Признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници (IV признак). Ъглополовяща на ъгъл 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › IV признак и ъглополовяща

Признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници
и свойства на ъглополовящата

Пълен урок с теория, решени задачи с доказателства, самостоятелна работа и интерактивен тест

7 клас 4 теореми 2 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

IV признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници и свойства на ъглополовящата — теория и задачи за 7 клас

В този урок ще разгледаме важен специален признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници, както и три основни теореми за ъглополовящата. Тези факти се използват много често в доказателства и в по-сложни геометрични задачи.

Теория

Теорема 1 (IV признак за еднаквост): Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако катет и хипотенуза от единия са съответно равни на катет и хипотенуза от другия.

Определение 1: Ъглополовяща на даден ъгъл се нарича лъчът с начало във върха на ъгъла, който разделя ъгъла на два равни ъгъла.

Теорема 2: Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл се намира на равни разстояния от раменете на ъгъла.

Теорема 3: Всяка точка от вътрешността на даден ъгъл, която е на равни разстояния от раменете му, лежи на ъглополовящата на ъгъла.

Полезна идея: Когато точка лежи върху ъглополовяща → разстоянията до двете рамена са равни. Когато точка е на равни разстояния от двете рамена → лежи на ъглополовящата. Теореми 2 и 3 са обратни едно на друго.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Докажете, че два равнобедрени триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни бедра и равни височини към основата.

▼

Решение Нека \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) са равнобедрени с \(CH\) и \(C_1H_1\) — височини. По условие \(AC=A_1C_1\), \(BC=B_1C_1\), \(CH=C_1H_1\).

Разглеждаме правоъгълните \(\triangle AHC\) и \(\triangle A_1H_1C_1\):

1

\(CH=C_1H_1\) — по условие (катет)

2

\(AC=A_1C_1\) — по условие (хипотенуза)

\(\triangle AHC\cong\triangle A_1H_1C_1\) по IV признак \(\Rightarrow AH=A_1H_1\).

Аналогично за \(\triangle BHC\) и \(\triangle B_1H_1C_1\):

1

\(CH=C_1H_1\) — по условие (катет)

2

\(BC=B_1C_1\) — по условие (хипотенуза)

\(\triangle BHC\cong\triangle B_1H_1C_1\) по IV признак \(\Rightarrow BH=B_1H_1\).

Следователно \(AB=AH+HB=A_1H_1+H_1B_1=A_1B_1\). Накрая:

1

\(AC=A_1C_1\) — по условие

2

\(BC=B_1C_1\) — по условие

3

\(AB=A_1B_1\) — доказано

\(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) по III признак. ■

2

В \(\triangle ABC\) ъглополовящата на \(\sphericalangle C\) пресича страната \(AB\) в \(D\) и височината от \(A\) — в \(E\). Намерете \(\sphericalangle BAC\), ако \(AE=AD\).

▼

Решение Нека \(AH\) е височината от \(A\) към \(BC\), т.е. \(\sphericalangle AHB=\sphericalangle AHC=90°\). Тъй като \(CD\) е ъглополовяща: \(\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD=\gamma\).

От \(AE=AD\) следва, че \(\triangle ADE\) е равнобедрен: \(\sphericalangle AED=\sphericalangle ADE=\alpha\), следователно \(\sphericalangle EAD=180°-2\alpha\).

Ъглите \(\sphericalangle ADC\) и \(\sphericalangle ADE\) са съседни: \(\sphericalangle ADC=\alpha\). В \(\triangle ADC\): \[\sphericalangle DAC+\alpha+\gamma=180° \;\Rightarrow\; \sphericalangle DAC=180°-\alpha-\gamma.\] От правоъгълния \(\triangle AHB\): \(\sphericalangle ABH=90°-\sphericalangle BAH\). Тъй като \(\sphericalangle BDC\) е съседен на \(\sphericalangle ADC=\alpha\): \(\sphericalangle BDC=180°-\alpha\). В \(\triangle BDC\): \[\sphericalangle DBC=180°-(180°-\alpha)-\gamma=\alpha-\gamma.\] Но \(\sphericalangle DBC=\sphericalangle ABC=90°-\sphericalangle BAC=90°-(180°-\alpha-\gamma)=\alpha+\gamma-90°\). Приравняваме: \[\alpha-\gamma=\alpha+\gamma-90° \;\Rightarrow\; 2\gamma=90° \;\Rightarrow\; \alpha+\gamma=90°.\] Следователно: \[\sphericalangle BAC=180°-\alpha-\gamma=180°-90°=\boxed{90°}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Равнобедреният \(\triangle ABC\) има основа \(AB=c\) cm и \(\sphericalangle C=120°\). Точката \(M\) лежи на \(AB\) с \(AM:MB=1:2\). а) Намерете \(CM\). б) Докажете, че височината в \(\triangle ABC\) от \(A\) е 3 пъти по-голяма от височината в \(\triangle AMC\) от \(M\).

Задача 2В \(\triangle ABC\) \(a:b:c=3:4:5\) и \(P_{\triangle ABC}=48\) cm. Ъглополовящите \(AA_1\) и \(BB_1\) се пресичат в \(O\), а разстоянието от \(O\) до \(AB\) е \(4\) cm. Намерете лицето на \(\triangle AOC\).

Задача 3В \(\triangle ABC\) ъглополовящата на \(\sphericalangle A\) пресича \(BC\) в \(N\). На най-голямата страна \(AC\) е взета вътрешна точка \(L\), така че \(\sphericalangle LNC=\sphericalangle BAC\). Докажете, че \(NL=NB\).

Задача 4В правоъгълния \(\triangle ABC\) (\(\sphericalangle C=90°\)) e построена височина \(CH\) (\(H\in AB\)). Ъглополовящите \(AL\) (\(L\in BC\)) на \(\sphericalangle BAC\) и \(CM\) (\(M\in AB\)) на \(\sphericalangle ACH\) се пресичат в \(O\). Докажете, че \(O\) е средата на \(CM\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: IV признак и ъглополовяща

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Кои данни са достатъчни за еднаквост на два правоъгълни триъгълника по IV признак?

Два катета Катет и хипотенуза Хипотенуза и остър ъгъл Един катет и медиана

2Ъглополовяща на ъгъл е:

Отсечка, която дели страната на две Височина в триъгълник Лъч, който разделя ъгъла на два равни ъгъла Права, перпендикулярна на страната

3Всяка точка от ъглополовящата на даден ъгъл се намира на:

Равни разстояния от раменете на ъгъла Равни разстояния от върха и основата Само на едното рамо Произволно разстояние от ъгъла

4Ако точка от вътрешността на ъгъл е на равни разстояния от двете рамена, тя лежи на:

Медианата Височината Симетралата Ъглополовящата

5В равнобедрен триъгълник височината към основата е едновременно:

Само медиана Само ъглополовяща И медиана, и ъглополовяща Нито медиана, нито ъглополовяща

6В задача 1, правоъгълните триъгълници \(AHC\) и \(A_1H_1C_1\) са еднакви по:

I признак II признак IV признак III признак

7Ако \(CD\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle ACB\), то:

\(\sphericalangle ACD=\sphericalangle CAD\) \(\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD\) \(\sphericalangle CDA=\sphericalangle CDB\) \(\sphericalangle ACD=\sphericalangle ABC\)

8От равенството \(AE=AD\) следва, че \(\triangle ADE\) е:

Равнобедрен Правоъгълен Равностранен Тъпоъгълен

9В задача 2, \(\sphericalangle BAC\) е равен на:

\(30°\) \(45°\) \(60°\) \(90°\)

10Ако точка е на равни разстояния от раменете на ъгъл, тя лежи на:

Медианата Ъглополовящата Височината Симетралата на произволна отсечка

11IV признак за еднаквост се отнася само за:

Равностранни триъгълници Равнобедрени триъгълници Правоъгълни триъгълници Всички триъгълници

12Височината от върха \(A\) е перпендикулярна на страната:

\(BC\) \(AB\) \(AC\) Ъглополовящата

13Ако \(CD\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle ACB\), ъглите \(\sphericalangle ACD\) и \(\sphericalangle BCD\) са:

Допълнителни (сборът им е \(180°\)) Съседни Равни Винаги прави

14Лъчът, който разделя даден ъгъл на два равни ъгъла, се нарича:

Симетрала Височина Медиана Ъглополовяща

15В задача 1, след като получим \(AB=A_1B_1\), окончателно \(\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1\) по:

I признак II признак III признак IV признак

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи, свързани с този урок, можете да намерите в клипа по-долу:

Видео урок — Признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници и ъглополовяща

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆