Уравнения от по-висока степен, които се свеждат до квадратни уравнения 8 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 8 клас › Алгебра › Уравнения от по-висока степен
Уравнения от по-висока степен
Полагане и разлагане на множители
Метод на полагането при повтарящ се израз, разлагане чрез групиране — 7 разработени задачи и 4 задачи за самостоятелна работа
Свеждане на уравнения от степен по-голяма от втора до квадратни и линейни чрез полагане на повтарящ се израз или разлагане чрез групиране
Теория
В този урок ще разгледаме приложението на теорията за квадратните уравнения при решаването на уравнения от по-висока степен. Един от най-честите подходи, когато решаваме уравнения от степен по-голяма от втора, е да разложим многочлена, който участва в уравнението, на линейни и/или квадратни множители. Така решаването на даденото уравнение ще се сведе до решаването на линейни и/или квадратни уравнения.
Метод 1 — Полагане на повтарящ се израз:
Ако в уравнението забележим, че неизвестното участва в повтарящ се израз, заменяме го с нова променлива (полагане), за да получим по-просто уравнение. След решаване спрямо новата променлива се връщаме в положеното и намираме решенията на оригиналното уравнение.
Ако в уравнението забележим, че неизвестното участва в повтарящ се израз, заменяме го с нова променлива (полагане), за да получим по-просто уравнение. След решаване спрямо новата променлива се връщаме в положеното и намираме решенията на оригиналното уравнение.
Метод 2 — Разлагане чрез групиране:
Групираме подходящо събираемите на многочлена, изнасяме общи множители и разлагаме на произведение от множители. След това решаваме всеки множител поотделно.
Групираме подходящо събираемите на многочлена, изнасяме общи множители и разлагаме на произведение от множители. След това решаваме всеки множител поотделно.
Важно: При разлагане на произведение е добре предварително да проверим дали някой от квадратните тричлени е неразложим (D<0), за да пропуснем уравнение без реални корени.
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Решете уравнението \((2x-1)^4-25(2x-1)^2+144=0\).
▼
Решение
Забелязваме, че изразът \((2x-1)\) се повтаря. Полагаме \(2x-1=s\) и получаваме биквадратното уравнение \(s^4-25s^2+144=0\). Полагаме \(s^2=t\):
\[t^2-25t+144=0 \implies t_1=16,\quad t_2=9.\]
Връщаме се в положеното: \(s^2=16\) или \(s^2=9\), откъдето \(s_1=4\), \(s_2=-4\), \(s_3=3\), \(s_4=-3\).
Сега се връщаме в положеното за \(s\) и решаваме четири линейни уравнения: \[2x-1=4 \implies x_1=\tfrac{5}{2};\quad 2x-1=-4 \implies x_2=-\tfrac{3}{2};\] \[2x-1=3 \implies x_3=2;\quad 2x-1=-3 \implies x_4=-1.\] Отговор: \(x_1=\dfrac{5}{2}\), \(x_2=-\dfrac{3}{2}\), \(x_3=2\), \(x_4=-1\).
Сега се връщаме в положеното за \(s\) и решаваме четири линейни уравнения: \[2x-1=4 \implies x_1=\tfrac{5}{2};\quad 2x-1=-4 \implies x_2=-\tfrac{3}{2};\] \[2x-1=3 \implies x_3=2;\quad 2x-1=-3 \implies x_4=-1.\] Отговор: \(x_1=\dfrac{5}{2}\), \(x_2=-\dfrac{3}{2}\), \(x_3=2\), \(x_4=-1\).
2
Решете уравнението \((x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3=0\).
▼
Решение
Полагаме \(x^2-2x=t\) и получаваме \(t^2-2t-3=0\), откъдето \(t_1=3\) и \(t_2=-1\).
Връщаме се в положеното:
• \(x^2-2x=3 \implies x^2-2x-3=0 \implies (x-3)(x+1)=0 \implies x_1=3,\; x_2=-1\).
• \(x^2-2x=-1 \implies x^2-2x+1=0 \implies (x-1)^2=0 \implies x_{3,4}=1\) (двоен корен).
Отговор: \(x_1=3\), \(x_2=-1\), \(x_{3,4}=1\).
Връщаме се в положеното:
• \(x^2-2x=3 \implies x^2-2x-3=0 \implies (x-3)(x+1)=0 \implies x_1=3,\; x_2=-1\).
• \(x^2-2x=-1 \implies x^2-2x+1=0 \implies (x-1)^2=0 \implies x_{3,4}=1\) (двоен корен).
Отговор: \(x_1=3\), \(x_2=-1\), \(x_{3,4}=1\).
3
Решете уравнението \(2x^4+x^3+4x^2+x+2=0\).
▼
Решение
Записваме уравнението като \(2x^4+4x^2+2+x^3+x=0\). Изнасяме общ множител:
\[2(x^4+2x^2+1)+x(x^2+1)=0 \implies 2(x^2+1)^2+x(x^2+1)=0 \implies (x^2+1)(2x^2+x+2)=0.\]
И двете уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+x+2=0\) нямат реални корени (дискриминантите са отрицателни).
Отговор: Уравнението няма реални корени.
Отговор: Уравнението няма реални корени.
4
Решете уравнението \(12(x^2+3)-12(x^2+2)=(x^2+2)(x^2+3)\).
▼
Решение
Записваме: \(12(x^2+2+1)-12(x^2+2)=(x^2+2)(x^2+2+1)\). Полагаме \(x^2+2=t\):
\[12(t+1)-12t=t(t+1) \implies 12t+12-12t=t^2+t \implies t^2+t-12=0 \implies t_1=3,\quad t_2=-4.\]
Връщаме се:
• \(x^2+2=3 \implies x^2=1 \implies x_{1,2}=\pm 1\).
• \(x^2+2=-4 \implies x^2=-6\) — няма реални корени.
Отговор: \(x_1=1\), \(x_2=-1\).
• \(x^2+2=3 \implies x^2=1 \implies x_{1,2}=\pm 1\).
• \(x^2+2=-4 \implies x^2=-6\) — няма реални корени.
Отговор: \(x_1=1\), \(x_2=-1\).
5
Решете уравнението \((x^2+x-2)^2-4x^2-4x+8=0\).
▼
Решение
Записваме: \((x^2+x-2)^2-4(x^2+x-2)=0\). Полагаме \(x^2+x-2=t\):
\[t^2-4t=0 \implies t(t-4)=0 \implies t_1=0,\quad t_2=4.\]
Връщаме се:
• \(x^2+x-2=0 \implies (x-1)(x+2)=0 \implies x_1=1,\; x_2=-2\).
• \(x^2+x-6=0 \implies (x-2)(x+3)=0 \implies x_3=2,\; x_4=-3\).
Отговор: \(x_1=1\), \(x_2=-2\), \(x_3=2\), \(x_4=-3\).
• \(x^2+x-2=0 \implies (x-1)(x+2)=0 \implies x_1=1,\; x_2=-2\).
• \(x^2+x-6=0 \implies (x-2)(x+3)=0 \implies x_3=2,\; x_4=-3\).
Отговор: \(x_1=1\), \(x_2=-2\), \(x_3=2\), \(x_4=-3\).
6
Решете уравнението \(y^6-7y^3-8=0\).
▼
Решение
Записваме \((y^3)^2-7y^3-8=0\). Полагаме \(y^3=t\):
\[t^2-7t-8=0 \implies t_1=8,\quad t_2=-1.\]
Връщаме се:
• \(y^3=8 \implies y^3-2^3=0 \implies (y-2)(y^2+2y+4)=0 \implies y_1=2\) (тричленът \(y^2+2y+4\) е неразложим, \(D<0\)).
• \(y^3=-1 \implies y^3+1=0 \implies (y+1)(y^2-y+1)=0 \implies y_2=-1\) (тричленът \(y^2-y+1\) е неразложим, \(D<0\)).
Отговор: \(y_1=2\), \(y_2=-1\).
• \(y^3=8 \implies y^3-2^3=0 \implies (y-2)(y^2+2y+4)=0 \implies y_1=2\) (тричленът \(y^2+2y+4\) е неразложим, \(D<0\)).
• \(y^3=-1 \implies y^3+1=0 \implies (y+1)(y^2-y+1)=0 \implies y_2=-1\) (тричленът \(y^2-y+1\) е неразложим, \(D<0\)).
Отговор: \(y_1=2\), \(y_2=-1\).
7
Решете уравнението \(x^4+6x^3-8x=48\).
▼
Решение
Записваме \(x^4+6x^3-8x-48=0\). Разлагаме чрез групиране:
\[x^3(x+6)-8(x+6)=0 \implies (x^3-8)(x+6)=0.\]
Прилагаме формулата за разлика на кубове:
\[(x-2)(x^2+2x+4)(x+6)=0.\]
Квадратният тричлен \(x^2+2x+4\) е неразложим (\(D=4-16=-12<0\)). Следователно:
\[(x-2)(x+6)=0 \implies x_1=2,\quad x_2=-6.\]
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Решете чрез подходящо полагане уравнението:
а) \((x^2-x)^2+2(x^2-x)-8=0\); б) \((x^2-2x)(x^2-2x-3)=4\);
в) \((2y+3)^4-20(2y+3)^2+64=0\); г) \((x-\sqrt{3})^4-30(x-\sqrt{3})^2+216=0\).
а) \((x^2-x)^2+2(x^2-x)-8=0\); б) \((x^2-2x)(x^2-2x-3)=4\);
в) \((2y+3)^4-20(2y+3)^2+64=0\); г) \((x-\sqrt{3})^4-30(x-\sqrt{3})^2+216=0\).
Задача 2Решете уравнението \((z^2-16z)^2-2(z^2-16z)-63=0\).
Задача 3Решете уравнението \(y^4+y^3+2y+2+3y^2=0\).
Задача 4Решете уравнението \(x^8-8x^4-128=0\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Уравнения от по-висока степен
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео урок
Още обяснени и решени задачи по уравнения от по-висока степен:
Видео урок — Уравнения от по-висока степен. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар