Линейни уравнения 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆

Математика › 7 клас › Уравнения › Линейни уравнения

Линейни уравнения
Теория и задачи

Пълен урок с теория, разработени примери, задачи и интерактивен тест

7 клас 8 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Линейни уравнения от вида \(ax+b=0\) — теория, всички случаи и задачи с решения за 7 клас

Продължаваме със следващата тема от учебното съдържание на 7 клас — линейни уравнения. Нека да дадем определение на това, какво ще наричаме линейно уравнение.

Определение: Уравнение от вида \(ax+b=0\), където \(a\) и \(b\) са числа, а \(x\) е променлива, ще наричаме линейно уравнение.

Да решим едно уравнение (да намерим неговия корен) означава да намерим такова число, че като го поставим на мястото на \(x\) в даденото уравнение, то да се превръща във вярно числово равенство.

Пример: Разглеждаме уравнението \(3x+3=0\). Търсим такова число, че като го поставим на мястото на \(x\) да получим вярно числово равенство. Решението (корена) на това уравнение е \(x=-1\), защото \(3\cdot(-1)+3=0\).

Случаи при решаване на \(ax+b=0\)

В зависимост от стойностите на \(a\) и \(b\) съществуват четири случая:

Случай 1. Ако \(a\neq 0\) и \(b\neq 0\), тогава уравнението \(ax+b=0\) решаваме, като прехвърлим \(b\) от дясната страна на знака \(=\) и разделим на \(a\): \[ax=-b \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{b}{a}.\] Случай 2. Ако \(a\neq 0\) и \(b=0\), получаваме \(ax=0\). Тъй като \(a\neq 0\), следва \(x=0\).

Случай 3. Ако \(a=0\) и \(b=0\), получаваме \(0\cdot x=0\). Това е вярно за всяко \(x\) — всяко \(x\) е решение.

Случай 4. Ако \(a=0\) и \(b\neq 0\), получаваме \(0\cdot x=b\), което е невъзможно — уравнението няма решение.

Определение: Две уравнения ще наричаме еквивалентни, ако имат едни и същи решения или и двете нямат решение.

Пример: Уравненията \(x-1=0\) и \(2x-2=0\) са еквивалентни, защото имат едно и също решение \(x=1\). Уравненията \(0x-3=0\) и \(0x-5=0\) също са еквивалентни, защото и двете нямат решения.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Решете уравнението \((x+2)(x-3)-x(x+4)=54\).

▼

Решение Разкриваме скобите и извършваме привиденията: \[x^2-3x+2x-6-x^2-4x=54.\] Прехвърляме \(x\)-те вляво, числата вдясно: \[x^2-3x+2x-x^2-4x=54+6.\] Събираме подобните членове: \[-5x=60 \quad \Rightarrow \quad x=-12.\]

2

Решете уравнението \((x-4)^2-(x+2)^2=3(2x-5)\).

▼

Решение Разкриваме скобите, прилагайки формулите \((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\): \[x^2-8x+16-(x^2+4x+4)=6x-15,\] следователно: \[x^2-8x+16-x^2-4x-4=6x-15.\] Прехвърляме \(x\)-те вляво, числата вдясно: \[x^2-8x-x^2-4x-6x=-15+4-16,\] \[-18x=-27 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{-27}{-18}=\frac{3}{2}.\]

3

Решете уравнението \(9(z+8)-3(z-5)=25-6(1-z)\).

▼

Решение Разкриваме скобите: \[9z+72-3z+15=25-6+6z.\] Прехвърляме \(z\)-тата вляво, числата вдясно: \[9z-3z-6z=25-6-15-72.\] Получаваме \(0\cdot z=-68\). Няма число, което умножено по 0 да бъде \(-68\), следователно уравнението няма решение.

4

Решете уравнението \((5x+1)(5x-1)-[(3x)^2-2]=(4x+1)^2-8x\).

▼

Решение Забелязваме, че в даденото уравнение можем да приложим формулите за съкратено умножение \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) и \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \[25x^2-1-(9x^2-2)=16x^2+8x+1-8x,\] следователно: \[25x^2-1-9x^2+2=16x^2+1.\] Прехвърляме изразите с \(x\) вляво, числата вдясно: \[25x^2-9x^2-16x^2=1-2+1 \quad \Rightarrow \quad 0\cdot x=0.\] Следователно всяко \(x\) е решение на уравнението.

5

Решете уравнението \(2x^2-3(1-x)(x+2)+(x-4)(1-5x)+58=0\).

▼

Решение Разкриваме скобите: \[2x^2-3(x+2-x^2-2x)+x-5x^2-4+20x+58=0,\] \[2x^2-3x-6+3x^2+6x-5x^2+x+20x+58-4=0.\] Групираме по степени: \[(2+3-5)x^2+(-3+6+1+20)x+(-6+58-4)=0,\] \[0\cdot x^2+24x+48=0,\] \[24x=-48 \quad \Rightarrow \quad x=-2.\]

6

Решете уравнението \(\dfrac{x+7}{2}+\dfrac{x-9}{7}=2\).

▼

Решение Привеждаме под общ знаменател 14: \[\frac{7(x+7)+2(x-9)}{14}=\frac{28}{14}.\] Тъй като \(\frac{A}{B}=0\) при \(B\neq 0\) следва \(A=0\), решаваме само числителя: \[7(x+7)+2(x-9)-28=0,\] \[7x+49+2x-18-28=0,\] \[9x=-3 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{1}{3}.\]

7

Решете уравнението \(\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x+5}{2}=1-\dfrac{x+7}{6}\).

▼

Решение Привеждаме под общ знаменател 6: \[2(2x+1)-3(x+5)=6\cdot1-1(x+7),\] \[4x+2-3x-15=6-x-7,\] \[4x-3x+x=6-7+15-2,\] \[2x=12 \quad \Rightarrow \quad x=6.\]

8

Дадени са многочлените \(A=1-x^2+2xy-y^2\) и \(B=x^3+x^2-2\).
а) Разложете \(A\) и \(B\) на множители.
б) Решете уравнението \(-[(x-2)^3-B]-7(x-3)(x+4)=0\) и сравнете противоположното число на корена с \(A\) при \(x=3{,}5\) и \(y=1\).

▼

Решение а) Разлагаме \(A=1-x^2+2xy-y^2\). Изнасяме \(-1\) пред \(x^2\): \[A=1-(x^2-2xy+y^2)=1^2-(x-y)^2=[1+(x-y)][1-(x-y)]=(1+x-y)(1-x+y).\] Разлагаме \(B=x^3+x^2-2=x^3-1+x^2-1\). Прилагаме формулата \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) и \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \[B=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x+1)=(x-1)\bigl[(x^2+x+1)+(x+1)\bigr]=(x-1)(x^2+2x+2).\]
б) Заместваме \(B\) в уравнението: \[-\bigl[(x-2)^3-(x^3+x^2-2)\bigr]-7(x-3)(x+4)=0.\] Разкриваме \((x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8\): \[-\bigl(x^3-6x^2+12x-8-x^3-x^2+2\bigr)-7(x^2+x-12)=0,\] \[-(-7x^2+12x-6)-7x^2-7x+84=0,\] \[7x^2-12x+6-7x^2-7x+84=0,\] \[-19x=-90 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{90}{19}=4\tfrac{14}{19}.\] Противоположното число на корена е \(-4\tfrac{14}{19}\). Пресмятаме \(A\) при \(x=3{,}5\) и \(y=1\): \[A=(1+3{,}5-1)(1-3{,}5+1)=3{,}5\cdot(-1{,}5)=-5{,}25.\] Следователно \(-4\tfrac{14}{19}>-5{,}25\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да погледнете отговора.

Задача 1 Решете уравнението \((x+5)^2-2(x-5)(x+5)=x(1-x)\).

▼ Отговор

\(x=-\dfrac{25}{3}\)

Задача 2 Решете уравнението \((2x-1)^2-x(1-2x)(1+2x)-9=4(x+1)x^2-3\).

▼ Отговор

\(x=-1\)

Задача 3 Решете уравнението \(\left(\dfrac{2x+1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3x+1}{3}\right)^2=1-\dfrac{x+5}{6}\).

▼ Отговор

\(x=\dfrac{1}{18}\)

Задача 4 Решете уравнението \((x+2)^3-x(x+1)(x-3)=(3x-2)(x-4)+5x^2\).

▼ Отговор

\(x=0\)

Задача 5 Решете уравнението \(\dfrac{(x+2)(x-3)}{4}-\dfrac{(x+5)^2}{3}=x-\dfrac{(x+7)(x-2)}{12}\).

▼ Отговор

\(x=-\dfrac{66}{25}\)

Задача 6 Решете уравнението \((y+2)(y^2-2y+4)-2y\!\left(y+\dfrac{3}{2}\right)^2+(y+2)^3-1=0\).

▼ Отговор

\(y=-2\)

Задача 7 Решете уравнението \(\dfrac{x-1}{3}+\dfrac{3x+1}{2}=2x+\dfrac{1-x}{6}\).

▼ Отговор

Уравнението е тъждество — изпълнява се при всяка стойност на \(x\). \(x\in\mathbb{R}\).

Задача 8 Намерете за коя стойност на параметъра \(m\) двете уравнения \((x^2-x-1)^2-x^2(x^2-2x-1)=7\) и \(2x-m-5=0\) са еквивалентни.

▼ Отговор

Първото уравнение се опростява до \(2x-6=0\Rightarrow x=3\).
От \(2\cdot3-m-5=0\) получаваме \(m=1\).

Задача 9 Ако \(a=\dfrac{(-6)^{-10}\cdot(-12)^5}{(-9)^{-4}\cdot102^0}\), а \(b\) е корен на уравнението \(\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2-x=(3+2x)(2x-3)+\dfrac{1}{4}\), намерете \(\dfrac{b}{a}\).

▼ Отговор

\(a=\dfrac{(-12)^5\cdot(-9)^4}{(-6)^{10}}=\dfrac{-248832\cdot6561}{60466176}=-27\)
Уравнението се опростява до \(x=3\), следователно \(b=3\).
\(\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{-27}=-\dfrac{1}{9}\)

Задача 10 Дадени са уравнението \(\dfrac{3+x}{2}-\dfrac{1}{3}\!\left(5+\dfrac{3-9x}{4}\right)=\dfrac{x-1}{3}-1\) и многочленът \(A=a^2-3a+b^2-3b+2ab\). Решете уравнението. Разложете \(A\) на множители. Намерете числената стойност на \(A\), ако \(a+b\) е равно на корена на уравнението.

▼ Отговор

Корен на уравнението: \(x=-1\).
\(A=(a+b)^2-3(a+b)=(a+b)(a+b-3)\).
При \(a+b=-1\): \(A=(-1)(-1-3)=(-1)(-4)=\mathbf{4}\).

Задача 11 Решете уравнението \((3x-1)^2-\dfrac{(1+3x)(3x-1)}{4}-\dfrac{5}{4}x(x-1)=5{,}5x^2-13\) и проверете дали \(a=\dfrac{3\cdot2013^2-3\cdot2014^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot10^3+3^3}\) е корен.

▼ Отговор

Корен: \(x=3\).
\(a=\dfrac{3(2013-2014)(2013+2014)}{4\cdot1000+27}=\dfrac{3\cdot(-1)\cdot4027}{4027}=-3\).
\(a=-3\neq3\), следователно \(a\) не е корен.

Задача 12 Дадено е уравнението \(2(x-a)(x+a)=\dfrac{5}{4}(x-a)^2+0{,}75(x+a)^2\), в което \(a\) е параметър.
а) Решете при \(a=502\);
б) Намерете всички стойности на \(a\), за които 2008 е решение. (LVII НОМ — областен кръг)

▼ Отговор

Уравнението се свежда до \(a(x-4a)=0\), откъдето \(a=0\) или \(x=4a\).
а) При \(a=502\neq0\): \(x=4\cdot502=\mathbf{2008}\).
б) \(x=2008\) е решение когато \(a=0\) (тъй като уравнението е тъждество) или \(x=4a=2008\Rightarrow a=502\).
\(a\in\{0,\,502\}\).

Задача 13 Решете \(a^2x-4(x-2a)=4a-8\), където \(a\) е параметър, и намерете целите стойности на \(a\), за които уравнението има поне един цял отрицателен корен. (61-ва НОМ — общински кръг)

▼ Отговор

Пренаписваме: \(x(a-2)(a+2)=-4(a+2)\Rightarrow(a+2)\bigl(x(a-2)+4\bigr)=0\).
Случай \(a=-2\): уравнението е тъждество — има безброй решения, в т.ч. цели отрицателни. ✓
Случай \(a=2\): заместваме — получаваме \(16=0\), няма решение.
Случай \(a\neq\pm2\): \(x=\dfrac{-4}{a-2}\). За цяло отрицателно \(x\): \(a-2\gt0\) и \((a-2)\mid4\Rightarrow a\in\{3,4,6\}\).
Отговор: \(a\in\{-2,\,3,\,4,\,6\}\).

Задача 14 Решете уравнението \(\dfrac{x-5}{2}+\dfrac{x-1}{8}=\dfrac{10-1{,}5x}{-4}\). (НОМ)

▼ Отговор

\(x=\dfrac{1}{2}\)

Задача 15 Решете уравнението \((x+3)^3-(-3x+1)^2=x(x+1)(x-1)\). (НОМ)

▼ Отговор

\(x=-\dfrac{13}{17}\)

Задача 16 Решете уравнението \(\dfrac{2-\frac{x-1}{2}}{2}+\dfrac{2-x}{-0{,}25}=3\dfrac{1}{2}\!\left(2-\dfrac{3x}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}\).

▼ Отговор

\(x=\dfrac{5}{6}\)

Задача 17 Решете уравнението \(\dfrac{2x-0{,}7}{0{,}4}-\dfrac{1-\frac{x-2}{2}}{-4}-\dfrac{(2x-1)^2}{4}=-(x+0{,}5)^2\).

▼ Отговор

\(x=\dfrac{2}{11}\)

Задача 18 Решете уравнението:
а) \((12x+5)^2-(8x-1)^2-(10x+7)(8x+3)=78\);
б) \((11x-5)^2-(10x+1)^2-(3x-20)(7x+10)=124\);
в) \((6x-1)^2(x+1)-(6x+5)^2(x-1)=14\);
г) \((10x-3)^2-4(5x-1)(5x+1)=-7\);
д) \(3x-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=x(4-x)\);
е) \((13x-4)(13x+4)-(12x-1)^2-(5x+3)^2=4\);
ж) \((9y-4)^2+(40y+1)^2-(41y-1)(41y+2)=25\);
з) \(3(x-1)^2+(2-3x)^2-9(x^2-1)-1=3(x^2-6x+5)\);
и) \((7x+11)(7x-11)+4(12x+5)^2-25(5x-1)^2=27\);
к) \(\dfrac{1}{4}+x(x+3)-(x-2)(x+2)=3x+\dfrac{17}{4}\);
л) \((2x-3)^2-2(2x+1)(2x-5)=3x-14\);
м) \(14+(3x-2)^2-5(2x-1)^2+(6x+9)(2x-2)=(x-2)^2\);
н) \(16-(2-5x)^2+25(x-3)^2=13(1-10x)\);
о) \(3(y+1)-\dfrac{10-y}{2}=\dfrac{4y+11}{5}+12\).

▼ Отговор

а) \(x=\dfrac{3}{2}\)   б) \(x=5\)   в) \(x=-\dfrac{1}{2}\)   г) \(x=\dfrac{1}{3}\)
д) няма решение (противоречиво уравнение)
е) \(x=-5\)   ж) \(y=-\dfrac{2}{11}\)
з) тъждество — \(x\in\mathbb{R}\)
и) \(x=\dfrac{1}{10}\)
к) тъждество — \(x\in\mathbb{R}\)
л) \(x=-\dfrac{11}{4}\) или \(x=3\)   м) \(x=\dfrac{1}{2}\)
н) няма решение (противоречиво уравнение)
о) \(y=6\)

Задача 19 Дадено е уравнението \(\dfrac{(2x-4)^2}{-4}-\dfrac{4x-3}{-12}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}x(1-3x)\).
а) Решете уравнението;
б) Проверете дали \(a=\dfrac{\left|-\dfrac{5^2\cdot13\cdot7}{25\cdot7}\right|+(-1)^2}{5^0}\) е корен.

▼ Отговор

а) \(x=1\)
б) \(a=\dfrac{|-13|+1}{1}=14\neq1\) — не е корен.

Задача 20 Решете уравнението \(3\!\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x+3}{4}\right)=\dfrac{(3x-2)(3x+2)}{9}-(x-2)^2\).

▼ Отговор

\(x=\dfrac{7}{9}\)

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Линейни уравнения

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Ако в уравнението \(ax+b=0\) имаме \(a\neq 0\), то решението е:

\(x=\dfrac{b}{a}\) \(x=-\dfrac{b}{a}\) \(x=\dfrac{a}{b}\) \(x=a+b\)

2Ако в уравнението \(ax+b=0\) имаме \(a=0\) и \(b=0\), то:

уравнението няма решение \(x=0\) всяко \(x\) е решение \(x=1\)

3Ако в уравнението \(ax+b=0\) имаме \(a=0\) и \(b\neq 0\), то:

\(x=0\) всяко \(x\) е решение уравнението няма решение \(x=-b\)

4Корен на уравнението \((x+2)(x-3)-x(x+4)=54\) е:

\(x=-10\) \(x=-12\) \(x=12\) \(x=-6\)

5Корен на уравнението \((x-4)^2-(x+2)^2=3(2x-5)\) е:

\(x=\dfrac{2}{3}\) \(x=-\dfrac{3}{2}\) \(x=\dfrac{3}{2}\) \(x=3\)

6Уравнението \(9(z+8)-3(z-5)=25-6(1-z)\):

има корен \(z=0\) всяко \(z\) е решение няма решение има корен \(z=68\)

7Уравнението \((5x+1)(5x-1)-[(3x)^2-2]=(4x+1)^2-8x\):

няма решение всяко \(x\) е решение има корен \(x=0\) има корен \(x=1\)

8Корен на уравнението \(2x^2-3(1-x)(x+2)+(x-4)(1-5x)+58=0\) е:

\(x=2\) \(x=-2\) \(x=4\) \(x=-4\)

9Корен на уравнението \(\dfrac{x+7}{2}+\dfrac{x-9}{7}=2\) е:

\(x=\dfrac{1}{3}\) \(x=-\dfrac{1}{3}\) \(x=3\) \(x=-3\)

10Корен на уравнението \(\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x+5}{2}=1-\dfrac{x+7}{6}\) е:

\(x=3\) \(x=-6\) \(x=6\) \(x=12\)

11Уравненията \(x-1=0\) и \(2x-2=0\) са:

еквивалентни, защото имат едно и също решение не еквивалентни, защото са различни уравнения еквивалентни, защото и двете нямат решения не еквивалентни, защото имат различни коефициенти

12Разлагането на \(B=x^3+x^2-2\) на множители е:

\((x+1)(x^2+2x+2)\) \((x-1)(x^2-2x+2)\) \((x-1)(x^2+2x+2)\) \((x+1)(x^2-2x+2)\)

13Разлагането на \(A=1-x^2+2xy-y^2\) на множители е:

\((1-x+y)(1+x-y)\) \((1+x+y)(1-x-y)\) \((1-x-y)^2\) \((1+x-y)^2\)

14Корен на уравнението \(-[(x-2)^3-B]-7(x-3)(x+4)=0\), където \(B=x^3+x^2-2\), е:

\(x=\dfrac{90}{19}\) \(x=\dfrac{19}{90}\) \(x=-\dfrac{90}{19}\) \(x=5\)

15Стойността на \(A=1-x^2+2xy-y^2\) при \(x=3{,}5\) и \(y=1\) е:

\(5{,}25\) \(-5{,}25\) \(-3{,}5\) \(3{,}5\)

---

Видео уроци

Видео урок — Линейни уравнения

---

Допълнителни тестове

Тест: Едночлен, действия с едночлени

docs.google.com/forms →

Тест: Многочлени, действия с многочлени

docs.google.com/forms →

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна ◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев ◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433 ◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж ◆