Умножение на вектор с число 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 8 клас › Вектори › Умножение на вектор с число

Умножение на вектор с число
Решени задачи и тест

Теория, следствия, основна задача за среда на отсечка, 4 разработени задачи, 16 задачи за самостоятелна работа и онлайн тест

8 клас Вектори Умножение на вектор с число 4 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Как се умножава вектор с число, какви са свойствата на тази операция и как се прилага при задачи с медиани и среди на отсечки

Преди да разгледаме задачите от този урок, ще припомним основните свойства на умножението на вектор с число.

Теория

Определение: Произведението на вектора \(\overrightarrow{a}\) с числото \(\lambda\) е нов вектор \(\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}\), за който:
1) \(|\overrightarrow{b}|=|\lambda|\cdot|\overrightarrow{a}|\);
2) \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\) са еднопосочни при \(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) и \(\lambda>0\);
3) \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{a}\) са противопосочни при \(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\) и \(\lambda<0\).
Когато \(\lambda=0\) или \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\), тогава \(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\).

Следствие 1: За ненулевите вектори \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) съществува число \(\lambda\neq 0\) така, че \(\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{CD}\) тогава и само тогава, когато \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) лежат върху една права или върху успоредни прави (т.е. са колинеарни).

Следствие 2: Точките \(O\), \(A\) и \(B\) лежат на една права точно тогава, когато съществува число \(\lambda\) такова, че \(\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}\).

Свойства на произведението на вектор с число:
1) \(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)  (дистрибутивност спрямо събиране на вектори)
2) \((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\)  (дистрибутивност спрямо събиране на числа)
3) \(1\cdot\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\)  (умножение с единица)
4) \(\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}\)  (асоциативност)

Основна задача (среда на отсечка): Ако \(O\) е произволна точка, то точка \(M\) е среда на отсечката \(AB\) точно тогава, когато \[\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\]

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Опростете израза:
а) \(7\overrightarrow{a}-2(\overrightarrow{a}-0{,}5\overrightarrow{b})-3{,}5\overrightarrow{b}\);
б) \(2\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\frac{3}{2}(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\).

▼

Решение а) Прилагаме свойство 1 (дистрибутивност), за да разкрием скобите: \[7\overrightarrow{a}-2(\overrightarrow{a}-0{,}5\overrightarrow{b})-3{,}5\overrightarrow{b}=7\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3{,}5\overrightarrow{b}=5\overrightarrow{a}-2{,}5\overrightarrow{b}.\]
б) Разкриваме скобите и групираме по \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\): \[2\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\frac{3}{2}(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{9}{2}\overrightarrow{a}+\frac{3}{2}\overrightarrow{b}\] \[=\left(2+\frac{1}{2}+\frac{9}{2}\right)\overrightarrow{a}+\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)\overrightarrow{b}=7\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}.\]

2

Нека е даден \(\triangle ABC\), за който \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}\). Ако \(CC_1\) е медиана в \(\triangle ABC\), изразете чрез \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) векторите:
а) \(\overrightarrow{AB}\);  б) \(\overrightarrow{BC_1}\).

▼

Решение а) Допълваме \(\triangle ABC\) до успоредника \(ALBC\). От правилото на успоредника: \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.\]
б) Тъй като \(C_1\) е среда на \(AB\), имаме \(\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{C_1B}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Следователно \(\overrightarrow{BC_1}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), откъдето: \[\overrightarrow{BC_1}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}).\]

3

Ако точката \(M\) е среда на отсечката \(AB\) и точката \(O\) е произволна точка, докажете, че \(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\).

▼

Доказателство Допълваме \(\triangle ABO\) до успоредника \(AKBO\). Тъй като \(M\) е среда на \(AB\) и \(AB\) е диагонал на успоредника \(AKBO\), то \(OK\) също е диагонал и диагоналите се пресичат в средата си. Следователно \(M\) е среда и на \(OK\). От правилото на успоредника: \(\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\), а понеже \(M\) е среда на \(OK\): \[\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\quad\blacksquare\]

4

Ако \(P\) и \(Q\) са среди съответно на страните \(AC\) и \(BC\) на \(\triangle ABC\), докажете, че \(\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

▼

Доказателство Тъй като \(P\) и \(Q\) са среди на \(AC\) и \(BC\), имаме \(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PC}\) и \(\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{QB}\). От правилото на триъгълника: \[\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{PQ}.\] От друга страна, отново от правилото на триъгълника: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\), но \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{PC}\) и \(\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CQ}\), следователно: \[2\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{AB}\implies 2(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CQ})=\overrightarrow{AB}\implies \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\quad\blacksquare\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1Да се опрости изразът:
а) \((0{,}5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\);  б) \((\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\).

Задача 2Дадени са равните вектори \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\). Ако \(O\) е средата на \(AD\), да се докаже, че \(\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{CO}\).

Задача 3В \(\triangle ABC\) точката \(M\) е средата на медианата \(CP\), а точката \(N\) лежи на страната \(BC\), като \(CN=\frac{1}{3}BC\).
а) Ако \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}\), да се изразят \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AN}\) чрез \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\);
б) Да се докаже, че точките \(A\), \(M\), \(N\) лежат на една права.

Задача 4Върху страните \(AB\) и \(AC\) на \(\triangle ABC\) са взети точките \(P\) и \(Q\) такива, че \(\overrightarrow{AP}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AQ}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}\). Докажете, че \(PQ=\frac{4}{7}BC\) и \(PQ\parallel BC\).

Задача 5Върху страните \(AB\) и \(AC\) на \(\triangle ABC\) са взети \(C_1\) и \(B_1\) такива, че \(AC_1=\frac{1}{3}AB\) и \(AB_1=\frac{3}{5}AC\). Отсечките \(BB_1\) и \(CC_1\) се пресичат в точка \(O\). Докажете, че \(O\) е среда на \(CC_1\).

Задача 6Даден е четириъгълник \(ABCD\), в който \(M\) и \(N\) са средите на диагоналите, а \(P\) е пресечната им точка. Докажете, че \(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=2(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN})\).

Задача 7Даден е трапецът \(ABCD\) с основи \(AB\) и \(CD\). Докажете, че \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{CA}\).

Задача 8Докажете, че ако точка \(C\) дели страната \(AB\) на \(\triangle ABD\) в отношение \(m:n\) (\(AC:CB=m:n\)), то \(\overrightarrow{DC}=\dfrac{n\overrightarrow{DA}+m\overrightarrow{DB}}{m+n}\).

Задача 9Нека \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) са среди съответно на страните \(BC\), \(CA\) и \(AB\) на \(\triangle ABC\). Докажете, че за произволна точка \(O\): \[\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.\]

Задача 10Даден е \(\triangle ABC\) и точките \(M\) и \(N\), за които \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{n}\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CB}\) и \(AB\cap MN=P\). В какво отношение точката \(P\) дели отсечките \(AB\) и \(MN\)?

Задача 11Върху отсечката \(AB\) са избрани точките \(M\), \(P\) и \(K\) такива, че \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{AM}\). Разстоянията от \(A\) и \(B\) до правата \(a\) са съответно \(12\) cm и \(32\) cm. Намерете разстоянията от \(M\), \(P\) и \(K\) до правата \(a\).

Задача 12Нека \(M\) е произволна точка в равнината на \(\triangle ABC\). Точките \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) са средите съответно на \(MA\), \(MB\) и \(MC\), а \(B_2\) и \(C_2\) са такива, че \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB_2}\) и \(\overrightarrow{AC_2}=0{,}5\overrightarrow{AC}\). Докажете, че \(\overrightarrow{B_2C_2}+\overrightarrow{C_1B_1}=\overrightarrow{0}\).

Задача 13Даден е \(\triangle ABC\) и точка \(M\) от медианата \(CC_1\), като \(\overrightarrow{CM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CC_1}\), а \(N\) лежи на \(CB\) с \(\overrightarrow{CN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{CB}\). Ако \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}\), докажете, че:
а) \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{8}(3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\);  б) \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}(3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a})\);  в) \(\overrightarrow{AN}=\frac{8}{5}\overrightarrow{AM}\) и \(A\), \(M\), \(N\) са колинеарни.

Задача 14Върху страната \(AB\) на \(\triangle ABC\) е избрана точка \(K\) такава, че \(AK:KB=3:10\). Изразете \(\overrightarrow{CK}\) чрез \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{CB}\).

Задача 15Точките \(A_1\) и \(B_1\) лежат съответно върху страните \(BC\) и \(AC\) на \(\triangle ABC\). Отсечките \(AA_1\) и \(BB_1\) се пресичат в \(M\), като \(\dfrac{AM}{MA_1}=\dfrac{BM}{MB_1}=\dfrac{2}{1}\). Докажете, че \(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{B_1A_1}\).

Задача 16В четириъгълника \(ABCD\) диагоналите \(AC\) и \(BD\) се пресичат в точка \(M\). Докажете, че \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\) тогава и само тогава, когато \(M\) е среда и на двата диагонала (т.е. \(ABCD\) е успоредник).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Умножение на вектор с число

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Ако \(\lambda>0\) и \(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\), то \(\lambda\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\) са:

Противопосочни Еднопосочни Перпендикулярни Нулев вектор

2Колко е \(|\lambda\overrightarrow{a}|\)?

\(\lambda\cdot|\overrightarrow{a}|\) \(|\lambda|\cdot|\overrightarrow{a}|\) \(|\overrightarrow{a}|/\lambda\) \(|\lambda|+|\overrightarrow{a}|\)

3Кое свойство е вярно?

\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}\cdot\lambda\overrightarrow{b}\) \(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\) \(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\) \(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=(\lambda+1)\overrightarrow{a}\)

4Кое е вярно за \((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}\)?

\(\lambda\overrightarrow{a}\cdot\mu\overrightarrow{a}\) \(\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\) \(\lambda\mu\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{a}\)

5Кога точките \(O\), \(A\) и \(B\) лежат на една права?

Когато \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\) Когато \(\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}\) за някое \(\lambda\) Когато \(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|\) Винаги

6Ако \(M\) е среда на \(AB\) и \(O\) е произволна точка, то \(\overrightarrow{OM}\) е:

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) \(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\) \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\)

7Ако \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}\), то \(\overrightarrow{AB}\) е:

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\) \(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)

8В задача 2, ако \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}\), то \(\overrightarrow{BC_1}\) (медианата от \(C\)) е:

\(\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\) \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\) \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\) \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)

9Резултатът от \(7\overrightarrow{a}-2(\overrightarrow{a}-0{,}5\overrightarrow{b})-3{,}5\overrightarrow{b}\) е:

\(5\overrightarrow{a}-2{,}5\overrightarrow{b}\) \(5\overrightarrow{a}+2{,}5\overrightarrow{b}\) \(5\overrightarrow{a}-3{,}5\overrightarrow{b}\) \(9\overrightarrow{a}-2{,}5\overrightarrow{b}\)

10Резултатът от \(2\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\frac{3}{2}(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\) е:

\(7\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) \(7\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) \(6\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\) \(8\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)

11Ако \(P\) и \(Q\) са среди на страните \(AC\) и \(BC\) на \(\triangle ABC\), то \(\overrightarrow{PQ}\) е:

\(\overrightarrow{AB}\) \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) \(2\overrightarrow{AB}\) \(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

12Ако \(\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{CD}\) за \(\lambda\neq 0\), то \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) са:

Перпендикулярни Колинеарни Равни Нулеви

13Кое е вярно за \(\lambda(\mu\overrightarrow{a})\)?

\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}\) \((\lambda\mu)\overrightarrow{a}\) \(\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{a}\)

14Ако \(\lambda<0\) и \(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}\), то \(\lambda\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{a}\) са:

Еднопосочни Противопосочни Перпендикулярни Равни

15Кога \(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)?

Само когато \(\lambda=0\) Само когато \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) Когато \(\lambda=0\) или \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) Никога

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи, свързани с този урок, можете да намерите в клипа по-долу:

Видео урок — Умножение на вектор с число. Решени задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆