Непълни квадратни уравнения 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 8 клас › Алгебра › Непълни квадратни уравнения

Непълни квадратни уравнения
Решени задачи и тест

Уравнения от вид \(ax^2+bx=0\) и \(ax^2+c=0\) — определение, методи за решаване, 7 разработени задачи и 5 задачи за самостоятелна работа

8 клас Квадратно уравнение Непълни квадратни уравнения \(ax^2+bx=0\) \(ax^2+c=0\) Д-р Атанас Илчев

Два типа непълни квадратни уравнения, методите за тяхното решаване и типични задачи с разкриване на скоби и привеждане до стандартен вид

Теория

Определение 1: Уравнение от вида \(ax^2+bx+c=0\), където \(a\neq 0\), се нарича квадратно уравнение. Числата \(a\), \(b\) и \(c\) са коефициенти, а \(x\) е неизвестното.

Ако един от коефициентите \(c\) или \(b\) е равен на нула, получаваме съответно уравненията \(ax^2+bx=0\) и \(ax^2+c=0\). Нека да разгледаме поотделно всяко едно от тях и съответно как ги решаваме.

Уравнението \(ax^2+bx=0\)
Изнасяме общ множител \(x\) пред скоби: \[ax^2+bx=0 \iff x(ax+b)=0.\] Произведение е нула, когато поне един от множителите е нула: \[x=0 \quad\text{или}\quad ax+b=0 \implies x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}.\] Забележка: Единият корен винаги е нула, каквото и уравнение от този тип да решаваме.

Уравнението \(ax^2+c=0\)
Еквивалентно на \(x^2=-\dfrac{c}{a}\). Решенията зависят от знака на \(-\dfrac{c}{a}\):
• Ако \(-\dfrac{c}{a}>0\): \(x_{1,2}=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\)
• Ако \(-\dfrac{c}{a}<0\): уравнението няма реални корени
• Ако \(-\dfrac{c}{a}=0\): двоен корен \(x_{1,2}=0\)

Метод чрез формулата за сбор по разлика:
При \(c<0\): \(ax^2-|c|=0 \iff (\sqrt{a}\,x)^2-(\sqrt{|c|})^2=0 \iff (\sqrt{a}\,x-\sqrt{|c|})(\sqrt{a}\,x+\sqrt{|c|})=0\).

Специален случай \(b=0\) и \(c=0\): Уравнението \(ax^2=0\) има един двоен корен \(x_{1,2}=0\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Да се реши уравнението \(5x^2+7x=0\).

▼

Решение Изнасяме общия множител \(x\) пред скоби: \[5x^2+7x=0 \iff x(5x+7)=0.\] Произведението е нула, когато \(x=0\) или \(5x+7=0\), от където: \[x_1=0, \quad x_2=-\frac{7}{5}.\]

2

Да се реши уравнението \(16x^2=24x\).

▼

Решение Прехвърляме \(24x\) в лявата страна: \[16x^2=24x \iff 16x^2-24x=0.\] Изнасяме общ множител \(8x\): \[8x(2x-3)=0 \implies 8x=0 \text{ или } 2x-3=0.\] \[x_1=0, \quad x_2=\frac{3}{2}.\]

3

Да се реши уравнението \(9(x-3)(x+3)+(3x-1)^2-4(x+2)^2=-96\).

▼

Решение Разкриваме скобите с формулите за съкратено умножение и прехвърляме \(-96\) вляво: \[9(x^2-9)+(9x^2-6x+1)-4(x^2+4x+4)+96=0\] \[9x^2-81+9x^2-6x+1-4x^2-16x-16+96=0\] \[14x^2-22x=0 \iff 2x(7x-11)=0.\] Следователно \(2x=0\) или \(7x-11=0\): \[x_1=0, \quad x_2=\frac{11}{7}.\]

4

Да се реши уравнението \((\sqrt{7}-\sqrt{3})x^2+5x=0\).

▼

Решение Изнасяме \(x\) пред скоби: \[x\bigl[(\sqrt{7}-\sqrt{3})x+5\bigr]=0.\] Следователно \(x=0\) или \((\sqrt{7}-\sqrt{3})x+5=0\), от където: \[x_1=0, \quad x_2=\frac{-5}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}.\] Рационализираме знаменателя на \(x_2\): \[x_2=\frac{-5}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\frac{-5(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3}=\frac{-5(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}.\]

5

Да се реши уравнението \(x^2-8=0\).

▼

Решение Начин 1 (формула за сбор по разлика): \[x^2-(\sqrt{8})^2=0 \iff x^2-(2\sqrt{2})^2=0 \iff (x-2\sqrt{2})(x+2\sqrt{2})=0.\] Следователно \(x-2\sqrt{2}=0\) или \(x+2\sqrt{2}=0\): \[x_1=2\sqrt{2}, \quad x_2=-2\sqrt{2}.\] Начин 2 (коренуване): \(x^2=8 \implies x_{1,2}=\pm\sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2}\).
Честа грешка: да се даде само \(x_1=\sqrt{8}\), забравяйки, че и \((-\sqrt{8})^2=8\).

6

Да се реши уравнението \(16x^2-25=0\).

▼

Решение Начин 1 (формула за сбор по разлика): \[(4x)^2-5^2=0 \iff (4x-5)(4x+5)=0.\] Следователно \(4x-5=0\) или \(4x+5=0\): \[x_1=\frac{5}{4}, \quad x_2=-\frac{5}{4}.\] Начин 2 (коренуване): \(x^2=\dfrac{25}{16} \implies x_{1,2}=\pm\dfrac{5}{4}\).

7

Да се реши уравнението \((3x-1)(4x-9)+x=-6(5x-3{,}5)\).

▼

Решение Разкриваме скобите и събираме подобни: \[(3x-1)(4x-9)+x=-6(5x-3{,}5)\] \[12x^2-27x-4x+9+x=-30x+21\] \[12x^2-30x+9+x+30x-21=0\] \[12x^2-12=0.\] Изнасяме общ множител \(12\) и прилагаме формулата за сбор по разлика: \[12(x^2-1)=0 \iff 12(x-1)(x+1)=0.\] Следователно \(x-1=0\) или \(x+1=0\): \[x_1=1, \quad x_2=-1.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Решете непълните квадратни уравнения:
а) \(2x(x+12)-3x(x+8)-x(x-8)=0\);
б) \(16x^2-(x-4)^2+5=(x-3)(x+3)-2\);
в) \((x-2)^3-(x-1)(x^2+x+1)+5(x+4)=13\);
г) \(6(x^2+3x)-5x(x-7)=11x(4+5x)\);
д) \((3-2x)^2-(x-1)(x+1)=10\);
е) \((x-7)(2x+1)-x(x-16)=-7\).

Задача 2Решете непълните квадратни уравнения:
а) \(7(x^2-8x)+4(x-5)+12(4x-1)-8=-4x\);
б) \(\dfrac{5(x^2+1)}{2}-\dfrac{4(x-1)^2}{3}-4x=\dfrac{x(-8-x)}{6}\);
в) \((3+2\sqrt{2})^2x^2-(3-2\sqrt{2})=0\);
г) \(\dfrac{t^2}{2}=\dfrac{5}{6}\);
д) \(\dfrac{4-x^2}{10}+\dfrac{3x(x-2)}{5}=1{,}2(2-x)\);
е) \((x-5)(x+3)+(x-8)(x+10)=105\).

Задача 3За кои стойности на реалния параметър \(b\) единият от корените на уравнението \(2x^2+bx=0\) е \(-5\)?

Задача 4За кои стойности на реалния параметър \(b\) уравнението \(x^2-4b+5=0\) има реални корени?

Задача 5За кои стойности на реалния параметър \(b\) уравнението \(x^2-b=0\):
а) има два различни реални корена;
б) няма реални корени;
в) има един реален корен?

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Непълни квадратни уравнения

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Квадратно уравнение е уравнение от вида \(ax^2+bx+c=0\), където:

\(a=0\) \(a\neq 0\) \(b=0\)

2При решаване на \(ax^2+bx=0\) изнасяме пред скоби:

\(a\) \(x\) \(b\)

3При уравнение от вид \(ax^2+bx=0\) единият корен винаги е:

\(1\) \(0\) \(-1\)

4Корените на \(5x^2+7x=0\) са:

\(x_1=0,\; x_2=\frac{7}{5}\) \(x_1=0,\; x_2=-\frac{7}{5}\) \(x_1=5,\; x_2=7\)

5Корените на \(16x^2=24x\) са:

\(x_1=0,\; x_2=\frac{2}{3}\) \(x_1=0,\; x_2=\frac{3}{2}\) \(x_1=16,\; x_2=24\)

6При уравнение \(ax^2+c=0\), ако \(-\frac{c}{a}<0\):

Има два различни корена Няма реални корени Има двоен корен

7Корените на \(x^2-8=0\) са:

\(x_{1,2}=\pm 4\) \(x_{1,2}=\pm 2\sqrt{2}\) \(x=2\sqrt{2}\) (само)

8Корените на \(16x^2-25=0\) са:

\(x_{1,2}=\pm 4\) \(x_{1,2}=\pm\frac{5}{4}\) \(x_{1,2}=\pm 5\)

9При задача 7, след привеждане до стандартен вид получаваме:

\(14x^2+22x=0\) \(14x^2-22x=0\) \(14x^2=0\)

10Рационализиран вид на \(x_2=\dfrac{-5}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\) е:

\(\dfrac{-5(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}\) \(\dfrac{-5(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}\) \(\dfrac{5(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}\)

11Уравнението \(ax^2=0\) има:

Два различни корена Един двоен корен \(x_{1,2}=0\) Няма реални корени

12Корените на \((3x-1)(4x-9)+x=-6(5x-3{,}5)\) са:

\(x_1=0,\; x_2=1\) \(x_1=1,\; x_2=-1\) \(x_1=3,\; x_2=-3\)

13При \(ax^2+c=0\), ако \(-\frac{c}{a}=0\), уравнението:

Няма решения Има двоен корен \(x_{1,2}=0\) Има безброй решения

14Вторият корен на \(ax^2+bx=0\) е \(x_2=-\frac{b}{a}\). При \(a=5\), \(b=7\) той е:

\(\frac{7}{5}\) \(-\frac{7}{5}\) \(-\frac{5}{7}\)

15Корените на \(16x^2-24x=0\) са:

\(x_1=0,\; x_2=\frac{2}{3}\) \(x_1=0,\; x_2=\frac{3}{2}\) \(x_1=16,\; x_2=24\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по непълни квадратни уравнения:

Видео урок — Непълни квадратни уравнения. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆