Съседни и противоположни ъгли 7 клас

Съседни и връхни ъгли – Дефиниции, теореми и задачи | 7 клас | Д-р Атанас Илчев
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆
Математика › 7 клас › Геометрия › Съседни и връхни ъгли

Съседни и връхни ъгли
Дефиниции, теореми и задачи

Пълен урок с определения, теореми с доказателства, разработени задачи и интерактивен тест
7 клас 5 теореми 4 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Съседни ъгли, връхни ъгли и перпендикулярни прави — определения и теореми за 7 клас

В този урок разглеждаме важни видове ъгли и техните свойства. Всяка теорема е придружена с пълно доказателство.

Основните геометрични фигури (точка, права, ъгъл) може да припомните от предишния урок.

Определения и теореми
Определение 1: Два ъгъла, които имат общо рамо, а другите им рамене са противоположни лъчи, се наричат съседни ъгли.
Теорема 1: Сборът на два съседни ъгъла е \(180°\).
Определение 2: Ъгъл, равен на \(90°\), се нарича прав ъгъл.
Теорема 2: Съседен ъгъл на прав ъгъл също е прав ъгъл (следствие от Теорема 1).
Доказателство — съседни ъгли Доказателство: Нека \(\angle ACB=\alpha=90°\) и \(\angle BCD=\beta\) са съседни. От Теорема 1: \(\alpha+\beta=180°\), следователно \(\beta=180°-90°=90°\). Значи \(\angle BCD=90°\) е прав ъгъл. ■
Теорема 3: Ако два съседни ъгъла са равни, всеки от тях е прав.
Доказателство — равни съседни ъгли Доказателство: Нека \(\angle ACB=\alpha=x°\) и \(\angle BCD=\beta=x°\) са съседни. От Теорема 1: \(\alpha+\beta=180°\), следователно \(x+x=180°\), \(2x=180°\), \(x=90°\). Значи \(\angle ACB=\angle BCD=90°\). ■
Определение 3: Ъгъл, по-малък от \(90°\), се нарича остър ъгъл.
Определение 4: Ъгъл, по-голям от \(90°\) и по-малък от \(180°\), се нарича тъп ъгъл.
Определение 5: Две прави, които имат само една обща точка, се наричат пресекателни (пресичащи се) прави. Общата им точка е тяхна пресечна точка.
Записваме: \(a \cap b = O\).
Определение 6: Две прави, нямащи общи точки, се наричат успоредни прави.
Записваме: \(a \parallel b\).
Определение 7: Два ъгъла, раменете на които са противоположни лъчи, се наричат противоположни (връхни) ъгли.
Връхни ъгли
\(\angle AOB\) и \(\angle COD\) са връхни ъгли; \(\angle BOC\) и \(\angle AOD\) също са връхни ъгли.
Теорема 4: Всеки два връхни ъгъла са равни.
Доказателство: Нека \(\angle AOC=\alpha\). Ъглите \(\angle AOC\) и \(\angle BOC\) са съседни, следователно от Теорема 1: \(\angle BOC=180°-\alpha\). Ъглите \(\angle BOC\) и \(\angle BOD\) са съседни, следователно: \(\angle BOD=180°-(180°-\alpha)=\alpha\). Значи \(\angle AOC=\angle BOD=\alpha\). Аналогично \(\angle BOC=\angle AOD\). ■
Определение 8: Две прави се наричат перпендикулярни, ако при пресичането си образуват прав ъгъл.
Записваме: \(a \perp b\).
Теорема 5: През точка, не лежаща на дадена права, минава само една права, перпендикулярна на дадената.
Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1
Ако ъгълът \(\angle AOB\) е изправен, намерете \(\angle COD\). Задача 1
▼
Решение Тъй като \(\angle AOB\) е изправен, то \(\angle AOB=180°\). Следователно: \[\angle AOC+\angle COD+\angle BOD=180°,\] \[32°+\angle COD+44°=180°,\] \[\angle COD=180°-32°-44°=104°.\]
2
Лъчите на чертежа се пресичат в точка \(O\). Намерете \(\angle COA\), ако \(\angle COA:\angle COB=4:5\). Задача 2
▼
Решение \(\angle COA\) и \(\angle COB\) са съседни, следователно от Теорема 1: \(\angle COA+\angle COB=180°\). Нека \(\angle COA=4x\) и \(\angle COB=5x\): \[4x+5x=180° \;\Rightarrow\; 9x=180° \;\Rightarrow\; x=20°.\] Следователно \(\angle COA=4\cdot20°=80°\).
3
Ъглите \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) са съседни. Намерете градусните им мерки, ако разликата им е \(50°\).
▼
Решение Нека \(\angle AOB=\alpha\) и \(\angle BOC=\beta\). От Теорема 1: \(\alpha+\beta=180°\). Нека \(\alpha>\beta\), следователно \(\alpha-\beta=50°\), откъдето \(\alpha=50°+\beta\). Заместваме: \[50°+\beta+\beta=180° \;\Rightarrow\; 2\beta=130° \;\Rightarrow\; \beta=65°.\] Следователно \(\alpha=50°+65°=115°\).
4
Лъчите \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) са противоположни. Дадено: \(\alpha:\gamma:\delta=3:4:5\) и \(\delta=60°\). Намерете \(\beta\). Задача 4
▼
Решение Нека \(\alpha=3x\), \(\gamma=4x\), \(\delta=5x\). От \(\delta=60°\): \[5x=60° \;\Rightarrow\; x=12°.\] Следователно \(\alpha=36°\) и \(\gamma=48°\). Тъй като \(\alpha+\beta+\gamma+\delta=180°\): \[36°+\beta+48°+60°=180° \;\Rightarrow\; \beta=180°-144°=36°.\]
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1 На дадения чертеж \(\overrightarrow{OL}\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\). Ако мярката на \(\angle AOC\) е с 40% по-голяма от мярката на \(\angle BOC\), намерете \(\angle BOL\). Задача 1
▼ Отговор
\(\angle AOC\) и \(\angle BOC\) са съседни: \(\angle AOC+\angle BOC=180°\).
\(\angle AOC=1{,}4\cdot\angle BOC\Rightarrow2{,}4\cdot\angle BOC=180°\Rightarrow\angle BOC=75°,\ \angle AOC=105°\).
\(\overrightarrow{OL}\) е ъглополовяща на \(\angle AOC\Rightarrow\angle COL=52{,}5°\).
\(\angle BOL=\angle BOC+\angle COL=75°+52{,}5°=\mathbf{127°30'}\).
Задача 2 Ако \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) са съседни ъгли и \(\angle AOB\) е с \(40°\) по-голям от \(\angle BOC\), намерете градусните им мерки.
▼ Отговор
\(\angle AOB+\angle BOC=180°\) и \(\angle AOB=\angle BOC+40°\).
\(2\cdot\angle BOC+40°=180°\Rightarrow\angle BOC=70°,\ \angle AOB=\mathbf{110°}\).
Задача 3 Намерете ъглите, образувани при пресичането на две прави, ако един от тях е равен на сбора от двата си съседни ъгли.
▼ Отговор
Нека ъглите са \(\alpha\) и \(180°-\alpha\). От условието: \(\alpha=2(180°-\alpha)\Rightarrow3\alpha=360°\Rightarrow\alpha=120°\).
Ъглите са \(\mathbf{120°}\) и \(\mathbf{60°}\) (всеки се среща по два пъти като кръстосани).
Задача 4 Пресметнете двата съседни ъгъла, ако единият е с 30% по-голям от другия.
▼ Отговор
\(\beta+1{,}3\beta=180°\Rightarrow2{,}3\beta=180°\Rightarrow\beta=\dfrac{1800°}{23}\approx78{,}26°\),  \(\alpha=\dfrac{2340°}{23}\approx101{,}74°\).
Задача 5 Един ъгъл е 8 пъти по-голям от съседния си. Намерете мярката му.
▼ Отговор
\(\alpha+\beta=180°\) и \(\alpha=8\beta\Rightarrow9\beta=180°\Rightarrow\beta=20°\).
По-голямият ъгъл: \(\alpha=\mathbf{160°}\).
Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Съседни и връхни ъгли
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
1Сборът на два съседни ъгъла е:
2Всеки два връхни ъгъла са:
3\(\angle AOB\) е изправен, \(\angle AOC=32°\), \(\angle BOD=44°\). Намерете \(\angle COD\).
4\(\angle COA:\angle COB=4:5\), двата са съседни. Намерете \(\angle COA\).
5Два съседни ъгъла, разликата им е \(50°\). По-малкият е:
6\(\alpha:\gamma:\delta=3:4:5\), \(\delta=60°\), \(\alpha+\beta+\gamma+\delta=180°\). Намерете \(\beta\).
7Прав ъгъл има мярка:
8Две прави са перпендикулярни, ако при пресичането си образуват:
9Остър ъгъл е ъгъл с мярка:
10Един ъгъл е 8 пъти по-голям от съседния си. Мярката на по-големия е:
11Успоредни прави са прави, които:
12Ако два съседни ъгъла са равни, то:
13\(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) са съседни, \(\angle AOB\) е с \(40°\) по-голям. Намерете \(\angle AOB\).
14Два съседни ъгъла, единият с 30% по-голям от другия. Сборът им е:
15Тъп ъгъл е ъгъл с мярка:
Видео уроци
Видео урок — Съседни и връхни ъгли
Допълнителни тестове
Тест: Едночлен, действия с едночлени
docs.google.com/forms →
Тест: Многочлени, действия с многочлени
docs.google.com/forms →
Използвана литература
  1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
  2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
  3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
  4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
  5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
  6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
  7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
  8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
  9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
  10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
  11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
  12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити
  • ›НВО по математика след 7 клас
  • ›НВО по математика след 10 клас
  • ›Кандидатстудентски изпити по математика
  • ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
  • ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
  • ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Коментари

Публикуване на коментар