Моделиране с линейни уравнения 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◈ гл.ас. д-р Атанас Илчев◈ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◈ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◈ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◈ гл.ас. д-р Атанас Илчев◈ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◈ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◈

Математика › 7 клас › Уравнения › Задачи с линейни уравнения

Задачи с линейни уравнения
Движение, Работа, Смеси, Капитал

Пълен урок с разработени задачи, самостоятелна работа и интерактивен тест

7 клас 13 разработени задачи 29 самостоятелни задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Моделиране на житейски ситуации с линейни уравнения — движение, работа, смеси и капитал за 7 клас

Почти всичко от заобикалящия ни свят може да се обясни на езика на математиката. Напредъкът на науката и технологиите би бил немислим без използването на математиката за описване на сложните процеси и явления. В настоящия урок ще разгледаме примери за задачи от живота, които можем да опишем и решим с дотук получените знания. Задачите са класифицирани в пет групи: моделиране на житейски ситуации, задачи от движение, задачи от работа, задачи от смеси и сплави и задачи от капитал.

---

I. Моделиране на житейски ситуации

1

Г-жа Иванова получила известна сума пари. С \(\frac{3}{8}\) от нея купила нов кухненски робот, а с \(\frac{3}{7}\) от останалата след това сума — нова рокля за себе си. Ако роклята струва 75 лв., то колко лева е струвал кухненският робот?

▼

Решение Нека г-жа Иванова е имала \(x\) лв. Кухненският робот струвал \(\frac{3}{8}x\) лв., следователно останалата сума е \(\left(x-\frac{3}{8}x\right)=\frac{5}{8}x\) лв. Цената на роклята е \(\frac{3}{7}\cdot\frac{5}{8}x=\frac{15}{56}x\) лв. Формираме уравнението: \[\frac{15}{56}x=75.\] Умножаваме двете страни по 56: \(15x=75\cdot56=4200\), следователно \(x=280\) лв. Цената на кухненския робот: \[\frac{3}{8}\cdot280=105 \text{ лв.}\]

2

Собственик на ресторант закупил 15 маси и 54 стола, за които платил общо 12 780 лв. Намерете цените им поотделно, ако се отнасят като \(7:2\).

▼

Решение Нека цената на маса е \(x\) лв. и на стол \(y\) лв. Имаме системата: \(15x+54y=12780\) и \(\frac{x}{y}=\frac{7}{2}\), откъдето \(x=\frac{7}{2}y\). Заместваме: \[15\cdot\frac{7}{2}y+54y=12780 \;\Rightarrow\; \frac{105y}{2}+54y=12780 \;\Rightarrow\; 105y+108y=25560,\] \[213y=25560 \;\Rightarrow\; y=120 \text{ лв.}\] Цената на маса: \(x=\frac{7}{2}\cdot120=420\) лв.

3

Семената на кедровите шишарки съдържат белтъчини, мазнини и скорбяла. Белтъчините са 3,4 пъти по-малко от мазнините, а скорбялата е \(\frac{3}{5}\) от количеството белтъчини. Намерете количеството скорбяла в 12 kg семена от кедър.

▼

Решение Нека \(x\) е количеството мазнини. Тогава белтъчините са \(\frac{x}{3{,}4}\), а скорбялата — \(\frac{3}{5}\cdot\frac{x}{3{,}4}\). Уравнението: \[x+\frac{x}{3{,}4}+\frac{3x}{5\cdot3{,}4}=12 \;\Rightarrow\; x+\frac{x}{3{,}4}+\frac{3x}{17}=12.\] Умножаваме по \(17\): \(17x+5x+3x=204 \;\Rightarrow\; 25x=204 \;\Rightarrow\; x=8{,}16\) kg (мазнини). Скорбяла \(=\frac{3}{5}\cdot\frac{8{,}16}{3{,}4}=\frac{3}{5}\cdot2{,}4=1{,}44\) kg.

4

В един склад имало 5 пъти повече книги, отколкото в друг. След като от първия продали 4000 книги, а на втория доставили 7000, във втория склад имало 2 пъти по-малко книги от първия. По колко книги е имало първоначално?

▼

Решение Нека вторият склад е имал \(x\) книги, а първият — \(5x\). След операциите: първи \((5x-4000)\), втори \((x+7000)\). Условието: \(5x-4000=2(x+7000)\): \[5x-4000=2x+14000 \;\Rightarrow\; 3x=18000 \;\Rightarrow\; x=6000.\] Втори склад: 6000 книги. Първи склад: 30 000 книги.

II. Задачи от движение

Формула за движение: \(S = V \cdot t\)

• \(S\) — изминат път [km]
• \(V\) — скорост [km/h]
• \(t\) — време [h]

5

Влак изминал 370 km за 5 h 30 min. Първите 4 часа се движил с постоянна скорост, а след това намалил с 10 km/h. Намерете началната скорост.

▼

Решение

Участък	\(V\) [km/h]	\(t\) [h]	\(S\) [km]
Влак (1)	\(x\)	\(4\)	\(4x\)
Влак (2)	\(x-10\)	\(1{,}5\)	\(1{,}5(x-10)\)

\[4x+1{,}5(x-10)=370 \;\Rightarrow\; 4x+1{,}5x-15=370 \;\Rightarrow\; 5{,}5x=385,\] \[x=70 \text{ km/h.}\]

6

От град A за град B тръгнал товарен влак. Час и половина след него тръгнал пътнически влак, движещ се с 6 km/h по-бързо. След 15 часа от тръгването си пътническият влак изпреварил товарния с 30 km. Намерете скоростта на товарния влак.

▼

Решение

Влак	\(V\) [km/h]	\(t\) [h]	\(S\) [km]
Товарен	\(x\)	\(16{,}5\)	\(16{,}5x\)
Пътнически	\(x+6\)	\(15\)	\(15(x+6)\)

Условието \(S_1+30=S_2\): \[16{,}5x+30=15(x+6) \;\Rightarrow\; 16{,}5x+30=15x+90 \;\Rightarrow\; 1{,}5x=60,\] \[x=40 \text{ km/h.}\]

7

Разстоянието между A и B е 270 km. Едновременно от двата края тръгват лека кола и автобус и се срещат след 1 h 30 min. Скоростта на колата е с 20 km/h по-висока от тази на автобуса. Намерете: а) скоростите; б) изминатите пътища до срещата.

▼

Решение

Превозно средство	\(V\) [km/h]	\(t\) [h]	\(S\) [km]
Лека кола	\(x\)	\(1{,}5\)	\(1{,}5x\)
Автобус	\(x-20\)	\(1{,}5\)	\(1{,}5(x-20)\)

\[1{,}5x+1{,}5(x-20)=270 \;\Rightarrow\; 3x-30=270 \;\Rightarrow\; x=100 \text{ km/h.}\] а) Лека кола: 100 km/h, автобус: 80 km/h.
б) \(S_1=1{,}5\cdot100=150\) km; \(S_2=1{,}5\cdot80=120\) km.

III. Задачи от работа

Формула за работа: \(A = P \cdot t\)

• \(A\) — свършената работа
• \(P\) — производителност за единица време
• \(t\) — време

Ако цялата работа е 1, то за изпълнител, вършещ работата за \(n\) часа: \(P = \frac{1}{n}\) работа/час.

8

Един тракторист може да изоре нива за 6 часа, а друг — за 12 часа. За колко часа ще я изорат заедно?

▼

Решение

Тракторист	Производителност	Време [ч]	Работа
Първи	\(\frac{1}{6}\)	\(x\)	\(\frac{x}{6}\)
Втори	\(\frac{1}{12}\)	\(x\)	\(\frac{x}{12}\)

\[\frac{x}{6}+\frac{x}{12}=1 \;\Rightarrow\; \frac{2x+x}{12}=1 \;\Rightarrow\; 3x=12 \;\Rightarrow\; x=4 \text{ часа.}\]

9

Басейн се пълни от две тръби — първата за 12 часа, втората за 16 часа. Отначало 3 часа 36 минути работи само първата тръба, после и втората. За колко общо часа ще се напълни?

▼

Решение Производителности: \(P_1=\frac{1}{12}\), \(P_2=\frac{1}{16}\).
Първата тръба работи \(3{,}6\) часа сама: \(A_1=\frac{1}{12}\cdot3{,}6=0{,}3\) басейна.
Остатък: \(1-0{,}3=0{,}7\) басейна.
Обща производителност: \(\frac{1}{12}+\frac{1}{16}=\frac{4+3}{48}=\frac{7}{48}\) басейна/час.
Допълнително време: \(0{,}7\div\frac{7}{48}=0{,}7\cdot\frac{48}{7}=4{,}8\) часа.
Общо: \(3{,}6+4{,}8=8{,}4\) часа = 8 часа 24 минути.

IV. Задачи от смеси и сплави

10

Колко литра разтвор на спирт с концентрация 38% трябва да се добавят към 24 l разтвор с концентрация 68%, за да се получи разтвор с концентрация 54%?

▼

Решение Нека \(x\) е търсеното количество.

Разтвор	Обем [l]	Концентрация	Чист спирт [l]
Първи	\(x\)	38%	\(0{,}38x\)
Втори	24	68%	\(16{,}32\)
Смес	\(x+24\)	54%	\(0{,}54(x+24)\)

\[0{,}38x+16{,}32=0{,}54(x+24) \;\Rightarrow\; 0{,}38x+16{,}32=0{,}54x+12{,}96 \;\Rightarrow\; 0{,}16x=3{,}36,\] \[x=21 \text{ литра.}\]

11

Към 11 l разтвор на захар с концентрация 58% добавили 9 l разтвор с неизвестна концентрация. Получената смес е 40%. Намерете концентрацията на добавения разтвор.

▼

Решение Нека концентрацията на втория разтвор е \(x\%\).

Разтвор	Маса [l]	Концентрация	Захар [l]
I-разтвор	11	58%	\(11\cdot\frac{58}{100}\)
II-разтвор	9	\(x\)%	\(9\cdot\frac{x}{100}\)
Смес	20	40%	\(20\cdot\frac{40}{100}\)

\[11\cdot\frac{58}{100}+9\cdot\frac{x}{100}=20\cdot\frac{40}{100} \;\Rightarrow\; 638+9x=800 \;\Rightarrow\; 9x=162,\] \[x=18\%.\]

V. Задачи от капитал

Основни финансови формули:

• \(K_0\) — начален капитал;  \(p\%\) — лихвен процент;  \(L\) — лихва;  \(K\) — нараснал капитал
• \(L = \frac{p}{100}\cdot K_0\)
• \(K = K_0 + L = \left(1+\frac{p}{100}\right)\cdot K_0\)

12

Жоро внесъл в банка 5000 лв. при годишна лихва 2%. Колко лева ще има след две години?

▼

Решение Лихвата за 2 години е \(L=5000\cdot\frac{2}{100}\cdot2=200\) лв. Следователно: \[K=5000+200=5200 \text{ лв.}\]

13

Клиент внесъл депозит при годишна лихва 3% за 12-месечен период. В края на периода банката му изплатила 30 900 лв. Намерете депозираната сума.

▼

Решение Нека \(K_0=x\) лв. Тогава \(K=x+\frac{3}{100}x=1{,}03x\): \[1{,}03x=30900 \;\Rightarrow\; x=30000 \text{ лв.}\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задачите включват задачи от НОМ (Национална олимпиада по математика).

Задача 1 В смес от спирт и вода спиртът е 4 пъти по-малко от водата. Добавили още 20 l вода и се получил 12% разтвор на спирт. Колко литра вода е имало в началото?

▼ Отговор

Нека спирт = \(x\) l, тогава вода = \(4x\) l. След добавяне: \(\dfrac{x}{5x+20}=0{,}12\Rightarrow x=6\).
Вода в началото = \(4\cdot6=\mathbf{24}\) l.

Задача 2 За направата на кекс са необходими брашно, мляко и захар в отношение \(5:1:3\). Ако общото тегло е 1 kg 500 g, по колко грама е необходимо от всяка съставка?

▼ Отговор

Сумата от частите е \(5+1+3=9\). Една част = \(\dfrac{1500}{9}=\dfrac{500}{3}\) g.
Брашно = \(\dfrac{2500}{3}\approx833{,}3\) g,  мляко = \(\dfrac{500}{3}\approx166{,}7\) g,  захар = \(500\) g.

Задача 3 Двама велосипедисти тръгнали от A и B едновременно един срещу друг. Първият — 15 km/h, скоростта на втория е с 20% по-висока. При срещата единият е изминал 4 km повече. За колко време първият е изминал разстоянието от A до B?

▼ Отговор

\(v_2=15\cdot1{,}2=18\) km/h. При среща времето е еднакво \(t\).
\(18t-15t=4\Rightarrow t=\tfrac{4}{3}\) h. AB = \((15+18)\cdot\tfrac{4}{3}=44\) km.
Първият изминава AB за \(\dfrac{44}{15}\approx2\) h \(56\) min.

Задача 4 Една бригада може да свърши работа за 10 дни, а друга — за \(13\tfrac{1}{2}\) дни. В работата взели участие \(\tfrac{1}{3}\) от първата и 75% от втората. За колко часа е свършена работата при 8-часов работен ден?

▼ Отговор

Производителност за 1 ден: \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{10}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{13{,}5}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{4}{45}\).
Дни = \(\dfrac{45}{4}=11{,}25\). Часа = \(11{,}25\cdot8=\mathbf{90}\) часа.

Задача 5 Ученик наел велосипед за 1 h 45 min. На отиване се движи с 10 km/h, на връщане — изминава всеки км за 2 min повече. На колко км може да се отдалечи?

▼ Отговор

На връщане: 1 km за \(\tfrac{1}{10}+\tfrac{2}{60}=\tfrac{8}{60}\) h → \(v_2=\tfrac{60}{8}=7{,}5\) km/h.
\(\dfrac{d}{10}+\dfrac{d}{7{,}5}=\dfrac{7}{4}\Rightarrow\dfrac{7d}{30}=\dfrac{7}{4}\Rightarrow d=\mathbf{7{,}5}\) km.

Задача 6 Разполагаме с разтвори на сярна киселина с 50% и 75% концентрация. В какво отношение трябва да се смесят, за да се получи 60% разтвор?

▼ Отговор

\(50x+75y=60(x+y)\Rightarrow 15y=10x\Rightarrow x:y=\mathbf{3:2}\).

Задача 7 В два склада има ориз. Оризът във втория е 3 пъти по-малко. Ако от първия се пренесат 60 t във втория, количеството му ще е с 10 t по-малко от това в първия. По колко тона има първоначално?

▼ Отговор

1-ви = \(x\), 2-ри = \(x/3\). След пренасяне: \(x/3+60=(x-60)-10\Rightarrow x=195\).
1-ви = \(\mathbf{195}\) t, 2-ри = \(\mathbf{65}\) t.

Задача 8 Водородът в водата е 12,5% от кислорода. Колко kg водород и кислород се съдържат в 8,1 kg вода?

▼ Отговор

\(H=O/8\), \(H+O=8{,}1\Rightarrow9O/8=8{,}1\Rightarrow O=7{,}2\) kg, \(H=0{,}9\) kg.

Задача 9 Мандарина струва 0,12 лв., банан — 0,60 лв. Тодор заплатил 32,40 лв. Броят на бананите е с 12% по-малък от броя на мандарините. Колко от всяко е закупил?

▼ Отговор

Нека мандарини = \(x\), банани = \(0{,}88x\).
\(0{,}12x+0{,}60\cdot0{,}88x=32{,}40\Rightarrow0{,}648x=32{,}40\Rightarrow x=50\).
Мандарини = \(\mathbf{50}\), банани = \(\mathbf{44}\).

Задача 10 В тото „5 от 35" изтеглени пет числа. Първото е 1,5 пъти по-голямо от второто и \(23\tfrac{1}{13}\%\) от сбора на третото и четвъртото (отнасят се 7:6). Петото е с 10% по-малко от второто, сборът е 99. Кои числа са печеливши? (НОМ — областен кръг)

▼ Отговор

Нека 2-ро = \(a\). Тогава 1-во = \(\tfrac{3a}{2}\), 5-то = \(\tfrac{9a}{10}\).
3-то + 4-то в отношение 7:6 → 3-то = \(7k\), 4-то = \(6k\).
Сбор: \(\tfrac{3a}{2}+a+13k+\tfrac{9a}{10}=99\) и \(\tfrac{3a}{2}+a+\tfrac{9a}{10}=3{,}4a\).
При \(a=10\): 1-во=15, 5-то=9, 3-то+4-то=65 → 3-то=35, 4-то=30 (7:6 ✓), сбор=99 ✓.
Печеливши числа: \(\mathbf{9,\ 10,\ 15,\ 30,\ 35}\).

Задача 11 Майката на Борис купила 4 кг чушки, 5 кг домати и 3 кг патладжани за 14,10 лв. Бащата на Иван — 8 кг чушки и 10 кг домати за 24 лв. 1 кг чушки е с 0,80 лв. повече от 1 кг патладжани. Колко е 1 кг домати? (НОМ)

▼ Отговор

От 2-ро условие: \(4c+5d=12\). От \(c=p+0{,}80\) и 1-во: \(12+3p=14{,}10\Rightarrow p=0{,}70\).
\(c=1{,}50\), \(4\cdot1{,}50+5d=12\Rightarrow d=\mathbf{1{,}20}\) лв/kg.

Задача 12 Клас от 28 ученика прави два купона. За Коледа момичетата дали по 10 лв., момчетата по 5 лв. За Ивановден — обратното. За Ивановден са събрани 30 лв. повече. Колко момчета и момичета има?

▼ Отговор

\(m+g=28\), \((5g+10m)-(10g+5m)=30\Rightarrow5m-5g=30\Rightarrow m-g=6\).
Момчета = \(\mathbf{17}\), момичета = \(\mathbf{11}\).

Задача 13 В 8:00 от A за B тръгнала кола с 60 km/h. 40 min по-късно — автобус с 90 km/h. След изпреварване колата увеличила скоростта с 25%. Когато автобусът пристигнал в B, колата е на 25 km от B. Намерете: а) разстоянието A–B; б) в колко часа колата е на 5 km от автобуса. (НОМ)

▼ Отговор

Автобусът изпреварва колата: при старт на автобуса колата е на 40 km. \(40+60t=90t\Rightarrow t=\tfrac{4}{3}\) h → изпреварване в 10:00 на 120 km от A.
След 10:00: кола 75 km/h, автобус 90 km/h. Автобусът пристига B след \(s\) ч: \(5(AB-120)=6(AB-145)\Rightarrow \mathbf{AB=270}\) km.
а) AB = \(\mathbf{270}\) km.
б) Преди изпреварването (след 8:40): разликата намалява с 30 km/h от 40 km: \(40-30t=5\Rightarrow t=\tfrac{7}{6}\) h → \(\mathbf{9{:}50}\).
След изпреварването (след 10:00): относителна скорост 15 km/h → \(s=\tfrac{1}{3}\) h → \(\mathbf{10{:}20}\).
Колата е на 5 km от автобуса в \(\mathbf{9{:}50}\) и \(\mathbf{10{:}20}\).

Задача 14 На конкурсен изпит 10% от учениците получили слаба оценка. Отличниците са \(\tfrac{1}{3}\) от слабите. Останалите са 520. а) Колко ученици се явили? б) В колко паралелки са разпределени приетите (отлични + много добри), ако паралелката е 26–30 ученика, а средни:добри:много добри = 6:4:3? (НОМ)

▼ Отговор

а) \(N(1-0{,}1-\tfrac{0{,}1}{3})=\tfrac{26N}{30}=520\Rightarrow N=\mathbf{600}\).
б) Много добри = \(\tfrac{3}{13}\cdot520=120\). Отличници = 20. Приети = \(120+20=140=5\cdot28\).
Паралелки: \(\mathbf{5}\) (по 28 ученика).

Задача 15 Скоростта на течението е 3 km/h. В 8:45 от A за B по течението тръгнал сал, 20 min по-късно от B за A — лодка с 12 km/h. При срещата лодката е изминала 3 пъти повече от сала. а) Разстоянието AB и часа на срещата; б) Ако лодката почива 20 min в A и тръгва за B, кога и колко от B настига сала? (НОМ)

▼ Отговор

Лодката (12 km/h) тръгва в 9:05, сал (3 km/h) в 8:45.
Нека сал изминал \(d_с\), лодката \(3d_с\). \(t_{сал}=d_с/3\), \(t_{л}=3d_с/12=d_с/4\).
\(d_с/3=d_с/4+1/3\Rightarrow d_с/12=1/3\Rightarrow d_с=4\) km, AB = \(\mathbf{16}\) km. Среща в \(\mathbf{10:05}\).
б) Лодката пристига A в 10:25 (още 4 km за 20 min), почива, тръгва в \(\mathbf{10:45}\).
Сал в 10:45 е на 6 km от A. Лодка настига за \(6/9=\tfrac{2}{3}\) h → \(\mathbf{11:25}\), на \(\mathbf{8}\) km от B.

Задача 16 Един ден отидох до стадиона с велосипед. Другия ден половината от пътя изминах пеша (2× по-бавно от велосипеда), после взех такси (5× по-бързо от велосипеда). В кой от двата дни стигам по-бързо? (НОМ)

▼ Отговор

Ден 1: \(t_1=d/v\). Ден 2: \(t_2=\tfrac{d/2}{v/2}+\tfrac{d/2}{5v}=\tfrac{d}{v}+\tfrac{d}{10v}=\tfrac{11d}{10v}\)...
Всъщност: \(t_2=\tfrac{d/2}{v/2}+\tfrac{d/2}{5v}=\tfrac{d}{v}+\tfrac{d}{10v}=\tfrac{11d}{10v}>t_1\).
Ден 1 (с велосипед) е по-бърз.

Задача 17 Турист: изкачване 4 km/h, хоризонтален 5 km/h, спускане 6 km/h. Маршрут 9 km (изкачване + хоризонтален + спускане), отиване и връщане за 3 ч 41 min. Дължина на хоризонталния участък? (НОМ)

▼ Отговор

Отиване+връщане: \((a+c)\cdot\tfrac{5}{12}+\tfrac{2b}{5}=\tfrac{221}{60}\) и \(a+b+c=9\).
\((9-b)\cdot\tfrac{5}{12}+\tfrac{2b}{5}=\tfrac{221}{60}\Rightarrow\tfrac{225-b}{60}=\tfrac{221}{60}\Rightarrow b=\mathbf{4}\) km.

Задача 18 На тест: 3 т за геометрична задача, 2 т за алгебрична, -1 т за нерешена алгебрична. Таня решила 10 задачи и събрала 14 т. Колко са алгебричните задачи? (НОМ)

▼ Отговор

\(г+а+н=10\), \(3г+2а-н=14\). Събираме: \(4г+3а=24\).
При \(г=3,\ а=4,\ н=3\): \(9+8-3=14\) ✓. Решени алгебрични задачи = \(\mathbf{4}\).

Задача 19 Галерия продала две пластики (едната с 1000 лв. по-скъпа) и картина (5× по-скъпа от по-скъпата пластика). Комисионната е 10% = 2000 лв. Цените? (НОМ)

▼ Отговор

Пластика 2 = \(p\), пластика 1 = \(p+1000\), картина = \(5(p+1000)\).
\(0{,}1\cdot(7p+6000)=2000\Rightarrow p=\mathbf{2000}\) лв.
Пластика 1 = 3 000 лв, пластика 2 = 2 000 лв, картина = \(\mathbf{15\ 000}\) лв.

Задача 20 Моторна лодка изминава 58 km: 2 ч в езеро + 20 min по течение (2,5 km/h). Скоростта на лодката в спокойни води? (НОМ)

▼ Отговор

\(2v+\tfrac{1}{3}(v+2{,}5)=58\Rightarrow\tfrac{7v}{3}=\tfrac{343}{6}\Rightarrow v=\mathbf{24{,}5}\) km/h.

Задача 21 Яна чете книга от 200 стр. Първия ден — 20%, втория ден — 50% от останалото. а) Колко стр. втория ден? б) Какъв % за двата дни? (НОМ)

▼ Отговор

Ден 1: \(40\) стр., остатък \(160\). а) Ден 2: \(0{,}5\cdot160=\mathbf{80}\) стр.
б) \((40+80)/200=\mathbf{60\%}\).

Задача 22 Маратонки по 88 лв. Акция: 60 лв. важат като 120 лв. Тримата купуват по 1 чифт последователно (всеки влиза с остатъка). Точно им стига за 3 чифта. Колко са имали? (НОМ)

▼ Отговор

С ваучера всеки плаща реално \(88-60=28\) лв. Тримата: \(3\cdot28=\mathbf{84}\) лв.

Задача 23 Мандарина 0,12 лв., банан 0,60 лв. Тодор заплатил 32,40 лв. а) Колко от всяко, ако бананите са с 12% по-малко от мандарините? б) Може ли бананите да са с 40% повече от мандарините? (НОМ)

▼ Отговор

а) Мандарини = \(\mathbf{50}\), банани = \(\mathbf{44}\) (вж. Задача 9).
б) \(0{,}12x+0{,}60\cdot1{,}4x=0{,}96x=32{,}40\Rightarrow x=33{,}75\) — не е естествено число, следователно не може.

Задача 24 Шофьор забелязал: за 30 min изминал половината от маршрута и още 2 km. Продължил и след 25 min пристигнал. Колко km е маршрутът?

▼ Отговор

Скорост: \(v=\tfrac{S/2+2}{0{,}5}=S+4\). Остатък \(S/2-2\) за \(25/60\) h: \(S/2-2=(S+4)\cdot\tfrac{5}{12}\).
\(6S-24=5S+20\Rightarrow S=\mathbf{44}\) km.

Задача 25 Произведението на две последователни естествени числа е с 19 по-малко от квадрата на техния сбор. Кои са числата?

▼ Отговор

\(n(n+1)=(2n+1)^2-19\Rightarrow3n^2+3n-18=0\Rightarrow n^2+n-6=0\Rightarrow n=2\).
Числата са \(\mathbf{2}\) и \(\mathbf{3}\).

Задача 26 Поръчка се изпълнява за 8 дни с 3 машини. Първите 3 дни — 2 машини. Колко машини да заработят след 3-ия ден, за да е готова за 6 дни?

▼ Отговор

Общо = \(3\cdot8=24\) машино-дни. Свършено: \(2\cdot3=6\). Остава \(18\) за \(3\) дни.
\(18/3=\mathbf{6}\) машини.

Задача 27 Лека кола се движи с 60 km/h. След \(\tfrac{3}{5}\) от пътя остава да измине още 11 km и 30% от целия път. Разстоянието и времето?

▼ Отговор

Остатък \(=\tfrac{2}{5}S=11+0{,}3S\Rightarrow0{,}1S=11\Rightarrow S=\mathbf{110}\) km.
Време: \(110/60=1\) h \(50\) min.

Задача 28 Два съда по 20 l: в първия 10 l 4%-ов оцет, в втория 15 l 8%-ов. а) Колко l да се прелеят от 2-ри в 1-ви, за да стане 5%? б) Концентрация след допълване 1→20 l и после преливане 2→20 l?

▼ Отговор

а) \(0{,}04\cdot10+0{,}08x=0{,}05(10+x)\Rightarrow0{,}03x=0{,}1\Rightarrow x=\mathbf{3\tfrac{1}{3}}\) l.
б) След допълване 1-ви до 20 l (с вода): конц. \(\approx3{,}33\%\). След преливане от 1-ви в 2-ри до 20 l: конц. \(\approx6{,}06\%\).

Задача 29 Два трактора заедно орат нива за време, което е с 18 ч по-малко от времето на първия и с 32 ч по-малко от времето на втория. За колко часа оре сам всеки трактор?

▼ Отговор

Нека заедно = \(t\), тогава \(t_1=t+18\), \(t_2=t+32\).
\((t+18)(t+32)=t(2t+50)\Rightarrow t^2=576\Rightarrow t=24\) h.
Първи трактор: \(\mathbf{42}\) h, втори: \(\mathbf{56}\) h.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Задачи с линейни уравнения

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Цената на кухненския робот от задача 1 е:

90 лв. 105 лв. 120 лв. 140 лв.

2Цената на маса и стол от задача 2 е:

350 лв. и 100 лв. 420 лв. и 120 лв. 490 лв. и 140 лв. 280 лв. и 80 лв.

3Количеството скорбяла в 12 kg кедрови семена е:

1,20 kg 1,44 kg 1,68 kg 2,00 kg

4Първоначалният брой книги в първия склад (задача 4) е:

20 000 25 000 30 000 35 000

5Началната скорост на влака (задача 5) е:

60 km/h 65 km/h 70 km/h 75 km/h

6Скоростта на товарния влак (задача 6) е:

35 km/h 40 km/h 45 km/h 50 km/h

7Скоростта на автобуса (задача 7) е:

70 km/h 75 km/h 80 km/h 90 km/h

8Двамата трактористи ще изорат нивата заедно за:

3 часа 4 часа 5 часа 6 часа

9Общото време за пълнене на басейна (задача 9) е:

7 ч 12 мин 8 ч 8 ч 24 мин 9 ч

10Количеството 38% спирт, което трябва да се добави (задача 10) е:

18 l 21 l 24 l 28 l

11Концентрацията на добавения разтвор (задача 11) е:

12% 15% 18% 22%

12Сумата на Жоро след 2 години (задача 12) е:

5100 лв. 5200 лв. 5204 лв. 5400 лв.

13Депозираната сума (задача 13) е:

28 000 лв. 29 000 лв. 30 000 лв. 31 000 лв.

14Ако влак измине 150 km за 2 часа, скоростта му е:

60 km/h 75 km/h 80 km/h 90 km/h

15Каква част от нивата ще изорат двамата трактористи за 2 часа?

\(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{3}{4}\)

---

Видео уроци

Моделиране с линейни уравнения

Задачи от движение

Задачи от работа

Задачи от капитал и финанси

Допълнителни задачи

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

📚 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📖 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

📞 0883 375 433📱 Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◈гл.ас. д-р Атанас Илчев◈Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◈ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◈📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◈гл.ас. д-р Атанас Илчев◈Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◈ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◈