Формули на Виет 8 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 8 клас › Алгебра › Формули на Виет
Формули на Виет
Решени задачи и тест
Теорема и обратна теорема на Виет, следствия за сбор на квадрати и кубове, 7 разработени задачи (вкл. от ДЗИ) и 13 задачи за самостоятелна работа
Връзка между корените и коефициентите на квадратно уравнение, съставяне на уравнение по корените му и изчисляване на симетрични изрази чрез сбора и произведението на корените
Теория
Теорема 1 (Формули на Виет): Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на квадратното уравнение \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)), то:
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a} \qquad\text{и}\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.\]
Важно: Формулите на Виет не гарантират наличието на реални решения — те са верни само когато корените съществуват.
Теорема 2 (Обратна теорема на Виет): Ако за числата \(x_1\) и \(x_2\) са в сила \(x_1+x_2=-p\) и \(x_1\cdot x_2=q\), то \(x_1\) и \(x_2\) са корени на уравнението \(x^2+px+q=0\).
Следствия — полезни изрази чрез сбора и произведението на корените:
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.\]
\[x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr].\]
\[|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{\sqrt{D}}{|a|}.\]
Стратегия за пресмятане на изрази чрез Виет: Изразяваме дадения израз само чрез \(x_1+x_2\) и \(x_1x_2\), заместваме стойностите от формулите на Виет и изчисляваме.
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Проверете дали числата \(-3\) и \(4\) са корени на квадратното уравнение \(x^2+x-12=0\), без да го решавате.
▼
Решение
За даденото уравнение: \(a=1\), \(b=1\), \(c=-12\). По формулите на Виет:
\[-\frac{b}{a}=-1 \quad\text{и}\quad \frac{c}{a}=-12.\]
Проверяваме: \(-3+4=1\neq -1\) — сумата не съвпада. Следователно числата \(-3\) и \(4\) не са корени на даденото уравнение.
2
Съставете квадратно уравнение с корени числата:
а) \(x_1=1\) и \(x_2=-3\); б) \(x_1=9\) и \(x_2=4\); в) \(x_1=-3\) и \(x_2=-5\).
а) \(x_1=1\) и \(x_2=-3\); б) \(x_1=9\) и \(x_2=4\); в) \(x_1=-3\) и \(x_2=-5\).
▼
Решение
По обратната теорема на Виет: \(x^2+px+q=0\), където \(p=-(x_1+x_2)\) и \(q=x_1x_2\).
а) \(x_1+x_2=1-3=-2 \implies p=2\); \(x_1x_2=-3 \implies q=-3\). Уравнение: \(x^2+2x-3=0\).
б) \(x_1+x_2=13 \implies p=-13\); \(x_1x_2=36 \implies q=36\). Уравнение: \(x^2-13x+36=0\).
в) \(x_1+x_2=-8 \implies p=8\); \(x_1x_2=15 \implies q=15\). Уравнение: \(x^2+8x+15=0\).
а) \(x_1+x_2=1-3=-2 \implies p=2\); \(x_1x_2=-3 \implies q=-3\). Уравнение: \(x^2+2x-3=0\).
б) \(x_1+x_2=13 \implies p=-13\); \(x_1x_2=36 \implies q=36\). Уравнение: \(x^2-13x+36=0\).
в) \(x_1+x_2=-8 \implies p=8\); \(x_1x_2=15 \implies q=15\). Уравнение: \(x^2+8x+15=0\).
3
Без да решавате, определете дали уравнението има корени и какви са техните знаци:
а) \(2x^2+7x+3=0\); б) \(3x^2-7x+2=0\); в) \(x^2-37x-17=0\); г) \(2x^2+\sqrt{5}x-3=0\).
а) \(2x^2+7x+3=0\); б) \(3x^2-7x+2=0\); в) \(x^2-37x-17=0\); г) \(2x^2+\sqrt{5}x-3=0\).
▼
Решение
а) \(D=49-24=25>0\) — два реални корена. \(x_1x_2=\dfrac{3}{2}>0\) (еднакви знаци). \(x_1+x_2=-\dfrac{7}{2}<0\) — не може двата да са положителни. Следователно \(x_1<0\) и \(x_2<0\).
б) \(x_1x_2=\dfrac{2}{3}>0\) (еднакви знаци). \(x_1+x_2=\dfrac{7}{3}>0\) — не може двата да са отрицателни. Следователно \(x_1>0\) и \(x_2>0\).
в) \(x_1x_2=-17<0\) — корените са с различни знаци: единият положителен, другият отрицателен.
г) \(x_1x_2=-\dfrac{3}{2}<0\) — корените са с различни знаци: единият положителен, другият отрицателен.
б) \(x_1x_2=\dfrac{2}{3}>0\) (еднакви знаци). \(x_1+x_2=\dfrac{7}{3}>0\) — не може двата да са отрицателни. Следователно \(x_1>0\) и \(x_2>0\).
в) \(x_1x_2=-17<0\) — корените са с различни знаци: единият положителен, другият отрицателен.
г) \(x_1x_2=-\dfrac{3}{2}<0\) — корените са с различни знаци: единият положителен, другият отрицателен.
4
Дадено е уравнението \(4x^2-x-8=0\) с корени \(x_1\) и \(x_2\). Без да решавате пресметнете:
а) \(x_1+4x_1x_2+x_2\); б) \(7x_1+3x_1x_2+7x_2\); в) \(x_1(16-x_2)+2x_2(x_1+8)\).
а) \(x_1+4x_1x_2+x_2\); б) \(7x_1+3x_1x_2+7x_2\); в) \(x_1(16-x_2)+2x_2(x_1+8)\).
▼
Решение
От формулите на Виет: \(x_1+x_2=\dfrac{1}{4}\) и \(x_1x_2=-2\).
а) \(x_1+4x_1x_2+x_2=(x_1+x_2)+4x_1x_2=\dfrac{1}{4}+4(-2)=\dfrac{1}{4}-8=-\dfrac{31}{4}\).
б) \(7x_1+3x_1x_2+7x_2=7(x_1+x_2)+3x_1x_2=7\cdot\dfrac{1}{4}+3(-2)=\dfrac{7}{4}-6=-\dfrac{17}{4}=-\dfrac{7}{2}\). Забележка: \(\dfrac{7}{4}-6=\dfrac{7-24}{4}=-\dfrac{17}{4}\).
в) \(x_1(16-x_2)+2x_2(x_1+8)=16x_1-x_1x_2+2x_1x_2+16x_2=16(x_1+x_2)+x_1x_2=16\cdot\dfrac{1}{4}+(-2)=4-2=2\).
а) \(x_1+4x_1x_2+x_2=(x_1+x_2)+4x_1x_2=\dfrac{1}{4}+4(-2)=\dfrac{1}{4}-8=-\dfrac{31}{4}\).
б) \(7x_1+3x_1x_2+7x_2=7(x_1+x_2)+3x_1x_2=7\cdot\dfrac{1}{4}+3(-2)=\dfrac{7}{4}-6=-\dfrac{17}{4}=-\dfrac{7}{2}\). Забележка: \(\dfrac{7}{4}-6=\dfrac{7-24}{4}=-\dfrac{17}{4}\).
в) \(x_1(16-x_2)+2x_2(x_1+8)=16x_1-x_1x_2+2x_1x_2+16x_2=16(x_1+x_2)+x_1x_2=16\cdot\dfrac{1}{4}+(-2)=4-2=2\).
5
Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на уравнението \(x^2-px+\dfrac{p^2}{3}=0\), където \(p\) е реален параметър, докажете, че изразът \(x_1^3+x_2^3\) не зависи от \(p\).
▼
Доказателство
От формулите на Виет: \(x_1+x_2=p\) и \(x_1x_2=\dfrac{p^2}{3}\).
Прилагаме формулата: \[x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr]=p\left(p^2-3\cdot\frac{p^2}{3}\right)=p(p^2-p^2)=p\cdot 0=0.\] Следователно \(x_1^3+x_2^3=0\) за всяко \(p\) — изразът не зависи от параметъра. \(\blacksquare\)
Прилагаме формулата: \[x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\bigl[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2\bigr]=p\left(p^2-3\cdot\frac{p^2}{3}\right)=p(p^2-p^2)=p\cdot 0=0.\] Следователно \(x_1^3+x_2^3=0\) за всяко \(p\) — изразът не зависи от параметъра. \(\blacksquare\)
6
За уравнението \(x^2-ax+a-1=0\) с реален параметър \(a\) и корени \(x_1\) и \(x_2\) намерете най-малката стойност на \(x_1^2+x_2^2\) и за коя стойност на \(a\) се получава тя.
▼
Решение
От формулите на Виет: \(x_1+x_2=a\) и \(x_1x_2=a-1\). Прилагаме следствието:
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-2(a-1)=a^2-2a+2.\]
Записваме в удобна форма:
\[a^2-2a+2=(a-1)^2+1.\]
Тъй като \((a-1)^2\geq 0\), минималната стойност е \(\mathbf{1}\) и се достига при \(a=1\).
7
Без да намирате корените \(x_1\) и \(x_2\) на \(x^2+6x-3=0\), съставете квадратно уравнение с корени \(\dfrac{1}{x_1^2}\) и \(\dfrac{1}{x_2^2}\).
▼
Решение
От формулите на Виет: \(x_1+x_2=-6\) и \(x_1x_2=-3\).
Търсим \(y^2+py+q=0\) с корени \(y_1=\dfrac{1}{x_1^2}\) и \(y_2=\dfrac{1}{x_2^2}\).
Намираме сумата: \[y_1+y_2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(-6)^2-2(-3)}{(-3)^2}=\frac{36+6}{9}=\frac{42}{9}=\frac{14}{3}.\] Следователно \(-p=\dfrac{14}{3}\implies p=-\dfrac{14}{3}\).
Намираме произведението: \[y_1\cdot y_2=\frac{1}{(x_1x_2)^2}=\frac{1}{9} \implies q=\frac{1}{9}.\] Уравнението е \(y^2-\dfrac{14}{3}y+\dfrac{1}{9}=0\). Умножаваме по \(9\): \[9y^2-42y+1=0.\]
Търсим \(y^2+py+q=0\) с корени \(y_1=\dfrac{1}{x_1^2}\) и \(y_2=\dfrac{1}{x_2^2}\).
Намираме сумата: \[y_1+y_2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(-6)^2-2(-3)}{(-3)^2}=\frac{36+6}{9}=\frac{42}{9}=\frac{14}{3}.\] Следователно \(-p=\dfrac{14}{3}\implies p=-\dfrac{14}{3}\).
Намираме произведението: \[y_1\cdot y_2=\frac{1}{(x_1x_2)^2}=\frac{1}{9} \implies q=\frac{1}{9}.\] Уравнението е \(y^2-\dfrac{14}{3}y+\dfrac{1}{9}=0\). Умножаваме по \(9\): \[9y^2-42y+1=0.\]
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Като се използват теоремите на Виет, проверете дали посочените числа са корени на уравнението:
а) \(x^2-8x+15=0\), числата \(3\) и \(5\); б) \(x^2+9x+18=0\), числата \(-3\) и \(-6\).
а) \(x^2-8x+15=0\), числата \(3\) и \(5\); б) \(x^2+9x+18=0\), числата \(-3\) и \(-6\).
Задача 2Като се използва обратната теорема на Виет, съставете квадратно уравнение с корени:
а) \(x_1=2\) и \(x_2=13\); б) \(x_1=-4\) и \(x_2=-9\); в) \(x_1=-8\) и \(x_2=6\).
а) \(x_1=2\) и \(x_2=13\); б) \(x_1=-4\) и \(x_2=-9\); в) \(x_1=-8\) и \(x_2=6\).
Задача 3📛 (ДЗИ 02.06.2003) Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на \(x^2+19x-25=0\), намерете \(\dfrac{1}{2x_2}+\dfrac{1}{2x_1}+3\).
Задача 4📛 (ДЗИ 12.06.2003) Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на \(x^2-30x+11=0\), намерете \(x_1(1+x_2)+x_2\).
Задача 5📛 (ДЗИ 2004) Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на \(2x^2-8x=5x-20\), намерете \(B=2x_1+2x_2+\dfrac{x_1x_2}{2}\).
Задача 6📛 (ДЗИ 02.2008) Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на \(x^2+2x-7=0\), намерете \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\).
Задача 7📛 (ДЗИ 04.06.2008) Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на \(x^2-10x+18=0\), намерете \(3(x_1+x_2)-x_1x_2\).
Задача 8📛 (ДЗИ 04.06.2008) Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корени на \(x^2+10x+20=0\), намерете \(\dfrac{x_1x_2^2+x_1^2x_2}{30+x_1+x_2}\).
Задача 9Без да намирате корените \(x_1\) и \(x_2\) на \(x^2-4x+2=0\), съставете уравнение с корени:
а) \(-5x_1\) и \(-5x_2\); б) \(3-x_1\) и \(3-x_2\); в) \(-\dfrac{2}{x_1}\) и \(-\dfrac{2}{x_2}\); г) \(3x_1-2\) и \(3x_2-2\).
а) \(-5x_1\) и \(-5x_2\); б) \(3-x_1\) и \(3-x_2\); в) \(-\dfrac{2}{x_1}\) и \(-\dfrac{2}{x_2}\); г) \(3x_1-2\) и \(3x_2-2\).
Задача 10Без да намирате корените \(y_1\) и \(y_2\) на \(y^2-6y+4=0\), съставете уравнение с корени:
а) \(3y_1+1\) и \(3y_2+1\); б) \(2y_1-1\) и \(2y_2-1\); в) \(y_1^2+2\) и \(y_2^2+2\); г) \(\dfrac{y_1^2}{y_2}\) и \(\dfrac{y_2^2}{y_1}\).
а) \(3y_1+1\) и \(3y_2+1\); б) \(2y_1-1\) и \(2y_2-1\); в) \(y_1^2+2\) и \(y_2^2+2\); г) \(\dfrac{y_1^2}{y_2}\) и \(\dfrac{y_2^2}{y_1}\).
Задача 11Докажете, че ако едно число е корен на уравнението \(ax^4+bx^2+c=0\), то и противоположното му число е корен на това уравнение.
Задача 12Докажете, че ако \(y_1\) и \(y_2\) са два различни по абсолютна стойност корена на \(ay^4+by^2+c=0\), то \(y_1^2+y_2^2=-\dfrac{b}{a}\) и \(y_1^2\cdot y_2^2=\dfrac{c}{a}\).
Задача 13Без да решавате, намерете \(S_m=x_1^m+x_2^m\) при \(m=2, 3, 4\):
а) \(x^2-5x+6=0\); б) \(x^2-3x-4=0\); в) \(2x^2-3x-5=0\); г) \(5x^2-x-4=0\).
а) \(x^2-5x+6=0\); б) \(x^2-3x-4=0\); в) \(2x^2-3x-5=0\); г) \(5x^2-x-4=0\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Формули на Виет
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео уроци
Още обяснени и решени задачи по формули на Виет:
Видео урок 1 — Формули на Виет. Решени задачи
Видео урок 2 — Формули на Виет. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар