Общи задачи по геометрия от изучения материал през учебната година - 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Сборни задачи

Сборни задачи по геометрия
Триъгълници, успоредници и ъглополовящи

37 задачи за упражнение: триъгълници, равнобедрени триъгълници, ъглополовящи, височини, медиани, успоредници, ромбове и правоъгълници

7 клас 37 задачи Триъгълници Ъглополовящи Височини и медиани Успоредници 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Сборни задачи за упражнение по геометрия — триъгълници, равнобедрени триъгълници, ъглополовящи, височини, медиани, успоредници, ромбове и правоъгълници

В този урок са събрани 37 задачи за по-задълбочена подготовка по геометрия за 7 клас. Задачите обхващат свойства на триъгълниците (равнобедрени, равностранни, правоъгълни), ъглополовящи, височини, медиани, средни отсечки, както и успоредници, ромбове, правоъгълници и квадрати. Голяма част от задачите изискват доказателства и са подходящи за подготовка за НВО и математически състезания.

---

Задачи

Задача 11. Даден е триъгълник \(ABC\) и точка \(P\), която не съвпада с точка \(C\), но лежи на ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълника при върха \(C\):
а) да се докаже, че периметърът на \(\triangle ABP\) е по-голям от периметъра на \(\triangle ABC\);
б) в кой случай правата \(PC\) би била успоредна на \(AB\)?

Задача 22. В триъгълник \(ABC\) ъглите \(\sphericalangle BAC\) и \(\sphericalangle ACB\) имат големини съответно \(75^{\circ}\) и \(90^{\circ}\), а дължината на страната \(AC\) е \(3\) cm. Нека \(M\) е точка от страната \(BC\) такава, че \(\sphericalangle MAC=60^{\circ}\). Да се намери дължината на отсечката \(BM\).

Задача 33. В триъгълника \(ABC\) ъглополовящата на \(\sphericalangle BAC\) пресича \(BC\) в точка \(D\). Правата \(b\) през \(D\), успоредна на \(AC\), пресича \(AB\) в точка \(P\):
а) да се докаже, че \(\triangle APD\) е равнобедрен;
б) да се намери дължината на \(CP\), ако \(AP=5\) cm, а правите \(PD\) и \(PC\) разделят \(\sphericalangle BPA\) в отношение \(3:1:2\).

Задача 44. Страната \(PQ\) на \(\triangle PQR\) е разделена от точките \(M\) и \(N\) на три равни части, като точката \(M\) е между точките \(P\) и \(N\). Върху отсечката \(MR\) е взета точка \(S\) така, че \(PM=MS\). Ако е известно, че \(\sphericalangle RMP=120^{\circ}\), да се докаже, че \(QS\perp RM\).

Задача 55. Едната страна на даден триъгълник е с \(12{,}2\) cm по-малка от втората и с \(8{,}4\) cm по-голяма от третата. Да се намерят дължините на страните на триъгълника, ако периметърът му е с \(56{,}2\) cm по-голям от периметъра на триъгълника с върхове средите на страните на първия триъгълник.

Задача 66. Даден е триъгълник \(ABC\). На продължението на страната \(BC\) от точка \(C\) е нанесена отсечка \(CM=AC\), а височината \(BE\) на \(\triangle ABC\) (\(BE\perp AC\)) е продължена до точка \(N\), така че \(\sphericalangle MNB=90^{\circ}\). Да се докаже, че:
а) \(BN=BE+AD\) (където \(AD\) е височина на \(\triangle ABC\));
б) \(\sphericalangle NMA=\sphericalangle AMC=\frac{1}{2}\sphericalangle ACB\).

Задача 77. В остроъгълен равнобедрен триъгълник \(ABC\) симетралата на бедрото \(BC\) пресича правата \(AB\) в точка \(D\). На продължението на \(DC\) е нанесена отсечката \(CP=DA\). Да се докаже, че:
а) триъгълникът \(DBC\) е равнобедрен;
б) \(DB=BP\), и да се намерят големините на ъглите на \(\triangle DBP\), ако \(\sphericalangle ACB=40^{\circ}\). Отг.: ъглите на \(\triangle DBP\) са \(40^{\circ}\), \(40^{\circ}\) и \(100^{\circ}\).

Задача 88. Даден е триъгълникът \(MNP\), в който \(\sphericalangle M=75^{\circ}\) и \(\sphericalangle P=90^{\circ}\). Ако \(Q\) е точка от страната \(NP\), такава, че \(\sphericalangle QMP=60^{\circ}\) и \(MP=2\) cm, да се намери дължината на отсечката \(QN\). Отг.: \(4\) cm.

Задача 99. В триъгълник \(ABC\) са прекарани вътрешната ъглополовяща на ъгъл \(B\) и външната ъглополовяща на ъгъл \(C\), които се пресичат в точка \(M\). Да се докаже, че \(\sphericalangle BMC=\frac{1}{2}\sphericalangle BAC\).

Задача 1010. През върха \(A\) на основата на равнобедрения триъгълник \(ABC\) е прекарана права \(l\), перпендикулярна на бедрото \(AC\), а през върха \(C\) е прекарана друга права \(p\), перпендикулярна на бедрото \(BC\). Правата \(p\) пресича основата \(AB\) на триъгълника (или нейното продължение) в точка \(O\), а правата \(l\) пресича \(OC\) в точка \(D\). Да се докаже, че \(AD=OD\) и да се намерят големините на ъглите на \(\triangle ODA\), ако \(\sphericalangle BAC=50^{\circ}\). Отг.: \(\sphericalangle ODA=100^{\circ}\); \(\sphericalangle DOA=\sphericalangle DAO=40^{\circ}\).

Задача 1111. В правоъгълен триъгълник един от ъглите е \(30^{\circ}\). Да се докаже, че в този триъгълник отсечката от перпендикуляра, издигнат към хипотенузата през средата й до пресечната точка с катета, има дължина, три пъти по-малка от дължината на големия катет на дадения триъгълник.

Задача 1212. \(AB\) е основа на равнобедрения \(\triangle ABC\), \(M\) и \(N\) са точки, лежащи съответно на \(AC\) и \(BC\), а \(O\) е пресечната точка на \(AN\) и \(BM\). Да се докаже, че:
а) ако \(\sphericalangle AMB=\sphericalangle ANB\), то правата \(CO\) е перпендикулярна на \(AB\);
б) ако правата \(CO\) е перпендикулярна на \(AB\), то \(\sphericalangle AMB=\sphericalangle ANB\).

Задача 1313. Даден е равностранният \(\triangle ABC\). Построени са съответно ъглополовящите на ъглите \(\sphericalangle BAC\) и \(\sphericalangle ABC\), които се пресичат в точка \(M\). През средите \(P\) и \(Q\) на отсечките \(AM\) и \(BM\) са издигнати перпендикуляри, които пресичат \(AB\) съответно в точките \(R\) и \(S\). Да се докаже, че:
а) \(\triangle APR\cong\triangle BQS\);
б) \(AR=RS=SB\).

Задача 1414. Върху бедрата \(AC\) и \(BC\) на равнобедрения триъгълник \(ABC\) са нанесени равните отсечки \(AM\) и \(BN\). Да се докаже, че:
а) отсечките \(BM\) и \(AN\) са равни;
б) пресечната точка на правите \(BM\) и \(AN\) лежи на ъглополовящата \(CD\) на \(\sphericalangle ACB\).

Задача 1515. Даден е триъгълник \(ABC\), на който \(\sphericalangle ACB=80^{\circ}\). Върху лъча \(AB^{\rightarrow}\) е взета точка \(M\), а върху лъча \(BA^{\rightarrow}\) — точка \(N\). Ъглополовящите на \(\sphericalangle NAC\) и на \(\sphericalangle CBM\) се пресичат в точка \(P\). Да се определят големините на ъглите на \(\triangle ABC\) и на \(\triangle APB\), ако \(\sphericalangle BAP=60^{\circ}\).

Задача 1616. В равнобедрен триъгълник \(ABC\) с основа \(AB\) са прекарани медианите \(AD\) и \(BE\). Да се пресметнат дължините на страните на триъгълника \(ABC\), ако периметърът му е \(55\) cm, а периметърът на \(\triangle ACD\) е с \(5\) cm по-голям от периметъра на \(\triangle ABE\).

Задача 1717. Диагоналът \(AC\) на четириъгълника \(ABCD\) разполовява диагонала \(BD\). Точките \(M\), \(K\) и \(N\) са среди съответно на \(AD\), \(AC\) и \(BC\), а \(S=AC\cap BD\). Да се намери периметърът на четириъгълника \(MKNS\), ако \(AB=a\), \(CD=b\).

Задача 1818. Даден е успоредникът \(ABCD\), в който \(AB=2BC\). Ъглополовящата на \(\sphericalangle BAD\) пресича \(CD\) в точка \(M\), а правите \(BM\) и \(AD\) се пресичат в точка \(P\).
а) Да се докаже, че триъгълникът \(AMP\) е правоъгълен.
б) Да се намери лицето на успоредника, ако лицето на \(\triangle AMP\) е равно на \(50\) cm\(^2\). Отг.: \(100\) cm\(^2\).

Задача 1919. Върху страната \(AB\) на триъгълника \(ABC\) е избрана произволна точка \(D\). Да се докаже неравенството \(CD>\frac{1}{2}(CA+CB-AB)\).

Задача 2020. В остроъгълния \(\triangle ABC\) са построени височините \(AF\) и \(CD\), които се пресичат в точката \(O\). Точката \(M\) е среда на \(AB\), а \(N\) — среда на \(OC\). Да се докаже, че \(\sphericalangle MFN=90^{\circ}\).

Задача 2121. Хипотенузата \(AB\) в правоъгълния триъгълник \(ABC\) е четири пъти по-голяма от височината \(CD\) (\(D\in AB\)). Да се намерят острите ъгли на триъгълника.

Задача 2222. Ъглополовящата на ъгъла при върха \(C\) на триъгълника \(ABC\) образува със страната \(AB\) ъгъл \(73^{\circ}\), а с ъглополовящата на \(\sphericalangle CAB\) — ъгъл \(58^{\circ}\). Да се намерят ъглите на триъгълника.

Задача 2323. Във вътрешността на остроъгълния \(\triangle ABC\) е взета точка \(M\) така, че \(\sphericalangle ABM=\sphericalangle ACM\), \(\sphericalangle BCM=\sphericalangle BAM\), \(\sphericalangle CAM=\sphericalangle CBM\). Да се докаже, че \(M\) е пресечна точка на височините на триъгълника.

Задача 2424. Ъглополовящата на \(\sphericalangle CAB\) на триъгълника \(ABC\) пресича височината \(BD\) в точката \(O\), а перпендикуляра към \(AB\), прекаран през върха \(B\) — в точката \(M\). Да се докаже, че \(BO=BM\).

Задача 2525. Даден е успоредникът \(ABCD\). Вън от него са построени квадратите \(ABEF\) и \(BCKL\). Да се докаже, че отсечките \(DK\) и \(DF\) са равни и перпендикулярни.

Задача 2626. През точка \(P\), лежаща върху правата \(AB\), от едната страна на правата са прекарани два лъча, еднакво наклонени спрямо \(AB\). Върху тях са нанесени равни отсечки \(MP\) и \(NP\). Да се докаже, че правата \(MN\) е успоредна на \(AB\).

Задача 2727. Върху продължението на най-голямата страна \(AC\) на триъгълника \(ABC\) е нанесена отсечка \(CM=BC\). Да се докаже, че \(\sphericalangle ABM\) е тъп.

Задача 2828. В триъгълника \(ABC\) през върха \(C\) е прекарана медианата \(CD\). От върховете \(A\) и \(B\) са спуснати перпендикуляри \(AM\) и \(BN\) към правата, върху която лежи медианата \(CD\). Да се докаже, че четириъгълникът \(ANBM\) е успоредник.

Задача 2929. В триъгълника \(ABC\) е прекарана медианата \(CE\) (\(E\) лежи на \(AB\)). От върховете \(A\) и \(B\) са спуснати перпендикуляри \(AP\) и \(BQ\) към правата, на която лежи медианата \(CE\):
а) да се докаже, че четириъгълникът \(AQBP\) е успоредник;
б) да се намери дължината на страната \(AB\), ако \(BQ=15{,}5\) cm и \(\sphericalangle BEQ=30^{\circ}\). Отг.: б) \(62\) cm.

Задача 3030. Даден е \(\triangle ABC\). Върху \(AB\) е избрана точка \(M\) така, че \(AM=\frac{1}{2}MB\). Върху отсечката \(CM\) е избрана точка \(N\) така, че \(NM=MA\). Известно е още, че \(\sphericalangle CMB=60^{\circ}\) и \(NA=NC\):
а) да се докаже, че \(NB\perp CM\);
б) да се намерят големините на ъглите на триъгълника \(ABC\). Отг.: \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\), \(75^{\circ}\).

Задача 3131. В равнобедрен триъгълник \(ABC\) (\(AC=BC\)), в който \(\sphericalangle ACB<\sphericalangle CAB\), е построена симетралата на бедрото \(AC\), пресичаща \(AB\) в точка \(M\):
а) да се докаже, че точката \(M\) лежи на лъч с начало точката \(B\), несъдържащ точката \(A\);
б) ако по лъча \(MC^{\rightarrow}\) се нанесе отсечка \(CP=BM\), да се покаже, че \(AP=AM\).

Задача 3232. В триъгълника \(ABC\) е прекарана ъглополовящата на ъгъл \(\sphericalangle BAC\) до пресичането й със страната \(BC\) в точка \(D\). На най-голямата страна \(AB\) е нанесена отсечка \(AM\), равна на \(AC\). Точките \(D\) и \(M\) са съединени, \(\sphericalangle ACB=120^{\circ}\) и \(\sphericalangle ABC=30^{\circ}\). Да се намери:
а) големината на \(\sphericalangle BDM\);
б) периметърът на \(\triangle ABC\), ако \(AC=8{,}2\) cm и \(DM=3\) cm. Отг.: а) \(90^{\circ}\); б) \(30{,}6\) cm.

Задача 3333. Диагоналите \(AC\) и \(BD\) на правоъгълника \(ABCD\) се пресичат в точката \(O\).
а) Ако \(\sphericalangle AOD=2\sphericalangle AOB\), да се докаже, че \(AC=2AB\).
б) Нека \(\sphericalangle AOD=5\sphericalangle AOB\), точката \(N\) от страната \(AD\) е такава, че \(\sphericalangle CBN=5\sphericalangle ABN\) и \(M\) е пресечната точка на \(AC\) и \(BN\). Да се докаже, че \(CM+MN=3(AM+MB)\).

Задача 3434. В правоъгълния триъгълник \(ABC\) (\(\sphericalangle BAC=90^{\circ}\)) отсечката \(CL\) е ъглополовяща. Симетралата на страната \(AB\) пресича \(BC\) в точката \(M\), като \(ML\perp BC\).
а) Да се намерят ъглите на триъгълника \(ABC\).
б) Да се докаже, че ако \(b\) и \(m\) са съответно дължините на \(AC\) и \(ML\), то \(\frac{b}{m}\in \left(\frac{3}{2},\,2\right)\).

Задача 3535. Точките \(M\) и \(N\) лежат съответно на страните \(BC\) и \(CD\) на ромба \(ABCD\), като \(\sphericalangle BAM=\sphericalangle DAN=\frac{1}{2}\sphericalangle MAN\). Да се намерят ъглите на ромба, ако:
а) триъгълниците \(AMC\) и \(AMB\) са равнолицеви;
б) лицето на \(\triangle AMN\) е два пъти по-голямо от лицето на \(\triangle ABM\).

Задача 3636. Върху страните \(AB\) и \(AC\) на триъгълника \(ABC\) са построени външно квадратите \(ABMN\) и \(ACPQ\). Пресечната точка на \(BQ\) и \(NC\) е означена с \(O\).
а) Да се докаже, че отсечките \(BQ\) и \(CN\) са равни и перпендикулярни.
б) Да се докаже, че точките \(M\), \(P\) и \(O\) лежат на една права.

Задача 3737. В триъгълника \(ABC\) (\(\sphericalangle C=90^{\circ}\)) височината е \(CD\) (\(D\in AB\)), ъглополовящата на \(\sphericalangle BCD\) (\(L\in AB\)) е \(CL\), точката \(M\) е средата на \(CL\) и \(AM\) пресича \(CD\) и \(CB\) съответно в точките \(Q\) и \(S\). Да се докаже, че:
а) \(CQLS\) е ромб;
б) ако \(\sphericalangle CAB=2\sphericalangle CBA\), то \(SQ=AQ\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Сборни задачи по геометрия

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Колко е сборът на ъглите в триъгълник?

\(90^{\circ}\) \(180^{\circ}\) \(360^{\circ}\)

2В равнобедрен триъгълник с ъгъл при върха \(40^{\circ}\), колко е всеки ъгъл при основата?

\(60^{\circ}\) \(70^{\circ}\) \(80^{\circ}\)

3Колко е всеки ъгъл в равностранен триъгълник?

\(45^{\circ}\) \(60^{\circ}\) \(90^{\circ}\)

4(Вж. задача 2) В \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle BAC=75^{\circ}\) и \(\sphericalangle ACB=90^{\circ}\), колко е \(\sphericalangle ABC\)?

\(15^{\circ}\) \(25^{\circ}\) \(30^{\circ}\)

5Външният ъгъл на триъгълник е равен на:

сбора на двата вътрешни неприлежащи ъгъла сбора на всички вътрешни ъгли разликата на двата вътрешни ъгъла

6В правоъгълен триъгълник с ъгъл \(30^{\circ}\), катетът срещу този ъгъл е равен на:

половината от хипотенузата третината от хипотенузата хипотенузата

7Средната отсечка на триъгълник е:

успоредна на третата страна и равна на нея успоредна на третата страна и равна на половината от нея перпендикулярна на третата страна

8(Вж. задача 18) Сборът на два последователни ъгъла в успоредник е:

\(90^{\circ}\) \(180^{\circ}\) \(360^{\circ}\)

9Диагоналите на правоъгълник:

са равни и се разполовяват взаимно са перпендикулярни са равни и перпендикулярни

10Диагоналите на ромб:

са равни са перпендикулярни и се разполовяват взаимно са равни и перпендикулярни

11(Вж. задача 22) Ъглополовящата на ъгъл \(80^{\circ}\) разделя ъгъла на два ъгъла с големини:

\(30^{\circ}\) и \(50^{\circ}\) \(40^{\circ}\) и \(40^{\circ}\) \(45^{\circ}\) и \(35^{\circ}\)

12Медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на:

хипотенузата половината от хипотенузата третината от хипотенузата

13Ако в успоредник едната страна е \(10\) cm, а другата \(6\) cm, то периметърът е:

\(26\) cm \(32\) cm \(60\) cm

14(Вж. задача 29) Ако \(BQ=15{,}5\) cm и \(\sphericalangle BEQ=30^{\circ}\), то \(BE=2\cdot BQ\). Колко е \(AB\)?

\(31\) cm \(62\) cm \(46{,}5\) cm

15(Вж. задача 30) Ъглите на \(\triangle ABC\) от задача 30 са \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) и \(75^{\circ}\). Кой е най-малкият ъгъл?

\(45^{\circ}\) \(60^{\circ}\) \(75^{\circ}\)

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова, А. Хаджийска, А. Аначкова и др., изд. Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова, П. Нинова, Т. Стоева и др., изд. Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева, М. Алашка, Р. Алашка, изд. Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова, М. Тодорова, В. Златилов, изд. Просвета, София, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, изд. Регалия 6, София, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, изд. Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, изд. Просвета, София, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, изд. Коала Прес, Пловдив, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, изд. Коала Прес, Пловдив, 2009
12. 12.Сп. Математика
13. 13.Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити ◆