Равнобедрен триъгълник. Равностранен триъгълник 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Равнобедрен и равностранен триъгълник

Равнобедрен и равностранен триъгълник
Теореми и задачи

Пълен урок с определения, теореми, 6 разработени задачи и интерактивен тест

7 клас 4 теореми 6 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Равнобедрен и равностранен триъгълник — свойства, теореми и задачи за 7 клас

Определения и теореми

Определение 1: Триъгълник, на който две от страните са равни, се нарича равнобедрен. В \(\triangle ABC\): \(AC=BC=a\). Страните \(AC\) и \(BC\) се наричат бедра, а страната \(AB\) — основа.

Теорема 1: Ако в един триъгълник два от ъглите са равни, той е равнобедрен.

Теорема 2: В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.

Определение 2: Триъгълник, на който и трите страни са равни, се нарича равностранен.

Теорема 3: Ако в триъгълник трите ъгъла са равни, той е равностранен.

Теорема 4: В равностранен триъгълник и трите ъгъла са равни на \(60°\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Докажете, че в равнобедрен триъгълник медианите към бедрата са равни.

▼

Решение Нека \(\triangle ABC\) е равнобедрен с \(AC=BC\). Нека \(AM\) и \(BE\) са медиани към бедрата, следователно \(AE=\frac{AC}{2}\) и \(BM=\frac{BC}{2}\). Тъй като \(AC=BC\), имаме \(AE=BM\).

Разглеждаме \(\triangle ABM\) и \(\triangle BAE\):

1

\(AB\) — обща страна

2

\(AE=BM\) — доказано по-горе

3

\(\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC\) — ъгли при основата (Теорема 2)

Следователно \(\triangle ABM\cong\triangle BAE\) по I признак. От еднаквостта следва \(AM=BE\). ■

2

В равнобедрен триъгълник ъглополовящата към бедрото е равна на основата. Намерете ъглите му.

▼

Решение Нека \(AC=BC\) и \(AL\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle BAC\), т.е. \(\sphericalangle CAL=\sphericalangle LAB=\alpha\) и \(\sphericalangle BAC=2\alpha\). От Теорема 2: \(\sphericalangle ABC=2\alpha\). Тъй като \(AL=AB\), \(\triangle ABL\) е равнобедрен, и от Теорема 2: \(\sphericalangle ALB=\sphericalangle ABL=2\alpha\). За \(\triangle ABL\): \[\sphericalangle LAB+\sphericalangle ALB+\sphericalangle ABL=180° \;\Rightarrow\; \alpha+2\alpha+2\alpha=180° \;\Rightarrow\; 5\alpha=180° \;\Rightarrow\; \alpha=36°.\] Следователно \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC=72°\) и \(\sphericalangle ACB=180°-144°=36°\).

3

Даден е равнобедрен \(\triangle ABC\), \(AC=BC\). Медианата \(BM\) (\(M\in AC\)). Ако \(BC+CM=15\) cm и \(AB+AM=10\) cm, намерете страните на \(\triangle ABC\).

▼

Решение Нека \(CM=x\). Тъй като \(BM\) е медиана: \(AM=x\) и \(AC=BC=2x\). От \(BC+CM=15\): \(2x+x=15 \Rightarrow x=5\) cm. Следователно \(AC=BC=10\) cm и \(CM=AM=5\) cm. От \(AB+AM=10\): \(AB=10-5=5\) cm.

4

В равнобедрения \(\triangle ABC\) (\(AC=BC\)), \(\sphericalangle ACB=140°\). Точките \(K\), \(M\) и \(P\) са върху \(AB\), \(BC\) и \(AC\). Ако \(AK=BM\) и \(AP=KB\), намерете \(\sphericalangle PKM\).

▼

Решение От \(\sphericalangle ACB=140°\) и равнобедреността: \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC=20°\).

Разглеждаме \(\triangle AKP\) и \(\triangle BKM\):

1

\(AK=BM\) — по условие

2

\(AP=KB\) — по условие

3

\(\sphericalangle PAK=\sphericalangle MBK=20°\) — ъгли при основата

\(\triangle AKP\cong\triangle BKM\) по I признак \(\Rightarrow\) \(PK=KM\), т.е. \(\triangle PKM\) е равнобедрен.

Нека \(\sphericalangle AKP=\alpha\). В \(\triangle AKP\): \(\sphericalangle APK=180°-(20°+\alpha)=160°-\alpha\). Тъй като \(\triangle PKM\) е равнобедрен (\(PK=KM\)), нека \(\sphericalangle KPM=\sphericalangle KMP=\beta\), следователно \(\sphericalangle PKM=180°-2\beta\).

От \(\sphericalangle AKP+\sphericalangle PKM+\sphericalangle MKB=180°\) (ъгли на права): \[\alpha+(180°-2\beta)+(160°-\alpha)=180° \;\Rightarrow\; 2\beta=160° \;\Rightarrow\; \beta=80°.\] Следователно \(\sphericalangle PKM=180°-160°=20°\).

5

Даден е \(\triangle ABC\) с \(\sphericalangle ABC=46°\). Ако \(CH\) (\(H\in AB\)) е височина и \(AH=BC+BH\), намерете \(\sphericalangle BAC\).

▼

Решение Построяваме \(BL\) така, че \(BL=BC\). От \(AH=BC+BH\) следва \(AH=BL+BH=LH\). Тъй като \(\sphericalangle CBL\) е съседен на \(\sphericalangle ABC\): \(\sphericalangle CBL=180°-46°=134°\). Тъй като \(\triangle LBC\) е равнобедрен: \[\sphericalangle BLC=\sphericalangle BCL=\frac{180°-134°}{2}=23°.\] Разглеждаме \(\triangle AHC\) и \(\triangle LHC\):

1

\(CH\) — обща страна

2

\(\sphericalangle AHC=\sphericalangle LHC=90°\)

3

\(AH=LH\)

\(\triangle AHC\cong\triangle LHC\) по I признак, следователно \(AC=LC\) и \(\triangle ALC\) е равнобедрен. Значи \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle LAC=\sphericalangle BLC=23°\).

6

Докажете, че ако външният ъгъл при върха \(C\) е два пъти по-голям от \(\sphericalangle BAC\), то \(\triangle ABC\) е равнобедрен.

▼

Решение Нека \(\sphericalangle BAC=\alpha\), следователно \(\sphericalangle BCK=2\alpha\). Тъй като \(\sphericalangle BCK\) е външен ъгъл на \(\triangle ABC\), от теоремата за външния ъгъл: \[\sphericalangle BCK=\sphericalangle BAC+\sphericalangle ABC \;\Rightarrow\; 2\alpha=\alpha+\sphericalangle ABC \;\Rightarrow\; \sphericalangle ABC=\alpha.\] Следователно \(\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABC=\alpha\), и от Теорема 1, \(\triangle ABC\) е равнобедрен. ■

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Докажете, че ако един от ъглите в равнобедрен триъгълник е \(60°\), то триъгълникът е равностранен.

Задача 2Докажете, че в равнобедрен триъгълник ъглополовящите на ъглите при основата са равни.

Задача 3Докажете, че ако ъглополовящата на един от ъглите на триъгълник разполовява периметъра му, то триъгълникът е равнобедрен.

Задача 4Страната \(AB\) на \(\triangle ABC\) е разделена от \(M\) и \(N\) на три равни части (\(M\) между \(A\) и \(N\)). Ако \(\sphericalangle ACM=15°\) и \(\sphericalangle CMB=60°\), намерете ъглите на \(\triangle ABC\).

Задача 5Даден е равнобедрен \(\triangle ABC\), за който ъглополовящата на външния ъгъл при \(B\) при пресичането си с \(AC\) образува ъгъл \(15°\). Намерете ъглите на \(\triangle ABC\).

Задача 6Даден е равностранен \(\triangle ABC\). Върху продължението на \(AC\) след \(C\) е взета точка \(D\), а върху продължението на \(BC\) след \(C\) е взета точка \(E\), така че \(BD=DE\). Докажете, че \(AD=CE\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Равнобедрен и равностранен триъгълник

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Равнобедрен е триъгълник, в който:

всички три страни са равни две от страните са равни всички ъгли са равни има прав ъгъл

2В равнобедрен триъгълник:

всички ъгли са равни ъглите при основата са равни ъглите при бедрата са различни ъгълът при върха е 60°

3В равностранен триъгълник всеки ъгъл е:

\(45°\) \(60°\) \(90°\) \(72°\)

4В равнобедрен триъгълник ъглополовящата към бедрото е равна на основата. Ъгълът при върха \(\sphericalangle ACB\) е:

\(72°\) \(36°\) \(45°\) \(108°\)

5\(BC+CM=15\) cm, \(AB+AM=10\) cm, \(BM\) е медиана. Намерете \(AB\).

\(10\) cm \(5\) cm \(7\) cm \(8\) cm

6Равнобедрен \(\triangle ABC\), \(\sphericalangle ACB=140°\), \(AK=BM\), \(AP=KB\). Намерете \(\sphericalangle PKM\).

\(40°\) \(20°\) \(30°\) \(80°\)

7\(\sphericalangle ABC=46°\), \(CH\) е височина, \(AH=BC+BH\). Намерете \(\sphericalangle BAC\).

\(46°\)

\(23°\) \(44°\) \(67°\)

8В равнобедрен \(\triangle ABC\) с \(AC=BC\): страните \(AC\) и \(BC\) се наричат:

основа бедра хипотенуза катети

9Ако в триъгълник два от ъглите са равни, то той е:

равностранен равнобедрен правоъгълен тъпоъгълен

10Ако \(\sphericalangle BCK=2\sphericalangle BAC\) (външен ъгъл), то \(\triangle ABC\) е:

правоъгълен равнобедрен равностранен тъпоъгълен

11В равнобедрен триъгълник медианите към бедрата са:

перпендикулярни равни успоредни неравни

12В З2, ъглите при основата (\(\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC\)) са:

\(36°\) \(72°\) \(54°\) \(108°\)

13Ако в равнобедрен триъгълник един от ъглите е \(60°\), то триъгълникът е:

правоъгълен равностранен тъпоъгълен остроъгълен, но не равностранен

14\(BC+CM=15\) cm, \(BM\) е медиана. Намерете \(BC\).

\(5\) cm \(10\) cm \(7{,}5\) cm \(12\) cm

15Ако в триъгълник трите ъгъла са равни, то той е:

равнобедрен, но не равностранен равностранен правоъгълен тъпоъгълен

---

Видео уроци

Видео урок — Равнобедрен и равностранен триъгълник

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆