm² \(\dfrac{27}{13}\) cm² \(\dfrac{27}{26}\) cm²

8В Задача 4: уравнението е:

\(3x^2-28x+96=0\) \(3x^2-28x-96=0\) \(3x^2+28x-96=0\)

9В Задача 4: Лора и Ани имат съответно:

\(9\) и \(3\) диска \(12\) и \(3\) диска \(12\) и \(9\) диска

10В Задача 5: уравнението е:

\(2n^2+3n+65=0\) \(2n^2+3n-65=0\) \(n^2+3n-65=0\)

11В Задача 5: \(D=529\), следователно \(\sqrt{D}\) е:

\(21\) \(23\) \(25\)

12В Задача 5: двете последователни числа са:

\(4\) и \(5\) \(5\) и \(6\) \(6\) и \(7\)

13Защо в Задача 2 изключваме корена \(-14\)?

Защото е по-малък от 15 Защото \(-14\notin\mathbb{N}\) Защото е четно число

14В Задача 3: защо изключваме \(x=-\frac{3}{\sqrt{13}}\)?

Защото е ирационално число Защото дължините на отсечки са положителни Защото е по-малко от 1

15В Задача 4: защо изключваме \(x_1=-\frac{8}{3}\)?

Защото е твърде малко Защото броят на дисковете трябва да е естествено число Защото е отрицателно

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆