Квадратни уравнения 8 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 8 клас › Алгебра › Квадратни уравнения
Квадратни уравнения
Дискриминанта и формула за корени
Определение, метод на дискриминантата, извеждане на формулата, съкратена формула, 5 разработени задачи и 3 задачи за самостоятелна работа
Три стъпки за решаване на квадратно уравнение чрез дискриминантата, извеждане на формулата и съкратена формула при четно \(b\)
Теория
Определение 1: Уравнение от вида \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) се нарича квадратно уравнение, в което \(a\), \(b\) и \(c\) са коефициенти, а \(x\) е неизвестното. В този урок предполагаме \(b\neq 0\) и \(c\neq 0\).
Квадратните уравнения не са непознати за осмокласника. Още в седми клас те се решават чрез разлагане на квадратния тричлен на множители или чрез допълване до точен квадрат. В повечето случаи обаче методът чрез дискриминантата е далеч по-удобен и лесен.
Стъпки за решаване чрез дискриминантата:
1) Определяме коефициентите \(a\), \(b\) и \(c\).
2) Пресмятаме дискриминантата \(D=b^2-4ac\):
• \(D>0\): съществуват два различни реални корена \(x_1\neq x_2\);
• \(D=0\): двоен корен \(x_1=x_2\);
• \(D<0\): уравнението няма реални корени (н.р.к.).
3) При \(D\geq 0\) намираме корените: \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
1) Определяме коефициентите \(a\), \(b\) и \(c\).
2) Пресмятаме дискриминантата \(D=b^2-4ac\):
• \(D>0\): съществуват два различни реални корена \(x_1\neq x_2\);
• \(D=0\): двоен корен \(x_1=x_2\);
• \(D<0\): уравнението няма реални корени (н.р.к.).
3) При \(D\geq 0\) намираме корените: \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
Извеждане на формулата за корените:
От \(ax^2+bx+c=0\) делим на \(a\): \(x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\). Допълваме до точен квадрат: \[x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \implies \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.\] Коренуваме: \(x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \implies x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
От \(ax^2+bx+c=0\) делим на \(a\): \(x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\). Допълваме до точен квадрат: \[x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \implies \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.\] Коренуваме: \(x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \implies x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
Съкратена формула (при четно \(b=2k\)):
Ако \(b=2k\), уравнението е \(ax^2+2kx+c=0\) и корените се намират по: \[x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.\] Това значително опростява сметките.
Ако \(b=2k\), уравнението е \(ax^2+2kx+c=0\) и корените се намират по: \[x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}.\] Това значително опростява сметките.
Забележка: При \(D<0\) правилно се пише „н.р.к." (няма реални корени), а не „няма решение" — уравнението притежава корени в областта на комплексните числа, но тяхното намиране изисква познания, излизащи извън рамките на 8 клас.
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Решете квадратното уравнение \(5x^2+8x-4=0\).
▼
Решение
Стъпка 1: \(a=5\), \(b=8\), \(c=-4\).
Стъпка 2: \(D=8^2-4\cdot5\cdot(-4)=64+80=144>0\).
Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{144}}{2\cdot5}=\frac{-8\pm 12}{10}.\] \[x_1=\frac{-8+12}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}, \quad x_2=\frac{-8-12}{10}=\frac{-20}{10}=-2.\]
Стъпка 2: \(D=8^2-4\cdot5\cdot(-4)=64+80=144>0\).
Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{144}}{2\cdot5}=\frac{-8\pm 12}{10}.\] \[x_1=\frac{-8+12}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}, \quad x_2=\frac{-8-12}{10}=\frac{-20}{10}=-2.\]
2
Решете квадратното уравнение \(10x^2-25x-5=0\).
▼
Решение
Забелязваме, че коефициентите се делят на \(5\). Делим двете страни на \(5\):
\[2x^2-5x-1=0.\]
Стъпка 1: \(a=2\), \(b=-5\), \(c=-1\).
Стъпка 2: \(D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-1)=25+8=33>0\).
Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{33}}{2\cdot2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{4}.\] Забележка: Дискриминантата не е точен квадрат — това е напълно нормално и не означава грешка.
Стъпка 2: \(D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-1)=25+8=33>0\).
Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{33}}{2\cdot2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{4}.\] Забележка: Дискриминантата не е точен квадрат — това е напълно нормално и не означава грешка.
3
Решете квадратното уравнение \(17x^2-51x+34=0\).
▼
Решение
Делим двете страни на \(17\):
\[x^2-3x+2=0.\]
Стъпка 1: \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\).
Стъпка 2: \(D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1>0\).
Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2} \implies x_1=\frac{3+1}{2}=2,\quad x_2=\frac{3-1}{2}=1.\]
Стъпка 2: \(D=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1>0\).
Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2} \implies x_1=\frac{3+1}{2}=2,\quad x_2=\frac{3-1}{2}=1.\]
4
Решете уравнението \(\dfrac{x^2+5}{3}-\dfrac{x(2x+3)}{6}+\dfrac{2x^2+7}{2}=5\).
▼
Решение
Привеждаме под общ знаменател \(6\):
\[2(x^2+5)-x(2x+3)+3(2x^2+7)=30.\]
Разкриваме скобите:
\[2x^2+10-2x^2-3x+6x^2+21-30=0 \implies 6x^2-3x+1=0.\]
Стъпка 1: \(a=6\), \(b=-3\), \(c=1\).
Стъпка 2: \(D=(-3)^2-4\cdot6\cdot1=9-24=-15<0\).
Заключение: Уравнението няма реални корени (н.р.к.).
Стъпка 2: \(D=(-3)^2-4\cdot6\cdot1=9-24=-15<0\).
Заключение: Уравнението няма реални корени (н.р.к.).
5
Решете квадратното уравнение \(x^2-(6+\sqrt{3})x+6\sqrt{3}=0\).
▼
Решение
Стъпка 1: \(a=1\), \(b=-(6+\sqrt{3})\), \(c=6\sqrt{3}\).
Стъпка 2: \[D=[-(6+\sqrt{3})]^2-4\cdot1\cdot6\sqrt{3}=(6+\sqrt{3})^2-24\sqrt{3}\] \[=36+12\sqrt{3}+3-24\sqrt{3}=39-12\sqrt{3}=36-12\sqrt{3}+3=6^2-2\cdot6\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(6-\sqrt{3})^2.\] Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{(6+\sqrt{3})\pm(6-\sqrt{3})}{2}.\] \[x_1=\frac{6+\sqrt{3}+6-\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{2}=6,\quad x_2=\frac{6+\sqrt{3}-(6-\sqrt{3})}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.\]
Стъпка 2: \[D=[-(6+\sqrt{3})]^2-4\cdot1\cdot6\sqrt{3}=(6+\sqrt{3})^2-24\sqrt{3}\] \[=36+12\sqrt{3}+3-24\sqrt{3}=39-12\sqrt{3}=36-12\sqrt{3}+3=6^2-2\cdot6\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(6-\sqrt{3})^2.\] Стъпка 3: \[x_{1,2}=\frac{(6+\sqrt{3})\pm(6-\sqrt{3})}{2}.\] \[x_1=\frac{6+\sqrt{3}+6-\sqrt{3}}{2}=\frac{12}{2}=6,\quad x_2=\frac{6+\sqrt{3}-(6-\sqrt{3})}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.\]
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Решете уравнението:
а) \(x^2-15x+26=0\); б) \(x^2+5x+6=0\); в) \(x^2+2x+1=0\); г) \(x^2+3x-70=0\);
д) \(x^2-9x-90=0\); е) \(9x^2+6x+1=0\); ж) \(4x^2-8x+5=0\); з) \(x^2-3x+11=0\).
а) \(x^2-15x+26=0\); б) \(x^2+5x+6=0\); в) \(x^2+2x+1=0\); г) \(x^2+3x-70=0\);
д) \(x^2-9x-90=0\); е) \(9x^2+6x+1=0\); ж) \(4x^2-8x+5=0\); з) \(x^2-3x+11=0\).
Задача 2Решете уравнението:
а) \(x^2+(5-\sqrt{10})x-5\sqrt{10}=0\);
б) \((2x+1)(x+1)-6x=3\);
в) \(x^2+2x=7(x-2)\);
г) \((4+2x)^2-(1+x)^2=10-2x\);
д) \(\dfrac{x(x-1)}{5}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x^2-12}{6}\);
е) \(\dfrac{x(x-7)}{2}+\dfrac{(x-5)^2}{3}-\dfrac{2x+4}{4}=2\);
ж) \(\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(x-1)(x+2)}{3}=\dfrac{5x^2+7}{12}\);
з) \(\dfrac{(x-3)^2}{6}-\dfrac{x}{9}+\dfrac{x(x-9)}{18}=\dfrac{(x-2)^2}{2}-\dfrac{5}{9}\);
и) \(3x+\dfrac{(x-3)^2}{4}=\dfrac{(x+3)^2}{8}+\dfrac{(x+1)(x-1)}{3}\).
а) \(x^2+(5-\sqrt{10})x-5\sqrt{10}=0\);
б) \((2x+1)(x+1)-6x=3\);
в) \(x^2+2x=7(x-2)\);
г) \((4+2x)^2-(1+x)^2=10-2x\);
д) \(\dfrac{x(x-1)}{5}-\dfrac{x}{3}=\dfrac{x^2-12}{6}\);
е) \(\dfrac{x(x-7)}{2}+\dfrac{(x-5)^2}{3}-\dfrac{2x+4}{4}=2\);
ж) \(\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(x-1)(x+2)}{3}=\dfrac{5x^2+7}{12}\);
з) \(\dfrac{(x-3)^2}{6}-\dfrac{x}{9}+\dfrac{x(x-9)}{18}=\dfrac{(x-2)^2}{2}-\dfrac{5}{9}\);
и) \(3x+\dfrac{(x-3)^2}{4}=\dfrac{(x+3)^2}{8}+\dfrac{(x+1)(x-1)}{3}\).
Задача 3Като използвате съкратената формула за корените, намерете корените на:
а) \(x^2+4x-5=0\); б) \(x^2-2x-15=0\); в) \(x^2+12x-64=0\); г) \(4x^2+4x+1=0\).
а) \(x^2+4x-5=0\); б) \(x^2-2x-15=0\); в) \(x^2+12x-64=0\); г) \(4x^2+4x+1=0\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Квадратни уравнения — дискриминанта
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео урок
Още обяснени и решени задачи по квадратни уравнения:
Видео урок — Квадратни уравнения. Дискриминанта и решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар