Биквадратни уравнения 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 8 клас › Алгебра › Биквадратни уравнения

Биквадратни уравнения
Решени задачи и тест

Определение, метод на полагането \(x^2=t\), 6 разработени задачи и 3 задачи за самостоятелна работа

8 клас Биквадратно уравнение Полагане \(x^2=t\) 6 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Свеждане на биквадратното уравнение до квадратно чрез полагане \(x^2=t\), приложение при разлагане на тричлени и задачи с параметър

Теория

Определение 1: Уравнение от вида \(ax^4+bx^2+c=0\), където \(a\neq 0\), се нарича биквадратно уравнение. Тук \(a\), \(b\) и \(c\) са реални числа (коефициенти), а \(x\) е неизвестното.

Метод за решаване — полагане \(x^2=t\):
Записваме уравнението като \(a(x^2)^2+bx^2+c=0\) и полагаме \(x^2=t\) (\(t\geq 0\)). Получаваме квадратното уравнение \(at^2+bt+c=0\), намираме корените \(t_1\) и \(t_2\) (ако съществуват), след което:
• ако \(t_i>0\) → \(x^2=t_i\) дава \(x=\pm\sqrt{t_i}\);
• ако \(t_i=0\) → \(x=0\) (двоен корен);
• ако \(t_i<0\) → \(x^2=t_i\) няма реални корени.

Приложение при разлагане на тричлени: Тричленът \(ax^4+bx^2+c\) може да се разложи на множители чрез полагане \(x^2=t\), разлагане на \(at^2+bt+c\) и връщане в положеното.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Решете биквадратното уравнение \(x^4-x^2-6=0\).

▼

Решение Полагаме \(x^2=t\) и получаваме \(t^2-t-6=0\). \[D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25,\quad t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2} \implies t_1=3,\quad t_2=-2.\] Връщаме се в положеното:
• \(x^2=3 \implies x^2-(\sqrt{3})^2=0 \implies (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0 \implies x_1=\sqrt{3},\; x_2=-\sqrt{3}\).
• \(x^2=-2\) — няма реални корени.
Отговор: \(x_1=\sqrt{3}\), \(x_2=-\sqrt{3}\).

2

Решете биквадратното уравнение \(x^4+3x^2+2=0\).

▼

Решение Полагаме \(x^2=t\) и получаваме \(t^2+3t+2=0\). \[D=3^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1,\quad t_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{2} \implies t_1=-1,\quad t_2=-2.\] И двете стойности \(t_1=-1<0\) и \(t_2=-2<0\) дават уравнения \(x^2=-1\) и \(x^2=-2\), които нямат реални корени.
Отговор: Уравнението няма реални корени.

3

Решете уравнението \(x^4-5x^2+20+2x^2(x^2-9)=-5(x^2+9)\).

▼

Решение Разкриваме скобите и събираме подобни: \[x^4-5x^2+20+2x^4-18x^2=-5x^2-45\] \[3x^4-18x^2+65=0.\] Полагаме \(x^2=t\): \(3t^2-18t+65=0\). \[D=(-18)^2-4\cdot3\cdot65=324-780=-456<0.\] Отговор: Уравнението няма реални корени.

4

Разложете на множители тричлена \(x^4-17x^2+52\).

▼

Решение Полагаме \(x^2=t\): тричленът приема вида \(t^2-17t+52\). Намираме корените: \[D=(-17)^2-4\cdot1\cdot52=289-208=81,\quad t_{1,2}=\frac{17\pm 9}{2} \implies t_1=13,\quad t_2=4.\] Следователно \(t^2-17t+52=(t-13)(t-4)\). Заместваме \(t=x^2\): \[x^4-17x^2+52=(x^2-13)(x^2-4).\] Прилагаме формулата за сбор по разлика на двата двучлена: \[(x^2-13)(x^2-4)=(x-\sqrt{13})(x+\sqrt{13})(x-2)(x+2).\]

5

За кои стойности на реалния параметър \(s\) уравнението \(x^4+sx^2+9=0\) има за корен числото \(1\)? След като намерите параметъра \(s\) намерете и останалите корени.

▼

Решение Заместваме \(x=1\): \[1^4+s\cdot1^2+9=0 \implies 1+s+9=0 \implies s=-10.\] Уравнението е \(x^4-10x^2+9=0\). Полагаме \(x^2=t\): \(t^2-10t+9=0\). \[t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2} \implies t_1=9,\quad t_2=1.\] Връщаме се: \(x^2=9 \implies x_1=3,\; x_2=-3\); \(\quad x^2=1 \implies x_3=1,\; x_4=-1\).
Отговор: \(s=-10\); корени: \(x_1=3\), \(x_2=-3\), \(x_3=1\), \(x_4=-1\).

6

Дадено е уравнението \(x^4-2(k+2)x^2+4k+4=0\), където \(k\) е реален параметър. Намерете онези стойности на \(k\), за които уравнението има четири различни реални корена.

▼

Решение Уравнението ще има четири различни реални корена, когато полученото след полагането \(x^2=t\) квадратно уравнение има два различни и положителни корена.

Полагаме \(x^2=t\): \(t^2-2(k+2)t+4k+4=0\). \[D=[-2(k+2)]^2-4(4k+4)=4(k^2+4k+4)-16k-16=4k^2+16k+16-16k-16=4k^2.\] \(D>0 \iff 4k^2>0 \iff k\neq 0\), т.е. \(k\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\).

Намираме корените: \[t_{1,2}=\frac{2(k+2)\pm 2k}{2}=k+2\pm k \implies t_1=2,\quad t_2=2k+2.\] Необходимо е \(t_2>0\): \(2k+2>0 \iff k>-1\).

Окончателен отговор: Уравнението има четири различни реални корена при \(k\in(-1,0)\cup(0,+\infty)\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Решете уравнението:
а) \(x^4-13x^2+36=0\);  б) \(x^4-50x^2+49=0\);  в) \(4x^4-65x^2+16=0\);  г) \(x^4+5x^2+6=0\).

Задача 2Да се опрости дробта \(\dfrac{x^4-(a^2+12)x^2+12a^2}{x^4+(11-a^2)x^2-11a^2}\), \(x\neq\pm a\).

Задача 3Да се намерят всички стойности на реалния параметър \(p\), за които уравнението \(x^4+px^2+p-1=0\) има два различни реални корена.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Биквадратни уравнения

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Биквадратно уравнение е уравнение от вида:

\(ax^2+bx+c=0\) \(ax^4+bx^2+c=0\) \(ax^3+bx+c=0\)

2При полагане \(x^2=t\) биквадратното уравнение се превръща в:

Линейно уравнение Квадратно уравнение относно \(t\) Биквадратно уравнение относно \(t\)

3Ако след полагане получим \(t_i<0\), тогава уравнението \(x^2=t_i\):

Има един корен \(x=0\) Няма реални корени Има два корена \(x=\pm\sqrt{|t_i|}\)

4В Задача 1: \(D\) на \(t^2-t-6=0\) е:

\(1\) \(25\) \(-24\)

5В Задача 1: корените на биквадратното уравнение са:

\(x=\pm\sqrt{2}\) \(x=\pm\sqrt{3}\) \(x=\pm 3\)

6В Задача 2 (\(x^4+3x^2+2=0\)) уравнението:

Има два корена Няма реални корени Има четири корена

7В Задача 3: след привеждане уравнението е:

\(3x^4-18x^2-65=0\) \(3x^4-18x^2+65=0\) \(x^4-18x^2+65=0\)

8В Задача 4: \(x^4-17x^2+52\) се разлага на:

\((x^2-4)(x^2-13)\) \((x-\sqrt{13})(x+\sqrt{13})(x-2)(x+2)\) И двата отговора а) и б) са верни

9В Задача 5: стойността на параметъра \(s\) е:

\(s=-9\) \(s=-10\) \(s=10\)

10В Задача 5: четирите корена са:

\(\pm 9, \pm 1\) \(\pm 3, \pm 1\) \(\pm 3, \pm 9\)

11В Задача 6: \(D=4k^2\). Условието \(D>0\) е изпълнено при:

\(k>0\) \(k\neq 0\) Всяко \(k\)

12В Задача 6: условието \(t_2>0\) (т.е. \(2k+2>0\)) дава:

\(k>1\) \(k>-1\) \(k>-2\)

13В Задача 6: четири различни реални корена има при:

\(k\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)\) \(k\in(-1,0)\cup(0,+\infty)\) \(k\in(-1,+\infty)\)

14При \(t_i=0\) уравнението \(x^2=0\) има:

Два различни корена Двоен корен \(x=0\) Няма реални корени

15Максималният брой реални корени на биквадратно уравнение е:

\(2\) \(4\) \(3\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по биквадратни уравнения:

Видео урок — Биквадратни уравнения. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆