Медицентър на триъгълник 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 8 клас › Геометрия › Медицентър на триъгълник

Медицентър на триъгълник
Решени задачи и тест

Определение, теорема за отношение 2:1, основни задачи, 3 разработени задачи с чертежи и 6 задачи за самостоятелна работа

8 клас Медицентър Медиани Отношение 2:1 3 разработени задачи Д-р Атанас Илчев

Свойства на пресечната точка на трите медиани и тяхното приложение при задачи с равнобедрени триъгълници, успоредници и правоъгълни триъгълници

Теория

Определение 1: Пресечната точка на трите медиани на триъгълник се нарича медицентър на триъгълника.

Теорема 1: Трите медиани на триъгълник се пресичат в една точка (медицентъра), която дели всяка от тях в отношение \(2:1\), считано от съответния връх.
Ако \(M\) е медицентър на \(\triangle ABC\): \(AM:MA_1 = BM:MB_1 = CM:MC_1 = 2:1\).

Основна задача 1: Ако \(M\) е медицентър на \(\triangle ABC\), то трите медиани разделят триъгълника на три равнолицеви триъгълника: \[S_{\triangle ABM} = S_{\triangle BCM} = S_{\triangle CAM} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC}.\]

Основна задача 2: Ако \(M\) е медицентър на \(\triangle ABC\) и \(O\) е произволна точка от равнината, то: \[\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).\]

Допълнително свойство: Всяка медиана на триъгълника го разделя на два равнолицеви триъгълника (всяка, сама по себе си).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Медианата \(AM\) и височината \(CH\) на равнобедрения \(\triangle ABC\) (\(AC=BC\)) се пресичат в точка \(O\). Ако \(S_{\triangle ABC}=48\) cm² и \(AB=8\) cm, намерете дължината на \(CO\).

▼

Решение Тъй като \(\triangle ABC\) е равнобедрен, то \(CH\) е едновременно височина, медиана и ъглополовяща. Следователно точката \(O\), в която \(AM\) и \(CH\) се пресичат, е медицентърът на \(\triangle ABC\).

По Теорема 1: \(CO:OH = 2:1\).
От формулата за лице: \(S = \dfrac{AB\cdot CH}{2} \implies 48=\dfrac{8\cdot CH}{2} \implies CH=12\) cm.
Нека \(OH=x\), тогава \(CO=2x\) и \(2x+x=12 \implies x=4\) cm. \[CO = 2x = 8 \text{ cm}.\]

2

В успоредника \(ABCD\) точка \(E\) е среда на \(AD\). Диагоналът \(AC\) и отсечката \(BE\) се пресичат в точка \(P\). Ако \(EP=1{,}3\) cm и \(AP=2{,}2\) cm, намерете дължините на \(AC\) и \(BE\).

▼

Решение Построяваме диагонала \(BD\). Нека \(AC\cap BD = O\). Тъй като в успоредника диагоналите взаимно се разполовяват, \(O\) е среда на \(BD\) → \(AO\) е медиана в \(\triangle ABD\). Тъй като \(E\) е среда на \(AD\), и \(BE\) е медиана в \(\triangle ABD\). Следователно \(P\) е медицентър на \(\triangle ABD\).

По Теорема 1: \(AP:PO = 2:1\) и \(BP:PE = 2:1\).
Нека \(PO=x\). Тогава \(AP=2x=2{,}2 \implies x=1{,}1\) cm. \[AC = 2\cdot AO = 2(AP+PO) = 2(2{,}2+1{,}1) = 6{,}6 \text{ cm}.\] Нека \(PE=y=1{,}3\) cm. Тогава \(BP=2y=2{,}6\) cm. \[BE = BP+PE = 2{,}6+1{,}3 = 3{,}9 \text{ cm}.\]

3

Даден е правоъгълният \(\triangle ABC\) с прав ъгъл при \(C\). Ъглополовящата \(BL\) е перпендикулярна на медианата \(CM\) и я пресича в точка \(Q\). Ако \(AB=42\) cm и \(G\) е медицентър на \(\triangle ABC\), намерете \(QG\).

▼

Решение Тъй като \(BQ\perp CM\) и \(BQ\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle ABC\), следва, че \(\triangle MBC\) е равнобедрен с \(MB=BC\). Тъй като \(BQ\) е перпендикулярна биссектриса на \(MC\), то \(MQ=CQ\).

\(CM\) е медиана към хипотенузата → \(CM=AM=MB=\frac{1}{2}AB=21\) cm. Следователно \(\triangle MBC\) е равностранен: \(MB=BC=MC=21\) cm, и \(\sphericalangle MBC=60°\), \(\sphericalangle MBQ=\sphericalangle CBQ=30°\).

В правоъгълния \(\triangle MBQ\): ъгъл при \(B\) е \(30°\), хипотенуза \(MB=21\) cm → \(MQ=\frac{1}{2}MB=10{,}5\) cm. Следователно \(CQ=MQ=10{,}5\) cm (тъй като \(BQ\) разполовява \(MC\)).

По Теорема 1: медицентърът \(G\) дели \(CM\) в отношение \(2:1\) от \(C\), т.е. \(CG=\frac{2}{3}CM=14\) cm и \(GM=7\) cm.
Тъй като \(CQ=10{,}5\) cm и \(CG=14\) cm, точката \(Q\) лежи между \(C\) и \(G\): \[QG = CG-CQ = 14-10{,}5 = 3{,}5 \text{ cm}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1В \(\triangle ABC\) медианата \(CM\) е такава, че \(AB:CM=2:3\). Докажете, че медианите през върховете \(A\) и \(B\) са перпендикулярни.

Задача 2Даден е успоредник \(ABCD\). Докажете, че медицентровете на четирите триъгълника \(ABC\), \(BCD\), \(CDA\) и \(DAB\) са върхове на успоредник.

Задача 3В успоредника \(ABCD\) точките \(E\), \(F\), \(G\) и \(H\) са медицентрове съответно на \(\triangle ABD\), \(\triangle ABC\), \(\triangle BCD\) и \(\triangle CDA\). Ако \(AC=24\) cm и \(BD=18\) cm, намерете дължините на диагоналите на \(EFGH\).

Задача 4Докажете, че в равнобедрен триъгълник медианите към бедрата са равни. (Задачата може да се реши със и без свойството на медицентъра.)

Задача 5Дадени са \(\triangle ABC\) и права \(p\), пресичаща страните \(CA\) и \(CB\). Разстоянията от \(A\) и \(B\) до \(p\) са \(3\) cm и \(5\) cm, а от медицентъра до \(p\) е \(2\) cm. Намерете разстоянието от \(C\) до \(p\).

Задача 6В равностранния \(\triangle ABC\) е построена височината \(CD\) (\(D\in AB\)). Точките \(G_1\) и \(G_2\) са медицентрове съответно на \(\triangle ADC\) и \(\triangle BDC\). Докажете, че периметърът на \(\triangle ABC\) е 3 пъти по-голям от периметъра на \(\triangle G_1G_2D\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Медицентър на триъгълник

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Медицентърът на триъгълник е:

Пресечна точка на трите ъглополовящи Пресечна точка на трите медиани Пресечна точка на трите височини

2Медицентърът дели всяка медиана в отношение (от върха):

\(1:1\) \(2:1\) \(3:1\)

3Ако \(M\) е медицентър на \(\triangle ABC\) и \(O\) е произволна точка, то \(\overrightarrow{OM}\) е:

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) \(\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\) \(\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)

4Всяка медиана разделя триъгълника на:

Два подобни триъгълника Два равнолицеви триъгълника Два конгруентни триъгълника

5Ако \(M\) е медицентър, лицата \(S_{\triangle ABM}\), \(S_{\triangle BCM}\), \(S_{\triangle CAM}\) са:

В отношение \(1:2:3\) Равни помежду си Зависят от страните на триъгълника

6В Задача 1: \(CH\) е равно на:

\(8\) cm \(12\) cm \(6\) cm

7В Задача 1: \(CO\) е равно на:

\(4\) cm \(8\) cm \(6\) cm

8В Задача 2: \(AC\) е равно на:

\(4{,}4\) cm \(6{,}6\) cm \(8{,}8\) cm

9В Задача 2: \(BE\) е равно на:

\(2{,}6\) cm \(3{,}9\) cm \(5{,}2\) cm

10В Задача 3: медианата \(CM\) е равна на:

\(14\) cm \(21\) cm \(42\) cm

11В Задача 3: \(\triangle MBC\) е:

Равнобедрен Равностранен Правоъгълен

12В Задача 3: \(QG\) е равно на:

\(7\) cm \(3{,}5\) cm \(10{,}5\) cm

13В Задача 2: защо \(P\) е медицентър на \(\triangle ABD\)?

Защото е центроид на успоредника Защото \(AO\) и \(BE\) са медиани на \(\triangle ABD\) Защото \(AP=PO\)

14Медицентърът лежи:

Извън триъгълника Вътре в триъгълника (за всеки триъгълник) Само за правоъгълни триъгълници вътре

15Ако медицентърът дели медиана \(CM=21\) cm в отношение \(2:1\), то \(CG\) е:

\(7\) cm \(14\) cm \(10{,}5\) cm

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по медицентър на триъгълник:

Видео урок — Медицентър на триъгълник. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆