Квадратни уравнения с параметър 8 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 8 клас › Алгебра › Квадратни уравнения с параметър
Квадратни уравнения с параметър
Решени задачи и тест
Определение за корен, дискриминанта и брой корени, 6 разработени задачи и 13 задачи за самостоятелна работа
Намиране на параметър при даден корен, условия за брой корени чрез дискриминантата и решаване на квадратно уравнение, съдържащо параметър
Теория
При решаването на квадратни уравнения с параметър е добре да имаме предвид следните вече известни факти.
Определение 1: Решение (корен) на дадено уравнение ще наричаме такова число, което като го поставим на мястото на неизвестното в даденото уравнение, то се превръща във вярно числово равенство.
Пример: Уравнението \(2x-1=0\) има корен \(x=\dfrac{1}{2}\), тъй като \(2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0\) е вярно числово равенство.
Пример: Уравнението \(2x-1=0\) има корен \(x=\dfrac{1}{2}\), тъй като \(2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0\) е вярно числово равенство.
Напомняне — брой корени и дискриминанта:
За квадратно уравнение \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) с \(D=b^2-4ac\):
• \(D>0\) → две различни реални корени \(x_1\neq x_2\);
• \(D=0\) → точно един двоен корен \(x_1=x_2\);
• \(D<0\) → няма реални корени.
За квадратно уравнение \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) с \(D=b^2-4ac\):
• \(D>0\) → две различни реални корени \(x_1\neq x_2\);
• \(D=0\) → точно един двоен корен \(x_1=x_2\);
• \(D<0\) → няма реални корени.
Ключова стратегия при задачи с параметър:
• Ако е даден корен на уравнението → заместваме го вместо \(x\) и получаваме уравнение/неравенство относно параметъра.
• Ако е зададено условие за брой корени → поставяме съответното условие на \(D\) и решаваме спрямо параметъра.
• При уравнение с параметър пред \(x^2\) → проверяваме кога коефициентът е нула (тогава уравнението не е квадратно).
• Ако е даден корен на уравнението → заместваме го вместо \(x\) и получаваме уравнение/неравенство относно параметъра.
• Ако е зададено условие за брой корени → поставяме съответното условие на \(D\) и решаваме спрямо параметъра.
• При уравнение с параметър пред \(x^2\) → проверяваме кога коефициентът е нула (тогава уравнението не е квадратно).
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Намерете стойността на параметъра \(t\) и решете уравнението \(x^2+14x+t=0\), ако то има корен \(x_1=-4\).
▼
Решение
Тъй като \(-4\) е корен на даденото уравнение, заместваме \(x=-4\) и получаваме вярно числово равенство:
\[(-4)^2+14\cdot(-4)+t=0 \implies 16-56+t=0 \implies t=40.\]
Сега решаваме уравнението \(x^2+14x+40=0\) с \(a=1\), \(b=14\), \(c=40\):
\[D=14^2-4\cdot1\cdot40=196-160=36.\]
\[x_{1,2}=\frac{-14\pm 6}{2} \implies x_1=-4,\quad x_2=-10.\]
2
Намерете стойностите на реалния параметър \(k\), при които уравнението \(x^2-2x+3k-7=0\) има два различни реални корена.
▼
Решение
За два различни реални корена е необходимо \(D>0\):
\[D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(3k-7)=4-12k+28=32-12k.\]
Решаваме неравенството:
\[32-12k>0 \iff -12k>-32 \iff k<\frac{8}{3}.\]
Следователно за \(k\in\left(-\infty,\dfrac{8}{3}\right)\) уравнението има два различни реални корена.
3
Намерете стойностите на реалния параметър \(p\), при които уравнението \(2x^2+px+18=0\) има само един реален корен.
▼
Решение
За един двоен корен е необходимо \(D=0\):
\[D=p^2-4\cdot2\cdot18=p^2-144=0.\]
Решаваме непълното квадратно уравнение:
\[(p-12)(p+12)=0 \implies p_1=12,\quad p_2=-12.\]
4
Намерете стойностите на реалния параметър \(m\), при които уравнението \(5x^2+18x+m=0\) няма реални корени.
▼
Решение
За да няма реални корени е необходимо \(D<0\):
\[D=18^2-4\cdot5\cdot m=324-20m.\]
Решаваме неравенството:
\[324-20m<0 \iff 20m>324 \iff m>\frac{81}{5}.\]
Следователно \(m\in\left[\dfrac{81}{5},+\infty\right)\).
5
Решете квадратното уравнение \(x^2-(k-5)x-5k=0\), където \(k\) е реален параметър.
▼
Решение
\(a=1\), \(b=-(k-5)\), \(c=-5k\). Пресмятаме дискриминантата:
\[D=[-(k-5)]^2-4\cdot1\cdot(-5k)=(k-5)^2+20k=k^2-10k+25+20k=k^2+10k+25=(k+5)^2.\]
Тъй като \((k+5)^2\geq 0\) за всяко \(k\), уравнението винаги има реални корени:
\[x_{1,2}=\frac{-(-(k-5))\pm\sqrt{(k+5)^2}}{2}=\frac{k-5\pm(k+5)}{2}.\]
\[x_1=\frac{k-5+k+5}{2}=k,\quad x_2=\frac{k-5-k-5}{2}=-5.\]
Отговор: \(x_1=k\), \(x_2=-5\) за всяко реално \(k\).
6
Намерете стойностите на реалния параметъра \(t\), за които квадратното уравнение \((t+1)x^2+2(t+1)x+t-2=0\):
а) има два различни реални корена; б) има два равни корена; в) няма реални корени.
а) има два различни реални корена; б) има два равни корена; в) няма реални корени.
▼
Решение
Намираме дискриминантата:
\[D=4(t+1)^2-4(t+1)(t-2)=4(t^2+2t+1)-4(t^2-2t+t-2)\]
\[=4t^2+8t+4-4t^2+4t+8=12t+12.\]
а) За два различни реални корена: \(D>0\):
\[12t+12>0 \iff t>-1, \quad t\in(-1,+\infty).\]
б) За два равни корена: \(D=0\):
\[12t+12=0 \iff t=-1.\]
Но за \(t=-1\) коефициентът пред \(x^2\) е \(t+1=0\) — уравнението вече не е квадратно. Следователно няма стойности на \(t\), при които да имаме два равни корена и едновременно уравнението да е квадратно.
в) За да няма реални корени: \(D<0\): \[12t+12<0 \iff t<-1, \quad t\in(-\infty,-1).\]
в) За да няма реални корени: \(D<0\): \[12t+12<0 \iff t<-1, \quad t\in(-\infty,-1).\]
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Да се реши уравнението \(x^2-3ax-4a^2=0\), където \(a\) е параметър.
Задача 2Да се реши уравнението \(x^2+8bx+15b^2=0\), където \(b\) е параметър.
Задача 3Да се реши уравнението \(x^2-(a+2b)x+b^2+ab=0\), където \(a\) и \(b\) са параметри.
Задача 4Намерете стойностите на реалния параметър \(t\), за които квадратното уравнение \(2x^2-3tx+7t=0\) има за корен числото \(2\).
Задача 5Намерете стойностите на реалния параметър \(k\), при които квадратното уравнение \(x^2-2x+3k-7=0\) има два различни реални корена.
Задача 6Намерете стойностите на реалния параметър \(k\), при които квадратното уравнение \(x^2+(k+2)x+2k=0\) има един реален корен.
Задача 7Намерете стойностите на реалния параметър \(k\), при които квадратното уравнение \(7x^2+4x+k+1=0\) няма реални корени.
Задача 8Решете уравнението \(tx^2+2x+1=0\), където \(t\) е реален параметър.
Задача 9Единият корен на уравнението \(x^2-4x+c=0\) е \(x_1=2-\sqrt{3}\). Кое е числото \(c\)?
Задача 10За кои стойности на реалния параметър \(k\) корените на уравнението \(x^2-2(k+7)x+2k+13=0\) са равни?
Задача 11Намерете числото \(k\), ако знаете, че корените на уравнението \(x^2-2(2k-3)x+3k^2+5k+9=0\) са равни.
Задача 12За кои стойности на реалния параметър \(m\) корените на уравнението \((m-2)x^2-(2m+1)x+m-1=0\) са реални и различни?
Задача 13Да се докаже, че корените на уравнението \(4x^2+kx-k^2-1=0\) са реални и различни за всяко реално \(k\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Квадратни уравнения с параметър
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео урок
Още обяснени и решени задачи по квадратни уравнения с параметър:
Видео урок — Квадратни уравнения с параметър. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар