Неопределен интеграл - решаване на неопределени интеграли чрез непосредствено прилагане на табличните интеграли
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Математически анализ и университетска математика◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Математически анализ и университетска математика◆
Математика › Висша математика › Неопределен интеграл
Неопределен интеграл
Непосредствено интегриране
Въведение, теория, 14 основни формули, 32 подробно решени задачи, 16 задачи за самостоятелна работа и тест
Въведение в интегралното смятане
Човешката история е история на търсене — търсене на смисъл, на закономерности, на разбиране за природата и за самите себе си. Сред най-старите и най-плодотворни инструменти на човешкото познание е математиката. Тя не е просто език на числата, а могъщ апарат за описание, анализ и предсказание на реалността. Един от най-впечатляващите дялове на математиката е интегралното смятане, което предоставя методите за измерване на величини, изразяващи натрупване — площи, обеми, работа, заряд, вероятност и много други.
Идеята за намиране на площ под крива или обем на тяло с неправилна форма е съпътствала развитието на цивилизациите още от дълбока древност. Египтяните са се опитвали да изчисляват площта на нивите си, Вавилонците — да разбират обемите на своите постройки и канали. В Древна Гърция, с работата на Евдокс и по-късно Архимед, тези проблеми са поставени на по-строга основа. Архимедовият метод на изчерпването дава първите концептуални стъпки към това, което днес наричаме интеграл.
И все пак, докато античните математици са имали гениални прозрения, техният апарат е бил ограничен. Те са боравели с крайни числа и крайни фигури, но им е липсвала формализирана концепция за безкрайността и безкрайно малките величини — ключово за съвременното интегрално смятане.
Много от въпросите, на които интегралното смятане дава отговор, изглеждат на пръв поглед прости: Колко е площта на фигура, ограничена от дадена крива? Колко е дължината на дадена крива? Какъв е обемът на тяло с неправилна форма? Каква работа извършва сила, която се променя по дължината на пътя? Именно в тези „прости" въпроси се крият основите на сложността, породила един от най-мощните апарати на съвременната математика. Интегралното смятане разглежда натрупването на безкрайно много безкрайно малки величини.
През XVII век Исак Нютон и Готфрид Вилхелм Лайбниц, независимо един от друг, изграждат основите на математическия анализ. Лайбниц създава символиката, която е в основата на анализа и до днес — знакът за интеграл \(\int\), наподобяващ удължена буква S от латинската дума summa (сума). Нютон използва интеграли, за да обясни механични явления като движението на телата и гравитацията. Основната теорема на анализа, свързваща диференцирането и интегрирането, се утвърждава като един от стълбовете на съвременната математика.
Днес интегралното смятане е неразделна част от всички инженерни науки, физика, биология, икономика и дори социални науки. Прогнозите за климата, изчисленията за устойчивостта на сгради и мостове, оценката на рискове във финансите и определянето на вероятностите за генетични мутации — всички те използват интегралното смятане като основен инструмент.
Какво е неопределен интеграл?
Ако производната на дадена функция ни казва колко бързо и в каква посока се изменя тя, то неопределеният интеграл е своеобразното обръщане на този процес. Ако знаем как се променя нещо, можем ли да разберем какво е то? Можем ли, ако ни е известна скоростта на движение на кола по всяко време, да определим изминатия път?
Процесът на интегриране е по същество сумиране на безкрайно много безкрайно малки промени. Неопределеният интеграл не дава конкретно число, а цяла функция — тя описва натрупания резултат от тези промени. Тъй като можем да добавяме произволна константа към всяко такова натрупване, неопределеният интеграл винаги съдържа т.нар. константа на интегриране \(C\). Тя символизира цялото множество функции, които имат една и съща производна.
Теория
Определение 1: Казваме, че функцията \(F\) е примитивна на функцията \(f\) в интервала \(\Delta\), ако \(F'(x)=f(x)\) за всяко \(x\in \Delta\).
Теорема 1: Две функции \(F(x)\) и \(G(x)\) са примитивни на една и съща функция в интервала \(\Delta\) тогава и само тогава, когато \(F(x)=G(x)+C\) за някоя константа \(C\in \mathbb{R}\).
Определение 2: Съвкупността от всички примитивни функции \(F\) на функцията \(f\) називаме неопределен интеграл и означаваме с \(\int f(x)\,dx\).
Предложение 1: В сила са тъждествата:
(1) \(d\!\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx\); (2) \(\int d(F(x))=F(x)+C\).
(1) \(d\!\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx\); (2) \(\int d(F(x))=F(x)+C\).
Предложение 2 (Линейни свойства): В сила са:
(1) \(\int\!\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx\);
(2) \(\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx,\quad c\in\mathbb{R}\).
(1) \(\int\!\left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx\);
(2) \(\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx,\quad c\in\mathbb{R}\).
Основни неопределени интеграли
- 1. \(\int 0\,dx=C\)
- 2. \(\int dx=x+C\)
- 3. \(\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1\)
- 4. \(\int\dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C\)
- 5. \(\int e^{x}\,dx=e^{x}+C\)
- 6. \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\)
- 7. \(\int\cos x\,dx=\sin x+C\)
- 8. \(\int\dfrac{dx}{\sin^{2}x}=-\cot x+C\)
- 9. \(\int\dfrac{dx}{\cos^{2}x}=\tan x+C\)
- 10. \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C\)
- 11. \(\int\dfrac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C\)
- 12. \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\ln\!\left|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right|+C\)
- 13. \(\int\dfrac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\dfrac{1}{2a}\ln\!\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C\)
- 14. \(\int a^{x}\,dx=\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C,\quad a>0,\;a\neq 1\)
Непосредствено интегриране. При непосредственото интегриране използваме различни тъждествени преобразувания на подинтегралната функция, както и линейните свойства на интеграла, с цел да приведем интеграла до форма, която позволява директно прилагане на известен табличен интеграл или на няколко такива.
Разработени задачи
Натиснете върху задача, за да се отвори пълното решение.
1
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(3x^{2}+2x+1\right)dx\)
▼
Решение
Използваме линейното свойство на интеграла (Предложение 2, формула (1)), за да разделим интеграла на сума от три интеграла:
\[I = \int\!\left(3x^{2}+2x+1\right)dx = \int 3x^{2}\,dx + \int 2x\,dx + \int 1\,dx.\]
След това изнасяме константите пред интегралните знаци:
\[I = 3\int x^{2}\,dx + 2\int x\,dx + \int dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 3. \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) за всеки от трите:
\[I = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} + 2\cdot\frac{x^{2}}{2} + x + C = x^{3}+x^{2}+x+C.\]
Отговор: \(I = x^{3}+x^{2}+x+C\)
2
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(5x^{4}-2x^{3}+7x^{2}-10x+11\right)dx\)
▼
Решение
Прилагаме линейното свойство на интеграла, за да разделим на пет интеграла и изнесем константите пред тях:
\[\int\!\left(5x^{4}-2x^{3}+7x^{2}-10x+11\right)dx\]
\[= 5\int x^{4}\,dx - 2\int x^{3}\,dx + 7\int x^{2}\,dx - 10\int x\,dx + 11\int dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 3. \(\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) за всеки от петте:
\[= 5\cdot\frac{x^{5}}{5} - 2\cdot\frac{x^{4}}{4} + 7\cdot\frac{x^{3}}{3} - 10\cdot\frac{x^{2}}{2} + 11x + C\]
\[= x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + \frac{7}{3}x^{3} - 5x^{2} + 11x + C.\]
Отговор: \(x^{5}-\tfrac{1}{2}x^{4}+\tfrac{7}{3}x^{3}-5x^{2}+11x+C\)
3
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(\cos x+2\sqrt[5]{x^{3}}\right)dx\)
▼
Решение
Прилагаме линейното свойство и разделяме на два интеграла:
\[I = \int\cos x\,dx + 2\int\sqrt[5]{x^{3}}\,dx.\]
Първият интеграл е табличен (формула 7.). За втория преобразуваме радикала, като използваме формулата \(\sqrt[m]{a^{n}}=a^{n/m}\):
\[\sqrt[5]{x^{3}}=x^{3/5}.\]
Следователно:
\[I = \int\cos x\,dx + 2\int x^{3/5}\,dx.\]
Прилагаме табличните интеграли 7. и 3.:
\[I = \sin x + 2\cdot\frac{x^{3/5+1}}{3/5+1} + C = \sin x + 2\cdot\frac{x^{8/5}}{8/5} + C = \sin x + \frac{5}{4}x^{8/5} + C.\]
Отговор: \(\sin x + \tfrac{5}{4}x^{8/5} + C\)
4
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(2^{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)dx\)
▼
Решение
Прилагаме линейното свойство и представяме интеграла като сума от два:
\[\int 2^{x}\,dx + \int\sqrt{\frac{1}{x}}\,dx.\]
Записваме подинтегралната функция на втория интеграл като степен:
\[\sqrt{\frac{1}{x}} = x^{-1/2}.\]
По този начин интегралът става:
\[\int 2^{x}\,dx + \int x^{-1/2}\,dx.\]
Интегрираме, като използваме табличния интеграл 14. \(\int a^{x}\,dx=\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C\) и табличния интеграл 3.:
\[\frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{2^{x}}{\ln 2} + 2x^{1/2} + C = \frac{2^{x}}{\ln 2} + 2\sqrt{x} + C.\]
Отговор: \(\dfrac{2^{x}}{\ln 2}+2\sqrt{x}+C\)
5
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{x^{4}-6x^{2}+3\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}-1}{x\sqrt{x}}\,dx\)
▼
Решение
Забелязваме, че \(x\sqrt{x}=x^{3/2}\). Разделяме дробта по членове и опростяваме показателите \((x^{a}/x^{b}=x^{a-b})\):
\[\int\frac{x^{4}}{x^{3/2}}dx - 6\int\frac{x^{2}}{x^{3/2}}dx + 3\int\frac{x^{1/2}}{x^{3/2}}dx + \int\frac{x^{1/3}}{x^{3/2}}dx - \int\frac{1}{x^{3/2}}dx\]
\[= \int x^{5/2}\,dx - 6\int x^{1/2}\,dx + 3\int x^{-1}\,dx + \int x^{-7/6}\,dx - \int x^{-3/2}\,dx.\]
Всички интеграли са таблични. Използваме \(\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) и \(\int\dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C\):
\[= \frac{x^{7/2}}{7/2} - 6\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + 3\ln|x| + \frac{x^{-1/6}}{-1/6} - \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C\]
\[= \frac{2}{7}x^{7/2} - 4x^{3/2} + 3\ln|x| - 6x^{-1/6} + 2x^{-1/2} + C.\]
Отговор: \(\tfrac{2}{7}x^{7/2}-4x^{3/2}+3\ln|x|-6x^{-1/6}+2x^{-1/2}+C\)
6
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(\sqrt{x\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)dx\)
▼
Решение
Прилагаме линейното свойство и разделяме на три интеграла:
\[\int\sqrt{x\sqrt{x}}\,dx - 2\int x^{-1/2}\,dx + \int x^{-3}\,dx.\]
Опростяваме \(\sqrt{x\sqrt{x}}=\sqrt{x\cdot x^{1/2}}=\sqrt{x^{3/2}}=\left(x^{3/2}\right)^{1/2}=x^{3/4}\):
\[= \int x^{3/4}\,dx - 2\int x^{-1/2}\,dx + \int x^{-3}\,dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 3.:
\[= \frac{x^{7/4}}{7/4} - 2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{x^{-2}}{-2} + C = \frac{4}{7}x^{7/4} - 4x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-2} + C.\]
Отговор: \(\tfrac{4}{7}x^{7/4}-4\sqrt{x}-\tfrac{1}{2}x^{-2}+C\)
7
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}}{\sqrt[4]{x}}\,dx\)
▼
Решение
За числителя на подинтегралната функция прилагаме формулата \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\), при \(a=\sqrt{x}=x^{1/2}\) и \(b=\sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3}\):
\[\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}=x-2\cdot x^{1/2}\cdot x^{2/3}+x^{4/3}=x-2x^{7/6}+x^{4/3}.\]
Делим по \(\sqrt[4]{x}=x^{1/4}\) и опростяваме показателите:
\[\int\!\left(\frac{x}{x^{1/4}}-\frac{2x^{7/6}}{x^{1/4}}+\frac{x^{4/3}}{x^{1/4}}\right)dx = \int x^{3/4}\,dx - 2\int x^{11/12}\,dx + \int x^{13/12}\,dx.\]
Всеки от трите интеграла е табличен (формула 3.):
\[= \frac{x^{7/4}}{7/4} - 2\cdot\frac{x^{23/12}}{23/12} + \frac{x^{25/12}}{25/12} + C = \frac{4}{7}x^{7/4} - \frac{24}{23}x^{23/12} + \frac{12}{25}x^{25/12} + C.\]
Отговор: \(\tfrac{4}{7}x^{7/4}-\tfrac{24}{23}x^{23/12}+\tfrac{12}{25}x^{25/12}+C\)
8
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{5}{\sqrt{4-4x^{2}}}\,dx\)
▼
Решение
Чрез елементарни преобразувания в подинтегралната функция ще доведем дадения интеграл до табличния интеграл 10. \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C\). Изнасяме \(4\) от корена:
\[\int\frac{5}{\sqrt{4-4x^{2}}}\,dx = 5\int\frac{dx}{\sqrt{4(1-x^{2})}} = 5\int\frac{dx}{2\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{5}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{5}{2}\arcsin x + C.\]
Отговор: \(\dfrac{5}{2}\arcsin x+C\)
9
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(4\cos x-\dfrac{5}{\sqrt{9x^{2}-9}}\right)dx\)
▼
Решение
Прилагаме линейното свойство и разделяме на два интеграла:
\[= \int 4\cos x\,dx - \int\frac{5}{\sqrt{9x^{2}-9}}\,dx.\]
В първия изнасяме 4 и прилагаме табличен интеграл 7. За втория изнасяме 9 от корена:
\[= 4\int\cos x\,dx - 5\int\frac{dx}{\sqrt{9(x^{2}-1)}} = 4\sin x - \frac{5}{3}\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}}.\]
Прилагаме табличния интеграл 12. \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C\) при \(a=1\):
\[= 4\sin x - \frac{5}{3}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-1}\right| + C.\]
Отговор: \(4\sin x-\dfrac{5}{3}\ln|x+\sqrt{x^{2}-1}|+C\)
10
Решете интеграла \(\displaystyle\int 2^{x}\cdot 3^{x}\cdot 5^{x}\,dx\)
▼
Решение
За подинтегралната функция прилагаме добре известната формула \(a^{n}\cdot b^{n}\cdot c^{n}=(a\cdot b\cdot c)^{n}\):
\[\int 2^{x}\cdot 3^{x}\cdot 5^{x}\,dx = \int(2\cdot 3\cdot 5)^{x}\,dx = \int 30^{x}\,dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 14. \(\int a^{x}\,dx=\dfrac{a^{x}}{\ln a}+C\):
\[= \frac{30^{x}}{\ln 30}+C.\]
Отговор: \(\dfrac{30^{x}}{\ln 30}+C\)
11
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{2^{x}\cdot 3^{2x}\cdot 4^{3x}}{5^{x}\cdot 6^{2x}}\,dx\)
▼
Решение
Преобразуваме подинтегралната функция, като \(4=2^{2}\) и \(6=2\cdot 3\):
\[\frac{2^{x}\cdot 3^{2x}\cdot(2^{2})^{3x}}{5^{x}\cdot(2\cdot 3)^{2x}} = \frac{2^{x}\cdot 3^{2x}\cdot 2^{6x}}{5^{x}\cdot 2^{2x}\cdot 3^{2x}} = \frac{2^{x+6x-2x}}{5^{x}} = \frac{2^{5x}}{5^{x}} = \left(\frac{32}{5}\right)^{x}.\]
Прилагаме табличния интеграл 14.:
\[\int\left(\frac{32}{5}\right)^{x}dx = \frac{\left(\frac{32}{5}\right)^{x}}{\ln\frac{32}{5}}+C.\]
Отговор: \(\dfrac{\left(\frac{32}{5}\right)^{x}}{\ln\frac{32}{5}}+C\)
12
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(5^{x}-2^{x}\right)^{2}dx\)
▼
Решение
За подинтегралната функция прилагаме формулата \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\), при \(a=5^{x}\) и \(b=2^{x}\):
\[\left(5^{x}-2^{x}\right)^{2}=\left(5^{x}\right)^{2}-2\cdot 5^{x}\cdot 2^{x}+\left(2^{x}\right)^{2}=25^{x}-2\cdot 10^{x}+4^{x}.\]
Прилагаме линейното свойство и интегрираме всеки член по формула 14.:
\[\int 25^{x}\,dx - 2\int 10^{x}\,dx + \int 4^{x}\,dx = \frac{25^{x}}{\ln 25} - \frac{2\cdot 10^{x}}{\ln 10} + \frac{4^{x}}{\ln 4}+C.\]
Отговор: \(\dfrac{25^{x}}{\ln 25}-\dfrac{2\cdot 10^{x}}{\ln 10}+\dfrac{4^{x}}{\ln 4}+C\)
13
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^{x}}\,dx\)
▼
Решение
Представяме числителя, използвайки \(2^{x+1}=2\cdot 2^{x}\) и \(5^{x-1}=\dfrac{5^{x}}{5}\):
\[\int\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^{x}}\,dx = \int\left(\frac{2\cdot 2^{x}}{10^{x}}-\frac{\frac{1}{5}\cdot 5^{x}}{10^{x}}\right)dx = 2\int\left(\frac{1}{5}\right)^{x}dx - \frac{1}{5}\int\left(\frac{1}{2}\right)^{x}dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 14.:
\[= 2\cdot\frac{(1/5)^{x}}{\ln(1/5)} - \frac{1}{5}\cdot\frac{(1/2)^{x}}{\ln(1/2)}+C.\]
Отговор: \(2\cdot\dfrac{(1/5)^{x}}{\ln(1/5)}-\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{(1/2)^{x}}{\ln(1/2)}+C\)
14
Решете интеграла \(\displaystyle\int 2^{2x}\cdot e^{x}\,dx\)
▼
Решение
Преобразуваме \(2^{2x}=(2^{2})^{x}=4^{x}\):
\[\int 2^{2x}\cdot e^{x}\,dx = \int 4^{x}\cdot e^{x}\,dx = \int(4\cdot e)^{x}\,dx = \int(4e)^{x}\,dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 14. при \(a=4e\):
\[= \frac{(4e)^{x}}{\ln(4e)}+C = \frac{(4e)^{x}}{\ln 4+\ln e}+C = \frac{(4e)^{x}}{\ln 4+1}+C.\]
Отговор: \(\dfrac{(4e)^{x}}{\ln 4+1}+C\)
15
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{2-2x^{2}}}-3^{-x}\right)dx\)
▼
Решение
Прилагаме линейното свойство:
\[\int\frac{dx}{\sqrt{2-2x^{2}}} - \int 3^{-x}\,dx.\]
За първия изнасяме 2 от корена: \(\sqrt{2-2x^{2}}=\sqrt{2}\sqrt{1-x^{2}}\), откъдето:
\[\int\frac{dx}{\sqrt{2(1-x^{2})}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}.\]
За втория записваме \(3^{-x}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\). Прилагаме табличните интеграли 10. и 14.:
\[= \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin x - \frac{(1/3)^{x}}{\ln(1/3)}+C.\]
Отговор: \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\arcsin x-\dfrac{(1/3)^{x}}{\ln(1/3)}+C\)
16
Решете интеграла \(\displaystyle\int\!\left(10^{-x}+\dfrac{x^{2}+2}{1+x^{2}}\right)dx\)
▼
Решение
Прилагаме линейното свойство. За втората дроб добавяме и изваждаме 1 в числителя:
\[\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}} = \frac{x^{2}+1+1}{1+x^{2}} = 1+\frac{1}{1+x^{2}}.\]
Следователно:
\[\int\!\left(10^{-x}+1+\frac{1}{1+x^{2}}\right)dx = \int\!\left(\frac{1}{10}\right)^{x}dx + \int dx + \int\frac{dx}{1+x^{2}}.\]
Трите интеграла са таблични (14., 2., 11.):
\[= \frac{(1/10)^{x}}{\ln(1/10)}+x+\arctan x+C.\]
Отговор: \(\dfrac{(1/10)^{x}}{\ln(1/10)}+x+\arctan x+C\)
17
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{2^{2x-1}-3^{2x+3}}{6^{2x}}\,dx\)
▼
Решение
Представяме \(2^{2x-1}=2^{-1}\cdot 2^{2x}=\dfrac{1}{2}\cdot 4^{x}\) и \(3^{2x+3}=3^{3}\cdot 3^{2x}=27\cdot 9^{x}\). Знаменателят: \(6^{2x}=(2\cdot 3)^{2x}=4^{x}\cdot 9^{x}\). Разделяме:
\[\frac{\frac{1}{2}\cdot 4^{x}-27\cdot 9^{x}}{4^{x}\cdot 9^{x}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9^{x}} - 27\cdot\frac{1}{4^{x}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}\right)^{x}-27\left(\frac{1}{4}\right)^{x}.\]
Прилагаме линейното свойство и табличния интеграл 14.:
\[= \frac{1}{2}\cdot\frac{(1/9)^{x}}{\ln(1/9)} - 27\cdot\frac{(1/4)^{x}}{\ln(1/4)}+C.\]
Отговор: \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1/9)^{x}}{\ln(1/9)}-27\cdot\dfrac{(1/4)^{x}}{\ln(1/4)}+C\)
18
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{3^{2x}-1}{3^{x}+1}\,dx\)
▼
Решение
Забелязваме, че \(3^{2x}-1=(3^{x})^{2}-1^{2}\). Прилагаме формулата за разлика на квадрати \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) при \(a=3^{x}\), \(b=1\):
\[\int\frac{3^{2x}-1}{3^{x}+1}\,dx = \int\frac{(3^{x}-1)\cancel{(3^{x}+1)}}{\cancel{(3^{x}+1)}}\,dx = \int(3^{x}-1)\,dx.\]
Прилагаме линейното свойство и табличните интеграли 14. и 2.:
\[= \int 3^{x}\,dx - \int dx = \frac{3^{x}}{\ln 3}-x+C.\]
Отговор: \(\dfrac{3^{x}}{\ln 3}-x+C\)
19
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}\,dx\)
▼
Решение
Записваме \(e^{3x}-1=(e^{x})^{3}-1^{3}\). Прилагаме формулата за разлика на кубове \(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\) при \(a=e^{x}\), \(b=1\):
\[\int\frac{(e^{x}-1)\left((e^{x})^{2}+e^{x}+1\right)}{e^{x}-1}\,dx = \int(e^{2x}+e^{x}+1)\,dx.\]
Прилагаме линейното свойство и табличните интеграли 5. и 2.:
\[= \int e^{2x}\,dx + \int e^{x}\,dx + \int dx = \frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+C.\]
Отговор: \(\dfrac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+C\)
20
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{2^{2x}-1}{\sqrt{2^{x}}}\,dx\)
▼
Решение
Разделяме дробта и опростяваме показателите:
\[\int\frac{2^{2x}-1}{\sqrt{2^{x}}}\,dx = \int\frac{2^{2x}}{2^{x/2}}\,dx - \int\frac{1}{2^{x/2}}\,dx = \int 2^{3x/2}\,dx - \int\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{x}dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 14.:
\[= \frac{2^{3x/2}}{\frac{3}{2}\ln 2} + \frac{(1/\sqrt{2})^{x}}{-\frac{1}{2}\ln 2}+C = \frac{2^{3x/2}}{\frac{3}{2}\ln 2} - \frac{2^{-x/2}}{\frac{1}{2}\ln 2}+C.\]
Отговор: \(\dfrac{2^{3x/2}}{\frac{3}{2}\ln 2}-\dfrac{2^{-x/2}}{\frac{1}{2}\ln 2}+C\)
21
Решете интеграла \(\displaystyle\int\sin^{2}\dfrac{x}{2}\,dx\)
▼
Решение
Прилагаме тригонометричната формула за понижение на степента:
\[\sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}.\]
Следователно:
\[\int\sin^{2}\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1-\cos x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2}\int\cos x\,dx.\]
Прилагаме табличните интеграли 2. и 7.:
\[= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x+C.\]
Отговор: \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\sin x+C\)
22
Решете интеграла \(\displaystyle\int\cos^{2}\dfrac{x}{2}\,dx\)
▼
Решение
Прилагаме тригонометричната формула за понижение на степента:
\[\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}.\]
Следователно:
\[\int\cos^{2}\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1+\cos x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2}\int\cos x\,dx.\]
Прилагаме табличните интеграли 2. и 7.:
\[= \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\sin x+C.\]
Отговор: \(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\sin x+C\)
23
Решете интеграла \(\displaystyle\int\tan^{2}x\,dx\)
▼
Решение
Използваме, че \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), и основното тригонометрично тъждество \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\), откъдето \(\sin^{2}x=1-\cos^{2}x\):
\[\int\tan^{2}x\,dx = \int\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\,dx = \int\frac{1-\cos^{2}x}{\cos^{2}x}\,dx.\]
Записваме като разлика на дроби:
\[= \int\!\left(\frac{1}{\cos^{2}x}-1\right)dx = \int\frac{dx}{\cos^{2}x} - \int dx.\]
Прилагаме табличните интеграли 9. и 2.:
\[= \tan x - x + C.\]
Отговор: \(\tan x-x+C\)
24
Решете интеграла \(\displaystyle\int\cot^{2}x\,dx\)
▼
Решение
Използваме, че \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\), и от основното тригонометрично тъждество \(\cos^{2}x=1-\sin^{2}x\):
\[\int\cot^{2}x\,dx = \int\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}\,dx = \int\frac{1-\sin^{2}x}{\sin^{2}x}\,dx.\]
Записваме като разлика на дроби:
\[= \int\!\left(\frac{1}{\sin^{2}x}-1\right)dx = \int\frac{dx}{\sin^{2}x} - \int dx.\]
Прилагаме табличните интеграли 8. и 2.:
\[= -\cot x - x + C.\]
Отговор: \(-\cot x-x+C\)
25
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}\,dx\)
▼
Решение
Прилагаме тъждеството \(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\). За числителя използваме формулата за разлика на квадрати \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\) при \(a=\cos x\), \(b=\sin x\):
\[\cos 2x = (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).\]
Следователно:
\[\int\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}\,dx = \int(\cos x+\sin x)\,dx.\]
Прилагаме линейното свойство и табличните интеграли 7. и 6.:
\[= \int\cos x\,dx + \int\sin x\,dx = \sin x - \cos x + C.\]
Отговор: \(\sin x-\cos x+C\)
26
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{1+\cos 2x}{\cos x}\,dx\)
▼
Решение
Използваме тъждествата \(1=\sin^{2}x+\cos^{2}x\) и \(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\), откъдето:
\[1+\cos 2x = \sin^{2}x+\cos^{2}x+\cos^{2}x-\sin^{2}x = 2\cos^{2}x.\]
Следователно:
\[\int\frac{1+\cos 2x}{\cos x}\,dx = \int\frac{2\cos^{2}x}{\cos x}\,dx = 2\int\cos x\,dx.\]
Прилагаме табличния интеграл 7.:
\[= 2\sin x+C.\]
Отговор: \(2\sin x+C\)
27
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{2}(1+x^{2})}\,dx\)
▼
Решение
Прибавяме и изваждаме \(x^{2}\) в числителя:
\[\int\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}\,dx = \int\frac{1+x^{2}-x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}\,dx.\]
Записваме като разлика на две прости дроби:
\[= \int\!\left(\frac{1+x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}-\frac{x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}\right)dx = \int\frac{1}{x^{2}}\,dx - \int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.\]
Прилагаме табличните интеграли 3. (при \(n=-2\)) и 11. (при \(a=1\)):
\[= -\frac{1}{x} - \arctan x + C.\]
Отговор: \(-\dfrac{1}{x}-\arctan x+C\)
28
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{\cos 2x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx\)
▼
Решение
Прилагаме тъждеството \(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\):
\[\int\frac{\cos 2x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx = \int\frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx.\]
Записваме като разлика на две дроби:
\[= \int\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx - \int\frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx = \int\frac{dx}{\sin^{2}x} - \int\frac{dx}{\cos^{2}x}.\]
Прилагаме табличните интеграли 8. и 9.:
\[= -\cot x - \tan x + C.\]
Отговор: \(-\cot x-\tan x+C\)
29
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}}{1-x^{2}}\,dx\)
▼
Решение
В числителя добавяме и изваждаме 1:
\[\int\frac{x^{2}}{1-x^{2}}\,dx = \int\frac{x^{2}-1+1}{1-x^{2}}\,dx = \int\!\left(\frac{x^{2}-1}{1-x^{2}}+\frac{1}{1-x^{2}}\right)dx.\]
Опростяваме дробта: \(\dfrac{x^{2}-1}{1-x^{2}}=-1\). Следователно:
\[= \int\!\left(-1+\frac{1}{1-x^{2}}\right)dx = -\int dx + \int\frac{dx}{1-x^{2}}.\]
Интегрираме, като \(\int\dfrac{dx}{1-x^{2}}=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+C\) (таблица 13. при \(a=1\), смяна на знака):
\[= -x + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C.\]
Отговор: \(-x+\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+C\)
30
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx\)
▼
Решение
Прилагаме основното тригонометрично тъждество \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\) в числителя:
\[\int\frac{1}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx = \int\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx.\]
Разделяме на две дроби:
\[= \int\frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx + \int\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x}\,dx = \int\frac{dx}{\cos^{2}x} + \int\frac{dx}{\sin^{2}x}.\]
Прилагаме табличните интеграли 9. и 8.:
\[= \tan x - \cot x + C.\]
Отговор: \(\tan x-\cot x+C\)
31
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos 2x+\sin^{2}x}\,dx\)
▼
Решение
Прилагаме тъждеството \(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\) в знаменателя:
\[\cos 2x+\sin^{2}x = \cos^{2}x-\sin^{2}x+\sin^{2}x = \cos^{2}x.\]
Следователно:
\[\int\frac{dx}{\cos 2x+\sin^{2}x} = \int\frac{dx}{\cos^{2}x}.\]
Прилагаме табличния интеграл 9.:
\[= \tan x+C.\]
Отговор: \(\tan x+C\)
32
Решете интеграла \(\displaystyle\int\dfrac{1+\cos^{2}x}{1+\cos 2x}\,dx\)
▼
Решение
Прилагаме тъждеството \(\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x\) в знаменателя:
\[1+\cos 2x = \sin^{2}x+\cos^{2}x+\cos^{2}x-\sin^{2}x = 2\cos^{2}x.\]
Следователно:
\[\int\frac{1+\cos^{2}x}{2\cos^{2}x}\,dx = \int\!\left(\frac{1}{2\cos^{2}x}+\frac{\cos^{2}x}{2\cos^{2}x}\right)dx = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{\cos^{2}x}+\frac{1}{2}\int dx.\]
Прилагаме табличните интеграли 9. и 2.:
\[= \frac{1}{2}\tan x+\frac{1}{2}x+C.\]
Отговор: \(\dfrac{1}{2}\tan x+\dfrac{1}{2}x+C\)
Задачи за самостоятелна работа
Задачи 1–16 — Решете интегралите
1. \(\displaystyle\int(9x^{2}-4x+5)\,dx\)
2. \(\displaystyle\int\dfrac{(x^{2}-1)^{2}}{x}\,dx\)
3. \(\displaystyle\int\dfrac{1+2x^{2}}{x^{2}(1+x^{2})}\,dx\)
4. \(\displaystyle\int\dfrac{2x^{4}-5x^{2}+3}{x^{2}-1}\,dx\)
5. \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx\) 6. \(\displaystyle\int\!\left(\dfrac{9}{x}+\dfrac{4}{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right)dx\) 7. \(\displaystyle\int\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{4-4x^{2}}}+\dfrac{7}{\cos^{2}x}\right)dx\)
8. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{4}-1}\,dx\) 9. \(\displaystyle\int\dfrac{xe^{x}-2}{x}\,dx\) 10. \(\displaystyle\int\dfrac{5x\sin^{2}x+6}{\sin^{2}x}\,dx\)
11. \(\displaystyle\int\!\left(3e^{x}-4\cos x+\dfrac{1}{3+3x^{2}}\right)dx\) 12. \(\displaystyle\int(6x^{5}-5x^{4}+4x^{3}-x+5)\,dx\)
13. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{3x^{2}-4}}\,dx\) 14. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{2}+2}\,dx\) 15. \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}+7}{x^{2}+9}\,dx\) 16. \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}+11}{x^{2}-25}\,dx\)
5. \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx\) 6. \(\displaystyle\int\!\left(\dfrac{9}{x}+\dfrac{4}{x^{3}}+\sqrt[3]{x^{2}}\right)dx\) 7. \(\displaystyle\int\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{4-4x^{2}}}+\dfrac{7}{\cos^{2}x}\right)dx\)
8. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{4}-1}\,dx\) 9. \(\displaystyle\int\dfrac{xe^{x}-2}{x}\,dx\) 10. \(\displaystyle\int\dfrac{5x\sin^{2}x+6}{\sin^{2}x}\,dx\)
11. \(\displaystyle\int\!\left(3e^{x}-4\cos x+\dfrac{1}{3+3x^{2}}\right)dx\) 12. \(\displaystyle\int(6x^{5}-5x^{4}+4x^{3}-x+5)\,dx\)
13. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{3x^{2}-4}}\,dx\) 14. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^{2}+2}\,dx\) 15. \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}+7}{x^{2}+9}\,dx\) 16. \(\displaystyle\int\dfrac{x^{2}+11}{x^{2}-25}\,dx\)
Онлайн тест
10 въпроса • 6 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Неопределен интеграл
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Използвана литература
- 1.Класически учебници и сборници по математически анализ.
- 2.Университетски курсове по интегрално смятане.
- 3.Таблици с основни неопределени интеграли.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Математически анализ и университетска математика◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Математически анализ и университетска математика◆
Коментари
Публикуване на коментар